日式餐具-育儿心得体会

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1
n
样本数据
x
1
,x
2
,L,x
n
的方差
s

x
i
x
n
i12

2
1
n
，其中
x

x
i
．
n
i1
棱柱的体积
VSh
，其中
S< br>是棱柱的底面积，
h
是高．
1
棱锥的体积
VSh
，其中
S
是棱锥的底面积，
h
为高．

3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
（1）【2016年江苏，1，5分】 已知集合
A

1,2,3,6

，
B
x|2x3

，则
AIB
_______．
【答案】

1,2


【解析】由交集的定义可得
AIB

1,2

．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
（2）【201 6年江苏，2，5分】复数
z

12i

3i
< br>，其中
i
为虚数单位，则
z
的实部是_______．
【答案】5
【解析】由复数乘法可得
z55i
，则则
z
的实部是5．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
x
2
y
2
（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
1
的焦距是_______．
73
【答案】
210

【解析】
ca
2
b
2
10
，因此焦距为
2c210
．
【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础
（4）【2 016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是___ ____．
【答案】
0.1

1
【解析】
x5.1，
s
2


0.4
2
0.3
20
2
0.3
2
0.4
2

0.1．
5
【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的 合理运用．
（5）【2016年江苏，5，5分】函数
y32xx
2
的定义域是_______．
【答案】

3,1


【 解析】
32xx
2
≥0
，解得
3≤x≤1
，因此定义 域为

3,1

．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．
（ 6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出
a
的值是_______ _．
【答案】9
【解析】
a,b
的变化如下表：
a

1 5 9
b

9 7 5
则输出时
a9
．
【点评】本 题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
（7） 【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有
1,2,3,4,5,6
个点为正方体玩具）
先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________ ．
5
【答案】
6
【解析】将先后两次点数记为

x,y

，则共有
6636
个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有

4,6

,

5,5

,
< br>5,6

,

6,4

,

6,5

,

6,6

六种，则点数之和小于10共有30种，概 率为
1


305

．
366

< br>【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
2
3
，
S
5
10
，则
a
9
的值是（8）【2016年江苏，8，5分】已知

a
n

是等差数列，
S
n
是其前
n
项和．若
a
1
a
2
_______．
【答案】20
5a
1
10d 10
，【解析】设公差为
d
，则由题意可得
a
1


a
1
d

3
，解得
a
1
4
，则
a
9
48320
．
d3
，
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的 合理运用．
y
（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间

0,3π

上的函数
ysin2x
的图象与
ycosx
的图象的 交点个数是________．
【答案】7
【解析】画出函数图象草图，共7个交点． < br>【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数
ysin2x
与
y cosx
在区间
1
x
O
-1
2

0,3


上的图象是关键，属于中档题．
x
2
y
2< br>B
（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系
xOy
中 ，
F
是椭圆
2

2
1

ab0
ab

O
b
的右焦点，直线
y
与椭 圆交于
B,C
两点，且
BFC90
，则该椭圆的离心率是______ __．
2
6
【答案】
3

3ab

3ab

b
,C
【解析】由题意得
F

c,0< br>
，直线
y
与椭圆方程联立可得
B

，


22


2
,
2


，由
BFC90
可得
2

y
C
F
x
uuur

r

uuuruuur
3ab

uuu
3ab

3
2
1
22
c, CFc,
BFCF0
，
BF

，，则
ca b0
，由
b
2
a
2
c
2
可得 

22

22

44

c26
3
2
1
2

．
ca
，则e
a33
42
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的 条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能
力，属于中档题．

xa,1 x0,

（11【）2016年江苏，11，5分】设
f

x
是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间

1,1

上
f

x



2

x,0x1,

5


5

9

其中
aR
，若
f



 f

，则
f

5a

的值是________．

2

2

2
【答案】

< br>5
11
11

5

1

9
1

21

5

9

【解析】由题意得
f



f


< br>a
，
f

f


，由f



f

可得
a
，
2
210

2

2

2

2

5210

2

2

33 2
则
a
，则
f

5a

f

3

f

1

1a1
．
555
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值 ，是解答的关键．

x2y40,

（12）【2016年江苏，1 2，5分】已知实数
x,y
满足

2xy20,
则
x
2
y
2
的取值范围是________．

3xy30,


4

【答案】

,13



5

【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：
x
2
y
2
为可行域内的点到原点距离的平方．
可以看出 图中
A
点距离原点最近，此时距离为原点
A
到直线
2xy20
的距离，
2


4
3
2
1
–4 –3–2–1
–1
–2
–3
–4
A
1234
yB
x

d
2
41

25
4
，则

x
2
y
2


，图中< br>B
点距离原点最远，
B
点为
x2y40
与
3x y30
交
min
5
5
max
点，则
B

2,3

，则

x
2
y
2

13
．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．
A
（13）【2016年江苏，13，5分】如图，在
△ABC
中，
D
是
BC
的中点，
E,F
是
AD
上两个三等分点，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
BACA4
，
BFCF 1
，则
BECE
的值是________．
E
7
【答案】
F
8
uuurruuurruuurruu urr
uuu
uuurrruuurrr
rr
【解析】令
DFa< br>，
DBb
，则
DCb
，
DE2a
，
DA3a
，则
BA3ab
，
CA3ab
，
uu uruuurr
2
r
2
uuuruuurr
2
r
2
uuurrruuurrruuurrruuurrr
D
BFCFab
，
B
BE2ab
，
CE2ab
，
BFab< br>，
CFab
，则
BACA9ab
，
uuuruuu rr
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
uuuruuuruuuruuur
r
2
5
r
2
13
BECE4ab
，由
BACA4
，
BF CF1
可得
9ab4
，
ab1
，因此
a ,b
，
88
uuuruuurr
2
r
2
45137
因此
BECE4ab
．
888
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
（14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形
ABC
中，则
tan AtanBtanC
的最小值是_______．
sinA2sinBsinC
，
【答案】8
【解析】由
sinA sin

πA

sin

BC

sinBcosCcosBsinC
，
sinA2sinBsinC
，
可得
sinBcosCcosBsinC2sinBsinC
（*），由三角形
ABC
为锐角三角形，则
cosB0,cosC0
，
在（*）式两侧同 时除以
cosBcosC
可得
tanBtanC2tanBtanC
，
tanBtanC
又
tanAtan

πA
tan

BC


(#)，
1tanBt anC
tanBtanC
则
tanAtanBtanCtanBtanC，由
tanBtanC2tanBtanC
可得
1tanBtanC
2
2

tanBtanC

，令
tanBtanCt< br>，由
A,B,C
为锐角可得
tanA0,tanB0,tanC0
，
tanAtanBtanC
1tanBtanC
2t
2
2

由(#)得
1tanBtanC0
，解得
t1
，
tanAtanBtanC
，
11
1t

t< br>2
t
11

11

1
111
< br>



，由
t1
则
0
2
，因此
tanAtanBtanC
最小值为
8
，
2
tt

t2

4
tt4
当且仅当
t 2
时取到等号，此时
tanBtanC4
，
tanBtanC2
，
2
C
解得
tanB22,tanC22,tanA4
（或
tanB,tanC
互换），此时
A,B,C
均为锐角．
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．
二、解答题： 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明
．．． ．．．．．
过程或演算步骤．
（15）【2016年江苏，15，14分】在
△AB C
中，
AC6
，
cosB
（1）求
AB
的长；
π

cos

A

6

的值．

（2）求
解：（1）
QcosB
4
π
，
C
．
4
5
AB6
43ABAC
，
B
为三角形的内角，< br>sinB
，
Q

，即：
AB52
．

55sinCsinB
，
2
3
5
2
272（2）
cosAcos

CB

sinBsinCc osBcosC
，，又
QA
为三角形的内角，
sinA
，
cosA
1010

3

π

3172

6

．
cos

A

cosAsinA
6

2 220

【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中 档题．
（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
D,E
分别为
AB,BC< br>的中点，
C
1
A
1
B
1
点
F在侧棱
B
1
B
上，且
B
1
DA
1< br>F
，
AC
11
A
1
B
1
．求证：
（1）直线
DE
平面
A
1
C
1
F
；
（2）平面
B
1
DE
平面
A
1< br>C
1
F
．
F
C
A
D
E
B
ACAC
解：（1）又
QABCA
1
B
1
C< br>1
为棱柱，
QD,E
为中点，
DEAC
，
DE< br>为
ABC
的中位线，
11

DEAC
11
，又
QAC
11

平面
A
1
C
1
F
，且
DEAC
11
F
，
DE
平面
A
1
C
1
F
．
（2）
QABCA
1
B
1
C
1
为直棱柱，
AA
1

平面
A
1
B
1
C
1
，
AA
1< br>AC
11
，又
QAC
11
A
1
B
1
，
AC
且
AA
1
IA
1
B
1
A
1
，
AA
1
,A
1
B
1

平面
AA
1
B
1
B
，又
QDE AC

DE
平面
AA
1
B
1
B
，
11

平面
AA
1
B
1
B
，
11
，
又
QA
1
F
平面
AA
1
B
1
B
，
DEA
1
F
，又
Q A
1
FB
1
D
，
DEIB
1
DD，且
DE,B
1
D
平面
B
1
DE
，
A
1
F
平面
B
1
DE
，又
Q A
1
FAC
11
F
，

平面
B
1
DE
平面
A
1
C
1
F
．
【 点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． < br>（17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是 正四
P
棱锥
PA
1
B
1
C
1
D
1
，下部分的形状是正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
（如图所示），并要求正四棱柱
D
1
C
1
B
1
的高
O
1
O
是正四棱锥的高PO
1
的
4
倍．
（1）若
AB6m，
PO
1
2m
，则仓库的容积是多少；
O
1
A
1
（2）若正四棱锥的侧棱长为
6m，当
PO
1
为多少时，仓库的容积最大？
D
11
O< br>解：（1）
PO
1
2m
，则
OO
1
8m
，
V
PA
1
B
1
C
1
D
1
=S
ABCD
PO
1
6
2
224m
3
，
A
33
V
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
=S
ABCD
OO
16
2
8288m
3
，
V=V
PA
1< br>B
1
C
1
D
1
V
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
312m
3
，故 仓库的容积为
312m
3
．
（2）设
PO
1
x m
，仓库的容积为
V(x)
，则
OO
1
4xm
，
A
1
O
1
36x
2
m
，
A< br>1
B
1
236x
2
m
，
2
1112
2
V
PA
1
B
1
C
1
D
1
=S
ABCD
PO
1
722xx

72x2x
3

24xx
3
m
3
，
3333
C
B


V
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
=S
ABCD
O O
1


722x
2

4x288x8x
2
3
m
3
，
226
V

x
=V
PA
1
B
1
C
1
D
1
V
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
24xx
3
288x8x
3
x
3
312x

0x6

，
33
V'

x

26x
2
31226

x
212


0x6

，当
x0,23
时 ，
V'

x

0
，
V

x
单调递增，

当
x23,6
时，
V'

x

0
，
V

x

单调递减 ，因此，当
x23
时，
V

x

取到最大值，
即
PO
1
23m
时，仓库的容积最大．
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．
（18 ）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知以
M< br>为圆心的圆
M
：
x
2
y
2
12x14 y600
及其上一点
A

2,4

．

y
（1）设圆
N
与
x
轴相切，与圆
M
外切，且圆心
N
在直线
x6
上，求圆
N
的标准方程；
（2）设平行于
OA
的直线
l
与圆M
相交于
B,C
两点，且
BCOA
，求直线
l
的方程；
uuruuruuur
（3）设点
T

t,0

满足：存在圆
M
上的两点
P
和
Q
，使得
TATPTQ
，求实数
t
的取值范
围．
解：（1）因为N
在直线
x6
上，设
N

6,n

，因为与
x
轴相切，则圆
N
为

x6



yn

n
2
，
22
M
A
O
x
n0
，又圆
N
与圆
M
外切，圆< br>M
：

x6



x7
25
，则
7nn5
，解得
n1
，
即圆N
的标准方程为

x6



y1

1
．
（2）由题意得
OA25
，
k
OA
2
设l:y2xb
，则圆心
M
到直线
l
的距离
d4


22
22
127b
21
2

5b
5
，

25
， ，
BC25
，即
225
55
解得
b5
或
b15
，即
l
：
y2x5
或
y2x15
．
u uruuruuuruuruuuruuruuur
uuruuuruuur
uur
2
2
（3）
TATPTQ
，即
TATQTPPQ
， 即
TAPQ
，
TA

t2

4
， 又
PQ≤10
，
则
BC25
2
d
2
225

5b

2

5b

2< br>uuruuur

即

t2

4≤10< br>，解得
t2221,2221
，对于任意
t2221,2221< br>，欲使
TAPQ
，

uur
2
TA
uur
此时
TA10
，只需要作直线
TA
的平行线，使圆心到直 线的距离为
25
，必然与圆交于
P、Q
两
4
uuruuu r
uuruuur
点，此时
TAPQ
，即
TAPQ
，因 此对于任意
t

2221,2221

，均满足题意，

综上
t

2221,2221

． < br>
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法， 是中档题，解题时
要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
（19）【2016年江苏，1 9，16分】已知函数
f

x

a
x
b
x

a0,b0,a1,b1

．
2
2
（1）设
a2
，
b
1
．
2
①求方程
f

x

2
的根；
②若对于任意
xR
，不等式
f

2x

≥mf

x

6
恒成立，求实数
m
的最大值；
（2）若
0a1
，
b1
，函数
g

x

f

x

2
有且只有1个零点 ，求
ab
的值．
1

1

解：（1）①
f

x

2
x


，由
f< br>
x

2
可得
2
x

x
2
，
2

2

则

2
x

22
x
10
，即

2
x
1

0
，则
2
x
1
，
x0
．
22
x
②由题意得
2
2x

2
1

x
1
≥m

2
x
2
2x
2

1
1

x
x
x
6< br>t≥222
， 恒成立，令，则由可得
20
t2

2
x
2
x

44
t
2
44
此时
t2≥mt6
恒成立，即
m≤
当且仅当
t2
时
t
恒成立∵
t≥2
时
t≥2t4
，
tt
tt
等号成立，因此实数
m
的最大值为
4
．
< br>lna

b

x

b
xx
xxx< br>（2）
g

x

f

x

2ab2
，
g'

x

alnablnb alnb

由
0a1
，



，
b1
可得
1
，
lnba
a

< br>

b

lna

lna

令< br>h

x




，则
h

x

递增，而
lna0,lnb0
，因此
x
0
log
b



时
h

x< br>0

0
，
lnb

a

lnb

a
x
因此
x

,x
0

时，
h

x

0
，
a
xlnb0
，则
g'

x

0
；
x 

x
0
,

时，
h

x< br>
0
，
a
x
lnb0
，
则
g '

x

0
；则
g

x
在

,x
0

递减，

x
0,

递增，因此
g

x

最小值为
g

x
0

，
x
log
b
2时，
xlog
a
2
时，① 若
g

x
0

0
，则
g

x

0
；< br>a
x
a
log
a
2
2
，
bx
0
，
a
x
0
，
b
x
 b
log
b
2
2
，
则
g

x

0
；因此
x
1
log
a
2
且
x
1
x
0
时，
g

x< br>1

0
，因此
g

x

在

x
1
,x
0

有零点，

x< br>2
log
b
2
且
x
2
x
0时，
g

x
2

0
，因此
g

x

在

x
0
,x
2
有零点，
则
g

x

至少有两个零点，与条件矛盾；
② 若
g

x
0

0
，由函数
g

x

有且只有1个零点，
g

x

最小值为
g

x
0

，可得
g

x
0< br>
0
，
lna

lna

由g

0

a
0
b
0
20，因此
x
0
0
，因此
log
b


1
，即
lnalnb0
，

0
，即
lnb
lnb

a

因此
ln

ab

0
，则
ab1
．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用， 考查分
析问题解决问题的能力．
5

（20）【 2016年江苏，20，16分】记
U

1,2,L,100

． 对数列

a
n

（
nN
*
）和
U
的子集
T
，若
T
，定义
S
T
0< br>；
T

1,3,66

时，
S
T
a
1
a
3
a
66
．若
T
t
1
,t
2
,L,t
k

，定义
S< br>T
a
t
1
a
t
2
La
t< br>k
．例如：现设

a
n

（
nN
*
）
是公比为
3
的等比数列，且当
T

2,4

时，
S
T
30
．
（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）对 任意正整数
k
（
1≤k≤100
），若
T

1, 2,L,k

，求证：
S
T
a
k1
；
（3）设
CU
，
DU
，
S
C
≥S
D
，求证：
S
C
S
CID
≥2S
D
． < br>解：（1）当
T

2,4

时，
S
Ta
2
a
4
a
2
9a
2
30
，因此
a
2
3
，从而
a
1

2 k1
a
2
1
，
a
n
3
n1
．
3
3
k
1
k
（2）
S
T
≤a
1
a
2
La
k
133L33a< br>k1

2
S
C
S
A
S
CID
，
S
D
S
B
S
CID
，
B ð
D

CID

，
AIB
，（3）设
Að
C

CID

，
S
C
S
CID
2S
D
S
A
2S
B
，
因 此原题就等价于证明
S
A
≥2S
B
．由条件
S
C< br>≥S
D
可知
S
A
≥S
B
．
① 若
B
，则
S
B
0
，所以
S
A
≥2S
B
．
② 若
B
，由
S
A
≥S
B
可知
A
，设
A
中最大元素为
l
，< br>B
中最大元素为
m
，
S
A
a
l1
≤a
m
≤S
B
， 若
m≥l1
，则由第⑵小题，矛盾．因为
AIB
，所以
lm
，所以
l≥m1
，
S
3
m
1
a
m1
a
l

S
B
≤a
1
a
2
La
m
 133L3≤≤
A
，即
S
A
2S
B
．
2222
综上所述，
S
A
≥2S
B
，因此S
C
S
CID
≥2S
D
．
2m1
【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．
数学Ⅱ
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答，若多做，则按作答
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
的前两题评分．解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．
B
（21-A）【2016年江苏，21-A，10分】 （选修4-1：几何证明选讲）如图，在
△ABC
中，
ABC90
，< br>E
BDAC
，
D
为垂足，
E
是
BC
中点，求证：
EDCABD
．
1
D
解：由
BD AC
可得
BDC90
，由
E
是
BC
中点可得
DECEBC
，则
EDCC
，
A
2
由
BDC90
可得
CDBC90
，由
ABC90 
可得
ABDDBC90
，因此
ABDC
，
又
EDCC
可得
EDCABD
．
【点评】本 题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属 于
中档题．
1


12

1
1< br>（21-B）【2016年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵
A

，矩阵
B
的逆矩阵
B

2

，



02

02

求矩阵AB
．
1

1


2
2


1
1

5

1



12




4
4

< br>1
1
1
解：
B

B


22






，因此
AB

4

．


1


02


0
1

01

< br>01


0



2


2



22
【点评】本题考查逆变换与逆矩 阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．
（21-C）【2016年江苏，21-C，10分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的 < br>1

x1t,


xcos

,2

参数方程为

，椭圆的参数方程为
C
t为参数

为参数

，设直线
l
与椭圆
C
相 交


y2sin

,


y3
t,

2
于
A,B
两点，求线段
AB的长．
C
6

y
2
解：直 线
l
方程化为普通方程为
3xy30
，椭圆
C
方程化 为普通方程为
x1
，
4
1

2

3 xy30
x
2


x1

8316
7



1

2
0
联立得< br>
，解得

或

，因此
AB

1 



．

y

2
y0
777


1



x

y
83
4

7

【点评】本题考查直线与椭 圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基
础题．
a a
（21-D）【2016年江苏，21-D】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设< br>a0
，
x1
，
y2
，
33
求证：
2xy4a
．
2
a2a2aa
可得
2x2，
2xy4≤2x2y2a
．
3333
【点评】本题 考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，
属于 基础题．
【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．
y
．．．．．．．．．．．
解：由
x1
（22）【2016年江 苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l:xy20
，
抛物线
C:y2px

p0

．
2
l
C
（1）若直线
l
过抛物线
C
的焦点，求抛物 线
C
的方程；
（2）已知抛物线
C
上存在关于直线
l对称的相异两点
P
和
Q
．
①求证：线段
PQ
上的中点坐标为

2p,p

；
②求
p
的取值范围．
解：（1）
Ql:xy20
，

l
与
x
轴的交点坐标为

2,0

，即 抛物线的焦点为

2,0

，

Ox
p
 2
，
y
2
8x
．
2

y
1
2
x
1

2

2p
y2px
yy
2
2p


1
（2）① 设点
P

x
1
,y
1

，
Q

x
2
,y
2

，则：

1
2
，即

2
，
k
PQ

2
1
，

2
y2px
yy
yy


22
1
1 2

y
2
x

2
2

2p2p

2p
yy
2
又
QP,Q
关于直线
l< br>对称，
k
PQ
1
，即
y
1
y
2
2p
，

1
p
，
2
xx yy
2

线段
PQ
上的中点坐标为

2p, p

；又
QPQ
中点一定在直线
l
上，

12

1
22p
，
22
y
1
y
2
2p


y
1
y
2
 2p

y
1
y
2
2p

22



②
Q
中点坐标为

2p,p

，即，，
y1
y
2

2

222
yy8p4p< br>yy4p4p
xx42p

12

12
2

1
2p

2

4

即关于< br>y
2
2py4p
2
4p0
有两个不等根，
 0
，

2p

4

4p
2
4p

0
，
p

0,

． 
3

【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考 查转化思想以及计算能力．
（23）【2016年江苏，23，10分】
4
（1）求
7C
3
6
4C
7
的值； < br>mmmmm2
（2）设
m,nN
*
，求证：
n≥m
，

m1

C
m
m


m 2

C
m1


m3

C
m 2
LnC
n1


n1

C
n


m1

C
n2
．
4
解 ：（1）
7C
3
6
4C
7
7204350．
（2）对任意的
mN
*
，
m2
① 当
nm
时，左边


m1

C
m
m< br>m1
，右边


m1

C
m2m1
，等式成立，
② 假设
nk

k≥m

时命题成立，即
mm< br>
m1

C
m
m


m2
C
m1


m3

C
m2< br>L
mm2
kC
m
k1


k1< br>
C
k


m1

C
k2，
7

mmmmm
当
nk 1
时，左边=

m1

C
m
m

m2

C
m1


m3
< br>C
m2
LkC
k1


k1
< br>C
k


k2

C
k1

m1

C
m2
k2


k 2

C
m
k1

，


k 3

!

k2

!

m2m22
m1Cm1Cm1
右边


m1
C
m
，而



k3k2
k3
m2!km1!m2!km!






k2

!

k1

!
m
k3km1k2k2C




m1



k1
< br>
m2!km1!

m!km1!

 2mm2
因此

m1

C
m
k2

k2

C
k1


m1< br>
C
k3
，因此左边=右边，因此
nk1
时命题也成立 ，
综合①②可得命题对任意
n≥m
均成立．
m1
另解：因为< br>
k1

C
m
k


m1
C
k1
，所以
1m1m1
m1m1m1左边


m1

C
m
m1

m1

C
m2
L

m1

C
n1


m1


C
m 1
C
m2
LC
n1

又由
CCk
n
k
n1
C
k1
n1

，知
2m2m1m211m2m1m1m1m1m1
C< br>m
C
m
C
m
n2
C
n1
C
n1
C
nnn1
LC
m2
C
m 2
LC
n1
C
m1
C
m2
L C
n1
，
所以，左边

右边．
【点评】本题考查组合 数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运
用．
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