澳大利亚免签-高尚的名言

2014硕士研究生入学测试
数学一
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列曲线有渐近线的是（ ）
（A）
yxsinx
（B）
yx
2
sinx
（C）
yxsin
1
1
（D）
yx
2
sin

x
x
2．设函数
f(x)
具有二阶导数，
g(x)f(0)(1x)f(1)x
，则在
[0,1]
上（ ）
（A）当
f'(x)0
时，
f(x)g(x)
（B）当
f'(x)0
时，
f(x)g(x)

（C）当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)
（D）当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)
3．设
f(x)
是连续函数，则
（A）

1
0
dy

0
1y
1y
2
f(x,y)dy
（ ）

dx

0
1

1x1
0
1x1
f(x,y)dy

dx

1
0
1
1x
2
0
0
f(x,y)dy

f(x,y)dy

1
cos

sin

0
（B）

dx

00
（C）
（D）< br>f(x,y)dy

dx

1x
2


2

2
0
d


d


1
cos

sin

0
f(rcos

,rsin

)dr

d


f(r cos

,rsin

)rdr

d


2
f(rcos

,rsin

)dr

f(rcos

,rsin

)rdr



2
0
1
cos

sin

0


1
cos

sin

0
4．若函 数

(xa
1
cosxb
1
sinx)
2dxmin

(xacosxbsinx)
2
dx
，则< br>a
1
cosxb
1
sinx
（ ）


a,bR






（A）2sinx
（B）
2cosx
（C）
2

sinx
（D）
2

cosx

0a
5．行列式
a00c
c0
b
0
d
0
b
等于（ ）
0
0d
（A）
(adbc)
2
（B）
(adbc)
2
（C）
a
2
d
2
b
2
c
2
（D）
a
2
d
2
b
2
c
2

6．设

1
,

2
,

3
是三维向量，则对任意的常数
k,l
，向量

1
k

3
，

2
l

3
线性无关是向量

1
,

2
,

3
线
性无关的 （ ）
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件
7．设事件A，B想到独立，
P(B)0.5,P(AB)0 .3
则
P(BA)
（ ）
（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4
8．设连续型随机变量
X
1
,X2
相互独立，且方差均存在，
X
1
,X
2
的概率密度分 别为
f
1
(x),f
2
(x)
，随机变量
Y
1
的概率密度为
f
Y
(y)
1
(f
1
(y)f
2
(y))
，随机变量
Y
2

1
(X
1
X
2
)
，则（ ）
1
2
2
（A）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY< br>2
（B）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2

（C）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2
（D）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．曲面
zx
2
(1siny)y
2
(1sinx)
在点< br>(1,0,1)
处的切平面方程为 ．
10．设
f(x)为周期为4的可导奇函数，且
f'(x)2(x1),x

0,2

，则
f(7)
．
11．微分方程< br>xy'y(lnxlny)0
满足
y(1)e
的解为 ．
12．设
L
是柱面
x
2
y
2
1< br>和平面
yz0
的交线，从
z
轴正方向往负方向看是逆时针方向，则 曲线积分
3

L
zdxydz
．
2
13．设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
2
x
2
则
a
的取值范围是 ．
2ax
1
x
3
4x
2
x
3
的负惯性指数是1，

2x
,

x2

，其 中

是未知参数，
X,X,,X
是来自总体
2
14．设总 体X的概率密度为
f(x,

)

12n

3< br>


0,其它
的简单样本，若
C

Xi
2
是

的无偏估计，则常数
C
= ．
i1
n
2
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限
lim

x
1
(t(e1)t)dt
x
2
ln(1
1
)
x
2
1
t
．
x
16．（本题满分10分）
设函数
yf(x)
由方程< br>yxyxy60
确定，求
f(x)
的极值．
17．（本题满分10分）

2
z
2
z
设函数
f(u)
具有二阶连续导数，
zf(ecosy)
满足
2

2
(4ze
x
cosy)e
2x
．若
f(0 )0,f'(0)0
，
xy
x
322
求
f(u)< br>的表达式．
18．（本题满分10分）
设曲面
:zxy(z1)< br>的上侧，计算曲面积分：

(x1)
3
dydz(y1)3
dzdx(z1)dxdy


22
（1） 证明
lima
n
0
；
n
（2） 证明级数
a
n
收敛．

n1
b
n

19．（本题满分10分）

设数列

a
n

,
< br>b
n

满足
0a
n

20．（本题满分1 1分）

2
,0b
n


2
，
cosa
n
a
n
cosb
n
且级数

b
n
收敛．
n1


1234


设
A

0111

，E为三阶单位矩阵．

1203


（1） 求方程组
AX0
的一个基础解系；
（2） 求满足
ABE
的所有矩阵．
21．（本题满分11分）

11 1


00


111

和
00
证明
n
阶矩阵



< br>




111


< br>

00
22．（本题满分11分）
设随机变量X的分布为P(X1)P(X2)
1


2

相似． < br>


n


1
，在给定
Xi< br>的条件下，随机变量
Y
服从均匀分布
2
U(0,i),i1,2．
（1） 求
Y
的分布函数；
（2） 求期望
E(Y).

23．（本题满分11分）
x

< br>
设总体X的分布函数为
F(x,

)

1e< br>
,x0
，其中

为未知的大于零的参数，
X
1< br>,X
2
,,X
n
是来自

x0

0,
2
总体的简单随机样本，
（1）求
E(X),E(X
2)
；（2）求

的极大似然估计量．
^

（3）是否 存在常数
a
，使得对任意的

0
，都有
limP


n
a


0
．

n


2013年考研数学一分析
１．【详解】对于
yxsin
应该选（C）
2．【详解1】如果对曲线 在区间
[a,b]
上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意
两点
x
1
,x
2
及常数
0

1
，恒有
f

(1

)x
1


x
2

(1

)f(x
1
)
< br>f(x
2
)
，则曲线是凸的．显然此题中
1
1
y，可知
lim1
且
lim(yx)limsin0
，所以有斜渐 近线
yx

xx
x
x
x
x
x
1
0,x
2
1,

x
，则
(1

)f(x
1
)

f(x
2
)
f(0)(1x)f(1)xg(x)
，
f

(1
)x
1


x
2

f(x)
， < br>故当
f

(x)0
时，曲线是凸的，即
f
(1

)x
1


x
2

(1

)f(x
1
)

f(x
2
)
，也就是
f(x)g(x)
，应该选（C）
【详解2】如果对曲线在区间
[a,b]
上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x)f(x)g(x)f(x) f(0)(1x)f(1)x
，则
F(0)F(1)0
，且
F(x )f(x)
，故当

曲线是凸的，从而
F(x)F(0) F(1)0
，即
F(x)f(x)g(x)0
，也就是
f(x) g(x)
，
f

(x)0
时，
应该选（C）
3．【详解】积分区域如图所示。如果换成直角坐标则应该是：


01
dx

1x
2
0
f(x,y)dy

dx

0
11x
0
（A），（B）两个选择项都不正确；
f(x,y)dy
，
如果换成极坐标则为：

2
0
d


1
cos

sin

0
f(rcos

,rsin

)rdr

d


2


1
cos

sin

0

f(rcos

,rsin

)rdr
．应选（D）

2
4．【详解】注意

x
2
dx 





2


2
3

222
，所以
(xacosxbsinx)dx

(ab)4

b

xsinxdx2







32
2
3

，3


cos


2
xdx
sinxdx



，

xcosxdx

cosxsinxdx0
，



所以就相当于求 函数
a
2
b
2
4b
的极小值点，显然可知当
a 0,b2
时取得最小值，所以应该选（A）．
5．【详解】
0
a0
c
a
0
c
0
b0
a0ba0b
0b
a0d0b0c0
d0
c0dc0d
0d
ad
a bab
bc
cdcd

ad(adbc)bc(adbc)(adbc)
2
应该选（B）．

10


6．【详解】若向量

1
,

2
,

3
线性无关，则（

1
k

3
，

2
l

3
）(

1
,

2
,

3
)< br>
01

(

1
,

2
,

3
)K
，

kl


对任 意的常数
k,l
，矩阵
K
的秩都等于2，所以向量

1k

3
，

2
l

3
一 定线性无关．而当

1

0

0

 

1


0

,

2


1

,

3


0

时，对任意的常数
k,l
，向量

1
k

3
，

2
l

3
线性无关，但
1
,

2
,

3
线性
< br>0

0

0


相关；故选 择（A）．
7．【详解】
P(AB)0.3P(A)P(AB)P(A)P(A )P(B)P(A)0.5P(A)0.5P(A)
．
所以
P(A)0.6
，
P(BA)
P(B)P(AB)0.50.5P(A)0.2
．故选择（B）．

8．【详解】
EY
1

1

y(f
1
(y)f
2
(y))dy
1
EX
1
EX
2

E(Y
2
)
，
2

2

EY
1
2

1

2
11
22
，
y(f(y)f(y)) dyEXEX
2121


222

DY
1
E(Y
1
2
)E
2
(Y
1)
11111
2
EX
1
2
EX
2
E
2
(X
1
)E
2
(X
2
)E(X
1
)E(X
2
)

22442
11111
2
D(X
1
)D(X
2
)E

X
1
X
2

D(X
1
)D(X
2
)D Y
2
44444
故应该选择（D）．
22
9．【详解】曲面
zx(1siny)y(1sinx)
在点
(1,0,1)
处的法向量为< br>z
x
,z
y
,1|
(1,0,1)
(2,1, 1)
，

所以切平面方程为
2(x1)(1)(y0)(1 )(z1)0
，即
2xyz10
．
10．【详解】当
x

0,2

时，
f(x)

2(x1)d xx
2
2xC
，由
f(0)0
可知
C0
，即
f(x)x
2
2x
；
f(x)
为周期为4奇函数， 故
f(7)f(1)f(1)1
．

11．【详解】方程的标准形式 为
y
dyyy
Cx1
，
ln
，这是一个齐次型方程，设
u
，得到通解为
yxe
x
dxxx
将初始条件
y(1)e
3
代入可得特解为
yxe
2x1
．
dydzdzdxdxdy

可知 12．【详解】由斯托克斯公式
Pd xQdyRdz

L

xyz

PQR
L
zdxydz

dydzdzdx

dxdy


yz0
22
．其中
:
< br>取上侧，
D(x,y)|xy1
．
dxdy

xy
22


xy1
D
xy

13． 【详解】由配方法可知
2
f(x
1
,x
2
,x
3< br>)x
1
2
x
2
2ax
1
x
3
4x
2
x
3
(x
1
ax
3
)(x
2
2x
3
)(4a)x
2222
3

由于负惯性指数为1，故必须要求
4a
2
0
，所以
a< br>的取值范围是

2,2

．
14．【详解】
E( X
2
)




n
2
2x5< br>2
，所以

n
2

5
2
是

2
，由于的无偏估计，故
xdx

CX
E
< br>C

X
i

Cn


i
2

2
3

2
i1

i1

2
52
．
1
，
C
25n
15．【 分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
【详解】
Cn
x
1
xln(1)
x
111

1
lim

x
2
(
2
o(
2
)x


x
x
2xx

2
x2

lim
x
1
(t(e1)t)dt
2
1
t

lim
x
1
(t(e1)t)dt
x
2
1
t
lim(x(e1)x)

x
2
1
x
16．【详解】
解：在方程两边同时对x
求导一次，得到
(3y
2
2xyx
2
)y'( y
2
2xy)0
， （１）
即
dy

dx
y
2
2xy
，令
dy
0
及y
3
xy
2
x
2
y60
，得到函数唯 一驻点
x1,y2
．
dx
3y
2
2xyx2
在（１）式两边同时对
x
求导一次，得到
(6yy'4y2xy '4x)y'(3y
2
2xyx
2
)y2y0

把
x1,y2,y'(1)0
代入，得到
y(1)
17．【详解】
设
ue
x
cosy
，则zf(u)f(e
x
cosy)
，
z
f'(u)e< br>xcosy
,
x

2
z
z
2
z
2x2x
x
;
f(u)ecosyf'(u)ecosy
 f'(u)esiny,f(u)e
2x
sin
2
yf'(u)e
x
cosy

2
2
x
y
y
4

0
，所 以函数
yf(x)
在
x1
处取得极小值
y2
．9
2

2
z

2
z
2
z< br>2xx2x
，由条件
z

2
(4ze
xcosy)e
2x
，可知
f(u)4f(u)u


2
f(u)ef(ecosy)e
2
2
xy
xy这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：
f(u)C
1
e
2u
C
2
e
2u
其中
C
1
,C
2
为任意
1
1
常数． 对应非齐次方程特解可求得为
y*u
．故非齐次方程通解为
f(u)C
1
e
2u
C
2
e
2u
u
．将初< br>4
4
111
始条件
f(0)0,f'(0)0
代入，可得
C
1

1
,C
2

1
．所以< br>f(u)
的表达式为
f(u)e
2u
e
2u
 u
．
16164
1616
18．【详解】

z1设

1
:

取下侧，记由
,
1
所 围立体为

，则高斯公式可得
22

xy1
< br>1

(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy
 
(3(x1)


332
3(y1)
2
1)dxdydz


(3x
2
3y
2
76x6y)dxdydz



(3x
2
 3y
2
7)dxdydz



d


rdr

2
(3r
2
7)dz4

00r
2

11

z1
在

1
:

取下侧上，

(x1)
3
dydz(y1)
3
dzdx(z1)dxdy

(11)dxdy0
，
22

xy1

1

1
所以

(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy
=

(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy4


33
33


1
19．【详解】
（1）证明 ：由
cosa
n
a
n
cosb
n
，及
0a
n

所以
0a
n
b
n


2
,0b
n


2
可得
0an
cosa
n
cosb
n


，
2

，由于级数

收敛，所以级数


b
n

a
n
也收敛，由收敛的必要条件可得
lima
n0
．
2
n1
n1
n
（2）证明：由于0a
n

a
n
cosa
n
cosb
n

b
n
b
n
2


2
,0b
n


2
，所以
sin
a
n
b
n
a
n
b
n
ba
n< br>b
n
a
n

,sin
n

2222
2sin

a
n
b
n
ba
n
sin
n
22
b
n

a
n
b
n
b
n
a< br>n
2
b
2
a
n
b
2
b
2 2

n

n

n
b
n
2b
n
2b
n
2
由于级数

b
n
收敛，由正 项级数的比较审敛法可知级数

n1
a
n
收敛．
b
n1
n


20．【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

1234

1234

1234

1001


A

0111



01 11



0111



010 2

，

12

03

13


0431

00

0013
得到方程组
AX

xx
0
同解方程组

x
1
2x
4
，得到
AX

24

x3x
4

3

1


0
的一个基础解系


2

．

1< br>

3


1



x
1

显然B矩阵是一个
43
矩阵，设
B

x
2

x

3

x

4
y
1
y
2
y
3
y
4
z
1


z
2


z
3


z
4


对矩阵
(AE)
进行进行初等行变换如下 ：

1234100

12

(AE)< br>
0111010



01

12
03001


04
00

100< br>
12341



0111010
< br>

010

00

13141
< br>
001
34100


11010
31101



1261


2 131

3141


y
1


6

1


z
1


1

1


x
1


2

1





< br>


由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

x< br>2


1

2

，

y
2


3

，
2
z
1


2


2

，
cc
c
2
3

3


z


1

3


x

1

1

3


y

< br>4

3





3



3



1

1


z


0

1


y


0


x

0




4




4



4

< br>
2c
1

即满足
ABE
的所有矩阵为

12c
1
B

13c
1


c
1


11

21．【详解】证明：设
A


11




11
6c
2
32c
2
43c
2
c2

1c
3


12c
3
< br>，其中
c
1
,c
2
,c
3
为任意常数． < br>13c
3


c
3


01

02

．



0n< br>

1


0


1
< br>，
B

0







0
1



分别求两个矩阵的特征值和特征向量 如下：

1


EA
1
1
1

1

1
1
，
1
(

n)

n1


1< br>所以A的
n
个特征值为

1
n,

2

3


n
0
；



而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且

A~




0



0



；

EB



00
0


01
2

(

n)

n1


n
所以B的
n
个特征值也 为

1
n,

2


3
< br>
n
0
；对于
n1
重特征值

0，由于矩阵
(0EB)B
的秩显然为1，所以矩阵B对应
n1
重 特征值

0
的特征向量应该有
n1
个线性无关，进一步矩阵B< /p>




存在
n
个线性无关的特征向 量，即矩阵B一定可以对角化，且

B~




0




，从而可知
n
阶矩阵


0



11


11




11

1


0< br>

1

和

0


< br>



1



0
0 1


02

相似．



0n


22．【详解】（1）分布函数
F(y)P(Yy)P( Yy,X1)P(Yy,X2)
P(YyX1)P(X1)P(YyX2)P (X2)
1


P(YyX1)P(YyX2)
2

当
y0
时，
F(y)0
；
当
0y1
时，
F(y)
1
y
1y

3y
；
2224
当
1y2
时，
F(y)
1

1y

1
y
1
；
22242
当
y2
时，
F(y)1
．
,y0

0

3

y,0y1
所 以分布函数为

4
F(y)


1

y
,1y2

24

1,y2


3

4
,0y1


1
12
（2）概率 密度函数为
f(y)F'(y)

,1y2
，
E(Y)
3
ydy
y
dy
3
．

0
4

1
44

4

,

0
其它


2x

x
e
,x0
， 23．【详解】（1）先求出总体X的概率密度函数
f(x,
)




0,x0

2
EX

2

2x
2
0


2x< br>3
0
e

x
2

x
2
dx 

dx
1

0

xde
xe< br>2

x
2

x
2
xe
dx< br>2

x
2


|
0


e
0


t


x
2

dx

；

（2）极大似然函数为：
EX< br>
e






0
< br>
1
0
tedt

;



x
2
i
n

n

i1


2
n

xe,x
i
0
L(

)f(x
i
,

)

n
i
i1
i1



0,其它

n
当所 有的观测值都大于零时，
LnL(

)nln2

lnx
i
nln


i1
n

x

i1
1
n
2
i
，令
dlnL(

)< br>0
，
d


得

的极大 似然估计量为


^

x
i1
n
2i
n
；
22
（3）因为
X
1
,X
2
,,X
n
独立同分布，显然对应的
X
1
2
,X< br>2
也独立同分布，又有（１）个可知
EX
i
2

< br>，
,,X
n
n
^

1
n
2

由辛钦大数定律，可得
limP


x
i
E X
i



0
，由前两问可知，

< br>n

n
i1


x
i1
2
i
n
2
，
EX
i


，所以存在
^

常数
a

，使得对任意的

0< br>，都有
limP


n
a


0
．

n
