乐山卫生人才网-情人节祝福语

2013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版

一、选择题
1、在复平面内，复数
z
2i
（
i
为虚数单位）的共轭复 数对应的点位于（ ）
1i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析与答案】
z

故选D

【相关知识点】复数的运算
x



1


2、已知全集为
R
，集合
A

x

1

，
B

x|x
2
6x80

，则
AC
R
B
（ ）
2




2i
1i
，
z1i
。
1i
A.

x|x0

B.
C.

x|0x2或x4

D.

x|0x2或x4


【解析与答案】
A< br>
0,

，
B

2,4

，
AC
R
B

0,2



4,

。
故选C
【相关知识点】不等式的求解，集合的运算
3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题
p
是“甲降落在指定范围”，q
是
“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A.

p



q

B.
p

q

C.

p



q

D.
pq

【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”
即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。
故选A。
【相关知识点】命题及逻辑连接词
4、将函数
y3cosxsinx

xR

的图像向左平移
m

m0

个 长度单位后，所得到的
图像关于
y
轴对称，则
m
的最小值是（ ）
A.

12
B.

6
C.

3


D.
5


6
【解析与答案】
y2cos

x



的图像向左平移
m

m0

个长度单位后变成
6




y2cos

xm

，所以
m
的最小值是。故选B。
6
6

【相关知识点】三角函数图象及其变换

1 < /p>

x
2
y
2
y
2
x
2
5、已知
0


，则双曲线
C
1
:1
与
C
2
:
2

2
1
的
4cos
2

sin
2

sin

si n

tan
2


（ ）
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等
【解析与答案】双曲线
C
1
的离心率是
e
1

1
，双曲线
C2
的离心率是
cos

e
2

sin
2


1tan
2


sin


1
，故选D
cos

【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形


6、已知点
A

1,1

、
B

1,2

、
C

2,1

、
D

3,4

，则向量
AB
在
CD
方向 上的投影为
（ ）
3231532315
B. C.

D.


2222

 
AB

CD1532
【解析与答案】
AB

2,1

，
CD

5,5

，


，故选A。



2
52
CD
A.
【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影
25
（
t
1t的单位：
s
，
v
的单位：
ms
）行驶至停止。在此期间 汽车继续行驶的距离（单位;
m
）是
7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情 况而刹车，以速度
v

t

73t
（ ）
11
C.
425ln5
D.
450ln2

3
25
【解析与答案】令
v

t

73t0
，则
t4
。汽车刹车的距离是1t
A.
125ln5
B.
825ln
25

73t

dt425ln5
，故选C。
< br>0

1t

4
【相关知识点】定积分在实际问题中的应用
8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别
记为
V
1
，
V
2
，
V
3
，
V
4
，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，
则有（ ）
A.
V
1
V
2
V
4
V
3
B.
V
1
V
3
V
2
V
4

C.
V
2
V
1
V
3
V
4
D.
V
2
V
3
V
1
V
4


2

【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C
【相关知识点】三视图，简单几何体体积

9、 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌
后，从中随机取 出一个小正方体，记它的涂油漆面数为
X
，则
X
的均值为
E

X



A.
12661687
B. C. D.
12551255








第9题图

【解 析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54
块，没有涂有油漆 的有27块，所以
E

X

3
【相关知识点】古典概型 ，数学期望
10
、已知
a
为常数，函数
f(x)x
< br>lnxax

有两个极值点
x
1
,x
2
( x
1
x
2
)
，则（

）

836546
21
。故选B。
1251251255
A.
f(x
1
)0,f(x
2
)
f(x
1
)0,f(x
2
)
1
1
f(x)0,f(x)
B.
12
2
2
11
f(x
1
)0,f(x
2
)
2
D.
2

3
C.

【解析与答案】令
f

(x)12axlnx0
得
02a1
，< br>lnx
i
2ax
i
1(i1,2)
。
又f


1

1

，
0x1 x
2
。
0
1

2a

2a
< br>f(x
1
)x
1
lnx
1
ax
12
x
1

2ax
1
1

ax< br>1
2
ax
1
2
x
1
0
，2
f(x
2
)ax
2
x
2
x
2

ax
2
1

ax
2
1a11
1

2a2
故选D。
【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质
二、填空题
（一）必考题
11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频
率分布 直方图所示。
（I）直方图中
x
的值为 ；
（II ）在这些用户中，用电量落在区间

100,250

内的户数为
。



第11题图


【解析与 答案】

0.0060.00360.002420.0012x

501
，
x0.0044


0.00360.006 0.0044

5010070

【相关知识点】频率分布直方图






4

12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果
i
。

开始















a10, i1

a
4
?

否
是
是
a
是奇数
?

否
a3a1

a
a

2

输出
i

ii1

结束

【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示：
i
a
1
10
2
5
3
16
4
8
5
4

【相关知识点】程序框图
13、设
x,y,zR
，且满足：
xyz1
，
x2y3z14
，则
xyz 
。
【解析与答案】由柯西不等式知
123
222
222

x
2
y
2
z
2


x2y3z

，结合已知
2
条件得
xyz
xyz14314
，
xyz
。

，从而解得

123
123147
【相关知识点】柯西不等式及其等号 成立的条件）
14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,1 0，„，第
n
个
n

n1

1
2
1
nn
。记第
n
个
k
边形数为
N

n,k

k3

，以下列出了部三角形数为
222分
k
边形数中第
n
个数的表达式：
三角形数
N

n,3


1
2
1
nn

22
2
正方形数
N

n,4

n

五边形数
N

n,5


3
2
1
nn

22
2
六边形数
N

n,6

2nn

„„

5

可以推测
N

n,k

的表达 式，由此计算
N

10,24


。
【解析与答案】观察
n
和
n
前面的系数，可知一个成递增的等差 数列另一个成递减的等差
数列，故
N

n,24

11n 10n
，
N

10,24

1000

2
2
【相关知识点】归纳推理，等差数列
（二）选考题
15、如 图，圆
O
上一点
C
在直线
AB
上的射影为
D
，点
D
在半径
OC
上的射影为
E
。若
AB3A D
，则







CE
的值为 。
EO
C
A
E
D
O
B
第15题图
AD


ABAD

CECD
2
AD

BD
8
22
2
EOOD

OAAD

1
ABAD

【解析与答案】由射影定理知


2

【相关知识点】射影定理，圆幂定理
16、在 直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的参数方程为


x acos



为参数，ab0

。在
y bsin


极坐标系（与直角坐标系
xOy
取相同的长度单位，且 以原点
O
为极点，以
x
轴正半轴为极
轴）中，直线
l
与圆
O
的极坐标方程分别为

sin






2
m

m为非零常数
< br>与

4

2

b
。若直线
l经过椭圆
C
的焦点，且与圆
O
相切，则椭圆
C
的离心率 为 。
【解析与答案】直线
l
的方程是
xym< br>，作出图形借助直线的斜率可得
c2b
，所以
c
2
2
a
2
c
2

，
e
6

3
【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆
三、解答题
17、在
ABC
中，角
A
，
B
，
C对应的边分别是
a
，
b
，
c
。已知
cos2A 3cos

BC

1
。
（I）求角
A
的大小；
（II）若
ABC
的面积
S53
，
b5
，求
sinBsinC
的值。

6

【解析与答案】（I）由已知条件得：
cos2A3cosA1

2cos
2
A3cosA20
，解得
cosA
1
，角
A60

2
a
2
1
2
2
（II）
SbcsinA53
c4
，由余弦定理得：
a2 1
，

2R

28

2
2
sinA
sinBsinC
bc5

< br>4R
2
7
【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定 理
18、已知等比数列

a
n

满足：
a
2
a
3
10
，
a
1
a
2
a
3
125
。
（I）求数列

a
n

的通项公式；
（II）是否存在正整数
m
，使得
说明理由。
【解析与答案】（I ）由已知条件得：
a
2
5
，又
a
2
q110
，
q1或3
，
所以数列

a
n

的通项或
a
n
53
（II）若
q1
，n2
111
1
？若存在，求
m
的最小值；若不存在 ，
a
1
a
2
a
m

1111
或0
，不存在这样的正整数
m
；
a
1
a
2
a
m
5
m
1119

1


9
若
q3
，




1



，不存在这样的正整数m
。
a
1
a
2
a
m
10



3



10
【相关知识点】等比数 列性质及其求和

19、如图，
AB
是圆
O
的直径，点< br>C
是圆
O
上异于
A,B
的点，直线
PC
平 面
ABC
，
E
，
F
分别是
PA
，
PC
的中点。
（I）记平面
BEF
与平面
ABC
的交线为
l
，试判断直线
l
与平面
PAC
的位置关系，并加以
证明；

1

（II）设（I）中的直线
l
与圆
O
的另一个交点为
D
，且点
Q
满足
DQC P
。记直线
PQ
2
与平面
ABC
所成的角为
，异面直线
PQ
与
EF
所成的角为

，二面角
ElC
的大小
为

，求证：
sin

sin

sin

。






7
第19题图

【解析与答案】（I）
EFAC
，
AC平面AB C
，
EF平面ABC

EF平面ABC

又
EF平面BEF

EFl

l平面PAC

（II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用 几何方法较快，向量的方法很
麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对 立体几何的处理
方向有很大的偏差。）


8

【相关知识点】





9

20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数
X
是服 从正态分布
N800,50
2
的随机变量。记一
天中从甲地去乙地的旅客人数 不超过900的概率为
p
0
。
（I）求
p
0
的值 ；（参考数据：若
XN

,

2
，有
P




X




0. 6826
，
）
P


2

X
2


0.9544
，
P


3

X

3


0.9974
。
（II）某客运公司用
A
、
B
两种型号的车辆承担甲、乙 两地间的长途客运业务，每车每天往
返一次，
A
、
B
两种车辆的载客 量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为
1600元辆和2400元辆。公司拟组建一 个不超过21辆车的客运车队，并要求
B
型车不多
于
A
型车7辆。若 每天要以不小于
p
0
的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去
乙地 的运营成本最小，那么应配备
A
型车、
B
型车各多少辆？
【解析与 答案】（I）
p
0
0.5


1
0.9 5440.9772

2
（II）设配备
A
型车
x
辆，
B
型车
y
辆，运营成本为
z
元，由已知条件得 
xy21

36x60y900

，而
z 1600x2400y


yx7


x,yN


作出可行域，得到最优解
x5,y12
。
所以配备
A
型车5辆，
B
型车12辆可使运营成本最小。

10

【相关知识点】正态分布，线性规划

21、如图， 已知椭圆
C
1
与
C
2
的中心在坐标原点
O
，长轴均为
MN
且在
x
轴上，短轴长分
别为
2m
，
2n

mn

，过原点且不与
x
轴重合的直线< br>l
与
C
1
，
C
2
的四个交点按纵坐标从大到小依次为
A
，
B
，
C
，
D
。记< br>

m
，
BDM
和
ABN
的面积分别为
S
1
和
S
2
。
n
（I）当直线
l
与
y
轴重合时，若
S
1


S
2
，求

的值；
（II）当

变化时，是否存在与坐标轴 不重合的直线
l
，使得
S
1


S
2？并说明理由。








y

A

B

M

C

O

N

x

D

第21题图
m
1

1


【解析与答案】（
I< br>）
S
1


S
2
mn

mn

，



n
m

1
1
n
解得：

21
（舍去小于1的根）
x
2
y
2
x
2
y
2
（II）设椭 圆
C
1
:
2

2
1

am< br>
，
C
2
:
2

2
1
， 直线
l
：
kyx

aman

kyx
222
amk
2
am

22

y1y< br>
xy
A
22
222
am
1
amk< br>

a
2
m
2
同理可得，
y
B
an
ank
222

又

BDM
和
ABN
的的高相等

S
1
BDy
B
y
D
y
B
y
A


S
2
ABy
A
y
B
y
A
y
B
如果存在非零实数
k
使得
S
1< br>

S
2
，则有


1

y
A



1

y
B
， < br>22
a
2


2
2

1


2
1


2


1


1

2
即：
2
，解得
k 


2
23
22222
4n

a
nkank

11


当

12
时，
k
2
0
，存在这样的直线
l
；当
1

12
时，
k
2
0
，不存在这
样的直线
l
。
【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）









22、设
n
是正整数，
r
为正有理数。
（I）求函数f(x)

1x

r1


r1
x1(x1)
的最小值；
n
r1

n1

（II）证明：
r1
r1

n1

n
r

n
r1
；
r1
r 1
（
III
）设
xR
，记


x


为不小于
x
的最小整数，例如


2


2
，





4< br>，



1
。
2
令
S
3
81
3
82
3
83
3
125
，求


S


的值。

（参考数据：< br>80344.7
，
81350.5
，
124618.3
，
126631.7
）
rr


f(x)r11 xr1r11x1



证明：（I）

3


4
3
4
3
4
3
4
3
f(x)
在

1,0

上单减，在

0,

上单增。
f(x)
min
f(0)0

（II）由（I）知：当
x1
时，

1x

r1


r 1

x1
（就是伯努利不等式了）
r1
r1r

nr1nn1


所证不等式即为：

< br>r1
r1r


n

r1

n

n1

若
n2
，则
n
r1


r1

n

n1

r
r1

1



nr1



1


n1



n

r
r
r

1


1



1

„„„„①
n1< br>
n


12

rr
r

1



1

1
，

nn1
nn
< br>r
rr

1

，故①式成立。


1

11
nn1

n

若
n1
，
n
r1
r


r1

n
r


n1

r1
r1
显然成 立。
r
n
r1


r1

n
r


n1


1

nr1

1


n1



n

r
r

1


1



1

„„„„②
n1< br>
n

rr
r

1




1

1
，

nn1
nn

r
rr

1

，故②式成立。


1

11
nn1

n

综 上可得原不等式成立。
14
4

4

3
4
3
（III）由（II）可知：当
kN
时，

k< br>3


k1

3

k
3



k1

3
k
3


4

4

r
*
44
4

3
125

4
3
33
S


k

k1

3



125 80
3

210.225

4
k81
< br>4

444
4

3
125

3

S



k1

3
 k
3



126
3
81
3

210.9

4
k81

4




S


211





13