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中考真题数学试卷
2019年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大 题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的.每小题选对得 3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．据央视网报道，2019年1～4月份我国社会物流总额为88 .9万亿元人民币，“88.9万亿”
用科学记数法表示为（ ）
A．8.89×10
13
B．8.89×10
12
C．88.9×10
12
D．8.89×10
11

3．如图， 一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，
山高BC＝2千米．用 科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）

A．
C．






B．
D．


4．如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（a
2
）
3
＝a
5








B．3a
2
+a＝3a
3

D．a（a+1）＝a
2
+1 C．a
5
÷a
2
＝a
3
（a≠0）
6．为配合全 科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学
生感兴趣的各类图书所占百 分比，最适合的统计图是（ ）
A．条形统计图 B．频数直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图
7．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD 于点F．添加以

1

中考真题数学试卷
下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）

A．∠ABD＝∠DCE
C．∠AEB＝∠BCD
8．计算（
A．1+
﹣3）
0
+









）



﹣
1
B．DF＝CF
D．∠AEC＝∠CBD
的结果是（ ）
C． D．1+4
﹣（﹣
B．1+2
9．解不答式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知a，b是方程x
2
+x﹣3＝0的两个实数根，则 a
2
﹣b+2019的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
11．甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在 施工过程中，乙队曾因技术改
进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下 表是根据每天工
程进度绘制而成的．
施工时间天
累计完成施工量米
1
35
2
70
3
105
4
140
5
160
6
215
7
270
8
325
9
380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
12． 如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB
＝60 °，则点C的纵坐标为（ ）

2

中考真题数学试卷

A．+ B．2+ C．4 D．2+2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果）
13．把一块 含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的
一条长边上）．若∠1＝ 23°，则∠2＝ °．

14．分解因式：2x
2
﹣2x+＝ ．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，
∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ ．

16．一元二次方程3x
2
＝4﹣2x的解是 ．
17．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB
＝BD，则∠AD C＝ °．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的 图象上运动，且
始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的
最小值是 （用含k的代数式表示）．

3

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三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（7分）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体 育公园的距离分别是1200米，
3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时 到达，则小明需提前4
分钟出发，求小明和小刚两人的速度．








20．（8分）在一个箱内装入只有标号不同的 三颗小球，标号分别为1，2，3．每次随机取出
一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内．小 明现已取球三次，得分分别为1分，
3分，2分，小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2 .2分，请用画树状图或
列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率．








4

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21．（8分）（1）阅读理解
如图，点A，B 在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，
C，B作x轴的垂线，垂足 为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，
G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1 （n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于
若n＞1，则 ．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
，，，之间数量关系的命题：



5

中考真题数学试卷
22．（9分）如图是把一个装有 货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已
知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地 面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH
＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽 都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木
箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部．





23．（10分 ）在画二次函数y＝ax
2
+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x
y
甲

……
……
﹣1
6
0
3
1
2
2
3
3
6
……
……
乙写错了常数项，列表如下：
x
y
乙

……
……
﹣1
﹣2
0
﹣1
1
2
2
7
3
14
……
……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax
2
+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax
2
+bx+c（a≠0），当x 时，y的值随x的值增大而增大；
（3）若关于x的方程ax
2
+bx+c＝k（a ≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．





6

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24．（12分）如图，在正方形ABCD中 ，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，
CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点 F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的
速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△B EF的面积为ycm
2
，E点的运动时间为
x秒．

（1）求证：CE＝EF；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求△BEF面积的最大值．







25．（12分）（1）方法选择
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝
AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…
小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接A C，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试
用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证 明你的结论．

7

中考真题数学试卷
【探究2】 如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC
＝ 30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
（3）拓展猜想
如图④，四边 形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：
AC：AB＝a：b： c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．



8

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【参考答案】
一、选择题
1．B
【解析】﹣3的相反数是3．故选：B．
2．A
【解析】法一：88.9万亿＝8 8.9×10
4
×10
8
＝88.9×10
12

用科学记数法表示：88.9×10
12
＝8.89×10
13

法二：科学记数法表示为：88.9万亿＝889 000 000 000 0＝8.89×10
13

故选：A．
3．A
【解析】在△ABC中，sinA＝sin20°＝
∴按键顺序为：2÷sin20＝，
故选：A．
4．C
，∴AB＝＝，
【解析】从上面看，得到的视图是：
5．C
【解析】A.（a
2
）
3
＝a
6
，故本选项错误；
，故选：C．
B.3a
2
+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C.a
5
÷a
2
＝a
3
（a≠0），正确；
D.a（a+1）＝a
2
+a，故本选项错误．故选：C．
6．D
【解析】欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：D．
7．C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；

9

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∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，∴∠CBF＝∠BCD，∴CF＝BF，同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
，

8．D
【解析】原式＝1+
9．D
【解析】解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＜5，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
＝1+．故选：D．

故选：D．
10．A
【解析】a，b是方程x
2
+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b
2
，a+b＝﹣1，ab﹣3，

10

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∴a
2
﹣b+2019＝a
2< br>﹣3+b
2
+2019＝（a+b）
2
﹣2ab+2016＝1+6+ 2016＝2023；
故选：A．
11．D
【解析】由题意可得，
甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；
乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；
乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；
前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；
故选：D．
12．B
【解析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝
∴CE＝
∴OC＝CE+OE＝ 2
∴点C的纵坐标为2
，PE＝OD＝2，
＝
+
+
，
，故选：B．
＝2，

二、填空题
13．68
【解析】∵△ABC是含有45°角的直角三角板，

11

中考真题数学试卷
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝∠AGB＝68°；
故答案为：68．

14．2（x﹣）
2
【解析】原式＝2（x
2
﹣x+）＝2（x﹣）
2
．
故答案为：2（x﹣）
2
．
15．3
【解析】如图，延长BC、AD相交于点F，

∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°，
∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，
∴△EBC≌△EFC（ASA），∴BC＝CF，
∵AB∥DC，∴AD＝DF，∴DC＝
故答案为：3．
16．x
1
＝，x
2
＝
．
【解析】3x
2
＝4﹣2x，3x
2
+2x﹣4＝0，
则b
2
﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，

12

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解得：x
1
＝
故答案为：x
1
＝
17．105°
，x
2
＝
，x
2
＝
．
．
【解析】作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：则DE＝CF，
∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CF＝AF＝BF＝AB，
∵AB＝BD，∴DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，
∴∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴∠ADC＝105°；
故答案为：105°．

18．
【解析】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴＝，解得k＝m
2
+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝
∴OM的最小值为
故答案为

＝
．
＝，
．
13

中考真题数学试卷

三、解答题
19．解：设小明的速度是x米分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米分钟，根据题意可得：
﹣4＝，解得：x＝50，
经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，
答：小明的速度是50米分钟，则小刚骑自行车的速度是150米分钟．
20．解：树状图如下：

共有9种等可能的结果数，
由于五次得分的平均数不小于2.2分，
∴五次的总得分不小于11分，
∴后2次的得分不小于5分，
而在这9种结果中，得出不小于5分的有3种结果，
∴发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率为＝．
21．解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝
∴+＞．
+＞．
，BG＝，DF＝，
故答案为：
（2）方法一：∵
∵n＞1，
+﹣＝＝，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，

14

中考真题数学试卷
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．
22．解：∵BH＝0.6米，sinα＝，
∴AB＝＝1米，∴AH＝0.8米，
∵AF＝FC＝2米，
∴BF＝1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJ B＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，
∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，
∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，
∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．

23．解：（1）由甲同学的错误可知c＝3，
由乙同学提供的数据选x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2，
有，∴，
∴y＝﹣3x
2
+2x+3；
（2）y＝﹣3x
2
+2x+3的对称轴为直线x＝，
∴抛物线开口向下，
∴当x≤时，y的值随x的值增大而增大；

15

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故答案为≤；
（3）方程ax
2
+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即﹣3x
2
+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4+12（3﹣k）＞0，
∴k＜；
24．（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，
∴∠AEM＝∠NFE，
∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，
∴BN＝EN＝AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），∴AE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE＝EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝
∴0≤x≤5，
＝10，
由题意得：BE＝2x，
∴BN＝EN＝x，
由（1）知：△AEM≌△EFN，
∴ME＝FN，
∵AB＝MN＝10，
∴ME＝FN＝10﹣

x，
16

中考真题数学试卷
∴BF＝FN﹣BN＝10﹣
∴y＝＝
x＝﹣2（x﹣
x﹣x＝10﹣2x，
x（0≤x≤5
，
）； ＝﹣2x
2
+5
）
2< br>+（3）解：y＝﹣2x
2
+5
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，y有最大值是；即△BEF面积的最大值是．

25．解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，

∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AM＝AD，
∵∠ABM＝∠ACD，
∵∠AMB＝∠ADC＝120°，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD；
（2）类比探究：如图②，

17

中考真题数学试卷

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝AD，∠AMD＝45°，
∴DM＝AD，
∴∠AMB＝∠ADC＝135°，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD；
【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴MD＝2AD，

18

中考真题数学试卷
∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，
∴△ABM∽△ACD，
∴
∴BM＝
＝，
CD，
CD+2AD；
CD+2AD；
∴BD＝BM+DM＝
故答案为：BD＝
（3）拓展猜想： BD＝BM+DM＝CD+AD；
理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∴∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC，
∴△ABM∽△ACD，
∴＝，
∴BM＝CD，
∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，
∴△ADM∽△ACB，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD．
故答案为：BD＝CD+AD


19