舟过安仁-中北大学本科生查询

2018年山东省淄博市中考数学试卷



一、选择题：本 大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.

1．（4分）计算
A．0 B．1
的结果是（ ）

C．﹣1 D．

2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）

A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日

C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意

3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）若单项式a
m﹣1
b
2
与
A．3 B．6
5．（4分）与
A．5 B．6
C．8 D．9

的和仍是单项式，则n
m
的值是（ ）

最接近的整数是（ ）

C．7 D．8

6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100米，其铅直高度上升了15米．在
用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）

A．
C．
7．（4分）化简
A． B．a﹣1
B．
D．
的结果为（ ）

C．a D．1


8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲
胜了丁， 并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）


A．2π B． C． D．

10．（4分）“绿水青山就是金山银山” ．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为
了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原 计划提高了25%，结果提前30天完成
了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下 面所列方程中正确的是
（ ）

A．
C．
B．
D．


11．（4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M， 过点M作MN∥BC交AC于点
N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）


A．4 B．6 C． D．8

12．（4分）如图，P为等边三角形A BC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，
4，5，则△ABC的面积为（ ）


A．


B． C． D．

二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）

13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 度．


14．（4分）分解因式：2x
3
﹣6x
2
+4x= ．

15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿 对角线AC折叠，
点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等 于 ．


16．（4分）已知抛物线y=x
2
+2x﹣3 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛
物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛 物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左
侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为 ．

17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12 ，则
位于第45行、第8列的数是 ．




三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
< br>18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）
2
+2a，其中．

19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．< br>

20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好 地开展学生读书活动，随
机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：

时间（小
时）

人数

5

8

12

15

10

6

7

8

9

10

（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；

（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．

（3）学校欲从这50名学生中，随机 抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被
抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？< br>

21．（8分）如图，直线y
1
=﹣x+4，y
2
=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线
分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线A P与BC的延长线交于
点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜ BD）的长是一元二次方
程x
2
﹣5x+6=0的两个实数根．

（1）求证：PA•BD=PB•AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得 四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求
其面积；若不存在，说明理由．


23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△AB C
的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中 点
M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 ；位置关系是 ．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三 角形ABC换为一般的锐角三角形，其
中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请 说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进 一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三
角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证明．


24．（9分）如图，抛物线y=ax
2
+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，
﹣），O为坐标原点．

），点B（3，
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
< br>（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC
的 大小及点C的坐标．

2018年山东省淄博市中考数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.

1．（4分）计算
A．0 B．1
的结果是（ ）

C．﹣1 D．

【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．

【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得．

【解答】解：
故选：A．

【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解 题的关键是掌握绝对值的性质和有理数
的减法法则．



2．（4分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）

A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日

C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意

【考点】X1：随机事件．

【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．

【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；

B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；

C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；

D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．



3．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

=﹣=0，

A． B． C． D．

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．

【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形．

故选：C．

【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．



4．（4分）若单项式a
m﹣1
b
2
与
A．3 B．6 C．8 D．9

的和仍是单项式，则n
m
的值是（ ）

【考点】35：合并同类项；42：单项式．

【分析】首先可判断单项式a
m﹣1
b
2
与
代入求解即可．

【解答】解：∵单项式a< br>m﹣1
b
2
与
∴单项式a
m﹣1
是同类项，再由同类 项的定义可得m、n的值，
的和仍是单项式，

b与
2
是同类项，

∴m﹣1=2，n=2，

∴m=3，n=2，

∴n
m
=8．

故选：C．

【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．



5．（4分）与
A．5 B．6
最接近的整数是（ ）

C．7 D．8

【考点】2B：估算无理数的大小；27：实数．

【分析】由题意可知36与37最接近，即
【解答】解：∵36＜37＜49，

∴＜＜，即6＜＜7，

与最接近，从而得出答案．

∵37与36最接近，

∴与最接近的是6．

故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与


6．（4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米． 在
用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）

A．
C．
B．
D．

最接近，所以=6最接近．

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．

【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．

【解答】解：sinA===0.15，

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为


故选：A．


【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一 般情况下，三角函数值直接
可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．



7．（4分）化简
A． B．a﹣1
的结果为（ ）

C．a D．1

【考点】6B：分式的加减法．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式=+

=
=a﹣1


故选：B．

【点 评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基
础题型．



8．（4分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场 ），结果甲
胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【考点】O2：推理与论证．

【分析】四个人共 有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：
甲胜1场或甲胜2场；由此进行 分析即可．

【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，

所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；

若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，

所以甲只能是胜两场，

即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．

答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．

故选：D．
【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种
可能性，继 而分析即可．



9．（4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）


A．2π B． C． D．

【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．

【分析】先连接CO，依据∠BA C=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC
的长为=．

【解答】解：如图，连接CO，

∵∠BAC=50°，AO=CO=3，

∴∠ACO=50°，

∴∠AOC=80°，

∴劣弧AC的长为
故选：D．

=，


【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．



10．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务， 为
了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成
了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是
（ ）

A．
C．
B．
D．


【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【分析】设实际工作时每天绿化的面积 为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率
结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．

【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万 平方米，则原来每天绿化的面积为
万平方米，

依题意得：﹣=30，即．

故选：C．

【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适 的等量关系是解
决问题的关键．

11．（4分 ）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点
N，且M N平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）


A．4 B．6 C． D．8

【考点】KO：含30度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的 判定与性质．

【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求 得NC的长，
从而可以求得BC的长．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分 ∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，
且MN平分∠AMC，

∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，

∴∠ACB=2∠B，NM=NC，

∴∠B=30°，

∵AN=1，

∴MN=2，

∴AC=AN+NC=3，

∴BC=6，

故选：B．

【点评】本题考查30°角的直角三角 形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用数形结合的思想解答．



12．（4分）如图，P为等边三角形AB C内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，
4，5，则△ABC的面积为（ ）


A． B． C． D．

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．

【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，
∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中 ，AE=5，延
长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△AP E为直角三角形，
且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得 AF和PF的长，
则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长 BP，作AF⊥BP于点F．如图，


∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，

∴△BPE为等边三角形，

∴PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，

∴AE
2
=PE
2
+PA
2
，

∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°．

∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=
∴在直角△ABF中，AB
2
=BF< br>2
+AF
2
=（4+
则△ABC的面积是
故选：A．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转
前后的 两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心
的距离相等．



二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）

13．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 40 度．

•AB
2
=•（25+12
AP=．

．

）
2
+（）
2
=25+12
）=．

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠1+∠2=180°，

∵∠1=140°，

∴∠2=180°﹣∠1=40°，

故答案为：40．

【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．



14．（4分）分解因式：2x
3
﹣6x
2
+4x= 2x（x﹣1）（x﹣2） ．

【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法．

【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．

【解答】解：2x
3
﹣6x
2
+4x

=2x（x
2
﹣3x+2）

=2x（x﹣1）（x﹣2）．

故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题
关键．



15．（4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD =3，将△ACD沿对角线AC折叠，
点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O， 则△ADE的周长等于 10 ．


【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．

【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，CD=AB=2

由折叠，∠DAC=∠EAC

∵∠DAC=∠ACB

∴∠ACB=∠EAC

∴OA=OC

∵AE过BC的中点O

∴AO=BC

∴∠BAC=90°

∴∠ACE=90°

由折叠，∠ACD=90°

∴E、C、D共线，则DE=4

∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10

故答案为：10

【 点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意
不能忽略E、C、 D三点共线．



16．（4分）已知抛物线y=x
2
+ 2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛
物线向右平移m（m＞0）个单位，平 移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左
侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值 为 2 ．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点 A
和B的坐标可得AB的长，从而得结论．

【解答】解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，

∴AC=BC=BD，

由题意得：AC=BD=m，

当y=0时，x
2
+2x﹣3=0，

（x﹣1）（x+3）=0，

x
1
=1，x
2
=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=3+1=4，

∴AC=BC=2，

∴m=2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方 程的问题，
利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．


< br>17．（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则
位 于第45行、第8列的数是 2018 ．


【考点】37：规律型：数字的变化类．

【分析】观察图表可知：第n行第一个数是 n
2
，可得第45行第一个数是2025，推出第45
行、第8列的数是2025﹣7 =2018；

【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n
2
，

∴第45行第一个数是2025，

∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，

故答案为2018．

【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决
问题．



三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
< br>18．（5分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）
2
+2a，其中
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；76：分母有理化．

．

【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．

【解 答】解：原式=a
2
+2ab﹣（a
2
+2a+1）+2a

=a
2
+2ab﹣a
2
﹣2a﹣1+2a

=2ab﹣1，

当
原式=2（
=2﹣1

=1．

【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则 进行化简是
解此题的关键．



19．（5分）已知：如图，△A BC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

+1）（
时，

）﹣1


【考点】K7：三角形内角和定理．

【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC ，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，
利用等量代换可证∠BAC+∠ B+∠C=180°．

【解答】证明：过点A作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°，

即∠A+∠B+∠C=180°．


【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．

20．（8分）“推进全 科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随
机调查了八年级50名学生最近一周 的读书时间，统计数据如下表：

时间（小
时）

人数

5

8

12

15

10

6

7

8

9

10

（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；

（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．

（3）学校欲从这50名学生中，随机 抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被
抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？< br>

【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数； W5：众数．

【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间，然后除以5 0即可求出平
均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到
大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5；

（2）根据题意直接补全图形即可．

（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间 不少于9小时的有25人再除以50即可得出
结论．

【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：

（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，

故这组样本数据的平均数为2；

∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是9；

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，

∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；


（2）补全图形如图所示，

（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10，

∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人，

∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是=

【点评】本题考查了加权平均数、 众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键
是牢记概念及公式．



21．（8分）如图，直线y
1
=﹣x+4，y
2
=x+ b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线
分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．


【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）求得 A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系
式；

（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；

（3 ）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，
即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（ 1，m）代入y
1
=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，

∴A（1，3），

把A（1，3）代入双曲线y=，可得m=1×3=3，

∴y与x之间的函数关系式为：y=；

（2）∵A（1，3），

∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；

（3）y
1
=﹣x+4，令y=0，则x=4，

∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y
2
=x+b，可得3=+b，

∴b=，

∴y
2
=x+，

令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），

∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

∴CP=BC=，或BP=BC=，

∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，

∴P（﹣，0）或（，0）．


【点评】本题考查了反比例函数与一次函数 的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解 则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．



22．（8分） 如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于
点P，∠APB的平 分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方

程 x
2
﹣5x+6=0的两个实数根．

（1）求证：PA•BD=PB•AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得 四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求
其面积；若不存在，说明理由．


【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP= ∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的
性质即可求出答案．

（2） 过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，
从而 可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．

【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∵AP与⊙O相切，

∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，

∴∠EAP=∠B，

∴△PAE∽△PBD，

∴，

∴PA•BD=PB•AE；

（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，

∵DP平分∠APB，

AD⊥AP，DF⊥PB，

∴AD=DF，

∵∠EAP=∠B，

∴∠APC=∠BAC，

易证：DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC，

由于AE，BD（AE＜BD）的长是x
2
﹣5x+6=0，

解得：AE=2，BD=3，

∴由（1）可知：
∴cos∠APC==，

，

∴cos∠BDF=cos∠APC=，

∴，

∴DF=2，

∴DF=AE，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∵AD=AE，

∴四边形ADFE是菱形，

此时点F即为M点，

∵cos∠BAC=cos∠APC=，

∴sin∠BAC=
∴
∴DG=
，

，

，

∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形

其面积为：DG•AE=2×=

【点评】本题考查圆的综 合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的
判定及其面积公式，相似三角形的判定与 性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识
的能力．



23 ．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC
的 外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点
M ，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ；位置关系是
MG⊥NG ．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行 了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其
中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的 上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2 ）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三
角形ABD，ACE，其它条件 不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．


【考点】KY：三角形综合题．

【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AE B，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+
∠DBH=90°，即：∠BHD= 90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．

【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°

∴∠CAD=∠BAE，

∴△ACD≌△AEB（SAS），

∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD +∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，

∴∠BHD=90°，

∴CD⊥BE，

∵点M，G分别是BD，BC的中点，

∴MGCD，

同理：NGBE，

∴MG=NG，MG⊥NG，

故答案为：MG=NG，MG⊥NG；



（2）连接CD，BE，相较于H，

同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；


（3）连接EB，DC，延长线相交于H，

同（1）的方法得，MG=NG，

同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180 °
45°=90°，

∴∠DHE=90°，

同（1）的方法得，MG⊥NG．

ACD﹣﹣∠

【点评】此 题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，平行线的判定和性质， 三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题
是解本题的关键．



24．（9分）如图，抛物线y=ax
2
+bx经过△OAB的三个顶点， 其中点A（1，
﹣），O为坐标原点．

），点B（3，
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
< br>（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC
的 大小及点C的坐标．


【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）将已知点坐标代入即可；

（2）利用抛物线增减性可解问题；

（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离 之和小于等于AB；同时用点A（1，
（3，﹣）求出相关角度．

），点B（3，﹣）分别代入y=ax
2
+bx得

），点B
【解答】解：（1）把点A（1，

解得

∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=

当x＞时，y随x的增大而减小

∴当t＞4时，n＜m．

（3）如图，设抛物线交x轴于点F

分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E


∵AC≥AD，BC≥BE

∴AD+BE≥AC+BE=AB

∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．

∵A（1，），点B（3，﹣）

∴∠AOF=60°，∠BOF=30°

∴∠AOB=90°

∴∠ABO=30°

当OC⊥AB时，∠BOC=60°

点C坐标为（，）．

【点评 】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题
时注意线段最值问题的 转化方法．