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高三数学期末测试题



一、选择题（本大题共
14
小题，共
70.0
分）
1.

在等差数列中，已知，公差，则


A.
10

2.

椭圆
B.
12

的焦距为
C.
14

，则
m
的值为
D.
16

A.
9

C.
9
或
23

3.

已知向量，，则
B.
23

D.


或
A.
50

B.
14

C.

D.

4.

在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施
5
个 程序，其中程序
A
只能出现在第
一步或最后一步，程序
B
和
C
实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有
A.
12
种
B.
18
种
C.
24
种
D.
36
种
5.

九章算术有这样一个问题：今有男子善走，日增等里 ，九日走一千二百六十里，
第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为
A.
150

B.
160

C.
170

D.
180

6.

等腰三角形一个底角的正切值为，则这个三角形顶角的正弦值为
A.

B.

C.

D.

7.

已知椭圆的左 、右顶点分别为，，且以线段为
直径的圆与直线相切，则
C
的离心率为


A.

B.

C.

D.

8.

平面过正方体
平面
的顶点
A
，平 面，平面，
，则
m
，
n
所成角的正弦值为


A.

B.

C.

D.

第1页，共21页

9.

如图，正四棱锥底面的 四个顶点
A
、
B
、
C
、
D
在球
O
，则球
O
的的同一个大圆上，点
P
在球面上，如果
表面积为



A.
B.
C.
D.





10.

下列点不是函数的图象的一个对称中心的是


A.

B.

C.

D.

11.

下列有关命题的说法错误的是


A.
若“
B.
“
C.
“
”为假命题，则
p
，
q
均为假命题
”是“”的充分不必要条件
” ”的必要不充分条件是“
D.
若命题
p
：
12.

已知定义在
，，则命题
满足
的值为


：，
，则上的奇函数恒成立，且
A.
0

13.

已知双曲线
B.
1

C.
2

与抛物线
D.
3

有公共焦点
F< br>且交
于
A
，
B
两点，若直线
AB
过焦点F
，则该双曲线的离心率是


A.

B.

C.

D.

第2页，共21页

14.

已知函数，，若当时，恒成立，
则实数
m
的取值范围是

A.

B. C.

D.

二、填空题（本大题共
6
小题，共
30.0
分）
15.

函数的定义域是
______
．
16.

为椭圆上任意一点，
P
到左焦点的最大距离为
m
，最小距离为
n
，
则
______
．
17.

我国古代 数学著作九章算术有如下问题：“今有三人共，
二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是 ：
今有
3
人坐一辆车，有
2
辆车是空的；
2
人坐一 辆车，有
9
个人需要步行，问人与车各多少？如图是该问题中求人数的
程序框图，执行 该程序框图，则输出
S
的值为
______
．






18.

已知函数对定义域中任意的，，当时都
有
19.

函数
象如 图所示，则
成立，则实数
a
的取值范围是
______
．
的部分图
的值
为
______
．




20.

已知，
P
是椭圆，上的一点，则的最大值为
______
．
三、解答题（本大题共
6
小题，共
72.0
分）
第3页，共21页

21.

如图，圆柱的底面半径为
r
，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的
顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底 面是圆柱的下底面．


Ⅰ计算圆柱的表面积；

Ⅱ计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．








22.

某校高二年级学生身体素质考核成绩单位：分的频率分布直方图如图所示：
求频率分布直方图中
a
的值；
根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均数 同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表．









第4页，共21页

23.

已知，且．
若
求
，求的值；
的最大值．








24.

已知函数．
判断函数
求函数
在区间
在区间
上的单调性，并用定义证明其结论；
上的最大值与最小值．








25.

已知直线：
求过点
M
且到点
与直线：的交点为
M
．
的距离为
2
的直线
l
的方程；
平行的直线
l
的方程．

求过点
M
且与直线：







26.

如图，已知椭圆
C
：的离心率是，一个顶点是．
Ⅰ求椭圆
C
的方程；
第5页，共21页

Ⅱ设P
，
Q
是椭圆
C
上异于点
B
的任意两点，且试 问：直线
PQ
是否恒
过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．








第6页，共21页

答案和解析

1.
【答案】
B

【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，是基础题．
解题时要认真审题，利用等差数列通项公式求解．
【解答】
解：等差数列，，公差
．
故选
B
．
2.
【答案】
C
，

【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标所在的轴，属于基础题．
利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可．
【解答】
解：椭圆的焦距为，则：
当
当
时，焦点在
x
轴上时，
时，焦点在
y
轴上时，

，解得
，解得
，
．
则
m
的值为
9
或
故选
C
．
3.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算及其模的计算公式，属于基础题．
利用向量的坐标运算及其模的计算公式即可得出．
【解答】
解：
1
，
．
故选
C
．
4.
【答案】
C
，，．

【解析】【分析】

第7页，共21页

本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个 基础题，注意排列过程中的
相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列本题是 一个分
步计数问题，
A
只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选 一个位
置把
A
排列，程序
B
和
C
实施时必须相邻， 把
B
和
C
看做一个元素，同除
A
外的
3
个
元素排列，注意
B
和
C
之间还有一个排列．

【解答】

解：本题是一个分步计数问题，

由题意知程序
A
只能出现在第一步或最后一步，

从第一个位置和最后一个位置选一个位置把
A
排列，有种结果，

程序
B
和
C
实施时必须相邻，

把
B和
C
看做一个元素，同除
A
外的
2
个元素排列，共有种 结果，

根据分步计数原理知共有
故选
C
．

种结果．


5.
【答案】
C

【解析】【分析】
由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，且
利用等差数列 的性质求得，
，，
的值，进一步求得公差，则答案可求．
本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前
n
项和，是基础的计算题．
【解答】
解：由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，
且
则，
，
，
，
，
，
则
故选：
C
．
．
第8页，共21页

6.
【答案】
D

【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，二倍角公式的应用，属于中档题．
设等腰 三角形底角为，顶角为，直接利用同角三角函数的基本关系求出，
，结合三角恒等变换求出，，结合二倍 角公式求出结果．
【解答】
解：设等腰三角形底角为，顶角为，
由于等腰三角形一个底角的正切值为，即，
则：，，，．
则：．
故选
D
．
7.
【答案】
A

【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、涉及直线与圆相切的性质、点到 直线的距离
公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据直线与圆相切的条件，利用 点到直线的距离公式得到
a
，
b
的关系，进而求得离心
率．
【解答】
解：以线段为直径的圆与直线相切，
原点到直线的距离等于半径
a
，
即，化为，
椭圆
C
的离心率．
故选
A
．
8.
【答案】
A

【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．
画出图形，判断出
m
、
n
所成角，求解即可．
【解答】
第9页，共21页

解：如图：
可知：
平面
，
，
，
平面，平面，

是正三角形．
m
、
n
所成角就是．
则
m
、
n
所成角的正弦值为：．
故选
A
．
9.
【答案】
D

【解析】【分析】
本题考查球的内接体问题，考查球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，属于基础
题．
由题意可知，
【解答】
解：如图，正四棱锥
点
P
在球面上，
则底面
ABCD
，，，，，
底面的四个顶点
A
，
B
，
C
，
D
在球
O
的同一个大圆上，
平面
ABCD
，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．
所以，，
球
O
的表面积是
故选
D
．
10.
【答案】
B
，

【解析】【分析】
本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．
根据正切函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】
第10页，共21页

解：对于函数的图象，
令，求得，，
可得该函数的图象的对称中心为，．
结合所给的选项，
A
、
C
、
D
都满足，
故选：
B
．
11.
【答案】
C

【解析】【分析】

本题考查命题的真假判断，复合命题的判定，充分条件与必要条件 ，特称命题的否定，
属于基础题．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断
A
；根据充分条件与必要条件的定义，可判断
B
，
C
，根据特称命题的否定， 可判断
D
．
【解答】
解：若“
“
“
“
“
若命题
p
：
故选
C
．

”为假命题，则
p
，
q
均为假命题，故
A
正确；
”成立，“”时，“”不一定成立，故“”是”时，“
”的充分不必要条件，故
B正确；
”时，“”不一定成立，“”时，“”成立，故
”的充分不必要条件是“
，，则命题：
”，故
C
错误；
，，故
D
正确．

12.
【答案】
B

【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，函数的奇偶性周期性的应用，属于基础题．
通过奇偶性和单调性转化，即可得到答案．
【解答】
解：
函数
则
，
是周期为
4
的周期函数，
，
，
第11页，共21页

，
是奇函数，
当时，由
，
得：
，
即
即
．
故选
B
．
13.
【答案】
B
，则，


【解析】【分析】
本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几 何量之间的
关系是关键．综合性较强，属中档题．
根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得

，利用直线
AB
，过两曲线 的公共焦点建立
方程关系即可求出双曲线的离心率．
【解答】
解：抛物线和双曲线有共同的焦点，
，
直线
AB
过两曲线的公共焦点
F
，
，即为双曲线上的一个点，
，
，
，解得
，
故选
B
．
14.
【答案】
D
，
，

第12页，共21页

【解析】解：函数
由
可得：
，在
R
上递增，
，
那么
，
；
，
，
，
，可得时奇函数，
．
则．
恒成立，则实数
m
的取值范围是：
故选：
D
．
根据，可得时奇函数，在
R
上递增，可得，脱去“
f
”，
；
即可求解．
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，三角函数闭区间是的最值的
应用．
15.
【答案】

且

【解析】【分析】
本题考 查了求函数的定义域问题，是一道基础题．根据二次根式的的被开方数非负以及
分母不为零得到关于x
的不等式组，解出即可．
【解答】
解：要是函数
则，
有意义，
解得：
故答案为
且
且
，
．
16.
【答案】
10

【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
第13页，共21页

由椭圆性质得
【解答】
，

解：
P
到左焦点的最大距离为
故答案为
10
．
17.
【答案】
39
，最小距离为，


【解析】【分析】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便 得出正确的
结论，是中档题．
由题意知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S
的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得
，执行循环体，
满足条件
满 足条件
满足条件
满足条件
满足条件
不满足条件
故答案为
39
．
，，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
；
；
；
；
；
，执行循环体，
，执行循环体，
，执行循环体，
，执行循环体，
，执行循环体，
，退出循环，输出
S
的值为
39
．
18.
【答案】


【解析】解：任意的，，当
可得
可得
在
R
上为减函数，
，即为
时都有成立，
，
即有，
第14页，共21页

故答案为：

由题意可得在
R
上为减函数，由对数函 数、一次函数的单调性以及函数的单调性定
义，可得
a
的不等式，解不等式可得
a
的范围．
本题考查分段函数的单调性的判断，以及参数的范围，注意运用对数函数、一次 函数的
单调性以及函数的单调性定义，考查运算能力，属于中档题．
19.
【答案】


【解析】【分析】
本题考查了根据三 角函数的图象与性质求函数解析式的应用问题，也考查了根据三角函
数的周期性求值的应用问题，是基础 题目．
根函数
函数的周期性即可求出答案．
【解答】
解：由图象知，，，
的图象与性质，求出
A
、与的值，再利用
由五点对应法得，可求得，
，
，




．
故答案为：．
20.
【答案】


【解析】【分析】
本题考查椭圆的简 单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中
第15页，共21页

档题．
由题意画出图形，可知
B
为椭圆的左焦点，
A
在椭圆内部，设椭圆右焦点为
F
，借助于
椭圆定义，把
解．
【解答】
解：由椭圆方程，得，，则，
的最大值转化为椭圆上的点到
A< br>的距离与
F
距离差的最大值求
是椭圆的左焦点，在椭圆内部，
， 如图：设椭圆右焦点为
F
，由题意定义可得：
则，
．
连接
AF
并延长，交椭圆与
P
，则此时
的最大值为
故答案为：．
．
有最大值为，

21.
【答案】解：Ⅰ已知圆柱的底面半径为
r
，则圆柱和圆锥的高为
的底面半径为
r
，

则圆柱的表面积为；

，圆锥和球
Ⅱ由Ⅰ知，

圆柱体积，

球体积，

第16页，共21页

图案中圆锥、球、圆柱的体积比为
1
：
2
：
3
．



【解析】本题考查圆锥、球、圆柱的体积比的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形
结合思想，是中档题．球内切于圆柱，所以圆柱高
h
等于球直径
2r
，圆柱底 面积等
于球最大横截面面积
S
，圆柱体积，球体积，球最大横截面积
，圆锥的 体积，由此能求出图案中圆锥、球、圆
柱的体积比．
22.
【答案】解：

由图可知众数的估计值为
75
．
平均数的估计值：
，
．

【解析】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查众数、平均数的求法 ，考查
运算求解能力，是基础题．
利用频率分布直方图的性质能求出
a
．
利用频率分布直方图的性质能估计成绩的众数和平均数．
23.
【答案】解：已知，且．
则：
整理得
所以
由于
所以
由得
，
．
，
．
，
，
第17页，共21页

所以，
，
由于，
所以
由于
，．
，
所以，
故的最大值为．

【解析】
利用
直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．
的结论，进一步根据基本不等式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用．
24.
【答案】解：
证明如下：
任取，
在区间上是增函数．
，且，


．
，
，即
函数
由
在区间
知函数
，

上是增函数；
在区间上是增函数，
第18页，共21页

故函数在区间上的最大值为，
最小值为．

【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
利用函数的单调性的定义证明即可；
利用函数的单调性，求解函数的最值即可．
25.
【答案】解由解得

，的交点
M
为
设所求直线方程为
，
，即，
到直线的距离为
2
，
，
解得或．
直线方程为
过点且与
或；
平行的直线的斜率为：，
所求的直线方程为：，即．

【解析】先求两条直线的交点，设出直线方程，利用点 到直线的距离，求出
k
，从而
确定直线方程．
已知直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．
本题考查两条直线的交点坐标，直线的一般式方 程，点到直线的距离公式，考查计算能
力，是基础题．
26.
【答案】解：Ⅰ设椭圆
C
的半焦距为
c
，依题意，得
且

，
，
第19页，共21页

解得

，
； 所以椭圆
C
的方程是
Ⅱ易知，直线
PQ
的斜率存在，
设其 方程为
将直线
PQ
的方程代入
消去
y
，整理得

，
设

则

，
，
，
，
，
，
，

因为

所以

，且直线
BP
，
BQ
的斜率均存在，
，
整理得

因为

所以

，，
，
，
将代入，
，


整理得
将代入，整理得

，或舍去，
，
，

解得

所以，直线
PQ
恒过定点．

【解析】本 题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转
化思想以及计算能力，难度比 较大，属于难题．
第20页，共21页

Ⅰ设椭圆
C
的半焦 距为求出
b
利用离心率求出
a
，即可求解椭圆
C
的方程；
Ⅱ直线
PQ
的斜率存在，设其方程为
，消去
y
，设

出
，
将直线
PQ
的方程代入椭圆方程
，利用韦达定理，通过 ，化简求
，求出
m
，即可得到直线
PQ
恒过的定点．

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