子归原创文学网-2012北京高考状元

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每
题5分）
1．不等式
|x|1
的解集为__________．
2．计算：
lim
3n1

__________．
n 
n2
3．设集合
A{x|0x2}
，
B{x|1 x1}
，则
AB
__________．
4．若复数
zi i
（
i
是虚数单位），则
z
2

______ ____．
z
5．已知
{a
n
}
是等差数列，若
a
2
a
8
10
，则
a
3
a
5
a
7

__________．
6．已知平面上动点
P
到两个定点
(1,0)
和
(1,0)
的距离之和等于4，则动点
P
的轨迹为
__________．
7．如图，在长方形
ABC DA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB 3
，
BC4
，
AA
1
5
，
O
是
AC
11
的






第7题图 第12题图
8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生
甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________． 99
中点，则三棱锥
AAOB
11
的体积为__________．
2

a

9．设
aR
，若

x
2


与

x
2

的二项 展开式中的常数项相等，则
a
__________．
x

x

10．设
mR
，若
z
是关于
x
的方 程
xmxm10
的一个虚根，则
|z|
的取值范围
22


是__________．
1 8

11．设
a0
，函数
f(x)x2(1x )sin(ax)
，
x(0,1)
，若函数
y2x1
与
yf(x)
的图象有且仅有两个不同的公共点，则
a
的取值范围是__________．
12 ．如图，正方形
ABCD
的边长为20米，圆
O
的半径为1米，圆心是正方形 的中心，点


P
、
Q
分别在线段
AD
、
CB
上，若线段
PQ
与圆
O
有公共点，则称点
Q< br>在点
P
的“盲
区”中．已知点
P
以1．5米秒的速度从
A
出发向
D
移动，同时，点
Q
以1米秒的速
度 从
C
出发向
B
移动，则在点
P
从
A
移动到
D
的过程中，点
Q
在点
P
的盲区中的时长约


为__________秒（精确到0．1）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．下列函数中，为偶函数的是（ ）


（A）
yx
（C）
yx
2
1
2












（B）
yx

（D）
yx

31
3

14．如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的棱虽在的直线中，与直线
BC
1




异面的直线条数为（ ）
（A）1
（C）3












（B）2
（D）4
15．记
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和．“
{a
n< br>}
是递增数列”是“
S
n
为递增数列”的（ ）


（A）充分非必要条件
（C）充要条件






（B）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件 
16．已知
A
、
B
为平面上的两个定点，且
| AB2|
．该平面上的动线段
PQ
的端点
P
、
Q
，





< br>满足
|AP|5
，
APAB6
，
AQ2AP
，则动线段
PQ
所形成图形的面积为（ ）
（A）36 （B）60 （C）81 （D）108
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14 分，20题16分，
21题18分）
2 8

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）





18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）



已知
ycosx
．
（1）若
f(

)
1

，且

[0,

]
，求
f(

)
的值；
33
（2）求函数
yf(2x)2f(x)
的最小值．
x2
2
已知
aR
，双曲线
:
2
y1．
a
（1）若点
(2,1)
在

上，求
< br>的焦点坐标；
（2）若
a1
，直线
ykx1
与

相交于
A
、
B
两点，且线段
AB
中点的横坐标 为1，
求实数
k
的值．


19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
利用“平行于圆锥曲线 的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两
个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告 牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛
OC
物线的平面图，图3是一个射灯的直观 图，在图2与图3中，点
O
、
A
、
B
在抛物线上，
是抛物线的对称轴，
OCAB
于
C
，
AB3
米，
OC4.5
米．


（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知
OC
平行于圆锥的母线
SD
，
AB
、
DE
是圆锥底面的直径，求
圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．





图1 图2 图3
3 8

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）




设
a0
，函数
f(x)
1
．
x
1 a2
1
（1）若
a1
，求
f(x)
的反函数
f(x)
；
（2）求函数
yf(x)f(x)
的最大值（用
a
表示）；
1)
（3）设
g(x)f(x)f(x
．若对任意
x( ,0]
，
g(x)g(0)
恒成立，求
a
的
取值范围．






21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
若
{c
n
}
是递增数列，数列
{a
n
}
满足 ：对任意
nN
，存在
mN
，使得
**
a
mc
n
0
，
a
m
c
n1
则称< br>{a
n
}
是
{c
n
}
的“分隔数列”．


（1）设
c
n
2n
，
a
n
n1
，证明：数列
{a
n
}
是
{c
n
}
的“分隔数列”；
（2）设
c
n
n4
，< br>S
n
是
{c
n
}
的前
n
项和，d
n
c
3n1
，判断数列
{S
n
}
是否是数列
{d
n
}
的分隔数列，并说明理由；
（3）设c
n
aq
n1
，
T
n
{c
n}
的前
n
项和，若数列
{T
n
}
是
{ c
n
}
的分隔数列，求实数
a
、
q
的取值范围．

4 8

参考答案
一、填空题
1．
(,1)(1,)
2．3 3．
(0,1)
4．2 5．15
x
2
y
2
1
6．
43
11．
(



7．5 8．180 9．4 10．
(
3
,)

3
11

19

,]

66
12．
4.4

二、选择题
13．A

14．C 15．D 16．B
三、解答题
17．（1）
122
3
；（2）


2
6
18．（1）
(3,0).
19．（1）

3,0
；（ 2）

51
．
2
1
；（2）
9.59
．
4
1x1
1
(0x1)
；20．（1）
f(x)log
2
（2）y
max

（
x0
时取最值）；
x12aa
2
（3）
(0,2]

21．（1）证明略 ；（2）不是．反例：
n4
时，
m
无解；（3）












5 8

a0
．
q2


参考答案
一、填空题
1．
(,1)(1,)
2．3 3．
(0,1)
4．2 5．15
x
2
y
2
6．
1

43
11．
(


7．5

8．180 9．4 10．
(
3
,)

3
11

19

,]

66
提 示：
2x1x2(1x)sin(ax)x12(1x)sin(ax)sin(a x)
1

2
ax
7

11
7

11

7

11

,,2
,2

,4

,4

,

666666
0axa


11

7

a2


66
40

3
12．
4.4

提示：以< br>A
为原点建立坐标系，设时刻为
t
，则
P(0,1.5t),Q(20 ,20t),0t
则
l
PQ
:
x0y1.5t

，化简得
(8t)x8y12t0

20020t1.5t< br>点
O(10,10)
到直线PQ的距离
|(8t)108012t|< br>(8t)
2
8
3
1
，化简得
3t
2< br>16t1280

即
87887887887
，则
0ttt4.4

3333
二、选择题
13．A
16．B
提示：建系
A(0,0),B(2,0)
，则
P(x,y)
的轨迹为线段
x3,4y4
，
AP
扫 过的三角
形面积为12，则利用相似三角形可知
AQ
扫过的面积为48，因此和为60
14．C 15．D
三、解答题
17．（1）
122
3
；（2）


2
6
6 8

18．（1）
(3,0)
；（2）
19．（1）
51
．
2
1
；（2）
9.59
．
4
1x1
1
(0x1)
；20．（1）
f(x)log
2
（2）y
max

（
x0
时取最值）；
2
x12aa
（3）
(0,2]

提示：
g( x)
1
1a2
x

1a
1a2
x1

a
2
2
x

2
x
3a
2
a
,(t2
x

a
2
t
2
(0,1])

t
3a
因为
-a<0，
所以当
x=0,t=1
时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，
2
此 时
at
2
t
t
2
a
2
10a 2

21．（1）证明：存在
m2n
,此时
nN
*
,c
n
2na
m
2n1c
n1
2n 2
（2）不是．反例：
n4
时，
m
无解；
（3）


a0

q2
．
提示：因 为
{aq
n1
}
为递增数列，因此


a0< br>
a0

q1
或者


0q1
①当


a0
q1
时，

0
nN
*
,c
n
0
，因此
T
3T
2
T
1
c
1
c
2
c3


因此不存在
c
2
T
m
c
3
，不合题意。
②当


a0
时，

q1
c
n1
q
m
1
n
T
m
c
n1
q
q1
q
n

< br>q
n1
(q1)1q
m
q
n
(q1) 1q
n1
[(q1)
1
q
n1
]q
m
q
n
[(q1)
1
q
n
]
两边同时 取对数得：
n1log
q
[(q1)
1
q
n1< br>]mnlog
q
[(q1)
1
q
n
]
7 8

证毕

1
],x0

x
q
记
f(x)log
q
[(q1)
则
n1f(n1)mnf(n)

下面分析函数
f(n1),f(n)
的取值范围：
显然
q1< br>时，
f(x)log
q
[(q1)
1
],x0
为减函数，
x
q
因此
f()f(x)f(0)
，即log
q
(q1)f(x)1

(Ⅰ)当
q2
时，
log
q
(q1)0
，因此总有
0f(n)f(n1 )1

此时


n1f(n1)n11
< br>
nf(n)n+0
因此总存在
mn
符合条件，使得
n 1f(n1)nmnf(n)
成立
(Ⅱ)当
1q2
时，
log
q
(q1)0
， 根据零点存在定理，并结合
f(x)
的单减性可知：
存在唯一正整数
k
使得
f(k)0f(k1)

此时


k1f(k1)k1


k f(k)k
即
k1k1f(k1)mkf(k)k

显然不存在满足条件的正整数
m

综上：
a0,q2


8 8