广东省志愿填报-教师党员转正申请书

2018年4月浙江学考数学真题试卷及答案
满分100分，考试卷时间80分钟
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题 列出的四个选项中只有一个是
符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。）
1.已知集 合
Px0x1,Qx2x3
记
MP

Q
，
则
A.

0,1,2

M
B.

0,1,3

M
C.

0,2,3

M
D.

1,2,3

M

解析：答案为C.
2. 函数
f(x)
MPQ

0，1

3< br>
，1不包含再
M
中，


0,2,3
< br>M
，故选C.

2，
x
1
的定义域
x
A.
xx0
B.
xx0
C.
xx0
D.
R

解析：答案为A. 由题意得
x0且x0
，即
x0
，故选A.



xy10
3. 将不等式组

，表示的平面区域记为

，则属于

的点是

xy10
A.
(3,1)
B.
(1,3)
C.
(1,3)
D.
(3,1)

解析：答案为D. .特殊值代入检验法，由答案A、C两点直接 代入
xy10
不符合题意，
由答案B代入
xy10
不符 合题意，故选D. 另外可以画出不等式组的可行域，直接观察
得到答案D满足.
4. 已知 函数
f(x)log
2
(3x)log
2
(3x)
，则
f(1)

A.
1
B.
log
2
6
C.
3
D.
log
2
9

解析：答案为C. 由
f(1) log
2
(31)log
2
(31)=log
2
4 log
2
2=3
，故选C.
y
2
1
的渐近线方程为 5. 双曲线
x
3
2
A.
y
1
3
x
B.
yx
C.
y3x
D.
y3x

3
3
解析：答案为C. 因为
a1,b3
，所以渐近线方程为
y3x
，故选C.
6. 如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1< br>D
1
中，直线
A
1
C
与平面
ABCD
所成角
的余弦值是
D
1

A
1

D

C
1

B
1

C

B

12
3
6
A. B. C. D.
3
3
3
3
解析：答案D. 设正方体 的棱长为
a
,连接
AC
，则
ACA
为直线
A1
C
与
1
2a6
平面
ABCD
所成角,在< br>R
t
A
中， , 故选D.
AC
cosACA
1
1
3
3a

1

A

（第6题图）

7. 若锐角

满足
sin(


A.
π
3
)
，则
sin



25
2334
B. C. D.
5
545
π
3
解析：答案为D. 因为
sin(

)cos

，又因为

为锐角，而
cos< br>

，所以
25
sin


4
，故选D.
5
8．在 三棱锥
OABC
中，若
D
为
BC
的中点，则
AD 

1111
OAOCOB
B.
OAOBOC

2222
1111
C.
OBOCOA
D.
OBOCOA

2222
1
解析：答案为C.
OD(OCOB)
，
ADAOOD

2
11
ADAOODOBOCOA
,故选C.
22
9. 设

a
n

，

b< br>n

(nN

)
是公差均不为零的等差数列.下列数列中， 不构成等差数列的是
A.
A.

a
n
b
n

B.

a
n
b
n

C.

a
n
b
n1

D.

a
n
b
n1


解析：答案为A. 因为

a
n

，

b
n

都为等差数列，由等差数列的性质可知， 数列

a
n
b
n

、

a
n
b
n1< br>
、

a
n
b
n1

，而
a
n
b
n

不是等差数列，故选A.
10.不等式
2x1x11
的解集是
A.

x3x

B.
< br>x


1

3




1
x3


3

1
3


C.

xx3,或x

D.

xx,或x3




1
3



解析：答案为B.


x+2， （x1）

3x1


x21
1


或


2x1x1

3x,(1 x)



1

x1
1x2



2
1

x2,(x)

2

x21
1

x3
；另外，可用 特殊值代入法，
x2
代入A, 或


，解不等式组得
1
3
x

2
4
x4
代入C, < br>x1
代入D,这3个答案都排除，
sin


，故选B.
5
.

2

11．用列表法将函数
f(x)
表示为 ，则

A.
f(x2)
为奇函数 B.
f(x2)
为偶函数
C.
f(x2)
为奇函数 D.
f(x2)
为偶函数
解析：答案为A.
f(1)1,f (2)0,f(3)1
,
f(1)f(3)
，则
f(x)
关于点
(2,0)
对称，当点
(2,0)
左移2个单位则为原点，所以f(x2)
为奇函数，故选A.
12．如图，在直角坐标系
xOy
中 ，坐标轴将边长为4的正方形
ABCD
分
割成四个小正方形.若大圆为正方形
ABCD
的外接圆，四个小圆分别为
四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是
A.
x
2
y
2
x2y10
B.
x
2
y
2
2x2y10

C.
xy2xy10
D.
xy2x2y10

解析：答案为B. 因为4个圆的圆心坐标分别为 ：

1,1

，

1,1

，
2222
y

A

D

o

B

x

C


1,1
< br>，

1,1

，半径
r1
，只有答案B满足，故 选B.
13. 设
a
为实数，则“
a
（第12题图）
11
2
a
”是“”的
a
a
2
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：答案为A.由
a
111
2
a 0
aa
知，所以 成立，即充分条件成立，当

a
a
2
a
2
a
2

111
2
，
a0
时，
a

a
2
不成立，必要条件不成立，故选A.
aa
a
14. 在直角坐标系
xOy
中，已知点
A(0, 1)
，
B(2,0)
，过
A
的直线交
x
轴于点C(a,0)
，若直
线
AC
的倾斜角是直线
AB
倾斜角 的2倍，则
a

A.
134
B. C.
1
D.
43

4
1
，
2
解析：答案为B. 设直线AB
的倾斜角为

，则直线
AB
的倾斜角为
2

,则
K
AB
tan


K
AC
1
2tan

2

4
，即
1

4
，则
c
3
，故选B.
tan2

c34
1tan
2

1
1
3
4
2 
15. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为
S
甲
，S
乙
，体
积为
V
甲
，V
乙
，则
16.

3

a

a

a

a

正视图
a

a

a

a

a

a

a

a

侧视图
正视图
侧视图
俯视图
（第15题图①）
俯视图
（第15题图②）
A.
S
甲
S
乙
，V
甲
V
乙
B.
S
甲
S
乙
，V
甲
V
乙

C.
S
甲
S
乙
，V
甲
V
乙< br> D.
S
甲
S
乙
，V
甲
V
乙

解析：答案为B. 因为图①是一个边长为
2a
的正方体截去一个边长为
a< br>的小正方体，
S
甲
=6

2a

24a
2
,V
甲


2a

a
37a
3
；图②是一个边长为
2a
的正方体截去一个边长为
23
a
的小正方体的，
S
乙
=6

2a
< br>a
2
2a
2
24a
2
,V
乙


2a

a
3

故选B.
1
2
2
5
2
3
1
2
15
3
a7 a
3
，
2
x
2
y
2
16．如图，设
F
为椭圆
2

2
1(ab0)
的右焦点，过
F
作
x
轴的垂线交椭
ab
圆于点
P
，点
A,B
分别为椭圆的右顶点和上顶点，
O
为坐标原点.若△
OAB
的 积
是△
OPF
面积的
5
倍，则该椭圆的离心率是
2
A.
2314
1015525
或 B.或 C. 或 D.或
5
55
5
5555
151
5
解析：答案为D. 由 题意得：
S
OAB
S
OPF
，所以
OAOBO FPF
，
222
2
151b
2
41
42
22
即
abc
，得
4e25e+25=0
， 解得：
e=
或
e=
，
55
222a
e=
255
或
e
，故选D. < br>55
2
17．设
a
为实数，若函数
f(x)2xxa< br>有零点，则函数
yf[f(x)]
零点的个数是
A.1或3 B. 2或3 C. 2或4 D.3或4
解析：答案为C.
f(x)2x
2
xa
，
 142a0
，
a
1

8
2


1
11


2
① 当
a
时，
yf[f(x)]f(2xx)f

2

x



8
84







4

=
2

2

x< br>






1

< br>1

11

1


2x22x< br>





0

4

4

84

4





22
2
2
22
2
1
11

1


2

x

0
，方程

x


有两解，即有2个零点.
4

44

8

② 当
a
1
2222
时，
yf[f(x)]f(2xxa)2(2xxa)
2xxa

a

8
2(2x
2xa)
2


2x
2
x

，
令
2x
2
xt
，则
f

t

2(ta)t2t

4a1

t2a0

222
2
关于
t
的方程，


4a 1

82a8a1
，又
a
2
1
， 8
所以，关于
t
的函数有两个零点，则方程
2x
2
x t0
有四个解，因此，
函数
yf[f(x)]
有4个零点.
综上①②所述，函数
yf[f(x)]
有2个或4个零点. 故选C.
1 8．如图，设矩形
ABCD
所在平面与梯形
ACEF
所在平面相交于
AC
，若
AB1,BC3
，
AFFEEC1
，则下列二面 角
的平面角的大小为定值的是
A.
FABC
B.
BEFD

C.
ABFC
D.
BAFD

F

E

D

A

B

（第18题图）
C

解析：答案为B. 当平面
ACEF底面矩形ABCD
时，过点
F
作
FOAC
交
AC
于
O
，
连，接
B F
，
BOAC,ACAC
，即
EFFO
，所以
EF平 面FOB
，
OFB
是二面
角
BEFA
的平面角，在< br>R
t
FOB
中，
FOOB

3
OFB
，，又矩形的对称性，
4
2
平面BEF与平面ACEF所成二面角的平面角，
平面DEF与平面ACEF
所成二面角的平面角相等，
都为


，所以二面角
BEFD
的平面角为. 当梯形
AC EF
所在平面旋转时，平面
BEF
与
42

，故选B. < br>2
梯形
ACEF
，
平面
DEF
与梯形
ACE F
，所成的两个二面角的平面角始终为定值

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
19．已知函数
f(x)2sin(2x
▲ .
解析： 最小正周 期
T

3
)1
，则
f(x)
的最小正周期是 ▲ ，的最大值是
2



，
f(x)
最大
=2+1=3
.
2

5

20. 若平面向量
a,b
满足
2ab

1,6

，
a2b(4,9)
，则
ab
▲ .


2ab

1,6

解析：由

，解得：
a

2,1

，b
-3,4




a2b(4,9)
ab 2

3

+14=2
.
21. 在△
A BC
中，已知
AB2
，
AC3
，则
cosC
的 取值范围是 ▲ .
AC
2
BC
2
AB
2< br>9a
2
4a
2
5

解析：由余弦定理得：< br>cosC

2ACBC23a6a
1

5

1515
.


a

2a25
6

a

6a63
而
cosC1
，

2
5
cosC1
.
3
22．若不等式2x

xa

xa20
对任意
xR
恒成立，则实数
a
的最小值是 ▲ .
解析：分类讨论法
（ 1）当
xa0
时，即
xa
，则
2x
2

xa

20

2
即
x
22axa
2
20
，
xR
恒成立，则
4a
2
4a
2
88a
2
80
.

a
不存在.
（2）当
xa0
时，即
xa
，则
2x
2


xa

20
，

2x
2


xa

20，
22
即
3x
2
2axa
2
20< br>，
xR
恒成立，
则
4a43

a2

0
，

a
2
3
，即

a3
或

a 3
.
22
所以，实数
a
的最小值是
3
.

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）
23. (本题满分10分) 在等 差数列

a
n

(nN)
中，已知
a
1
2
，
a
5
6
.

(Ⅰ) 求
a
n

的公差
d
及通项
a
n
；
（Ⅱ） 记
b
n
2
n
(nN

)
，求数列

b
n

的前
n
项和.
a






6

24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线
yx
2
 1
与
x
轴相交于点
A
，
B
两点，
P
是该抛物
线上位于第一象限内的点.
(Ⅰ) 记直线
PA，PB
的斜率分 别为
k
1
,k
2
，求证
k
2
k
1
为定值；
（Ⅱ）过点
A
作
ADPB
，垂足为D
.若
D
关于
x
轴的对称点恰好在直线
PA
上 ，求△
PAD
的面积.






25. （本题满分11分)如图，在直角坐标系
xoy
中，已知点
y

P

A

O

B

D

x

（第24题图）
直线
xt

0t2< br>
，将△
OAB
分成两部分，记左侧部分的多边形为

，设< br>A(2,0),B(1,
3
，)

各边长的平方和为
f(t)
，

各边长的倒数和为
g(t)
.
(1) 分别求函数
f(t)
和
g(t)
的解析式；
（2）是否存在区间< br>(a,b)
，使得函数
f(t)
和
g(t)
在该区间上均单调 递减？若存在，求
ba
的
最大值；若不存在，说明理由.



y

B

o

xt

(第25题图)
A

x


7

2018年4月浙江学考数学参考答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）


题号 1 2 3 4 5 6

答案 C A D C C D

题号 10 11 12 13 14 15

答案 B A B A B B

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
19．

，3 20.
2
21.
[
三、解答题（本大题共3小题，共31分.）
23．解：（1）因为a
5
a
1
4d
，将
a
1
2，
a
5
6
代入，解得数列

a
n

的公差
d1
；
通项
a
n
a
1
(n1)dn1
.
（2）将（1）中的通项
a
n
代入
b
n
2
a
n
2
n1
.
由此可知

b
n

是等比数列，其中首项
b
14
，公比
q2
.
7
D
16
D
8
C
17
C
9
A
18
B
5
,1)
22.
3

3
b
1
(1q
n
)
所以数列

b
n

的前
n
项和
S
n
2
n2
4

1q
24. 解：（1）由题意 得点
A,B
的坐标分别为
A(1,0)
，
B(1,0)
.
2
设点
P
的坐标为
P(t,t1)
，且
t1
，则
t
2
1
t
2
1
t1
，
k
2
t1
，
k
1

t1
t1
所以
k
2
k
1
2
为定值.
（2）由直线
PA,AD
的位置关系知：
k
AD
k
1< br>1t
.
因为
ADPB
，所以，
k
AD
k
2
(1t)(t1)1
，
解得
t2
.因为
P
是第一象限内的点，所以
t2
.
得点
P
的坐标为
P(2,1)
. 联立直线
PB
与
AD
的方程



y(12)(x1),
22
解得点
D
的坐标为
D(,)
.
22

y(12)(x1),
所以△
PAD
的面积
S

12
.
ABy
P
y
D
1
22
25.解：（1）当
0t1
时，多边形

是三角形（如图①）， 边长依次为
t,3t,2t
；
当
1t2
时，多 边形

是四边形（如图②），边长依次为
t,3(2t),2(t1),2


8

y









y

B

B

o

xt

A

x

o

xt

A

x

(第25题图①) (第25题图②)

8t
2
,0t1,
所以，
f(t)

2


8t20t20,1t 2,

331
(),0t1,


23t

g(t)


1111

,1t2.
t2(t1)2

3(2t)

（Ⅱ）由（1）中< br>f(t)
的解析式可知，函数
f(t)
的单调递减区间是
(1,)，
所以
(a,b)(1,)
.
另一方面，任取
t
1
,t
2
(1,)
，且
t1
t
2
，则
5
4
5
4
5
4
111
]
.
t
1
t
2
2(t
1
1)(t
2
1)
3(2t
1
)(2t
2
)
5251
由
1t
1
t
2

知，
1t
1
t
2

,
02(t
1
1)(t
2
1)
,
4168
93

3(2t
1
)( 2t
2
)
.从而
02(t
1
1)(t
2< br>1)
3(2t
1
)(2t
2
)
,
16
11
0
即
2(t
1
1)(t
2
1)
3(2t
1
)(2t
2
)
5
所以
g(t
1
)g (t
2
)0
，得
g(t)
在区间
(1,)
上也单 调递减，
4
5
证得
(a,b)(1,)
.
4
5
所以，存在区间
(1,)
，使得函数
f(t)
和
g(t)
在该区间上均单调递减，
4
1
且
ba
的最大值为.
4

g(t
1
)g(t
2
)
(t
2
t< br>1
)[



9