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华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2016~2017学年第1 学期 考试科目：高等数学AⅠ
考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业

题号
得分
评阅人


得分

一


二


三


四


总分


一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．函数
yln
1x
1x
2
的定义域是
。

1x
2．设
yarcsinx
，则
dy
=
。

3．
lim(
x
xa
x
)
。
xa
e
x
dx
= 。 4．不定积分

2x
e1
5．反常积分


1
1
dx
= 。
x(x1)
得分


二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1

sin,x0


x
1．设
f(x)
< br>，那么
limf(x)
不存在的原因是 （ ）
x0
1

xsin,x0

x

A．
f(0)
无定义 B．
limf(x)
不存在

x0
x0x0x0
C．
limf(x)
不存在 D．
limf(x)
和
limf(x)
都存在但不相等

2．设偶函数
f(x)
二阶可导，且
f''(0)0
，那么
x0
（ ）
.

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A．不是
f(x)
的驻点 B．是
f(x)
的不可导点
C．是
f(x)
的极小值点 D．是
f(x)
的极大值点
0
3．设
(x)

2
sint
2
dt
，则
'(x)
（ ）
x
A．
2xsinx
4
B．
2xsinx
2
C．
2xsinx
2
D．
2xsinx
4

4．下列函数中不是函数
sin2x
的原函数的有 （ ）
11
A．
sin
2
x
B．
cos
2
x
C．
sin2x
D．
cos2x

22
5．求由曲线
xya
与直线xa
，
x2a
（
a0
）及
y0
所围成 的图形绕
y
轴旋转一周所生成的旋转体的体积。 （ ）
11
A．

a
B．

a
C．

a
2
D．
2

a
2

22
得分


三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1
.

求极限
lim




cos(sinx)1
。

x0
3x
2

x
2
,x1
2. 设< br>f(x)

，试确定
a
，
b
的值，使得
f (x)
在
x1
可导。

axb,x1








xa(tsint)
dy
d
2
y
3. 设参 数方程

确定
y
是
x
的函数，求和
2
。< br>
dx
dx

ya(1cost)






.

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4．计算不定积分

(lnx)
2
dx
。






5．设方程
e
y
s in(xy)
确定隐函数
yy(x)
并满足
y()0
，求y'
2


x

2
。











6 ．设曲线
yax
3
bx
2
cx2
在
x1
处有极小值
0
，且
(0,2)
为拐点，求
a,b,c
的
值。









7．计算定积分








.
1
1
x
dx
。
54x

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得分


四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
e
1．证明不等式：当x1
时，
e
x
(x
2
1)
。
2







2．一抛物线 的轴平行于
x
轴，开口向左且通过原点与点
(2,1)
,求当它与
y
轴所
围的面积最小时的方程。









3. 已知函数
f(x)
在
[0 ,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且
f(0)0
，
f (1)1
。证明：（1）
存在

(0,1)
，使得
f(

)1

；（2）存在两个不同的点

，
< br>(0,1)
，使得
f

(

)f

(

)1
。









.

1.5CM
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华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2016~2017学年第1 学期 考试科目：高等数学AⅠ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．
[1,1]
2．
1
2xx
2
dx
3．
e
2a
4．
arctane
x
C
5．
ln2

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．A 4．C 5．D
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1
.

求极限
lim
cos(sinx)1
x0
3x
2
。

解：
lim
cos(sinx)1sin(sinx)cosx
x0< br>3x
2

lim
x0
6x
．．．．．．．．．．． ．．．．．2分
=
1sin(sinx)sinx
6
lim
x 0
cosx
lim
x0
[
sinx

x
]
．．．．．．．．．．．．．．．5分
=
1
6
．．．．．．．．．．．．．．．．7分

2. 设
f(x)


x
2
,x1
b,x1
，试确定
a
，
b
的值，使得
f(x)
在
x1< br>可导。


ax
解：因为
x
lim
1

f(x)
lim
x1

x
2
1< br>．．．．．．．．．．．．．．．．1分
x
lim
1

f (x)
lim
x1

(axb)ab
．．．．．．．．． ．．．．．．．2分
而
f(1)1
，因为
f(x)
在
x 1
处连续，所以
x
lim
1

f(x)
x< br>lim
1

f(x)f(1)
，故
ab1
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
f
'

(1)lim
f(1x)f(1)(1
x0

x
li m
x)
2
1
x0

x
2
．．．．． ．．．．．．．．．．．4.5分
f
'
x)f(1)a(1x)b1
(0)lim
f(1
x0

x
lim
x0

x
a
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因为f(x)
在
x1
处
可导，所以
f
'

(1)f
'

(1)
，
从而
a2
，所以
b1
．．．．．．．．．．．．．．．．7分


3. 设参数 方程


xa(tsint)
确定
y
是
x的函数，求
dy
d
2
y

ya(1cost)dx
和
dx
2
。

.

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解：
dyasintsintt
cot．．．．．．．．．．．．．．．．3分

dxa(1cost)1cost2
t
(cot)'
dy
2
．．．．．．．．．．．．．．．．5分

2
dx[a(tsint)]'
2
1t
csc
22


2
a(1cost)


1t
csc
4
．．．．．．．．．．．．．．．．7分

4a2
4．计算不定积分

(lnx)
2
dx
。
222
解：
(lnx)dxx(lnx)xd(lnx)
．．．．．．． ．．．．．．．．．2分

．．．．．．．．．．．．．．．4分
x(lnx )
2
2

lnxdx
．
．．．．．．．．．．．．．．． 6分
x(lnx)
2
2xlnx2

xdlnx
．
x(lnx)
2
2xlnx2xC
．．．．．．．．．．．．．．． ．7分
5. 设方程
e
y
sin(xy)
确定隐函数
yy(x)
并满足
y()0
，求
y'
2
解：方程两边对
x
求导，得
e
y
y'cos(xy)(1y')
．．．．．．．．．．．．．．．．3分

x

2
。
y'
cos(xy)
．．．．．．．．．．．．．．．．5分
ey
cos(xy)
又
x

2
代入得
，得
y0
，．．．．．．．．．．．．．．．．6分
y'

x

2
=0
．．．．．．．．．．．．．．．．7分
6 ．设曲线
yax
3
bx
2
cx2
在
x1
处有极小值
0
，且
(0,2)
为拐点，求
a,b,c
的
值。
解：
y'3ax
2
2bxc,
．．．．． ．．．．．．．．．．．1分
.

1.5CM
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y''6ax2b,
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由题意得


abc20


a0b0c022< br>．．．．．．．．．．．．．．

3a2bc0
．．6分
< br>
6a02b0
解得
a1,b0,c3
．．．．．．． ．．．．．．．．．7分
7．计算定积分

1
x
1
5 4x
dx
。
解：令
t54x
，则
dx
1
2
tdt
．．．．．．．．．．．．．．．．1分
5t
2

1
x
1
54x
dx

1
43
t
(
1
2
t)dt
．．．．．．．．．．．．．． ．．3分

1
1
8

3
(5t
2< br>)dt
．．．．．．．．．．．．．．．．4分

11
8
(5t
3
t
3
)
1
3
．．．．．．．．．．．． ．．．．6分

1
6
．．．．．．．．．．．．．．．．7分
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．证明不等式：当
x1
时，
e
x

e
2
(x
2
1)< br>。
证明：设
f(x)e
x

e
2
(x< br>2
1)(x1)
．．．．．．．．．．．．．．．．1分
f'(x)e
x
ex
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以
f''(x)e
x
e0
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以
f'(x)e
x
ex
单调递增．．．．．．．．．．．．． ．．．4分
当
x1
时，
f'(x)f'(1)0
．．．．． ．．．．．．．．．．．5分
所以当
x1
时，
f(x)e
x< br>
e
2
(x
2
1)(x1)
单调递增．．．．． ．．．．．．．．．6分
所以当
x1
时，
f(x)f(1)
， 即
e
x

e
2
(x
2
1)
．． ．．．．．．．．．．．．7分
2．一抛物线的轴平行于
x
轴，开口向左且通过原点 与点
(2,1)
,求当它与
y
轴所
.

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围的面积最小时的方程。

解：设
x ay
2
byc
．．．．．．．．．．．．．．．．1分
它通过原点，因此
c0
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又通过< br>(2,1)
，所以
b2a
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以满抛物线为
xay
2
(2a)y(a0)

2
这抛物线与
y
轴的另一交点是
(0,1)
．．．．．．．．．．． ．．．．．4分
a
它与
y
轴所围面积为
S(a)
< br>1
2
a
0
[ay
2
(2a)y]dy
42a
．．．．．．．．．．．．．．．．5分
1
3a
2
a6
令
S'(a)
821
0

32
3a a6
得
a4,a2
（舍）．．．．．．．．．．．．．．．．6分
所以
x4y
2
6y
．．．．．．．．．．．．．．．．7分
3．已知函数
f(x)
在
[0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且
f(0)0
，
f(1)1
。证明：（1）
存 在

(0,1)
，使得
f(

)1

；（2）存在两个不同的点

，

(0,1)
，使得
f

(

)f

(

)1
。
解：（1）令
g(x)f(x)x1
，．．．．．．．．．．．．．．．．2分
则
g(x)
在
[0,1]
上连续，且
g(0)10< br>，
g(1)10
，
故由零点定理知存在

(0,1)
，使得
g(

)f(

)

10
，即
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
f(

)1
。
（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在

(0,
< br>)
，

(

,1)
，使得
f

(

)
f

(

)
f(
)f(0)1


，．．．．．．．．．．．．．．．．5分 < br>
0

f(1)f(

)1(1

)


，
1

1

1

1

1
．证毕．．．．．．．．．．．．．．．．．7分


1

从而
f

(

)f
(

)
.