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2006年数学四试题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）
lim


（2）设函数< br>f(x)
在
x2
的某邻域内可导,且
f


x

e
f

x


n1


n

n


1

n_________

，
f

2

1，则
f


2

_________


（3）设函数
f(u)
可微,且
f

< br>0


1
,则
zf

4x
2y
2

在点(1,2)处的全微分
2
dz

1,2

_________


（4） 已知

1
,

2
为2维列向量，矩阵
A(2

1


2
,

1


2
)
，
B(

1
,

2
)
.若行 列式
|A|6
，则| B | = ____________.
（5）设矩阵< br>A


21


，
E
为2阶单位 矩阵，矩阵
B
满足
BAB2E
，则

12

B
____________.
（6）设随 机变量
X与Y
相互独立，且均服从区间

0,3

上的均匀 分布，则
P

max

X,Y

1


____________.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（ 7）设函数
yf(x)
具有二阶导数，且
f

(x)0,f
(x)0
，
x
为自变量
x
在点
x0
处的
增量，
y与dy
分别为
f(x)
在点
x
0
处对应的增量与微分，若
x0
，则
(A)
0dyy
. (B)
0ydy
.
(C)
ydy0
. (D)
dyy0
. [ ]
（8）设函 数
f

x

在
x0
处连续，且
lim< br>h0
f

h
2

h
2
1
，则

(A)
f

0

0且f


0

存在 (B)
f

0

1且f



0

存在
(C)
f

0

0且f



0

存在 (D)
f

0

 1且f



0

存在 [ ]
（9）设函数
f(x)
与
g(x)
在
[0,1]
上连续，且
f(x)g(x)
，且对任何
c(0,1)
，
（A）
（C）

c
1
2
f(t)dt
1
g(t)dt

2
c








（B）
（D）

c< br>1
2
f(t)dt

1
g(t)dt

2
c

1
c
f(t)dt

g(t)dt

c
1

1
c
f(t)dt

g(t)d t
[ ]
c
1
（10）设非齐次线性微分方程
y

P(x)yQ(x)
有两个不同的解
y
1
(x),y
2
(x),C
为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）
C< br>
y
1
(x)y
2
(x)

. （ Ｂ）
y
1
(x)C

y
1
(x)y
2
(x)

.
（Ｃ）
C

y
1
(x)y
2
(x)

. （Ｄ）
y
1
(x) C

y
1
(x)y
2
(x)

[ ]
（11）设
f(x,y)与

(x,y)
均为可微 函数，且

y

(x,y)0
，已知
(x
0,y
0
)
是
f(x,y)
在约
束条件

(x,y)0
下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若
f
x< br>
(x
0
,y
0
)0
，则
f
y< br>
(x
0
,y
0
)0
.
(B) 若
f
x

(x
0
,y
0
)0
，则
f
y

(x
0
,y
0
)0
.
(C) 若
f
x

(x
0,y
0
)0
，则
f
y

(x
0,y
0
)0
.
(D) 若
f
x

(x
0
,y
0
)0
，则
f
y

(x
0
,y
0
)0
. [ ]
（12）设

1
,

2
,L,
s
均为
n
维列向量，
A
为
mn
矩 阵，下列选项正确的是
(A) 若

1
,

2
, L,

s
线性相关，则
A

1
,A
2
,L,A

s
线性相关.
(B) 若

1
,

2
,L,

s
线性相关，则
A

1
,A

2
,L,A

s
线性无关.
(C) 若

1
,

2
,L,< br>
s
线性无关，则
A

1
,A

2
,L,A

s
线性相关.
(D) 若

1
,

2
,L,

s
线性无关，则
A

1
,A

2
,L,A

s
线性无关.
[ ]
（13）设
A
为3阶矩阵，将
A
的第2行加到第 1行得
B
，再将
B
的第1列的
1
倍加到第2


110


列得
C
，记
P010
，则


001


（Ａ）
CPAP
. （Ｂ）
CPAP
.
（Ｃ）
CPAP
. （Ｄ）
CPAP
. ［ ］
（14）设随机变量
X
服从 正态分布
N(

1
,

1
)
，
Y
服从正态分布
N(

2
,

2
)
，且

PX

1
1PY

2
1

则必有
(A)

1


2
(B)

1


2

(C)

1


2
(D)

1


2
[ ]
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分7分）
22
11
TT

设
f

x,y


y
y
,x0,y0
,求
1xyarctanx
y
1ysin

x
(Ⅰ)
g

x

limf

x,y

；
g

x

. (Ⅱ)
lim

x0

（16）（本题满分7分）
计 算二重积分

D
y
2
xydxdy
，其中
D< br>是由直线
yx,y1,x0
所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）
证明：当
0ab

时，
bsinb2cosb

basina2cosa

a
.
（18）（本题满分8分） < br>在
xOy
坐标平面上，连续曲线
L
过点
M

1,0

，其上任意点
P

x,y

x0
处的切线
斜率与直线
OP
的斜率之差等于
ax
（常数
a>0
）.
(Ⅰ) 求
L
的方程；
(Ⅱ) 当
L
与直线
yax
所围成平面图形的面积为

（19）（本题满分10分）
8
时,确定
a
的值.
3

试确定
A,B,C
的值，使得
e
x(1BxCx
2
)1Axo(x
3
)
，
3
其中
o(x)
是当
x0
时比
x
高阶的无穷小.
3
（20）（本题满分13分）
设4维向量组
T

1

1a,1,1,1

,

2


2,2a,2,2

,

3


3, 3,3a,3

,

TTT

4


4,4,4,4a

，问
a
为何值时

1
,

2
,

3
,

4
线性相关 ?当

1
,

2
,

3
,

4
线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性 表出.

（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵
A
的各行元素之和均为3,向量

1


1,2,1

,

2


0,1,1

是
线 性方程组
Ax0
的两个解.
(Ⅰ) 求
A
的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵
Q
和对角矩阵

,使得
QAQ
；
T
TT
3

（Ⅲ）求
A
及

AE
，其中
E
为3阶单位矩阵.
2

（22）（本题满分13分）
设二维随机变量（
X,Y
）的概率分布为

6
X

Y

－1

a

－1
0
1

0.1
0
0
0

b

0.1
1
0.2
0.2

c

其中
a,b,c
为常数，且
X
的数学期望
EX0.2
，
P{Y0|X0}0.5，记
ZXY
，
求
(Ⅰ)
a,b,c
的值；
(Ⅱ)
Z
的概率分布；
(Ⅲ)
P{XZ}
.
（23）（本题满分13分）
设随机变量
X
的概率密度为


1

2
,1x0


1
f
X

x



,0x2
，

4

0,　其他


令
YX
2,F

x,y

为二维随机变量
(X,Y)
的分布函数 .
(Ⅰ) 求
Y
的概率密度
f
Y

y

；
(Ⅱ)
Cov(X,Y)
；
(Ⅲ)
F



1

,4

.

2
