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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页, 23小题, 满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、 考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅
笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条 形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时, 选出每小题答案后, 用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动, 先划掉原来的答案, 学科网然后再写上新答案；不准使
用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}, B={x|
3
x
1
}, 则
A．
AIB{x|x0}

C．
AUB{x|x1}





B．
AUBR

D．
AIB

2．如图, 正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于
正方形的中 心成中心对称.在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是

A．
C．
1

4










B．
D．
π

8
1

2
π
4

3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z
满足
R
, 则
zR
；
z
p
2
：若复数
z
满足z
2
R
, 则
zR
；
p
3< br>：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z< br>2
R
, 则
z
1
z
2
；

1

p
4
：若复数
zR
, 则
zR
.
其中的真命题为
A.
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
,
S
6
48
, 则
{a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减, 且为奇函数．若
f(1)1
, 则满足
1f(x2)1
的
x
的
取值范围是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
)(1x)
6
展开式中
x
2
的系数为
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示, 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方
形的边长为2, 俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形, 这些梯形的
面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16
和两个空白框中, 可以8．下面程序框图是为了求出满足3
n
−2
n
>1000的最小偶数n, 那么在
分别填入
A．A>1 000和n=n+1
B．A>1 000和n=n+2
C．A

1 000和n=n+1
D．A

1 000和n=n+2

2

9．已知曲线C
1
：y=cos x, C
2
：y=sin (2x+
2π
), 则下面结论正确的是 < br>3
π
个单
6
A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移
位长度, 得到曲线C
2
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移
位长度, 得到曲线C
2
C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
位长度, 得到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
位长度, 得到曲线C
2
π
个单
12
1
π
倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移个单
26
1
π
倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单
212
10．已知F为抛物线C：y< br>2
=4x的焦点, 过F作两条互相垂直的直线l
1
, l
2
, 直线l
1
与C交
于A、B两点, 直线l
2
与C交于D、E两点, 则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设x
、
y
、
z为正数, 且
2
x
3
y
5
z
, 则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣, 他们推
出了“解数学题获取软件激活码 ”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1,
2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8,
16, …, 其中第一项是2
0
, 接下来的两项是2
0
, 2
1
, 再接下来的三项是2
0
,
2
1
, 2
2
, 依此类推.求满足如下条件 的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那
么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。

3

13．已知向量a, b的夹角为60°, |a|=2, |b|=1, 则| a +2b |= .

x2y1，

，
14．设x, y满足约束条件

2xy1
则
z3x2y
的最小值为 .

xy0，

x
2
y
2
15．已 知双曲线C：
2

2
1
（a>0, b>0）的右顶点为A, 以A为圆心, b为半径作圆A,
ab
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M, N两点.若∠MAN=60°, 则C的离心率为 .
16．如图, 圆形纸片的圆心为O, 半径为5 cm, 该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,
E, F为圆O上的点, △DBC, △ECA, △FAB分别是以BC, CA, AB
为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以BC, CA, AB为折痕折起△DBC,
△ECA, △FAB, 使得D, E, F重合, 得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,
所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值为 .


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题, 每个试题
考生都必须作答。第22、23题为选考题, 考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知△ABC的面积为
a
2
.
3sinA
（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1, a=3, 求△ABC的周长.










4

18.（12分）
如图, 在四棱锥P−ABCD中, ABCD, 且
BAPCDP90
o
.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC,
APD90
o
, 求二面角A−PB−C的余弦值.

















5

19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程
,
检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个零件
,
并测量其尺寸（单位：
cm
）．根据长期生产经验
,
可 以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸
服从正态分布
N(

,

2
)
．

（
1
）假设生产状态正常
,
记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的
零件 数
,
求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽检零件中
,
如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的 零件
,
学
+
科网就认为
这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况
,
需对当天的生产过程进行检查．

（
ⅰ
）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（
ⅱ
）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
,
s
经计算得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)0.212
,
其中

16
i1
16
i1
16
i1
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸
,
i1,2,,16
．

ˆ
,
用样本标准差
s
作为

的估计值

ˆ
,
利用估计值判断用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ)
之外的数据
,
用剩下的数据估计

和

是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
(

（精确到
0.01）．

2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)
,
则
P(

3< br>
Z

3

)0.997 4
,
0.997 4
16
0.959 2
,












0.0080.09
．

6

20.（12分）
3
x2
y
2
已知椭圆C：
2

2
=1
（a >b>0）, 四点P
1
（1,1）, P
2
（0,1）, P
3
（–1, ）,
2
ab
P
4
（1,
3
）中恰有三点在椭圆C上.
2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A, B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1, 证
明：l过定点.
21.（12分）
已知函数
f(x)ae
2 x
(a2)e
x
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点, 求a的取值范围.
















（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

7


x3cos

,
在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为

（θ为参数）, 直线l的参数方程为

ysin

,


xa4t

y1t,
（
,
t为参数）
.
（1）若a=−1, 求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为
17
, 求a.



















23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f(x)
–x
2
ax4
,
g(x)
|x1||x1|
.
（1）当a=1时, 求不等式
f(x)g(x)
的解集；
（2）若不等式
f(x)g(x)
的解集包含[–1, 1], 求a的取值范围.









8

答案解析
绝密★启用前
1．

【答案】A
【解析】 由
3
x
1
可得
3
x
3
0
, 则
x0
, 即
B{x|x0}
, 所以
AIB{x|x1}I{x|x0}

{x|x0}
,
AUB{x|x1}U{x|x0}{x|x1}
, 故选A.
2．

【答案】B
π
a
2
a
2
【解析】设正方形边长为
a
, 则圆的半径为, 正方形的面积为
a
, 圆的面积为.由图
4
2
形的对称性可知, 太极图中黑白部分面积相等, 即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公
1πa
2

π
式得, 此点取自黑色部分的概率是
2
2
4

, 选B.
a8
秒杀解析：由题意可知, 此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例, 由图可
知其概率
p
满足
3．


9
11
p
, 故选B.
42

【答案】B

4．
【答案】C
【解析】设公差为
d
,
a
4
a
5< br>a
1
3da
1
4d2a
1
7d24< br>,
S
6
6a
1


2a1
7d24
65
,
解得
d4
, 故选C.
d6a
1
15d48
, 联立

6a15d48
2

1
6(a
1
a
6)
3(a
3
a
4
)48
, 即
a
3
a
4
16
, 则
2
秒杀解析：因为
S
6

(a
4
a
5
) (a
3
a
4
)24168
, 即
a
5
a
3
2d8
, 解得
d4
, 故选C.
5．

【答案】D
【解析】因为
f(x)
为奇函数且在
(,)
单调递减, 要使
1f(x)1
成立, 则
x
满足
1x1
, 从而由
1x21
得
1x3
, 即满足
1 f(x2)1
成立的
x
的取值范围为
[1,3]
, 选D.
6．
【答案】C
【解析】因为
(1
11
66
)(1x)1(1x)(1x)
6
, 则
(1x )
6
展开式中含
x
2
的项为
22
xx
11
44
22
1C
6
x15x
2
, < br>2
(1x)
6
展开式中含
x
2
的项为
2
C
6
x15x
2
, 故
x
2
的系数为
xx
151530
, 选C.
7．
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成
,
如下图
,
则该几何体各面内只
,
则这些梯形的面积之和为
2(24)212
,
故选
B.
有两个
相同的梯形
2

10
1

8．
【答案】D
【解析】由题意, 因为
3
n
2
n
1000
, 且框图中在“否”时输出, 所以判定框内不能输入
A1000
, 故填
A1000
, 又要求
n
为偶数且初始值为0, 所以矩形框内填
nn2
,
故选D.
9．

【答案】D
【解析】因为
C
1
,C
2
函数名不同, 所以先将
C
2
利用诱导公式转化成与
C
1
相同的函数名, 则
2π2πππ1
)cos(2x)cos(2x)
, 则由< br>C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
33262
π
倍变为
ycos2x
, 再将曲线向左平移个单位长度得到
C
2
, 故选D.
12
C
2
:ysin(2x
10．
【答案】A
11．
【答案】D
xyz
【解析】令
235k(k1)
, 则
xlog
2
k
,
ylog
3
k
,
zlog
5
k


11

∴
2x2lgklg3lg9
1
, 则
2x3y
,
3ylg23lgklg8
2x2lgklg5lg25
1
, 则
2x5z
, 故选D.
5zlg25lgklg32
12．
【答案】A
【解析】由题意得, 数列如下：
1,
1,2,< br>1,2,4,
L
1,2,4,
L
,2
k1
L

则该数列的前
12Lk
k(k1)
项和为
2

k(k1)

k1k1
S

1(12)
L
(12
L
2)2k2
,


2

要使
k(k1)
100
, 有
k14
, 此时
k22
k1
, 所 以
k2
是第
k1
组等比数列
2
1,2,
L,2
k
的部分和, 设
k212L2
t1
2
t
1
,
所以
k2
t
314
, 则
t5
, 此时
k2
5
329
,
所以对应满足条件的最小整数
N
2930
5440
, 故选A.
2
二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。
13．
【答案】
23

【解析】
|a2b||a| 4ab4|b|4421cos60412
, 所以
|a2b|1223
.
秒杀解析：利用如下图形, 可以判断出
a2b
的模长是以2为边长, 一夹角为60°的菱形的对角
线的长度, 则为
23
.
222
o

12

14

【答案】
5

【解析】不等式组表示的可行域如图所示, < br>易求得
A(1,1),B(
1
,
1
),C(
1
,
1
3333
)
,
由
z3x2 y
得
y
3z
2
x
2
在
y
轴上 的截距越大,
z
就越小,
所以, 当直线
z3x2y
过点
A
时,
z
取得最小值,
所以
z
的最小值为
3(1)215
.


15．
【答案】
23
3

【解析】

13

如图所示, 作
APMN
, 因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,
双曲线的渐近线
y
b
a
x
上的点, 且
A(a,0)
,
|AM||AN|b
,
而
APMN
, 所以
PAN30
o
,
点
A(a,0)
到直线
y
b
x
的距离
| AP|
|b|
a

1
b
2
,
a
2
在
Rt△PAN
中,
cosPAN
|PA|
|NA|
, 代入计算得
a
2
3b
2
, 即
a3b
,
由
c
2
a
2
b
2
得
c2b
,
所以
e
c
a< br>
2b23
3b

3
.

16．
【答案】
415


则
MN
为

14

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题, 每个试题
考生都必须作答。第22、23题为选考题, 考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
1a
2
1a
【解析】（1）由题设得
acsinB
, 即
csinB
.
23sinA
23sinA
由正弦定理得
1sinA
.
sinCsinB
23sinA

15

故
sinBsinC
2
.
3

18.（12分）
【解析】（1）由已知
BAPCDP90
, 得AB⊥AP, CD⊥PD.
由于ABCD , 故AB⊥PD , 从而AB⊥平面PAD.
又AB

平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面
PAD
内作
PFAD
, 垂足为
F
,
由（1）可知,
AB
平面
PAD
, 故
ABPF
, 可得
PF
平面
ABCD
.
uuur
uuur
x
以
F
为坐标原点,
FA
的方向为轴正方向,
|AB|
为单位长, 建立如图所示的空间直角坐
标系
Fxyz
.

由（1）及已知可得
A(
2
222
,1,0)
.
,0,0)
,
P(0,0,)
,
B(,1,0)
,
C(
2
222
uuuru uur
uuuruuur
22
22
,1,)
,
CB(2,0,0)
,
PA(,0,)
,
AB(0,1,0)
. 所以
PC(
22
22
设n(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量, 则

16

uuur

22

nP C0,
xyz0,


即
uuur
22




nCB0,

2x0,

可取
n(0,1,2)
.
设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量, 则 < br>uuur

22


mPA0,

x z0,
即
uuur


22


m AB0,

y0.

可取
m(1,0,1)
.
则
cos
nm3
,

|n||m|3
3
.
3
所以二面角
APB C
的余弦值为

19
．（
12
分）

ˆ
0.212
, 由样
ˆ
9.97
,

的估计值为

（ii）由
x9.97,s0.212
, 得

的估计值为

ˆ
3

ˆ,

ˆ
3

ˆ
)
之外, 因此需对当天的生产过程进行检查. 本数据可以看出有一个零件的尺寸在
(

ˆ3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22, 剩下数据的平均数为剔除
(

此

的估计值为10.02.
1
(169.979.22)10.02
, 因
15

x
i1
16
2
i
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22 , 剩下数
160.212
2
169.97
2
 1591.134
, 剔除
(


17

据的样本方差为
1
(1591.1349.22
2
1510.02
2
)0.008
,
15
因此

的估计值为
0.0080.09
.
20.（12分）
【解析】（1）由于
P
3
,
P
4
两点关于y轴对称, 故由题设知C经过
P
3
,
P
4
两点.
又由
1
a
2

1
b
2

13< br>a
2

4b
2
知, C不经过点P
1
, 所以点P
2
在C上.

因 此

1

1,
2

b
2

a4,

13
解得

2


a
2



b1.
4b
2
1,
C的方程为
x
2
故
y
2
4
1
.
（2）设直线P
2
A与直线P
2
B的斜率分别为k1
, k
2
,
如果l与x轴垂直, 设l：x=t, 由题设知
t0
, 且
|t|2
,
为（t,
4t
2
2
）, （t,

4t
2
2
）.
则
k
4t
2
24t
2
1
k
2

2t

2
2t
1
, 得
t2
, 不符合题设.
从而可设l：
ykxm
（
m1
）.将
ykxm
代入
x
2
4
y
2
1
得
(4k
2
1)x
2
8kmx4m
2
40
.

由题设可知
=16(4k
2
m
2
1)0
.
设A（x
1
, y
1
）, B（x
2
, y
2
）, 则x
1
+x
2
=

8km
4k
2
1
,
而
k
y1y
2
1
1
k
2

1
x


1
x
2

kx
1m1kx
2

x

m1

1
x
2

2kx
1
x
2
(m1)(x
1< br>x
2
)
xx
.
12
由题设
k
1
k
2
1
, 故
(2k1)x
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)0
.
即
(2k1)
4m
2
 48km
4k
2
1
(m1)
4k
2
1
0
.
解得
k
m1
2
.

可得A, B的坐标分别
x
1
x
2
=4m
2
4
4k
2
1
.
18

当且仅当
m1
时,
0
, 于是l：
y
m1
2
xm
, 即
y1
m1
2
(x2)
,
所以l过定点（2,
1
）.
22．
【解析】（< br>1
）曲线
C
的普通方程为
x
2
2
.
9
y1
当
a1
时, 直线
l
的普通方程为
x4y30
.

x4y3 0,

x
21
,
由



x
2

x3,


25
2
解得

或



9
y1

y0



y
24
25
.
从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0)
,
(
21
25
,
24
25
)
.

23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）当
a1
时, 不等式
f(x)g(x)
等价于
x
2
x|x1||x1|40
.①
当
x1
时, ①式化为
x
2
3x40
, 无解；
当
1x1
时, ①式化为
x
2
x20
, 从而
1x1
；
当
x1
时, ①式化为
x
2
x40
, 从而
1x
117
2
.
所以
f(x)g(x)< br>的解集为
{x|1x
117
2
}
.
（2）当
x[1,1]
时,
g(x)2
.

19

所以
f(x)g(x)
的解集包含
[1,1]
, 等价于当
x[1,1]
时
f(x)2
.
又
f(x)
在
[1,1]
的最小值必为
f(1)
与
f(1)
之一, 所以
f(1)2
且
f(1)2
, 得
1a1
.
所以
a
的取值范围为
[1,1]
.

21.（12分）
（1）
f(x)
的定义域为
(,)
,
f

(x)2ae
【解析】
2x
(a2)e
x
1(ae
x
1)(2e
x
1)
,
（ⅰ）若
a0
, 则
f

(x)0
, 所以
f(x)
在
(,)
单调递减.
（ⅱ）若
a0
, 则由
f

(x)0
得
xlna
.
当
x(,lna)
时,
f

(x)0
；当
x(lna,)
时,
f

(x)0
, 所以
f(x)
在
(,lna)
单调递减, 在
(lna,)
单调递增.

综上,
a
的取值范围为
(0,1)
.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。


20