德语专业就业前景-春节放假通知范文

数学高考解答题的题型及解法分析
一个值得深思的现象:
每年数学高考,总有一部分平时学得好的学生未考好,也有许多平时学习中下
等的学生考得较好.
高考兵法:知彼知己
数学学科命题的依据:
循序渐进，平稳过渡，稳中求变，稳中求 新，以考试说
明为基础，力求体现“三基为 本，能力立意，有利选拔，注重
导向”的命 题指导思想。
数学学科命题的三个避免：
命题时力求做到“三个避免”，即尽量避免需要死记硬背的
内容，尽量避免呆板试题，尽量避免烦琐计算试题。
数学学科命题的三个反对，两个坚持:
三个反对：
反对死记硬背，反对题海战术， 反对猜题押题；
两个坚持：
坚持三基为本，坚持能力为纲。
数学高考题题型:
选择题
填空题
解答题
数学解答题估计仍是六大题：
三角函数综合题
概率统计题
立体几何题
数列综合题
解析几何综合题
函数(不等式)综合题
一、三角函数综合题
1.可能出现的题型：
（1）三角求值(证明)问题；
（2）涉及解三角形的综合性问题；
（3）三角函数图象的对称轴、周期、单调区间、最值问题；
（4）三角函数与向量、导数知识的交汇问题；
（5）用三角函数工具解答的应用性问题。
2.解题 关键:进行必要的三角恒等变形.
其通法是：
发现差异（角度、函数、运算结构）寻找联系（套用、变用、活用公式，注意技巧和方法）
合理转化（由因导果的综合法，由果探因的分析法）
其技巧有：
常值代换，特列 是用“1”代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅

助角。
3.考基础知识也考查相关的数学思想方法:如考三角函数求值时考查方程思想和换元法。

例1：在ABC中，sinAcosA
AC2,AB3,
2
,2

求tanA的值和ABC的面积
思路分析1：

2

sinAcosA2cos(A45),

2

1
cos(A45).

2

(注：到这一步得到了一个以“A”为未知数的三角方程)

又

0A180,A4560,

7


A105(A).
12

13

tanAtan(4560)23.
13

思路分析2：
2


sinAcosA,(1)

2
1

(sinAcosA)
2
.

2

1
2sinAcosA.

2


0A180,sinA0,cosA0.

3
2
(sinAcosA)12sinAcosA.

2

6
sinAcosA(2)

2


2

sinAcosA(1)


2

(1)、(2)联立 可得方程组


sinAcosA
6

(2)

2



(注：到这一步得到一个关于sinA、cosA的一个二元

一次方程组)

2626

(1)(2)得sinA,(1)(2)得cosA.
44

sinA

tanA23.
cosA

思路分析3：

2

(1)

sinAcosA
2



sin
2
Acos
2
A1(2)



(注：到这一步得到一个关于sinA、cosA
的一个二元一次方程组 )
cosA
2
sinA
2
(3)

思路分析4：

sin
2
Acos
2
A1,

(sinAcosA)
2
2sinAcosA1.

11

2sinAcosA1.2sinAcosA.

22

12tanA1
sin2A..

21tan
2
A2

(注：这是一个以tanA为元的分式方程)

2
tanA4tanA10,tanA32.


2

3


sinAcosA,A.

224

tanA1.

tanA32.

思路分析5：

2

sinAcosA2sin(A45),

2

1
sin(A45).

2


A为ABC的内角，0A180.

1

又

sin(A45),45A45180.
2

3

cos(A45).
2


3
tan(A45).

3

tanA13
.

1tanA3

(注：这是一个以tanA为元的分式方程)

tanA32.


思路分析6

2


sinAcosA,
2

1

(sinAcosA)
2
.
2

1

2sinAcosA.
2



0A180,sinAcosA

B
D


A
3

24
如图，过B点做BD垂直CA的延长线于E点 ，
BDAD
sinA,cosA,
ABAB
BDAD2
 ,
ABAB2
BDAD2
,
32
3
BDAD2 (1)
2
C


BD
2
AD
2
AB
2
9(2)
A


对于三角函数的图象和性质问题解决

的策略是先将f(x)化为

f(x)Asin(

x

)B的形式，

然后再进一步研究。


例2：

求函数ysin
4
x23sinxcosxcos
4
x


的最小正周期和最小值；
.

并写出该函数在[0,

]上的单调增区间
思路分析：

ysin
4
x23sinxcosxcos
4
x



3sin2xcos2x2sin(2x)
6

2


最小正周期T



最小值为2.

由2k


即k


2
2x

6
2k


2
(kz),

6
xk



3
.
当k0,1时得到原函数的两个增区间[
633
5

4

5

[,][0,

][,

].
636
则[

63
,],[
5

4

,].
63

,][0,

][0,< br>
].
所以该函数在区间[0,

]上的增区间是[0,
< br>3
],[
5

,

]
6
二、概率与 统计题
1、可能出现的题型是：
只涉及概率的问题； 概率与不等式综合； 概率与二次函数综合； 概率与数列求和综
合； 概率与线性规划综合等。
2、解答概率统计题的关键是会正确求解以下六种事件的概率
（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：
（1）随机事件的概率，等可能性事件的概率。
（2）互斥事件有一个发生的概率。
（3）相互独立事件同时发生的概率。
（4）n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
（5）n次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率。
（6）对立事件的概率。
另外(1)要会用期望与方差计算公式进行相关运算;
(2)要注意区分这样的语句：
“至少有一个发生”、
“至多有一个发生”、
“恰好有一个发生”、
“都发生”、
“不都发生”、
“都不发生”、
“第k次才发生”，等。

1.掷一枚硬币，正、反两面出现 的概率都是0.5，把这枚硬币反复掷8次，这8次中的第n
次中，假若正面出现，记an＝1，若反面 出现，记an＝－1，令Sn＝a1＋a2＋…＋an
(1≤n≤8)，在这种情况下，试求下面的概率：

(1)S2≠0且S8＝2的概率；
(2)S4＝0且S8＝2的概率．



解(1)

S
2
≠0
即

a
1
＋a
2
≠0
∴分两类讨论如下： 
S
8
＝2

a
1
＋a
2
＋ a
3
…＋a
8
＝2

115
3
1

1°若a
1
＝1＝a
2
，则后六次3正3反，∴P
1
＝( )
2
×C
6
( )
3
×(1－)
3
＝
22264

113
1
1

2°若a
1
＝－1＝a
2< br>，则后六次5正1反，∴P
2
＝( )
2
×C
6
( )
1
×( )
5
＝
222128

13

故所求概率为P＝P
1
＋P
2
＝
128


S
4
＝
0

a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝0

(2)

即

∴前四次2正2反，后四次1反3正

S
8
＝2

a
5
＋a
6
＋a< br>7
＋a
8
＝2

113
21

故所求概率为P＝C
4

( )
4
·C
4

( )
4
＝
2232

1、可能出现的题型是: 以锥体或柱体为载体的线面之间位置关系的讨论; 有关角与距离计
算.
2、解立体几何题的关键是运用化归思想：
一是定理之间的相互转化；二是将空间图形转化为平面图形；三是形数转化:立几问题代
数化； 四是将新的问题情境纳入到原有的认结构中去。
３、在解立几题时，需要总结和提炼一些重要的解题方法:
构造法（分形与补形:线、面、体的添加与分割）； 参数法（用参数x表示角与距离，将问
题化为代数或三角问题）； 分类法（将一个问题分为几个(种)小问题(情况)，分而治之）； 反
证法（当正面解决出现困难时，不妨从反面入手）；
向量法 (坐标法)。
例1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，


M是线段EF的中点.
E

(1)求证AM∥平面BDE；

F

.












解 (1)如图建立空间直角坐标系.设AC∩BD＝N，
连结NE，则N(
22
，，0)、
22
D
A
C
B
三、立体几何

22
→
E(0，0，1) ∴NE＝(－，－，1).
22
又A(2，2，0)、M(
22
，，1)，
22
22
→
∴AM＝(－，－，1)
22
→→
∴NE＝AM且NE与AM不共线，
∩
∩
∴NE∥AM.又NE 面BDE ,AM 面BDE，
∴AE∥平面BDE.

例1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

AB

＝2，AF＝1，

M是线段EF的中点.

(2)求二面角A－DF－B的大小；


解 (2)∵AF⊥AB，AB⊥AD，

AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF，


∴AB
→
＝(－2，0，0)为平面DAF的法向量.


又∵NE
→
·DB
→
＝(－
2
，－2
，1)·(

22
－2，2，0)＝0，

NE
→
·NF
→
＝(－
2
，－
2
，1)·(< br>2
，
2
，1)＝0

2222
，

∴NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE⊥平面BDF，即NE
→
为平面BDF的法向量.



→→
(－2)×(－
2
又∵cos〈AB< br>→
，AE
→
〉＝
AB·NE
2
)
1

|AB
→
·NE
→
＝
|
2·2
＝
2
,


∴AB
→
与NE
→
的夹角为60°. 又由图可判定二面角A－DF－B的大小为锐角，


∴所求二面角A－DF－B的大小为60°.
例

1

如图，已知正方形

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB＝


2，AF＝1， M是线段EF的中点.
(3)试在线段


AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.



解

(3)
→

设P(t，t，0)(0≤t≤2)，则PF＝(2－ t，2－t，1)，CD
→
＝
(2，0，

0).
→

又∵PF与CD
所成的角为


60°，∴

|(2－t)·2|
(2

＝
1232
2

－t)
2
＋(2－t)
2
＋1·2
，解之得t＝
2
或t＝
2
(舍去)，
故点


P为AC的中点.
注：亦可用线面关系法求解


(略)

四、解析几何题
1.解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线。
直线：以倾角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规
划等有关问题为基本问题，特别要熟悉有关点对称、直线对称
问题的解决方法；
圆：注意利用平几知识，尤其要用好圆心到直线的距离；
圆锥曲线：主要考查圆锥曲线的概念、性质和标准方程，
直线和圆锥曲线的位置关系等。
可能出现的题型是：
（1）求参数范围或求最值的综合问题；
（2）探求动点的轨迹问题；
（3）有关定值、定点等的证明问题；
（4）与向量综合、探索性问题。
2.解答解析几何题的关键是掌握坐标法：
建立坐标系，引入点的坐标，将几何问题化归为代数问
题，用方程的观点实现几何问题代数化解决。坐标法包括：
“由形定式”和“由式论形”两大任务。
3.关于求曲线的方程:
一类是:曲线的形状明确，方程的形式为已知的某种标准
方程，方法是待定系数法；
另一类是:曲线的形状不明确，常用方法有
直译法
动点转移法
参数法
交轨法等
4.关于求解参数取值范围问题，其核心思路是：
识别问题的实质背景，选择合理、简捷的途径，建立不
等式(等式)，借助于不等式、方程与函数的知识求解。
可利用的不等式(等式)有：
（1）圆锥曲线特征参数a、b、c、e、p的特殊要求；
（2）圆锥曲线上的动点的范围限制；
（3）点在圆锥曲线的含焦点区域内（外）的条件；
（4）题设条件中已给定某一变量的范围（要求另一变量的范围）；
（5）直线方程与圆锥曲线方程联立后产生的特征方程的根的
分布条件；
（6）目标函数的值域；
（7）平面几何知识，如对图形中某些特殊角、线段长度的要求。
5.其它一些解题经验:
将解答问题过程中的方程转化为圆锥曲线的标准方程，
可以看出其中的特征量、几何特征，进而引发出有效的解题
思维链；

平面几何的一些简单性质在解答某些解几题时，有时可
以起到化繁为简、化难为易的作用；
代入消元-建立一元二次方程-判别式- 韦达定理-弦
长公式-中点坐标公式…，是很实用的解题路线图。
解题（书写）的过程往往吻合于作图步骤；
回归定义，出奇制胜。
向量既是工具,也是背景。

x
2
y
2
例1已知动点P 与双曲线－＝1的两个焦点F
1
、F
2
的距离之和

23


1
为定值2a(a＞5)，且cos∠F
1
PF
2
的最小值为－.

9


(1)求动点P的轨迹方程；


→
＝λDN
→
，(2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上，且DM


求实数λ的取值范围.




解(1)∵F
1
(－5，0)、F
2
(5，0)且｜PF
1
｜＋｜PF< br>2
｜＝2a＞｜F
1
F
2
｜ (a＞5)

x
2
y
2
∴P的轨迹为以F
1
、F
2
为 焦点的椭圆E，可设E：
2
＋
2
＝1 (其中b
2
＝a
2
－5)

ab

在△PF
1
F
2
中，由余弦定理得

| PF
1
|
2
＋| PF
2
|
2
－| F
1
F
2
|
2
2a
2
－10

cos∠F
1
PF
2
＝＝－1
2| PF
1
| | PF
2
|| PF
1
| | PF
2
|

| PF
1
|＋| PF
2
|
22

又| PF
1
|·| PF
2
|≤()＝a
2

2a
2
－10

∴当且仅当| PF
1
|＝| PF
2
|时，| PF
1
|·| PF
2
|取最大值，此时cos∠F
1
PF
2
取最小值－1
a
2

22
2a
2
－10
1xy

令－1＝－

a
2
＝9 ∵c＝5 ∴b
2
＝4故所求P的轨迹方程为
＋＝1
a
2
994

→→

(2)设N(s，t)，M(x，y)，则由DM＝λDN，可得(x，y－3)＝λ(s，t－3)

∴x＝λs，y＝3＋λ(t－3)


(λs)
2< br>(λt＋3－3λ)
2
s
2
t
2
而M、N在动点P的 轨迹上，故＋＝1且＋＝1

9494

(λt＋3－3λ)
2< br>－λ
2
t
2
13λ－5
2
消去S得＝1－λ解得t＝

4
6λ

13λ－5
11
又| t |≤2 ∴| |≤2，解得≤λ≤5， 故λ的取值范围是[，5]

55
6λ

五、数列题
1、数列多与函数、不等式、方程、三角函数、
解析几何等知识相交汇，可能出现的题型是：
(１)数列内部的综合：等差与等比；数列与极限； 数列与数学归纳法；
(２)数列与相关知识的综合：数列与函数、数列
与不等式、方程；数列与点列；
数列题能力要求较高：运算能力、归纳猜想能
力、转化能力、逻辑推理能力；

2、解法要领：
（1）研究数列，关键是要抓住数列的通项，探求一个数
列的通项常用：观察法、公式法、归纳猜想法；
（2）关于数列的求和，常用方法有
公式法、
错位相减法、
倒序相加法、
裂项法。
（3）关于等差（比）数列，要抓住首项和公差（比）这两个
基本元素。
（4）数列是特殊的函数，所以数列问题与函数、方程、不等
式有着密切的联系，函数思想、方程观点、化归转化、归纳猜
想、分类讨论在解题中多有体现。

例1 等差数列{an}的前n项的和为Sn, 已知S10 =100，S100=10, 求S110.
方法一 设等差数列的首项与公差分别为a1、d.




10a
109d
100


1

2


100a
10099d

1
10


2
用基本量

方法二
我们把

a
1
a
2
a
3

…+a
10
看作为一项，记为 A
1
这时s
100
就是

A
1
A
2


…+ A
10
，

因为{a
n
}是等差数列，所以{A
n
}也是等差数列.
此数列的首项A
1
=100，设其公差D,由题意知：


，

109
D10
10 A
1
+
2
, 又A
1
=100， < br>109
D10
所以有：因为{a
n
}是等差数列，所以{A
n
}也是等差数列.
2

此数列的首项A
1
=100，设其公差D,由题意知：
10 ×100 +
A
1
A
2

,
解得： D=－22 ，用整体,
是 A
11
=A
1
+10 D =100+ 10×(－22)=－120 ,
既，S
110
= …+ A
11
=10+(－120)=－110 .

方法三

∵ s
n
=an
2
+bn，
s
2
n

anbn
an
∴
nn
b

由于{an+b}也是等差数列，记为{b
n
}，由已知
10
可得： b
10
=10 , b
100
=
100
, 很快地计算{b
n
}的公差，
再求出b
110
, 最后利用 s
110
=110×b
110.


用转化

方法四


s
100
s
10
a11
a
12
a
100
45(a
11
a
100
),


s
110(a
1
 a
110
)
110
55(a
11
a
100)

2
用性质
方法五
用函数的思想方法(略)

例2. 把集合{2
t
+2
s
|0≤s 排列得到数列{a
n
}，例如a
1
=2
0
+2
1< br>=3， a
2
=2
0
+2
2
=5，
a
3
=2
1
+2
2
=6， a
4
=2
0
+2
3
=9， a
5
=2
1
+2
3
=10，
a
6
=2
2
+2
3
=12, ……把数列{a
n
}的项依次写成塔形:
3
5 6
9 10 12
，

…… …… ……
（1） 写出塔形的第四、五行；
（2） 求a
100
；

观察找规律 3
5 6
9 10 12
17 18 20 24
33 34 36 40 48
..............................................
第一行1个数，第二行2个数，……，第n行n个数，
1+2+3+……+n≥100≥ 1+2+3+……+n-1, 得n=14,
说明a
100
在第14行，每一行的第 一个数分别为2+1，2
2
+1，2
3
+1，2
4
+1，2
5
+1，2
6
+1，……2
14
+1，
∵前13行用了91个数.∴ a
100
在第14行的第9个数，
a
100
=2
14
+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.

理性思维 (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) …………(0,n)
(1,2) (1,3) (1,4) …………(1,n)
(2,3) (2,4) …………(2,n)
(3,4) ………… (3,n)
…………
(n-1,n)

17 33
18 34
20 36
(0,14)
24 40
(1,14)
48
(2,14)

n

(

n



1

)

(3,14)
100,n14,

123n
(4,14)
2

(5,14)
a
100
在第14列，第14列对应的二元数组为

(6,14)
a
100
在第14列对应第9个数组， (8,14)
a
100
=2
14
+2
8
=16640.










(7,14)
(8,14)
(9,14)
(10,14)
(11,14)
(12,14)
(13,14)

六、函数与不等式综合题
1、可能出现的题型：
函数的单调性，最值问题的探究；
函数与证明不等式综合；
求参数的取值范围；
构造函数与不等式的实际应用性问题；
涉及函数的不等式求解；
判断方程根的个数，等等。
2、解决函数、不等式综合题的必备知识是：
基本初等函数的定义域、值域、对应法则、图象及其它性质
（单调性、奇偶性、周期性、最值）,不等式的基本性质。
３、研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法要熟
练掌握，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含
参字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法等。
4.特别注意利用导数研究函数：
(1)利用导数求函数的单调区间；
(2)利用导数与函数单调性的关系求字母的取 值范围；
(3)利用导数研究函数的极值、最值；
(4)利用导数证明不等式.
(5)利用导数研究函数图象的交点.
5.二次函数是常青树
几个关系
1
f

(x)0
与
f(x)
为增函数的关系．
f

(x)0
能推出
f(x)
为增函数，但反之不一定．如函数f(x)x
3
在
(,)
上单调递增，但
f

(x)0
，所以
f

(x)0
是
f(x)为增函数的充分不必要条件．

2
f

(x)0
时，
f
< br>(x)0
与
f(x)
为增函数的关系．
若将
f

(x)0
的根作为分界点，因为规定
f

(x)0
，即 抠去了分界点，此
时
f(x)
为增函数，就一定有
f

(x )0
．所以当
f

(x)0
时，
f

(x)0
是
f(x)
为增函数的充分必要条件．
3
f

(x)0
与
f(x)
为增函数的关系．
f (x)
为增函数，一定可以推出
f

(x)0
，但反之不一定，因 为
f

(x)0
，即
为
f

(x)0
或
f

(x)0
．当函数在某个区间内恒有
f

(x)0
，则
f(x)
为常数，
函数不具有单调性．所以
f

(x)0
是
f(x)
为增函数的必要不充分条件．


(全国B卷文科第21题)

例1：
11

若函 数f(x)x
3
ax
2
(a1)x1在区间（1，4）
3 2

）上为增函数，

内为减函数，在区间（6，

试求实数a的取值范围。

f

(x)x
2
axa1

1，4）内为减函数

f(x)在区间（


6，）为增函数


f(x)在区间区间（

解法一：
y
x
2
axa10的两个根为x1或xa1.(1)当a11时，函数f

(x)x
2
axa1
是 开口向上的抛物线，且与x轴的另一个
a-1
0
1
4
6
x< br>交点在1的左侧，则在区间（1，4）内f

(x)0,
那么在（1，4）内为 增函数，不合题意.

y
(2)当1a14时，函数f

(x)x
2
axa1
是开口向上的抛物线，且与x轴的另一个
交点在1与4的之 间，则在区间（1，4）内f

(x)0,
不恒成立,那么在（1，4）内不为减函数 ，不合题意.
01
a-1
46x


y
01
4a-1
6
x

y
0
1
4
6
a-1x








解法二：
f
(x)x
2
axa1
4）内为减函数

f(x )在区间（1，

）为增函数

f(x)在区间区间（6，
2< br>
4）小于等于零

f(x)xaxa1区间（1，


2
）大于等于零


f(x)xaxa1区间（6 ，

f(1)0

aR



f( 4)0

a55a7

f(6)0

a7


y
01
4a-1
6
x