关于母亲的诗歌现代诗-生物技术就业

绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（江苏卷）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1
、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第
1 6题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120
分钟。考试结 束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹 的0.5毫米签字笔填写在
试卷及答题卡上。
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4、作答非 选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其
它位置作答一律无效。作 答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其 它答案。
5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式
：
kk
n
次独立重复试验恰有
k
次发生 的概率为：
P
n
(k)C
n
p(1p)
nk


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有 一项是符
．．．．
合题目要求的。
1．下列函数中，周期为
A．
ysin

的是（D）
2
xx
B．
ysin2x
C．
ycos
D．
ycos4x

24
2
2．已知全集
UZ
，
A{1,0,1,2},B{x|xx}
， 则
AC
U
B
为（A）
A．
{1,2}
B．
{1,0}
C．
{0,1}
D．
{1,2}


3．在平面直角坐标系
xOy
中，双曲 线中心在原点，焦点在
y
轴上，一条渐近线方程为
x2y0
，
则 它的离心率为（A）
5
C．
3
D．
2

2
4．已知两条直线
m,n
，两个平面

,
，给出下面四个命题：（C）
①
mn,m

n

②



,m

,n

mn

③
mn,m

n

④



,mn,m

n


A．
5
B．
其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

5．函数
f(x)sinx 3cosx(x[

,0])
的单调递增区间是（B）
A．
[

,
5

5


]
B．
[,]
C．
[,0]
D．
[,0]

66636

x
6．设函数
f( x)
定义在实数集上，它的图像关于直线
x1
对称，且当
x1
时 ，
f(x)31
，则有

（B）
132231
3 23323
213321
C．
f()f()f()
D．
f()f()f()

332233
A．
f()f()f()
B．
f()f()f()


323
7．若对于任意实数
x
，有
xa
0
a
1
(x2)a
2
(x2)a
3
(x2)
，则
a
2
的值为（B）
A．
3
B．
6
C．
9
D．
12


8．设
f(x)lg(
2
a)< br>是奇函数，则使
f(x)0
的
x
的取值范围是（A）
1x
A．
(1,0)
B．
(0,1)
C．
(,0)
D．
(,0)(1,)

2
9．已知二次函数
f(x)axbxc
的导数为
f'(x)，
f'(0)0
，对于任意实数
x
都有
f(x)0
，
则
f(1)
的最小值为（C）
f'(0)
53
A．
3
B． C．
2
D．
22

10．在平面直角坐标系
xO y
，已知平面区域
A{(x,y)|xy1,
且
x0,y0}，则平面区域
B{(xy,xy)|(x,y)A}
的面积为（A）
11
A．
2
B．
1
C． D． 24
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填 空在
答题卡相应位置上。
．．．．．．．．
11．若
cos(
< br>

)
13
,cos(



) 
，.则
tan

tan


12 .
55

12．某校开设9门课程供学生选修，其中
A,B,C
三门由 于上课时间相同，至多选一门，学校规定每
位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）

3
13．已知函数
f(x)x12 x8
在区间
[3,3]
上的最大值与最小值分别为
M,m
，则< br>Mm

32 .

14．正三棱锥
PABC高为2，侧棱与底面所成角为
45
，则点
A
到侧面
PBC
的距离是

6
5
.
5
x
2
y
2
1
上，15．在平面直角坐标系
xOy
中，已知
A BC
顶点
A(4,0)
和
C(4,0)
，顶点
B
在椭圆
259
sinAsinC

54 . 则
sinB

16．某时钟的秒针端点
A
到中心点
O
的距离为
5cm
，秒针均匀地绕点
O
旋转，当时间
t0
时，点
A
与钟面上标
12
的点
B
重合，将
A,B< br>两点的距离
d(cm)
表示成
t(s)
的函数，则
d

10
sin3t
，其中
t[0,60]
。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明 、证
．．．．．．．
明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）某气象站天气 预报的准确率为
80%
，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第
3
次预报准确的概率；（4分）
2

4

解：（1）
pC
5

5

2
161

4

1100.0 5


525125

4
3
4
4

1
（2）
P1C
5


1

10.00640.99

5

5
4

4

4
1
（3）
PC
4


1

0.02

5

5
5
18．（本小题满分12分）如图，已知
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3
的正方体，点
E< br>在
AA
1
上，点
F
在
CC
1
上，且
AEFC
1
1
，
（1）求证：
E,B,F,D
1
四点共面；（4分）
2
（ 2）若点
G
在
BC
上，
BG
，点
M
在< br>BB
1
上，
3
（4分）
GMBF
，垂足为H
，求证：
EM
面
BCC
1
B
1
；
（3）用

表示截面
EBFD
1
和面
BCC
1
B
1
所成锐二面角大小，求
（4分）
tan

。
解：（1）证明：在DD
1
上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显
3
D
1
A
1
B
1

C
1

F


D

M

E
A


H

G


C

B

然四边形CFD
1
N是平行四边形，所以 D
1
FCN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，
且EN=AD，又
BCAD，且AD=BC，所以ENBC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CNBE，所以D
1
FBE，所以
E,B,F,D
1
四点共面。
2
MBBG
MB
3
（2）因为
GMBF
所以BCF
∽

MBG，所以，即


，所以MB=1， 因为
BCCF
32
AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB
1
又平面ABB
1
A
1
⊥平面BCC
1
B
1

，且EM在平面ABB
1
A
1
内，所以
EM< br>面
BCC
1
B
1

（3）
EM
面
BCC
1
B
1
，所以
EM
BF，
EM
MH，
GMBF
，所以∠MHE就是截面
EBFD
1
和面
BCC
1
B
1
所成锐二面角的平面角，∠EMH=
90< br>，所以
tan


ME
，ME=AB=3，
BCF
∽
MH
3
ME
，所以
tan


=
13


MHB，所以3：MH=BF：1，BF=
2
2
3
2
13
，所以MH=
MH
13

1 9、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，过
y
轴正方向上一点
C(0,c)
任作一直线，与抛物线
yx
相交于
A B
两点，一
条垂直于
x
轴的直线，分别与线段
AB
和直线< br>l:yc
交于
P,Q
，
（1）若
OAOB2
，求
c
的值；（5分）
（2）若
P
为线段
AB
的中点，求证：
QA
为此抛物线的切线；（5 分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
2
y
C< br>P
B
A
O
Q
x
l

解：（1） 设过C点的直线为
ykxc
，所以
x
2
kxc
< br>c0

，即
xkxc0
，设
2
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，
OA
=

x
1
,y
1

，
OB

x
2
,y
2
，因为
OAOB2
，所以
x
1
x
2< br>y
1
y
2
2
，即
x
1
x
2


kx
1
c

kx
2
c

2
，
x
1
x
2
k
2< br>x
1
x
2
kc

x
1
x
2

c
2
2

22
所以
ckc kckc2
，即
cc20,
所以
c2舍去c1

2

（2）设过Q的切线为
yy
1
k
1
xx
1

，
y2x
，所以
k
1
2x
1
，即


x

c
y2x
1
x2x
1
2
y
1
2x
1
xx
1
2
，它与
yc
的交点为M

1
,c

，又

22x
1


c
x
1
x
2
y
1
y
2


kk
2

k

xxc
x
2
，所以
,c
，所以Q，因为,所以
P

,,c< br>12



x
1
2


22

2


2


x
1x
2


k

,c



,c

,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

22


2

k

k

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q

,c

，因为P Q

x
轴，所以
P

,y
P



2

2

xx
2
k
，所以P为AB的中点。 因为
1
22
M



20．（本小题满分16分）已知
{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是公比为
q
的等比数列，
a
1
 b
1
,a
2
b
2
a
1
，
记< br>S
n
为数列
{b
n
}
的前
n
项和，
（1）若
b
k
a
m
(m,k
是大于
2< br>的正整数
)
，求证：
S
k1
(m1)a
1；（4分）
（2）若
b
3
a
i
(i
是某一 正整数
)
，求证：
q
是整数，且数列
{b
n
}中每一项都是数列
{a
n
}
中的项；（8
分）
（3） 是否存在这样的正数
q
，使等比数列
{b
n
}
中有三项成等 差数列？若存在，写出一个
q
的值，并
加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设
{a
n
}
的公差为
d
，由
a
1
b
1
,a
2
b
2
a
1
，知
d0,q1
，
da
1

q1

（
a
1
0
）
k1
（1）因为
b
k
a
m
，所以
a
1
qa
1


m1

a
1

q1

，
q
k1
1

m1

q1

2 m

m1

q
，


m1

a
1

1qq
2
（2）
b
3
a
1
q,a
i
a
1


i1

a
1

q1

，由
b
3
a
i
，
所以
S
k 1

所以
q1

i1

q1

,q

i1

q

i2
0,
解得，
q1
或
qi2
，但
q1
，所以
22
a
1

1q
k1

a1

m1

m1

q

qi 2
，因为
i
是正整数，所以
i2
是整数，即
q
是整数，设数列
{b
n
}
中任意一项为
b
n
a
1
q
n1

nN


，设数列
{a
n
}
中的某一项
a
m

mN
< br>
=
a
1


m1

a
1

q1


n1
现在只要证明存在正整数
m
，使得
b
n
a
m
，即在方程
a
1
qa
1


m1

a
1

q1

中
m
有正整数
q
n1
1
1 qq
2
q
n2
，所以 解即可，
q1

m1

q1

,m1
q1
m2qq< br>2
q
n2
，若
i1
，则
q1
，那 么
b
2n1
b
1
a
1,
b
2nb
2
a
2
，当
i3
时，因为
n1a
1
b
1
,a
2
b
2
，只要考虑
n3
的情况，因为
b
3
a
i
，所以
i 3
，因此
q
是正整数，所以
m
是正

整数， 因此数列
{b
n
}
中任意一项为
b
n
a
1
q
n1

nN


与数列
{a< br>n
}
的第
2qq
2
q
n2
项相等， 从而结论成立。
（3）设数列
{b
n
}
中有三项
b
m
,b
n
,b
p
mnp,m,n,pN

成等差数列，则有
2
a
1
q
3
n1

a
1
q
m1
a
1
q
p1
,
设
nmx,pny,x,yN




，所以 2

q
1
2
x
q
y
，令
x1 ,y2
，
则
q2q10,

q1

q< br>2
q10
，因为
q1
，所以
qq10
，所以

q
51

舍去负值

，即存在q
2
51
使得
{b
n
}
中有三项
b
m
,b
m1
,b
m3
mN

成等 差数列。
2



2
21．（本小题满分16分）已知
a,b,c,d
是不全为
0
的实数，函数
f(x)bxcxd
，
g(x)ax
3
bx
2
cxd
，方程
f(x)0
有实根，且
f(x)0
的实数根都是
g(f(x)) 0
的根，
反之，
g(f(x))0
的实数根都是
f(x)0< br>的根，
（1）求
d
的值；（3分）
（2）若
a0
，求
c
的取值范围；（6分）
（3）若
a1,f(1)0
，求
c
的取值范围。（7分） 解（1）设
x
0
是
f

x

0的根，那么
f

x
0

0
，则
x< br>0
是
g(f(x))0
的根，则
g


f

x
0



0,
即
g

0

0
，所以
d0
。
（2）因为
a0
，所以
f

x

bx
2
cx ,g

x

bx
2
cx
，则
g(f( x))f

x



bf

x

c



=
bx
2
cxb
2
x
2
bcxc
=0的根也是
f

x

x

bxc

0
的根。
（a）若
b0
，则
c0
，此时
f

x

0
的根为0，而
g(f(x))0
的根也是0，所以
c0
， （b）若
b0
，当
c0
时，
f

x

0
的根为0，而
g(f(x))0
的根也是0，当
c0< br>时，

cc
f

x

0
的根为0和

，而
bf

x

c0
的 根不可能为0和

，所以
bf

x

c0必无实数
bb
2
2
2
根，所以


bc

4bc0,
所以
c4c0,0c4
，从而
0c4

所以当
b0
时，
c0
；当
b 0
时，
0c4
。
（3）
a1,f(1)0
，所以
bc0
，即
f

x

0
的根为0和 1，
所以
cxcx

2

2
c

cx
2
cx

c
=0必无实数根，
2c
1

cc

2
2
（a）当
c0< br>时，
t
=
cxcx
=
c

x


，即函数
h

t

tctc
在
t
，
h

t

0
4
2< br>
44

c
2
c
2
c
2

c


c

c0,
所恒成立，又
h

t

tctc

t

c
，所以
h

t

min
h

0
，即
164
4

4


2

16
以
0c
；
3
2
c
1
 
cc
2
2
（b）当
c0
时，
t
=cxcx
=
c

x


，即函数< br>h

t

tctc
在
t
，
h

t

0
4
2

44
2
2
c
2

c


c
2
恒成立，又
h

t

tctc
< br>t

c
，所以
h

t

mi n
h

0
，
4

2


2

2

c
2
c
2
c0
，而
c0
，所以
c
0
，所以
c不可能小于0，
44
（c）
c0,
则
b0,
这时
f

x

0
的根为一切实数，而
g
< br>
f

x



0
，所以
c0,
符合要求。
所以
0c



16

3