关于红军长征的故事-我的中国梦

2014年考研数学三真题
一、选择题（1 8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设



且 ≠0，则当 充分大时有
(A)









(B)














(C)


(D)



【答案】A。
【解析】
【方法1】直接法：
由



且 ≠0，则当 充分大时有










【方法2】排除法：
若取

显然 ,且(B)和(D)都不正确；


取

显然 ，且(C)不正确


综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A) (B)


(C) (D)





【答案】C。
【解析】
【方法1】

由于



























所以曲线 有斜渐近线 ，故应选(C)
解法2
考虑曲线 与直线 纵坐标之差在 时的极限









则直线 是曲线 的一条斜渐近线，故应选(C)


综上所述，本题正确答案是(C)
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近
线
(3)设







当 时，若



是比


高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
(A) (B)
(C) (D)


【答案】D。
【解析】
【方法1】
当 时，


知， 的泰勒公式为










又





























则

【方法2】
显然， ，




























由上式可知， ,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，
与题设矛盾。




























故
综上所述，本题正确答案是(D)。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较
(4)设函数 具有二阶导数，









,则在区间
[0,1]上
(A)当

时，
(B)当

时，
(C)当

时，
(D)当

时，
【答案】D。
【解析】
【方法1】
由于















则直线





过
点 和( ),当

时，曲线 在区间[0,1]
上是凹的，曲线 应位于过两个端点 和



的
弦





的下方，即

【方法2】
令





















,则












,






,
当

时，




。则曲线



在区间 上是凹的，
又







，
从而，当 时， ,即
【方法3】
令





















,
则

















,













































=











当

时,

单调增，






，从而，当 时，
,即
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明







(5)行列式






(A)

(B)


(C)







(D)








【答案】B。
【解析】灵活使用拉普拉斯公式

=
=























综上所述，本题正确答案是(B)
【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算
(6)设





均为三维向量，则对任意常数 ,向量组








线性无关是向量组





线性无关的
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
【答案】A。
【解析】
记











，则




，














故

，












若





线性无关，则





是3阶可逆矩阵，



,即







线性无关。

反之，设



线性无关，

，则对于则对任意常数 ,向量
组







线性无关，但





线性相关，
所以







线性无关是向量组





线性无关的
必要非充分条件。
综上所述，本题正确答案是(A)。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关

(7)设随机事件 与 相互独立，且







,则





(A)0.1 (B)0.2
(C)0.3 (D)0.4
【答案】B。

也独立,而

, 【解析】 ， 独立，则
独立，

可用独立性来计算。





























可得





















综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率
性质和五大公式
(8)设





为来自正态总体

的简单随机样本，则统计量











服从的分布为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】






，所以






















，

与

相互独立，故
所以



















与


也独立。














,而














综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
二、填空题（9 14小题，每小题4分，共24分。）
(9)设某商品的需求函数为 ( 为商品的价格)，则该商品
的边际收益为 。
【答案】
【解析】由题设知收益函数为




【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用
(10)设 是由曲线 与直线 及 围成的有界区
域，则 的面积为 。
【答案】





,则边际收益为
【解析】
【方法1】
曲线 与直线 及 围成的有界区域 如下图，
则 的面积为









【方法2】
用二重积分计算面积，即

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用


(11)设





,则 。


【答案】。


【解析】






























可知





，则


【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算



(12)二次积分












= 。

【答案】

。

【解析】
二次积分的积分区域为













交换积分次序得











































































【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系
(13)设二次型






















的负惯性指
数为1，则 的取值范围是 。
【答案】
【解析】
由配方法





























































负惯性指数为1，故

，解得
【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形

(14)设总体 的概率密度为











其他
其中 是未知参数，





为来自总体 的简单随机样本，若










,
则 。
【答案】


【解析】























,
解得



【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
三、解答题： 小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)求极限

















【解析】
【方法1】


































(等价无穷小代换)




(洛必达法则)

(变量代换
)








(洛必达法则)
【方法2】


















(等价无穷小代换)




(洛必达法则)































(泰勒公式)



【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限 ，常见等价
无穷小，常见函数泰勒公式展开
(16)设平面内区域



,计算









【解析】
【方法1】令 ,















































又
























令 )

所以












【方法2】
显然积分区域D关于 有轮换对称性，于是














































=




=



























=


【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶
性计算积分
(17)设函数 具有连续导数，且

满足







若



,求 的表达式。
【解析】 利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微
分方程，转化为可求解的常微分方程 。
因为












所以

因此








化为














从而函数 满足方程











一阶线性非齐次微分方程
可得方程通解为











由



,解得



故














【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线
性非齐次微分方程求解
求幂级数








的收敛域及和函数
【解析】
【方法1】
因为几何级数








,且收敛域为
又








































(18)

，






由幂级数的逐项求导性质知


的收敛域为

，和函数





【方法2】






幂级数






的系数





, 又














所以收敛半径





当 时，








发散；


当 时，














发散；
故收敛域为

设











，
则


































































故和函数

















【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的
和

(19)设函数



在区间 上连续，且



单调增加，
。证明：
(I)

















.





(II)







【解析】
(Ⅰ)由 得
得








；

(Ⅱ)令


























显然



,只要证明



单调增且



,










































由(Ⅰ)的结论


知，

即








又 单调增加，则


,因此，



.
故



















.


【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题

(20)设








， 为三阶单位矩阵


(I)求方程组 的一个基础解系；
(II)求满足 的所有矩阵 。
【解析】

(Ⅰ)对矩阵 做初等行变换，得




























因



,令

求出

，

，


故基础解系为


（Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组
















由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令 做初
等行变换

















































































由此得三个方程组的通解：

故所求矩阵为
,
为













任意常数。
【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解


(21)证明 阶矩阵


【解析】
证明：记




，


因为 是实对称矩阵必与对角矩阵相似
由







,知 的特征值为 个 。


故




















与 相似


又由





, 知 的特征值为
个 。
当 时，







那么



,
即齐次方程组



有 个线性无关的解，亦即
时，矩阵 有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 必有对角
矩阵相似，即

从而 和 相似。






【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化
(22)设随机变量 的概率密度为











对 进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停
止，记 为观测次数
(I)求 的概率分布
(II)求
【解析】
(Ⅰ)令 {对 进行一个观测得到的值大于3}。
显然




















,


记事件 发生的概率





的可能取值应为 ,














所以 的分布为














，

，




（Ⅱ）




记

【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望
(23)设随机变量 的概率分布相同， 的概率分布为



,






，且 的相关系数




(I)求 的概率分布；
(II)求
【解析】
X Y
0
1










0


b
1
c
d





,

























解得



由此可得



所以

X Y
0
1
（Ⅱ）
0






1

















【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布，
相关系数