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2013年长沙市初中毕业学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚、并认真核对条形码上的姓名，
准考证号、考试和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸，试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答案提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题 （在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意得。请在答题卡中填涂符合题意得选项。本题共10
个 小题，每小题3分，共30分）
1、下列实数是无理数的是
A.-1 B. 0 C.
1
D.
3

2
【参考答案】：D
2、小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”， 能搜索到与之相关的结果的条数是61700000，这个数
用科学记数法表示为
A.
61710
D.
6.1710

D.
6.1710
D.
0.61710

【参考答案】：C
3、如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【参考答案】：B
【参考解析】：三角形三边长满足两边之和大于第三边。所以第 三边的长应小于2+4=6，大于4-2=2
只有B满足条件。
4、已知
O1
的半径为1cm,
O
2
的半径为3cm，两圆的圆心距
O< br>1
O
2
为4cm，则两圆的位置关系是
A. 外离 B. 外切 C.相交 D.内切
：B
【参考答案 】
【参考解析】：圆心距
OO
12
R
1
R
2< br>两圆外切。
5、下列计算正确的是
633
238
A.
aaa
B.
(a)a

224
222
C.
(ab)ab
D.
aaa

56
78
【参考答案】：A

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6、某校篮球队12名同学的身高如下表：

则该校篮球队12名同学的身高的众数是（单位：cm）
【参考答案】：B
7、下列各图中，∠1大于∠2的是

【参考答案】：D
【参考解析】：A,B,C中∠1均等于∠2，D选项中∠1=∠2+∠B，∴∠1>∠2.
8、下列各图中，内角和外角和相等的是
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
【参考答案】：A
【参考解析】：n边形 的内角和为(n-2)×180°,内角和与外角和的总和为n×180°,即n×180°=2（n-2）×1 80°⇒n=4.
9.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是

【参考答案】：C
10.二次函数
yax
2
bxc
的图象如图所示，则下列关系式错误的是

A. a>0 B.c>0
C.
b4ac0
D.a+b+c>0
【参考答案】:D

：a+b+c即为函数
yaxbxc
当x=1时的值，由图可知，当x=1时， y<0,即a+b+c<0
【参考解析】

二、填空题（本小题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：
82
=__________.
【参考答案】：
2

2
2

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：
822222

【参考解析】
12. 因式分解：
x2x1
=________.
【参考答案】：
(x1)
2

13. 已知∠A=67°,则∠A的余角等于______度.
【参考答案】：23°
14.
方程
2
21

的解为x=________.
x1x
【参考答案】
：x=1
21
2xx1x1
：首先分母不为0，则x≠0且x≠1,
【参考解析】
x1x
满足条件。
15. 如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，
则点P到边BC的距离为_______cm.

【参考答案】：4
16. 如图△ABC中，点D,点E分别是边AB,AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比 等于_______.
【参考答案】：
1
2

111
：D ,E分别为中点，那么DE为△ABC的中位线，则DE=BC，AD=AB，AE=AC,
【参考解析】
222
∴(AD+AE+DE)=
1
(AB+AC+BC)
2
17. 在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上 的区别，其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇
匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过 大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可
以推算出n大约是________.
【参考答案】：10
：
0.2
⇒ n=10
【参考解析】
n

18.如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50 °,∠C=80°，AE∥CD交BC于点E,若AD=2，BC=5，则边CD的长是_______.
【参考答案】：3
：由AD∥BC,AE∥CD知AECD为平行四边形，则EC=AD=2

【参考解析】

2

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三、解答题（本小题共2个小题，每小题6分，共12分）
19. 计算：
|3|(2)(51)

【参考答案】
：
|3|(2)(51)

20
20
=3+4-1=6

2(x1)x3,(1)
20. 解不等式组

并将其解集在数轴上表示出来.
x43x,(2)


【参考答案】：由①得2(x+1)≤x+3 ⇒x≤1
由②式x-4<3x ⇒-2联立有-2在数轴上：
四、解答题（本小题共2个小题，每小题8分，共16分）
21、“宜 居长沙“是我国的共同愿景，空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质
量情况，统计了2013年1月份至四月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据 图中信
息，解答下列问题：

（1）统计图共统计了________天的空气质量情况.
（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数.
（3）从 小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多
少？
【参考答案】：（1）70（天）
（2）优所占扇形图比例为20%，所以其对应扇形图圆心角为20%×360°=72°
1
（3）
40


22、如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积.

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【参考答案】：（1）证明AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∠BAD+∠ABD=90°,
又∠DBC=∠BAC,∴∠ABD+∠DBC=90°即∠ABC=90°
∴BC为⊙O的切线.
（2）∠BAC=30°则连结OD，∠BOD=2∠BAC=60°
∴△OBD为等边三角形
S
OBD

3
2
2 3
4

又扇形
S
OBD

602
< br>2
2


3603

2
S=SS< br>
3
OBD
∴
阴影
OBD
3

五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23. 为方便市民出行，减轻城市 中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北，东西的地铁1、2号线.已知修建地
铁1号线24千米和 2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5
亿 元.
（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除1、2号线外， 长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网，据预算，这91.8千米地铁线网每
千 米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？
【参考答案】：（1）设 1号线每千米平均造价为x亿元，由题意可知24x+22(x-0.5)=265
解得x=6
∴1号线每千米平均造价为6亿元，2号线每千米平均造价为5.5亿元.
（2）还需投资的金额为：91.8×6×1.2=660.96（亿元）
24. 如图，在▱ABCD中，M,N分别为AD,BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O.
（1）求证：△ABN≌△CDM;
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长.

：
【参考答案】
（1）ABCD为平行四边形；∴AB=CD, AD=BC,∠B=∠ADC,M,N为中点，
∴MD=
11
AD=BC=BN
22

∴△ABN≌△CDM

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（2）M,N为中点，易知MDCN也为平行四边形，又∠AND=90°
且M为AD中点，∴MN=
1
AD=MD,∴MDCN为菱形.
2
由菱形性质知，菱形对角线ND平分∠MNC以及∠MDC
∴∠MNC=∠MDC=2∠1，又∠MNC+∠2=90°,∠1=∠2
∴∠1=∠2=30°
∴在Rt△PEN中，∠ENP=30°,PE=1 ⇒NE=
3

在Rt△NEC中,∠2=30°NE=
3
⇒NC=
23

又∠1=30°∴AN=
1
AD=NC=2
3
2

六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25.设a,b是任意两个不等实 数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为{a,b},
对于 一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间{m, n}上
的“闭函数”.
（1）反比列函数
y
2013
是闭区间{ 1,2013}上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
x
（2）若一次函数y=kx+b( k≠0)是闭区间{m,n}上的“闭函数”，求此函数的解析式：
（2若二次函数
y1
2
47
xx
是闭区间{a,b}上的“闭函数”，求实数a,b的 值.
555
2013
在定义域上是单调递减的，∴当x∈[1,2013]时，y∈ {1,2013}
x
【参考答案】
:（1）是，
y
即
y 
2013
是闭区间[1,2013]上的闭函数
x
（2）当m≤x≤n，知y=kx+b(k≠0)是单调函数.
ⅰ）当k>0,y=kx+b单调增加，有mk+b≤y≤nk+b
∴


mmkb

k1



nnkb

b0

y=x满足条件。
ⅱ）当k<0，y=kx+b单调减少，有nk+b≤y≤mk+b

∴


mnkb

k1



nm kb

bmn

1
2
47
xx
的对称轴为x=2.
555
y=-x+m+n满足条件.
（3）二次函数
y
且当x≤ 2时，y单调递减，x>2时，y单调递增，下面分三种情形讨论。
ⅰ）当b≤2时，y在{a,b}上递减

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
1
2< br>(a4a7)b,(1)


5
∴


1
(b
2
4b7)a,(2)



5
① - ②(a+b-3) (a-b)=0 因为a≠b
即a+b=3,③令a=3-b代入②得式⇒
bb220
解得b不能满足b≤2和a+ b=3这两个条件。
ⅱ）当a<2
2
11
5

∴
a
11113111
由y关于x=2对称知，在
x4( )
时和
x
函数值相同。
5555
①当
b
311111196
时，闭区间{
a
,b}最大值为f(

)= =6.不成立。
555
5
31
时，最大值即为f(b)
5
2
②当
b
22
此时
(b4b7)b
⇒
b 4b75b
⇒
b9b70
1
5


∴
b
9109
2

ⅲ）当a≥2时，y在{a,b}上递增.

1
2
(a4a7 )a


5


1
(b
2
4 b7)b



5
由于aa
910 99109
,b
不成立
22
11
9109
b
5
2

综上，满足的a,b的值为
a

26.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内，由点P向x
轴，y轴 所作的垂线PM,PN（垂足为M,N）分别于直线AB相交于点E,点F，当点P(A,B)运动时，矩形PM ON的面积
为定值2.
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证△AOF∽△BEO；
（3）当点E,F都在线段AB上时，由三条线段AE,E F,BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为
S
1
△OEF的面

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积为
S
2
试探究：
S
1
S
2
是否存在最小值？若存在，请求出该最小值：若不存在，请说明 理由.

：
【参考答案】
（1）y=-x+2交x,y轴于点A,点B， 求得点A(2，0)，点B(0，2)

∴在Rt△OAB中，OA=OB,∴∠OAB=45°
（2）易求得点E,F坐标，E,F均在y=-x+2上，
∴E(a,2-a) F(2-b,b)
∴
BF
2
2(2a)
2
2a2
8a8

AE
2
2(2b)
2
2 b
2
8b8

22
EF
2
2(2ab)
2
2

ab2ab4(ab)4



因为矩形PMON面积为定值2，即a·b=2,代入有
EF
2
2( a
2
b
2
)8(ab)16

BF
2AE
2
2(a
2
b
2
)8(ab)16< br>
∴
BFAEEF
①
此时旋转OEA 90°,使OA与OB重合，如图，并连结
E

F

222

易之△OEA≌△
OE

B


EAOOB E45
E

BEA
∴
E

BFE
BOOBA90

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∴
E

B BFE

FEABFE

F
联立①式⇒
EFE
F

222222

又
E

OA O
∴
E

OFEOF
∴
EOF

∴∠EOF=45°
又∠FEO=45°+∠EOA
∠FOA=45°+∠EOA
∠FEO=∠FOA 又∠OBA=∠OAB=45°
∴△AOF∽△BEO
（3）由（2）知AE,EF,BF组成三角形是以EF为斜边的直角三角形，
∴
S
1

又
1
E

OE

2
E

OEE

OBEOBEOAEOB90
1

22

(EF)
2


ab4 (ab)8



42
S
OEBE

S
OAB
,
S
OE

F
S
OEF

∴
S
2

1
(S
OAB
S
E

BF
)

2
111
(22BE

BF)

222
11
12(2a)2(2b)1

ab2(ab)4


42
1
1

b2(ab)

ab2

2
S
1
S
2


2
(a
2
b
2
)(12

)(a b)4

2

令a+b=t
S
1
S2


2
(t
2
4)(12

)t4

2



又
ab2ab22< br>∴
t22
S
1
S
2


关于
x


2
t
2
(2
< br>1)t2

2
2

1

对称 ∴
t22
2

1

此时
S
1< br>S
2
递增
∴
S
1
S
2
有极小 值，当
ab2t22
时
S
1
S
2
(b42)

222




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