如何帮助留守儿童-硕师计划

江苏省无锡市2014年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题， 每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相 应的选项标号涂黑）
1．（3分）（2014•无锡）﹣3的相反数是（ ）
±3


3
A．B． ﹣3 C． D．


考点： 相反数．
分析： 根据相反数的概念解答即可．
解答： 解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）=3．
故选A．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数 的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数
的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相 反数是0．

2．（3分）（2014•无锡）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
x≥2 x≤2 x≠2

A．x＞2 B． C． D．

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 二次根式的被开方数大于等于零．
解答： 解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得 x≤2．
故选：C．
点评：
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式< br>中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

3．（3分）（2014•无锡）分式

A．

B．
﹣
可变形为（ ）
C．

D．
﹣

考点： 分式的基本性质．
分析： 根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．
解答：
解：分式的分子分母都乘以﹣1，
得﹣，
故选；D．
点评： 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的
值不变．

4．（3分）（2014•无锡）已知A样本的数据如下：72，73，76，76，7 7，78，78，78，B样
本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A，B两个样本的下列统计量对 应相同的是（ ）

A．平均数 B． 标准差 C． 中位数 D． 众数

考点： 统计量的选择．
分析： 根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可
得到结论．
解答：
解：设样本A中的数据为x
i
，则样本B中的数据为y
i< br>=x
i
+2，
则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2，
只有标准差没有发生变化，
故选：B
点评： 本题考查众数、平均数、中位数、标准差的定义，属于基础题．

5．（3分）（2014 •无锡）某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该
店在“6•1儿童节”举行 文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出
售，结果两种笔共卖出60支，卖得 金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元
一次方程为（ ）

A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87 B． 1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87

2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87 C．D． 2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87

考点： 由实际问题抽象出一元一次方程．
分析： 设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按 原价打9折出售，结果两
种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价+（6 0﹣x）支圆
珠笔的售价=87，据此列出方程即可．
解答： 解：设铅笔卖出x支，由题意，得
1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87．
故选B．
点评： 考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据根据描述语找到等量关系是解题的关
键．
< br>6．（3分）（2014•无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积< br>是（ ）
2222

A．B． C． D．
20πcm 20cm 40πcm 40cm

考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解答： 解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π．
故选A．
点评： 本题考查了圆锥的计算 ，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的
底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

7．（3分）（2014•无锡）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（ ）

∠1=∠3 ∠3+∠5=180°

A．C． ∠2+∠4＜180° D．

考点： 平行线的性质．
分析： 根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
解答： 解：A、∵OC与OD不平行，
∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；
B、∵OC与OD不平行，
∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；
C、∵AB∥CD，
∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

8．（3分）（2014 •无锡）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB
的延长线交于点C，∠A =30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正
确结论的个数是 （ ）

∠2+∠3=180°
B．



3 2 1 0
A．B． C． D．

考点： 切线的性质．
分析： 连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60° ，△ODB
是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中30所对的直角边等于斜边 的
一半，继而得到结论①②③成立．
解答： 解：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
0

∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°，
∴BD=BC，②成立；
∴AB=2BC，③成立；
∴∠A=∠C，
∴DA=DC，①成立；
综上所述，①②③均成立，
故答案选：A．

点评： 本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数
是解题的关键．

9．（3分）（2014•无锡）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线 b经过点
A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（﹣，0），则直线a的
函数关系式为（ ）

A．B． C． D．
y=﹣x y=﹣x+6
y=﹣x y=﹣x+6

考点： 一次函数图象与几何变换．
分析：
先用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，再由题意，知直线b经过A（0 ，
3），（，0），求出直线b的解析式为y=﹣x+3，然后将直线b向上平移3个单位
后得 直线a，根据上加下减的平移规律即可求出直线a的解析式．
解答： 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，3），B（﹣，0），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y=x+3．
由题意，知直线y=x+3绕点A逆时针旋转60°后得 到直线b，则直线b经过A（0，
3），（，0），
易求直线b的解析式为y=﹣x+3，
将直线b向上平移3个单位后得直线a，所以直线a的解析式为y=﹣x+3+3，即y=
﹣x +6．
故选C．
点评：
本题考查了一次函数图象与几何变换，解决本题的关键是 得到把直线y=x+3绕点
A逆时针旋转60°后得到直线b的解析式．

10．（3分）（2014•无锡）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内 画一
条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画
（ ）

A．6条 B． 7条 C． 8条 D． 9条

考点： 作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定
分析： 利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
解答：
解：如图所示：当BC
1
=AC
1
，AC=CC
2
，AB= BC
3
，AC
4
=CC
4
，AB=AC
5
，AB=AC
6
，
BC
7
=CC
7
时，都能得到符 合题意的等腰三角形．
故选：B．

点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨
论得出是解题关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需要写出解答过程，只需把答案
直接填写在答题卡相应的位置）
3
11．（2分）（2014•无锡）分解因式：x﹣4x= x（x+2）（x﹣2） ．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
3
解答：
解：x﹣4x，
2
=x（x﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因
式 分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．

12．（2分）（2014•无锡） 据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将达
7
到86000000千瓦，这 个数据用科学记数法可表示为 8.6×10 千瓦．

考点： 科学记数法—表示较大的数．
n
分析：
科学记数法的表示形式为a×10的形式， 其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝 对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
7
解答：
解：将86000000用科学记数法表示为：8.6×10．
7
故答案为：8.6×10．
n
点评：
此题考查科学记数法的表 示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正 确确定a的值以及n的值．

13．（2分）（2014•无锡）方程

的解是 x=2 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 观察可得最简公分母是x（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整
式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘x（x+2），得
2x=x+2，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x+2）=8≠0．
∴原方程的解为：x=2．
故答案为x=2．
点评： 本题考查了分式方程的解法，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．

14．（2分）（2014•无锡）已知双曲线y=

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
直接把点（﹣2，1）代入双曲线y=
解答：
解：∵双曲线y=
∴1=，
经过点（﹣2，1），则k的值等于 ﹣1 ．
，求出k的值即可．
经过点（﹣2，1），
解得k=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 本题 考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定
适合此函数的解析式．

15．（2分）（2014•无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点 ．若AD=6，DE=5，
则CD的长等于 8 ．


考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线
分析： 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC =2DE=10；然后在直角△ACD
中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．

解答： 解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上 的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
< br>16．（2分）（2014•无锡）如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3 ，则AC的长
等于 4 ．


考点： 平行四边形的性质；解直角三角形
分析： 设对角线AC和BD相交于点O，在直角△AOE中，利用三角函数求得OA的长，然
后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得．
解答：
解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=，
∴OA===2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=4．
故答案是：4．

点评： 本题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分 ，
正确求得OA的长是关键．

17．（2分）（2014•无锡）如图，已知点 P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，
以AC为对角线作▱ABCD．若AB=， 则▱ABCD面积的最大值为 2 ．

考点： 平行四边形的性质；勾股定理；切线的性质．
分析：
由已知条件可知AC=2，AB=，应 该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大，
根据AB⊥AC即可求得．
解答： 解：由已知条件可知，当AB⊥AC时▱ABCD的面积最大，
∵AB=，AC=2，
∴S
△ABC
==，
∴S
▱ABCD
=2S
△ABC
=2，
∴▱ABCD面积的最大值为 2．
故答案为2．
点评： 本题考查了平行四边形 面积最值的问题的解决方法，找出什么情况下三角形的面积最
大是解决本题的关键．
18．（2分）（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分 别为2
和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 ．


考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质．
分析： 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出
即可．
解答： 解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
∴PE+PF的最小值是3．
故答案为：3．

点评： 此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解
题关键．

三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说 明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2014•无锡）（1）
2
﹣|﹣2|+（﹣2）；
0
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）．

考点： 实数的运算；整式的混合运算；零指数幂
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用 平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一
项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并
即可得到结 果．
解答： 解：（1）原式=3﹣2+1=2；
（2）原式=x﹣1﹣x+4x﹣4=4x﹣5．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）（2014•无锡）（1）解方程：x﹣5x﹣6=0；
（2）解不等式组：．
2
22

考点： 解一元二次方程- 因式分解法；解一元一次不等式组．
专题： 计算题．
分析： （1）方程左边分解因式后 ，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两
个一元一次方程来求解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答： 解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，
解得：x
1
=6，x
2
=﹣1；

（2）
由①得：x≥3；
由②得：x＞5，
，

则不等式组的解集为x＞5．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．

21．（6分）（2014•无锡）如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中 点，D、E分别是
AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．


考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
专题： 证明题．
分析： 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可
解题 ．
解答： 证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS），
∴MD=ME．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．

22．（8分）（ 2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，
OD与AC交 于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．


考点： 圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理
分析： （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90° ，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，

根据等边对等角求得∠DAO的度数 ，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答： 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC=
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
==．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是
关键．

23．（6分）（2014•无锡）为了解“数学思想作文对学习数学帮助有多大？”一研究员随机抽< br>取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查，并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来
表示（ 图、表都没制作完成）．
选项 帮助很大 帮助较大 帮助不大 几乎没有帮助
a 543 269 b
人数
根据图、表提供的信息．
（1）请问：这次共有多少名学生参与了问卷调查？
（2）算出表中a、b的值．
（注：计算中涉及到的“人数”均精确到1）


考点： 扇形统计图；统计表．

分析： （1）用“帮助较大”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）用参与问卷调查的学生人数乘以 “帮助很大”所占的百分比计算即可求出a，然后
根据总人数列式计算即可求出b．
解答： 解：（1）参与问卷调查的学生人数=543÷43.65%≈1244；

（2）a=1244×25.40%=316，
b=1244﹣316﹣543﹣269=1244﹣1128=116．
点评： 本题考查 的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．扇形统计图直 接反映部分占总体的百分比大小．

24．（10分）（2014•无锡）三个小球分别标 有﹣2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同
外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀 ．
（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后
再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率．（请用“画
树状图” 或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）
（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数 记下，然后将小球放回袋中，搅匀后
再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了 13次．若记下的13个
数之和等于﹣4，平方和等于14．求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是 0的次数．

考点： 列表法与树状图法．
专题： 图表型．
分析： （1）根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；
（2）设摸出﹣2、0、1的次数 分别为x、y、z，根据摸出的次数、13个是的和、平方
和列出三元一次方程组，然后求解即可．
解答： 解：（1）根据题意画出树状图如下：

所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种，
则P==；

（2）设摸出﹣2、0、1的次数分别为x、y、z，
由题意得，，
③﹣②得，6x=18，
解得x=3，
把x=3代入②得，﹣2×3+z=﹣4，
解得z=2，

把x=3，z=2代入①得，y=8，
所以，方程组的解是，
故摸到球上所标之数是0的次数为8．
点评： 此题考查了 列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，
难点在于（2）列出三元一次 方程组．

25．（8分）（2014•无锡）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=9 0°，AB=2BC，现以C为圆心、CB
长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧 交边AB于E．求证：
=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形 的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角
形．请你以图2中的线段AB为腰，用 直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕 迹，并对作图中涉及到的点用
字母进行标注）


考点： 作图—应用与设计作图；黄金分割．
分析： （1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案；
（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．
解答： （1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=x，
∴AD=AE=（﹣1）x，
∴==．

（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：

．
点评： 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，根据已知得出底边作法是
解题关键．

26．（10分）（2014•无锡）如图，二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过 坐标原点O，与x轴
的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C， 且C
点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二 次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD
与△AED相似， 求此二次函数的关系式．
2


考点： 二次函数综合题．
分析： （1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比< br>例得出==，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）；
22
（2） 先将A（﹣4，0）代入y=ax+bx，化简得出b=4a，即y=ax+4ax，则顶点F（﹣
2， ﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即
直线AB 的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C
2（﹣1，3k）在抛物线y=ax+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与< br>直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出
222
∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC=CD= 1+a，得出△FCD
是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由 三角形内角和
定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1， 进而得到此二次
2
函数的关系式为y=﹣x﹣4x．

解答： 解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．
∵AC：BC=3：1，
∴=．
∵CM∥OA，
∴△BCM∽△BAO，
∴===，
∴OA=4CM=4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）；

（2）∵二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），
∴16a﹣4b=0，
∴b=4a，
2
∴y=ax+4ax，对称轴为直线x=﹣2，
∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．
设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，
得﹣4k+n=0，
∴n=4k，
∴直线AB的解析式为y=kx+4k，
∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．
2
∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax+4ax上，
∴3k=a﹣4a，
∴k=﹣a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD∽△AED．
∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，
2222222 2
∴FC=（﹣1+2）+（3k+4a）=1+a，CD=（﹣2+1）+（2k﹣3k）=1+a，
∴FC=CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠OBA=45°，
∴OB=OA=4，
∴4k=4，
∴k=1，
∴a=﹣1，
2
∴此二次函数的关系式为y=﹣x﹣4x．
2

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，
运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，两点之间的距离公式、抛物线对称
轴的求法，函数图象 上点的坐标特征．综合性较强，有一定难度．（2）中得出△FCD
是等腰直角三角形是解题的关键．

27．（10分）（2014•无锡）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为30 0万千瓦月．该
厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台， 这
台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来
提 高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往
后算，该厂第 x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．
（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期
间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω
1
（万元），将超过同样时间内发< br>电机不作改造升级时的发电盈利总额ω
2
（万元）？

考点： 一次函数的应用．
分析： （1）由题意可以知道第1个月的发电量是300×5千瓦，第2个月的发 电量为300×4+300
（1+20%），第3个月的发电量为300×3+300×2×（1+20 %），第4个月的发电量为
300×2+300×3×（1+20%），第5个月的发电量为300×1 +300×4×（1+20%），第6个月的
发电量为300×5×（1+20%），将6个月的总电量 加起来就可以求出总电量．
（2）由总发电量=各台机器的发电量之和根据（1）的结论设y与x之间 的关系式为
y=kx+b建立方程组求出其解即可；
（3）由总利润=发电盈利﹣发电机改造 升级费用，分别表示出ω
1
，ω
2
，再根据条件
建立不等式求出其解 即可．
解答： 解：（1）由题意，得
第2个月的发电量为：300×4+300（1+20%）=1560千瓦，
今年下半年的总 发电量为：300×5+1560+300×3+300×2×（1+20%）+300×2+300×3×（1+20%）+300×1+300×4×（1+20%）+300×5×（1+20%），
=1500+1560+1620+1680+1740+1800，
=9900．
答：该厂第2个月的发电量为1560千瓦；今年下半年的总发电量为9900千瓦；

（2）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得

，
解得：，
∴y=60x+1440（1≤x≤6）．

（3）设到第n个月时ω
1
＞ω
2
，
当n=6时，ω1
=9900×0.04﹣20×6=276，ω
2
=300×6×6×0.04 =432，ω
1
＞ω
2
不符合．
∴n＞6．
∴ω
1
=[9900+360×6（n﹣6）]×0.04﹣20×6=86.4n﹣240，
ω
2
=300×6n×0.04=72n．
86.4a﹣122.4＞72a，
当ω
1
＞ω
2
时，8 6.4n﹣240＞72n，解之得n＞16.7，∴n=17．
答：至少要到第17个月ω
1
超过ω
2
．
点评： 本题考 查了一次函数的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，总利润=发电盈
利﹣发电机改造升级费用， 解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键．

28．（10分）（2014•无锡）如 图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于
C，一动点P从O点出发，以每 秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P
且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关 于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间
为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写
出S的最大 值；若没有，请说明理由．


考点： 相似形综合题
分析： （1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；
（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．
答图2﹣1，答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；
②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．
解答： 解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，

由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．

∵CE∥x轴，
∴，即，解得x=．
∴C点坐标为（，）；
∵PQ∥AB，
∴，即，
∴OP=2OQ．
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．

（2）①当0＜t≤1时，如 答图2﹣1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S
△CMN
．

S< br>△CMN
=S
四边形
CMON
﹣S
△OMN

=（S
△COM
+S
△CON
）﹣S
△OMN

=（•2t×+•t×）﹣•2t•t
=﹣t+2t；
当1＜t＜2时，如答图2 ﹣2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，
2

则重叠部分面积 为S
△CDN
．
设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得，
解得，
∴y=﹣x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4．
联立y=﹣x +t与y=﹣2x+4，求得点D的横坐标为
S
△CDN
=S
△BDN
﹣S
△BCN

=（4﹣t）•
=t﹣2t+．
2
．
﹣（4﹣t）×
综上所述，S=．
②画出函数图象，如答图2﹣3所示：

观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．
点评： 本题是运动型综 合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、
动点问题函数图象等知识点．难点 在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本
题的关键．