营养师专业-2017纪念币

2018年全国各地高考数学试题及解析
全国1卷
理科数学
一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要 求的．）
1．设
A．0
，则
B．
（ ）

，则







C．
（ ）
B．

D．
2．已知集合
A．
C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村 的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记
A．
为等差数列

的前项和．若
B．
．若
B．
C．
，

，则

（ ）
D．12
在点
D．
处的切线方程为（ ） 5．设函数
A．

为奇函数，则曲线
C．
1

6．在
A．
C．
中，


为




边上的中线，






为
B．
D．
的中点，则


（ ）
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点< br>圆柱表面上的点
为（ ）
在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到在正视图上的对应点为，
的路径中，最短路径的长度

A． B．
，过点
C．
且斜率为
D．2
交于，两点，则8．设抛物线
（ ）
A．5
的焦点为的直线与
B．6 C．7 D．8
9．已知函数
A． B．
，
C．
，若

存在2个零点，则的取值范围是（ ）
D．
10．下图来自古希腊数学家 希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别
为直角三角形的斜边，直角边 ，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为
，，，则Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点 ，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
（ ）

A． B． C． D．
11．已知双曲线

，为坐标原点，为
2
的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交

点分别为
A．
，

．若
B．3
为直角三角形，则
C．
（ ）
D．4
截此正方体所得截面面积12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面
的最大值为（ ）
所成的角都相等，则
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若
14．记
满 足约束条件
为数列的前项和．若
，则
，则
的最大值为________．
________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生 入选，则不同的选法共有________
种．（用数字填写答案）
16．已知函数，则的最小值是________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选 考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在平面四边形
⑴求
⑵若

18．（12分）
如图，四边形
到达点
为正方形，
．
，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点
；
，求．
中，，，，．
的位置，且

3

⑴证明：平面
⑵求与平面
平面；
所成角的正弦值．









19．（12分）
设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
⑴当与轴垂直时，求直线
⑵设




20．（12分）
为坐标原点，证明：
的方程；
．
某工厂的某 种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合
格品，则更 换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的
所有产品作 检验，设每件产品为不合格品的概率都为
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为

，且各件产品是否为不合格品相互独立．
的最大值点； ，求
4

< br>⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检
验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？



5

21．（12分）
已知函数
⑴讨论的单调性；
．
⑵若







存在两个极值点，，证明：．
（二）选 考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
系，曲线
⑴求
⑵若

中，曲线的方程为
．
．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标
的极坐标方程为
的直角坐标方程；
与有且仅有三个公共点，求的方程．

6

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知
⑴当
⑵若























时，求不等式
时不等式
．
的解集；
成立，求的取值范围．
【参考答案】

7

一、选择题

1.
【答案】
C
【解析】
2.
【答案】
B
【解析】
3.
【答案】
A
【解析】假设建设前收入为
建设 后为
设前为
，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为
，新农村建设后为%
，新农村
或，则
.
，∴，∴选
C.
；其他收入在新农村建设前为
，新农村建设后为

，养殖收入在新农村建
故不正确的是
A.
4.
【答案】
B
【解析】

，∴
5.
【答案】
D
【解析】∵
程为：
6.
【答案】
A
【解析】
7.
【答案】
B
为奇函数，∴
，∴选
D.
，即，∴
.
，∴，∴切线方
.
【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为
，所以选
B.
8.
【答案】
D
【解析】由题意知直线的方程为，设
连线的距离，所以
，与抛物线方程联立有

8

，可得或，

∴
9.
【答案】
C
【解析】∵
下：

，∴
.
存在个零点，即与有两个交点，的图象如

要使得
10.
【答案】
A
【解析】取
与有两个交点，则有即，∴选
C.
,
则，

∴区域Ⅰ的面积为，区域Ⅲ的面积为，

区域Ⅱ的面积为
11.
【答案】
B
【解析】渐近线方程为：
，故
.
，即，∵为直角三角形，假设，
如 图，∴，直线方程为
.
联立∴，即，
∴，∴，故选
B.

9

12.
【答案】
A
【解析】由于 截面与每条棱所成的角都相等，所以平面
平面
中存在平面与平面平行（如图），而在与
，而平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面
的面积
.

二、填空题

13.
【答案】

【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，
.

14.
【答案】


10

【解析】依题意 ，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为
，所以
15.
【答案】

，所以，所以
.
【解析】恰有位女生，有
恰有位女生，有
种；

种，∴不同的选法共有种
.
16.
【答案】

【解析】∵
∴
，∴最小正周期为
，令
，

，即，∴
或
.
∴当，为函数的极小值点，即或
,
当
.
∴
.
，，
.
∴最小值为
.
三、解答题

17.
解：（
1
）在中，由正弦定理得：
,
∴
,
∵
,
∴
.

11

（
2
）
,
∴，

∴
,
∴
,
∴
.
∴
.
18.< br>（
1
）证明：
又
平面
（
2
）解：
又
设
过作
，
，则
，
分别为
，∴
，∴平面，
的中点，则
平面
平面
，∴
，∴平面
，

.
，

，∴
，

，∴，

，

，
交于
，

，连结
与平面
，∴
，∴
点，

由平面
∴
则
由
平面
平面
，

所成的角，

，

即为直线
而，∴，

∴与平面所成角的正弦值
.

12

19.
（
1
）解：如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，
∴直线的方程为：
.

（
2
）证明：当斜率不存在时，由（
1
）可知，结 论成立；当斜率存在时，

设其方程为，，联立椭圆方程有

即，∴，，
，∴
，∴
20.
解：（
1
）由题可知
∴
.
（）
.

∴当时，，即在上递增；当时，，即在
上递减
.
∴在点处取得最大值，即
.
（
2
）（
i
）设余下 产品中不合格品数量为，则，由题可知，∴

13

.
∴< br>（
ii
）由（
i
）可知一箱产品若全部检验只需花费
所以应该 对余下的产品作检验
.
21.
解：（
1
）①∵，∴
（元）
.
元，若余下的不检验则要元，

，∴当时，，，
∴此时
②∵
此时方程
在
，即
上为单调递增
.
或
两根为
，

，

当时，此时两根均为负，∴在上单调递减
.
当时，，此时在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减
.
∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，
上单调递减，在上单调递增
.
（
2
）由（
1
）可得，两根得，，令，∴，
.
∴
，< br>
要证成立，即要证成立，


14

∴，，

即要证
()
，

令，可得在上为增函数，∴，

∴成立，即成立
.
22.
解：（
1
）由
（
2
）与
可得：
有且仅有三个公共点 ，说明直线
，化为
与圆相切，圆
.
圆心为，半
径为，则，解得，故的方程为
.
23.
解：（
1
）当时，，

∴的解集为
. （
2
）当
当
当
时，
时，
，∴
，
，当时，不成立
.
，不符合题意
.
成立
.
时，
当时，，∴，即
.
综上所述，的取值范围为



.


15

全国1卷
文科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题
目要求的．）
1．已知集合
A．
2．设
A．0
B．
，则

，
C．
，则

（ ）
D．
（ ）
B． C． D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率（ ）
A． B． C．
，
D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为
的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B．
，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8
C． D．

16

6．设函数
A．
7．在
A．
C．
8．已知函数
A．
B．
C．
D．
的最小正周期 为
的最小正周期为
的最小正周期为
的最小正周期为
B．
为




．若

为奇函数，则曲线
C．
在点
D．
（ ）



处的切线方程为（ ）
中，


边上的中线，为






B．
D．
的中点，则
，则（ ）
，最大值为3
，最大值为4











，最大值为3
，最大值为4
9．某圆柱的 高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点
圆柱表面上的点
为（ ）
在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到
在正视图上的对应点为，
的路径中， 最短路径的长度

A． B．
中，
C．
，
D．2
所成的角为，则该长方体10．在长方体
的体积为（ ）
A． B．
与平面
C． D．
，，且11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点
，则（ ）
A．

B． C． D．
17

12．设函数
A． B．
，则满足
C．
的的取值范围是（ ）
D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，若，则________．
14．若
15．直线
16．< br>则
满足约束条件
与圆
的内角
，则
交于
的对边分别为< br>的最大值为________．
两点，则
，已知
________．
，，
的面积为________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考 生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列
(1)求
(2)判断数列
(3)求



18．（12分）
在平行四边形
的位置，且
中，
．
，，以为折痕将折起，使点到达点
满足
；
是否为等比数列，并说明理由；
，，设．
的通项公式．

18

(1)证明：平面平面；
(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
















19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m
3
）和使用了节水龙头50天的日用水量数
据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日


19

用
水
量
频
1
数
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
频数 1 5 13 10 16 5

3 2 4 9 26 5
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m
3
的概率；
( 3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据
所在区间中点的值作代表．）

20．（12分）
设抛物线，点，
的方程；
，过点的直线与交于，两点．
(1)当与轴垂直时，求直线
(2)证明：



．
20

21．（12分）
已知函数
(1)
设是
．
的极值点．求，并求的单调区间；

(2)证明：当







，．

21

（二）选考题：共1 0分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
系，曲线
(1)求
(2)若










23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知
(1)当
(2)若





时，求不等式
时不等式
．
的解集；
成立，求的取值范围．
中，曲线的方程为
．
．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标
的极坐标方程为
的直角坐标方程；
与有且仅有三个公共点，求的方程．
【参考答案】

22

一、选择题
1.【答案】A
【解析】
2.【答案】C
，故选A.
【解析】∵
3.【答案】A
，∴，∴选C
【解析】 由图可得，A选项，设建设前经济收入为，种植收入为
收入则为
4.【答案】C
，种植收入较之前增加．
.建设后经济收入则为2，种植
【解析】知
5.【答案】B
，∴，，∴离心率.
【解析】截面面积为，所以高
.
6.【答案】D
【解析】∵
程为：
7.【答案】A
为奇函数，∴
，∴选D.

，底面半径，所以表面积为
，即，∴，∴，∴切线方
【解析】由题可知.

8.【答案】B
【解析】
∴
最小正周期为

，

，最大值为
.

23

9.【答案】B
【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为
，所以选B.
连线的距离，所以

10.【答案】C
【解析】连接和，∵与平面所成角为，∴，
∴，∴，∴，∴选C.

11.【答案】B
【解析】由可得，化简可得
；当时，可得，，即，，此时；
当
12.【答案】D
时，仍有此结果.
【解析】取
取

，则化为，满足，排除A，B；
，满足，排除
C
，故选
D
.
24
，则化为

二、填空题
13.【答案】
【解析】可得
14.【答案】
【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.

，∴，.

15.【答案】
【解析】由
.
，得圆心为，半径为，∴圆心到直线距离为.∴
16.【答案】
， 【解析】根据正弦定理有：
∴，∴.∵，
∴
三、解答题
，∴，∴.
17.解： (1)依题意，，，∴，，.
(2)∵，∴，即，所以为等比数列.

25

(3)∵
18. (1)证明：∵
又∵
∴平面
(2)解：过点
,∴
平面
作
，∴
为平行四边形且
平 面
.
,交于点
,∵
.
,∴
平面,
,
，∵平面，∴,
又∵
∵
,∴平面,∴
,∴
,∴
,又∵
,
为等腰直角三角形，
∴，∴.

19.解：(1)

(2)由题可知用水量在

的频数为，所以可估计在
26
的频数为，

故用水量小于的频数为，其概率为.
(3)未使用节水龙头时，天中平均每日用水量为：
，
一年的平均用水量则为
使用节水龙头后，天中平均每日用水量为：
.
，
一年的平均用水量则为
∴一年能节省
20.解：(1)当与
∴
轴垂直 时，的方程为
或
.
，代入
.

，∴或，
， 的方程为：
(2)
设
得
的方程为
，∴
，设
，< br>，联立方程
，
，
∴
，
∴，∴
.

27

21.解：(1)定义域为，.
∵
∵在
是极值点，∴
上增，，∴
，∴
在上增.
.
又
∴当
在上减，∴
时，
在
，
上增.又
减； 当
，
时，，增.
综上，，单调增区间为，单调减区间为.
(2)∵
∴
令
，∴当时有
.
，.
，
，同（1）可证
∴当
∴
时，，
在
减；当
上增，又
时 ，
，
，
，
增.
∴当时，.
可得：
28
22.解：(1)由

，化为.

(2)与有且仅有三个公共 点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径
为，则，解得，故的方程为.
23.解：(1)当时，，
∴
(2)当
当
当
的解集为时，
时，
时，
，∴
，
.
，当时，不成立.
，不符合题意.
成立.
当时，
.
，∴，即.
综上所述，的取值范围为












29

全国卷2
理科数学
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分， 共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1
．（

）

A
．
B
．
C
．
D
．

2
．已知集合，则中元素的个数为

（

）

A
．
9 B
．
8 C
．
5 D
．
4
3
．函数的图像大致为

（

）


4
．已知向量，满足，，则（

）

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
0
5
．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）

A
．
B
．
C
．
D
．

6
．在中，，，，则（

）

A
．
B
．
C
．
D
．

7
．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填（

30

）

A
．
B
．
C
．
D
．




8
．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 ．哥德巴赫猜想是
“
每

个大于
2
的偶数可以表示为两个素 数的和
”
，如
选取两个不同的数，其和等于
30
的概率是（

）

A
．
B
．
C
．

中，
D
．

，，则异面直线与所成角

．在不超过
30
的素数中，随机

9
．在长方体
的余弦值为（

）

A
．

10
．若
A
．

B
．
在
B
．

C
．
D
．

是减函数，则的最大值是（

）

C
．
D
．

．若，则
11
．已知是定义域为的奇函数，满足
（

）

A
．

，
B
．
0 C
．
2 D
．
50
是的左顶点，点在
12
．已知
过
A
．
是椭圆
的直线上，
B
．

的左，右焦点，
为等腰三角形，
C
．

且斜率为

，则
D
．
的离心率为（

）


二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5分，共
20
分。

13
．曲线

在点处的切线方程为
__________
．

31

14
．若满足约束条件

则的最大值为
__________
．

15
．已知，
，
，则
__________
．

，与圆锥底面所成角为
45°
，
16
．已知圆锥的顶点为，母线< br>若的面积为
所成角的余弦值为
，则该圆锥的侧面积为
__________．

三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。第
17
～
21
题为必考题，

每个试题考生都必须作答。 第
22
、
23
为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共
60
分。

17
．（
12
分）

记为等差数列的前项和，已知，．

（
1
）求
（
2
）求




















的通项公式；

，并求的最小值．

18
．（
12
分）

下图是某地区
2000
年至
2016
年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．


32

为了预测该地区
2018
年的环境基础设 施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据
2000
年至
2016
年的数据（时间变量的值依次为
2016
年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型 ①：
）建立模型②：．

；根据
2010
年至
（
1
）分别利用这两个模型，求该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值；

（
2
）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．








19
．（
12
分）

设抛物线
（
1
）求的方程；

（
2
）求过点





20
．（
12
分）

如图，在三棱锥
（
1
）证明：
（
2
）若点在棱
平面
中，
；

为，求与平面所成角的正弦值．

，，为的中点．

，且与的准线相切的圆的方程．

的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

上，且二面角

33

21
．（
12
分）

已知函数
（
1
）若
（
2
）若









（二）选 考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答 。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22
．
[
选修
4
－
4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）

在直角坐标系

．

，证明：当
在
时，；

只有一个零点，求．

中，曲线的参数方程为
34
（为参数），直线的参数方程为

（为参数）．

（
1
）求和的直角坐标方程；

截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

（
2
）若曲线













23
．
[
选修
4
－
5
：不等式选讲
]
（
10
分）

设函数
（
1
）当
（
2
）若










时，求不等式
．

的解集；

，求的取值范围．

【参考答案】
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分 ，共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1.
【答案】
D
【解析】根据复数除法法则化简复数，即得结果
.

35

详解：
2.
【答案】
A
选
D.
【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数
.
详解：

当
当
当
时，
时，
时，
；

；

；

，

所以共有
9
个，选
A.
3.
【答案】
B
【解析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像
.
详解：
舍去
D;
，

所以舍去
C
；因此选
B.
4.
【答案】
B
【解析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果
.
详解：因为
所以选
B.
5.
【答案】
A
【解 析】根据离心率得
a,c
关系，进而得
a,b
关系，再根据双曲线方程求渐近 线方程，得结果
.
详解：


为奇函数，舍去
A,
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选
A.
点睛：已知双曲线方程
6.
【答案】
A
求渐近线方程：
.
【解析】先根据二倍角余弦公式求
cosC,
再根据余弦定理求
AB.

36

详解：因为
所以
7.
【答案】
B

，选
A.
【解析】根据程序框图可知先对 奇数项累加，偶数项累加，最后再相减
.
因此累加量为隔项
.
详解：由
框中应填入
8.
【答案】
C
【解析】先确定不 超过
30
的素数，再确定两个不同的数的和等于
30
的取法，最后根据古典概 型概率公
式求概率
.
详解：不超过
30
的素数有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13< br>，
17
，
19
，
23
，
29
，共< br>10
个，随机选取两个不同的数，
共有种方法，因为
，选
C.
，所以随机选取两个不同的数，其和等于
30
的有
3
，选
B. < br>得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减
.
因此在空白
种方法，故 概率为
9.
【答案】
C
【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点 坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角
与线线角相等或互补关系求结果
.
DA,DC,DD
1
为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系，详解：以
D
为坐标原点，则
所以
,
,
因为
10.
【答案】
A
，所以异面直线与所成角的余弦值为，选
C.
【解析】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值

详解：因为
所以由
因此
11.
【答案】
C
【解析】先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果
.
详解：因为

，

得

，从而的最大值为，选
A.
是定义域为的奇函数，且
37
，

所以
因此
因为，所以
，从而
12.
【答案】
D
,
，

，

，选
C.
【解析】先根据条件得
PF
2
=2c,
再利用正弦定理得
a,c
关系，即得离心率
.
详解：因为
由斜率为 得，
为等腰三角形，，所以
PF
2
=F
1
F
2=2c,
，

由正弦定理得
,
所以，选
D.
二、填空题

13.
【答案】

【解析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程
.
详解：
14.
【答案】
9
【解析】先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法
.
详解：作可行域，则直线过点
A(5,4)
时取最大值
9.



38

15.
【答案】

【解析】先根据条件解出
详解：因为
所以
因此
16.
【答案】

，
再根据两角和正弦公式化简求结果
.
，

，


【解析】先根据三角形面积公式求出母线长，再 根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面
积公式求结果
.
因为与圆锥底面所成角为
45°
，所以底面半径为


因此 圆锥的侧面积为
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第
17
～
21
题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第
2 2
、
23
为选考题，考生根据要求作答。

17. 解：（1）设
由
所以
得d=2.
的通项公式为.
.
取得最小值,最小值为−16.
的公差为d，由题意得.
（2）由（1）得
所以当n=4时,
18.解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

39
上下.

这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模 型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额 有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直
线的附近，这说明从2010年开始环 境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年
的数据建立的线性模型此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资 额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的
增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增 幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解：（1）由题意得
设，
，l的方程为.
可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因
由得.
，故.
所以.
由题设知
因此l的方程为
，解得
.
（舍去），.
（2）由（1）得AB的中点坐标为
设所求圆的圆心坐标为，则
，所以AB的垂直平分线方程为，即.
解得
因此所求圆的方程为
20.（1 ）证明：因为，
或
或
为

.
的中点，所以，且.
连结

.因为，所以为等腰直角三角形，
40

且
由
由
，
知
知
.
.
平面.
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. （2）解：如图，以为坐标原点，

由已知得
取平面
设
设平面的法 向量为
的法向量
，则
.
.
.

由得，可取，
所以.由已知得.
所以.解得（舍去），.
所以.又，所以.
所以与平面所成角的正弦值为
时，等价于
.
．
21
．（
1
）证明：当

41

设函数当
而
时，
，故当
，则
，所以
时，
．

在只有一个零点．

在
，即
单调递减．

．

．

（
2
）解：设函数
在
（
i
）当
（
ii
）当
当
所以在
只有一个零点 当且仅当
时，
时，
时，；当
单调递减，在
，没有零点；

．

时，
单调递增．

．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（
1
）知，当时，，所

．

故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

22
．解：（
1
）曲线的直角坐标方程为．

当
当

时，的直角坐标方程为
时，的直角坐标方程为．

42
，

（
2
）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线
则
截直线所得线段的中点
．

在内，所以①有两个解，设为，，

又由①得，故，于是直线的斜率．

23
．解：（
1
）当时，

可得
（
2
）
而
由

的解集为
等价于
，且当
可得或
．

．

时等号成立．故等价于
．

．

，所以的取值范围是




全国2卷
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．
A．
2．已知集合
A． B．
（ ）
B．
，

C．
（ ）
D．
D．
，则
C．
3．函数的图像大致为（ ）

43

4．已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率
为（ ）
A． B． C． D．
的离心率为

中，
B． C．
B．
，
D．
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
C．
，

，则其渐近线方程为（ ）
D．
，则

（ ）
6．双曲线
A．
7．在
A．
8．为计算
（ ）

A．
C．
















B．
D．


与所成角的正切 9．在正方体
值为（ ）
A．
10．若
A．
则

中，为棱的中点，则异面直线
B．
在
C． D．
是减函数，则的最大值是（ ）
D．
是上的一点，若
44
B．
，
C．
11．已知是椭圆的两个焦点，，且，
的离心率为（ ）

A．
12．已知
B． C．
（ ）
D．
．若， 是定义域为的奇函数，满足
A． B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若满足约束条件 则的最大值为__________．
15．已知，则__________．
，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若 16．已知圆锥的顶点为，母线
的面积为，则该圆锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
的最小值． （2）求，并求





18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
< br>为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000
年至2016年的数据（时间变量的值依次为
2016年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型①：
）建立模型②：．
；根据2010年至
（1）分别利用这两个模型， 求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

45

19．（12分）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：
（2）若点在棱





20．（12分）
设抛物线
（1）求的方程；
（2）求过点，





21．（12分）
已知函数
（1）若，求
且与的准线相切的圆的方程．
平面；
，求点到平面的距离． 上，且
的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
．
的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．




（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
（为参数）．
（1）求
（2）若曲线








中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为
和的直角坐标方程；
截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
46

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数
（1）当
（2）若

时，求不等式
．
的解集；
，求的取值范围．

47

【参考答案】
一、选择题：本题共
12
小题，每小题5
分，共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求 的。

1.
【答案】
D
【解析】根据公式
详解：
2.
【答案】
C
【解析】根据集合
详解：
,
故选
C.
3.
【答案】
B
【解析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像
.
详解：为奇函数，舍去
A,
,
可直接求解
.
，可直接计算得

，故选
D.
.
舍去
D;
，

所以舍去
C
；因此选
B.
4.
【答案】
B
【解析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果
.
详解：因为
所以选
B.
5.
【答案】
D
【解 析】分别求出事件
“2
名男同学和
3
名女同学中任选
2
人参 加社区服务
”
的总可能及事件
“
选中的
2
人
都是女 同学
”
的总可能，代入概率公式可求得概率
.
详解：设
2
名男同学为，
3
名女同学为，

共
10
种可能，

48

从以上
5
名同学中任选
2
人总共有

选中的
2
人都是女同学的情况共有
则选中的
2
人都是女同学的概率 为
故选
D.
6.
【答案】
A
，

共三种可能
,
【解析】根据离心率得
a,c
关系，进而得
a,b
关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果
.
详解：

因为渐近线方程为
7.
【答案】
A
，所以渐近线方程为，选
A.
【解析】先根据二倍角余弦公式求
cosC,
再根据余弦定理求
AB.
详解：因为
所以
8.
【答案】
B
【解析】根据程序框图 可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减
.
因此累加量为隔项
.
详解：由
框中应填入
9.
【答案】
C
【解析】利用正方体
在中进行计算即可
.
中，
与所成角为，

，

中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，
，选
B.
得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减
.
因此在空白

，选
A.
详解：在正方体
所以异面直线
设正方体边长为，

则由为棱
所以
则
故选
C.
的中点，可得
，

.
，


49

10.
【答案】
C
【解析】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值
.
详解：因为
所以由
因此
11.
【答案】
D
【解 析】设
详解：在
设，则
，则根据平面几何知识可求
中，
，

，

，

，

，再结合椭圆定义可求离心率
.
得
，


，从而的最大值为，选
A.
又由椭圆定义可知
则离心率
故选
D.
12.
【答案】
C
【解析】先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果
. < br>详解：因为
所以
因此
因为，所以
，从而
二、填空题：本题共< br>4
小题，每小题
5
分，共
20
分。

13.
【答案】
y=2x–2
，

，选
C.
是定义域为的奇函数，且
,
，

，


50

【解析】求导
详解：由
则曲线在点
，可得斜率
，得，

，进而得出切线的点斜式方程
.
处的切线的斜率为
，即
.
，

则所求切线方程为
14.
【答案】
9
【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，
.

15.
【答案】

【解析】利用两角差的正切公式展开，解方程可得
.
详解：，

解方程得
16.
【答案】
8π
.
【解析】作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线
可
.
详解：如下图所示，
又
解得，所以
.
，

，


，高，底面圆半径的长，代入公式计算即
所以该圆锥的体积为

51

三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。第
17
～
21
题为必考题，每个试题
考生都必须作答。 第
22
、
23
为选考题。考生根据要求作答。

17．解 ：（1）设{a
n
}的公差为d，由题意得3a
1
+3d=–15．
由a
1
=–7得d=2．
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=2n–9．
（2）由（ 1）得S
n
=n
2
–8n=（n–4）
2
–16．
所以当n=4时，S
n
取得最小值，最小值为–16．
18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布 在直线y=–30.4+13.5t上下，这
说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型① 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明 显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条
直线的附近，这说明从2010年开始环境基 础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016
年的数据建立的线性模型=99+ 17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因
此利用模型②得到的预 测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型① 得到的预测值226.1亿元
的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模 型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19.
（
1
）证明：因为
AP=CP=AC=4
，
O
为
AC
的中点，所以
OP
⊥
AC
，且
O P=
连结
OB
．因为
AB=BC=
．

=2
．

，所以△
ABC
为等腰直角三角形，且
O B
⊥
AC
，
OB=
由知，
OP
⊥
OB．

由
OP
⊥
OB
，
OP
⊥
AC
知
PO
⊥平面
ABC
．


52

（
2
）解：作
CH
⊥
OM，垂足为
H
．又由（
1
）可得
OP
⊥
CH，所以
CH
⊥平面
POM
．

故
CH
的长为点
C
到平面
POM
的距离．

由题设可知
OC=
所以
OM=
，
CH=
．

=2
，
CM==
=
，∠
ACB=45°
．

．

所以点
C
到平面
POM
的距离为
20 ．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
由得．，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x
0
，y
0
），则
解得
因此所求圆的方程为
21
．（
1
）解：当
a=3
时，
f
（
x
）
=
令
f ′
（
x
）< br>=0
解得
x=
或
x=
或
或

．
，
f ′
（
x
）
=
．

．


53

当
x
∈（
– ∞
，
当
x
∈（，
）∪（，
+∞
）时，
f ′
（
x
）
>0
；

）时，
f ′
（
x
）
<0
．

），（
，所以
，
+∞
）单调递增，在（
等价于
，
．

）单调递减．

故
f
（
x
）在（
–∞，
（
2
）证明：由于
设
=
，则
g ′
（
x
）
=≥0
，仅当
x=0
时
g ′
（
x
）
=0
，

所以
g
（x
）在（
–∞
，
+∞
）单调递增．故
g
（x
）至多有一个零点，从而
f
（
x
）至多有一个零点．

又
f
（
3a–1
）
=
综上，
f
（
x
）只有一个零点．

22
．解：（
1
）曲线的直角坐标方程为．

，

，
f
（
3a+1
）
=
，故
f
（< br>x
）有一个零点．

当时，的直角坐标方程为
当时，的直角坐标方程为．

（
2
）将的参数方程代入的直角坐标方程，

整理得关于的方程因为曲线
又由①得
23
．解：（
1
）当时，

截直线所得线段的中点
，故
在
．①

内，所以①有两个解，设为，，则
，于是直线的斜率．

．


可得
（
2
）
而
由


的解集为
等价于
可得
．

．

，且当时等号成立．故
或，所以的取值范围是
等价于
．

．






54

全国3卷
理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共 60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要
求的。）
1．已知集合
A．
2．
A．
B．
，

，则
C．
（ ）
D．
（ ）
B． C． D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图
中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）


4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．
A．10
6．直线

的展开式中

的系数为（ ）
C．40 D．80
上，则
B．20
分别与轴，轴交于，两点，点在圆
面积的取值范围是（ ）
A．
7．函数
B． C． D．
的图像大致为（ ）

55

8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都 为，各成员的支付方式相互独立，设
该群体的10位成员中使用移动支付的人数，
A．0.7 B．0.6
，
C．0.4 D．0.3
，则
为
（ ）
9．
（ ）
的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
10．设
为
A．
，则三棱锥

是同一个半径为4的球的球面上四点，
体积的最大值为（ ）
B． C．
为等边三角形且其面积
D．
11．设
作
A．
12． 设
A．
C．
是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过
，则的离心率为（ ）
C． D．

的一条渐近线的垂线，垂足为．若

，






B．2
，则（ ）






B．
D．


二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量
14．曲线
，
在点
，．若
，则
，则 ________．
处的切线的斜率为________．

56

15．函数
16．已知点
点．若
和抛物线
，则
在的零点个 数为________．
，过的焦点且斜率为的直线与交于，两
________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列
（1）求
（2）记
中，
的通项公式；
为的前项和．若，求．
．







18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提 出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两
种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机 分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，
第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生 产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产 任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过
工人数填入下面的列联表：

第一种生产方

式
第二种生产方

式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

57
和不超过的
超过 不超过

附：








19．（12分）
如图，边长为2的正方形
，．
所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面
（2）当三棱锥
平面；
与面所成二面角的正弦值．






20．（12分）
体积最大时，求面
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：
（2）设为
；
的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并
求该数列的公差．







58

21．（12分）
已知函数
（1）若
（2）若






（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
，证明：当
是
时，
．
；当时，；
的极大值点，求．
在平面直角坐标系
线与
（1）求
交于
中，
两点．
的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直
的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．










23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数
（1）画出
．
的图像；

59

（2）当













， ，求的最小值．
【参考答案】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】∵
2．【答案】D
【解析】
3．【答案】A
【解析】根据题意，A选项符号题意.
4．【答案】B
，选D.
，，∴.故选C.
【解析】

.故选B.
60

5．【答案】C
【解析】
此时系数
6．【答案】A
【解析】由直线得
.故选C.
，当时，，
，∴，
圆的圆心为
的距离的取值范围为
，∴圆心到直线的距离为
，
，∴点到直线
即
7．【答案】D
【解析】当
，∴.
时，，可以排除A、B选项；
又因为，
则的解集为，单调递增区间为，；
的解集为
正确.
8．【答案】B
【解析】由
解之得
9．【答案】C
，∴
，由
，单调递减区间为，.结合图象，可知D选项
，∴
，有.
，
【解析】，又，
故，∴.故选C.
10．【答案】B
【解析】如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由

61

，得
∴球心到面
，取
的距离为
的中点，∴
，
，∴，
∴三棱锥体积最大值.

11．
【答案】C

【解析】∵
又因为
，
，所以
，∴
；
；

在中，；
∵在中，，
∴
.
12．【答案】B
【解析】∵
，，


∴，，
∴
又∵，
，∴
，∴
即
，故选B.

，
二、填空题


62

13．【答案】
【解析】
14．【答案】
【解析】
所以.

，∵，∴，解得.
，则，
15．【答案】
【解析】由，有，解得，由
得可取，∴在上有个零点.
16．【答案】
【解析】依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，
联立消去得，设，，
则
又
∴
，
，
，∴
，

，.
，∴
三、解答题
.
17．解：（1）设数列
∴或
的公比为，∴
.
，∴.
（2）由（1）知，

或
63
，

∴
∴.
或（舍），
18． 解：（1）第一种生产方式的平均数为
∴
，第二种生产方式平均数为，
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，
∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为

（3）
∴有
，
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．（1）证明：∵正方形
∴
∵
半圆面
在平面
，∴
，∴
内，∴
平面
半圆面
平面.
，又∵
，∵
是半圆弧
在平面
上异于
内，∴平面的点，∴
平面.
.又∵
，
（2）解：如图建立坐标系：
∵
∴
，
设面的法向量为
，
，
面积恒定，
，最大.
，，
，设面
，
，
，,
的法向量为，

64

，
同理，，
∴，∴ .

20．（1）证明：设直线方程为，设,,
联立消
则
得…①，
得
，
，
且
∵，∴ 且
，
.
，
且…②.
由①②得，
∴或.
∵，∴ .

65

（2）解：
∵，，∴
，
的坐标为.
,
由于在椭圆上，∴ ，∴，，
又，，
两式相减可得，
又，，∴，
直线方程为，
即，
∴，
消去得，，
，
,
∴
∴，，
.
成等差数列，

.∴.

66

21．解：（1）若时，，
∴.
令，
∴
∴当
当
∴
∴
∴
又
∴当时，
在
恒成 立，
上单调递增，
，
；当
时，
时，
，
，
在
.
上单调递增，
在
，
上单调递减.
时，.
（2），
，
，
，
.
设
∴
∴在邻域内，时，，
，
，
时，
，
.
，
时，

，由洛必达法则得
67
，

时，，由洛必达法则得，
综上所述，.
22． 解：（1）
时，直线：
的参数方程为
与有两 个交点，当
，∴的普通方程为
时，设直线的方程为
，当

，
由直线与
∴
（2）点
有两个交点有
或
坐标为，当
，综上< br>，得
.
坐标为
，∴或，
时，点，当时，设直线的方程为
，，∴有，
整理得，∴，，
∴
，∴
得
中点的
代入④得
的轨迹方程是
.当点
，
时满足方程
即，由图可知，，，则，故点的参
数方程为（为参数，）.

68

23． 解：（1），如下图：

（2）由（1）中可得：
当
∴

，时，
，，
取最小值，
的最小值为.






69

全国3卷
文科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．已知集合
A．
2．
A．
B．
，

，则
C．
（ ）
D．
（ ）
B． C． D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图
中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）


4．若
A．
，则
B．
（ ）
C． D．
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0 .15，则不用
现金支付的概率为（ ）
A．0.3
6．函数
B．0.4 C．0.6 D．0.7
的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，其图像与函数
A．

的图像关于直线
C．
70
对称的是（ ）
D． B．

8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则
面积的取值范围是（ ）
A．
9．函数
B． C． D．
的图像大致为（ ）

10．已知双曲线
的距离为（ ）
（）的离心率为，则点到的渐近线
A． B． C． D．
11．
则
的内角
（ ）
，，的对边分别为，，．若的面积为，
A．
，

，

，
B． C． D．
12．设

是同一个半径为4的球的球面上四点，
71
为等边三角形且其面

积为
A．
，则三棱锥
B．
体积的最大值为（ ）
C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，．若，则________．
14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，
该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是________．
15．若变量
16．已知函数
满 足约束条件
，
则
，则
的最大值是________．
________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列
(1)求
(2)记









18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种
新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组

72
中，
的通项公式；
．
为的前项和．若，求．

20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成
生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数
人数填入下面的列联表：

第一种生产方式
第二种生产方式

(3)根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
超过


不超过



，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工
附：











19．（12分）如图，矩形
的点．
，．
所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，

73

(1)证明：平面
(2)在线段





古面
上是否存在点
；
，使得平面？说明理由．
20．（12分）已知斜率为的直线与椭圆
为
(1)证明：
(2)设










为
．
；
的右焦点，为上一点,且
交于，两点．线段的中点
．证明: ．
21．（12分）已知函数
(1)求由线

．
处的切线方程；
74
在点

(2)证明：当






时，．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系
线与
(1)求
(2)求











交于
中，
两点．
的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直
的取值范围；
中点的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数
(1)画出

．
的图像；
75

(2)当
















， ，求的最小值．
【参考答案】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】∵
2．【答案】D

76
，，∴.故选C.

【解析】
3．【答案】A
，选D.
【解析】根据题意，A选项符号题意；
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】B
【解析】由题意
6．【答案】C
【解析】
.故选B.
.故选B.
，
∴的周期.故选C.
7．【答案】B
【解析】
8．【答案】A
【解析】
由直线得，∴，
关于对称，则.故选B.
圆的圆心为
的距离的取值范围为
，∴圆心到直线的距离为
，
，∴点到直线
即，∴
9．【答案】D
.
【解析】当时，，可以排除A、B选项；
又因为

，
77

则的解集为，单调递增区间为，；
的解集为
知D选项正确.
10．【答案】D
，单调递减区间为，.结合图象，可
【解析】由题意，则，故渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为.故选D.
11．【答案】C
【解析】，又，
故，∴.故选C.
12．【答案】B
【解析】如图，为等边三角形，点为，，，外 接球的球心，为的重心，由
，得
∴球心到面
，取
的距离为
的中点，∴
，
，∴，
∴三棱锥体积最大值.

二、填空题

78

13．【答案】
【解析】
14．【答案】分层抽样
，∵，∴，解得.
【解析】由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.
15．【答案】
【解析】由图可知在直线和的交点处取得最大值，
故.

16．【答案】
【解析】

，
，
∴
三、解答题
，∴.
17．解：（1）设数列
∴或
的公比为，∴
.
，∴.
（2）由（1）知，

或
79
，

∴
∴.
或（舍），
18． 解：（1）第一种生产方式的 平均数为，第二种生产方式平均数为，∴，
所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二 种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为

（3）
∴有的把握认为两种生产方式的效率有差异.
半圆面
平面.
，又∵
，∴
.
且为中点，证明如下：
；在矩形中，是
是半圆弧
平面
上异于
，∵
，
，
19． 解：（1）∵正方形
∴
∵
∴
∴平面
（2）线段连接
是
∴
半圆面
在平面
.又∵
平面
上存在点< br>交于点
的中点；
，∵在平面
，∴
内，∴的点，
内， 在平面
，连接中点，
内，不在平面内，∴平面.

80

20． 解：（1）设直线方程为，设,,
联立消
则
得…①，
得
，
，
且
∵，∴且
，
.
，
且…②.
由①②得，
∴或.
∵
（2）
∵
，∴.
，,
. ，，∴的坐标为
由于在椭圆上，∴，∴，，
又，，

81

两式相减可得，
又，，∴，
直线方程为，
即，
∴，
消去得，，
，
,
∴.
21．（1）解：由题意：得，
∴，即曲线
；
在点处的切线斜率为，∴， 即
（2）证明：由题意：原不等式等价于：
∴
调递增，∴
且
又
在
在
，
上存在唯一
，∵
使
，∴
恒成立；令
恒成立，∴
，即
.
，
在
，
上单
，，∴
上单调递减，在上单调递增，∴

82

，∵
综上所述：当时，
，∴
.
，∴，∴，得证.
22． 解：（1）
与
的参数方程为，∴的普通方程为，当
，由直线与
时，直线：
有两个有两个交点，当时，设直线的方程为
交点有
综上
（2）点 坐标为
.
，得，∴或，∴或，
，当时，点坐标为，当时，设直线的方程为，
，∴有，整理得，
∴，
时满足方程
，∴
，∴中点的
得代入④得
，
.当点
的轨迹方程是
即，由图可知，，，则，
故点的参数方程为（为参数，）.

83

23．解：（1）

，如下图：

（2）由（1）中可得：
当
∴





84
，，
，时，取最小值，
的最小值为.

北京卷
理科数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
（
1
）已知集合
A={x||x|<2}
，
B={–2
，
0
，
1
，
2}
，则
AB=
（ ）


（
A
）
{0
，
1}
（
B
）
{– 1
，
0
，
1}

（
C
）
{–2
，
0
，
1
，
2}
（
D
）
{–1
，
0
，
1
，
2}
（
2
）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（

）


（
A
）第一象限

（
B
）第二象限


（
C
）第三象限

（
D
）第四象限

（
3
）执行如图所示的程序框图，输出的
s
值为（

）


（
A
）
（
C
）
















（
B
）
（
D
）


（
4
）
“
十二平均律
”
是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计 算出半音比例，为这

个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个
< br>单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
一个单音的频率为
f
，则第八个单音的频率为（

）

（
A
）
（
C
）

．若第













（
B
）
（
D
）
85

（
5
）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数 为（ ）


（
A
）
1
（
C
）
3














（
B
）
2
（
D
）
4
”
是
“
a
⊥
b
”
的（ ）

（
6
）设
a
，
b
均为单位向量，则
“
（
A
）充分而不必要条件

（
B
）必要而不充分条件


（
C
）充分必要条件

（
D
）既不充分也不必要条件

（
7
）在平面直角 坐标系中，记
d
为点
P
（
cosθ
，
sinθ）到直线的距离，当
θ
，

m
变化时，
d
的最大值为（

）


（
A
）
1
（
B
）
2

（
C
）
3
（
D
）
4
（
8
）设集合则（

）


（
A
）对任意实数
a
，（
B
）对任意实数
a，（
2
，
1
）
（
C
）当且仅当
a<0
时，（
2
，
1
）

（
D
）当且仅当时，（
2
，
1
）

第二部分（非选择题

共
110
分）

二、 填空题共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分。
（
9
）设是等差数列，且
a
1
=3
，
a
2
+a
5
=36
，则的通项公式为
__________
．

与圆
，若
相切，则
a=__________
．

（
10
）在极坐标系中，直线
（
11
）设函数
f
（
x
）
=
对任意的实数
x
都成立，则
ω
的< br>
最小值为
__________
．

（
12
）若
x
，
y
满足
x+1≤y≤2x
，则
2y–x
的最小值是
__________
．

（
13
） 能说明
“
若
f
（
x
）
>f
（
0< br>）对任意的
x
∈（
0
，
2
］都成立，则
f< br>（
x
）在［
0
，
2
］上是增

函数
”
为假命题的一个函数是
__________
．

（
14
）已知椭圆，双曲线．若双曲线
N
的两条渐近线
< br>与椭圆
M
的四个交点及椭圆
M
的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 椭圆
M
的离心率为

__________
；双曲线
N的离心率为
__________
．

三、解答题共
6
小题，共
80
分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（
15
）（本小题
13
分）

在△
ABC
中，
a=7
，
b=8
，
cosB=–
（Ⅱ）求AC
边上的高．


86
．（Ⅰ）求∠
A
；

（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱
ABC-
AB=BC=
，
AC=
中，
=2
．

平面
ABC
，D
，
E
，
F
，
G
分别为，
AC
，，的中点，

（Ⅰ）求证：
AC
⊥平面
BEF
；

（Ⅱ）求二面角
B-CD-C
1
的余弦值；

（Ⅲ）证明：直线
FG
与平面
BCD
相交．
















（17）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

87

电影类型
电影部数
好评率
第一类
140
0.4
第二类
50
0.2
第三类
300
0.15
第四类
200
0.25
第五类
800
0.2
第六类
510
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取
1< br>部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第
四类电影和第五类电影中各随机选取
1
部，估计恰有
1
部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们
喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用
“”
表示第
k
类电影得到人们 喜欢，
“
，，，，，
”
表示第
k
的大类电影没有得到人们喜 欢（
k=1
，
2
，
3
，
4
，
5< br>，
6
）．写出方差
小关系．







（18）（本小题13分）
设函数
=[]
．

（Ⅰ）若曲线
y= f
（
x
）在点（
1
，）处的切线与轴平行，求
a
；

（Ⅱ）若在
x=2
处取得极小值，求
a
的取值范围．






（
19
）（本小题
14
分）

已知抛物线
C
：
=2px
经过点（
1
，
2
）．过点
Q
（
0
，
1
）的直线
l
与抛物线
C
有两个不同的交点
A
，
B
，
且直线
PA
交
y
轴于
M
，直线
PB
交
y
轴于
N
．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设
O
为原点，






（20）（本小题14分）
设
n
为正整数，集合
A=

88
，，求证：为定值．

．对于集合
A
中的任意元素

< br>和
=
，记
M
（）
．

（Ⅰ）当
n= 3
时，若，，求
M
（）和
M
（）的值；

（Ⅱ）当
n=4
时，设
B
是
A
的子集，且满足：对于
B中的任意元素，当相同时，
M
（
是奇数；当不同时，
M
（）是偶 数．求集合
B
中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于
2
的
n
，设
B
是
A
的子集，且满足：对于
B
中的任意两个不同的元素，

M（

）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
）

89

【参考答案】
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
（
1
）【答案】
A
【解析】先解含绝对值不等式得集合
A
，再根据数轴求集合交集
.
详解：
因此
AB=

，选
A.
（
2
）【答案】
D
【解析】将复数化为最简形式，求其共轭复数， 找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限
.
详解：
对应点为
的共轭复数为
，在第四象限，故选
D.

（
3
）【答案】
B
【解析】初始化数值
详解：初始化数值
循环结果执行如下：

第一次：
第二次：
循环结束，输出
故选
B.
（
4
）【答案】
D
【解析】根据等比数列的定义可知每一个单音的 频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解
.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
所以
又，则
，


，

，

不成立；

成立，


，执行循环结构，判断条件是否成立，

故选
D.
（
5
）【答案】
C
【解析】根据三视图还原几何体，利用勾股定理 求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个
数
.
详解：由三视图可得四棱锥

，

90

在四棱锥中，，

，

共三个，

由勾股定理可知：
则在四棱锥中，直角三角形有：
故选
C.

（
6
）【答案】
C
【解析】先对模平方，将
详解：

a
⊥
b
，即
“
（
7
）【答案】
C
【解析】
P
为单位圆上一点，而直线
详解：
OA+1=2+1=3,
选
C.
（
8
）【答案】
D
【解析】求出
详解 ：若
及
，则且
所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解
.
，即若
，则有
，则
，故选
D.
，

过点
A
（
2
，
0
），则根据几何意义得
d
的最 大值为
OA+1.
过点
A
（
2
，
0
）， 所以
d
的最大值为
等价转化为
0
，再根据向量垂直时数量积为零得充 要关系
.
，因为
a
，
b
均为单位向量，所以
”< br>是
“
a
⊥
b
”
的充分必要条件
.
选
C.
P
为单位圆上一点，而直线
此命题的逆否命题为：若
二、填 空题共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分。

（
9
）【答案】

【解析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可
.
详解：
（
10
）【答案】
【解析】根据
距离等于半径解出
a .
详解：因为



将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线
，

91

由
由，得
，得
，即
，

，即，


因为直线与圆相切，所以
（
11
）【答案】

【解析】根据 题意
详解：因为
因为，所以当
取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得
ω< br>，进而确定其最小值
.
对任意的实数
x
都成立，所以
时，
ω
取最小值为
.
取最大值，所以，
（
12
）【答案】
3
【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法
.
详解：作可行域，如图，则直线过点
A(1,2)
时，取最小值
3.

（
13
）【答案】
y=sinx
（答案不唯一）

【解析】举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得
f
（
x
）
>f
（
0
）且（
0
，
2
］上是减函数
.
详解：令
是增函数
.
又如，令
f
（
x
）
=sinx
，则
f
（
0
）
=0
，
f
（
x
）
>f
（
0
）对任意的
x
∈（
0
，
2
］都成立，但
f
（
x
）在［< br>0
，
2
］
上不是增函数
.
（
14
）【答案】
2
关系，即得双曲线
N
的离心率；由正六
，解得椭圆
M
的离心
，则
f
（
x
）
>f
（
0
）对任意的
x
∈（
0
，
2
］都成立，但
f
（
x
）在［
0，
2
］上不
【解析】由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中
边 形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为
率
.
详解：由正六边形性质得椭圆上一点到 两焦点距离之和为
，再根据椭圆定义得
，再根据椭圆定义得，所以椭

92

圆
M
的离心率为

双曲线
N
的渐近 线方程为，由题意得双曲线
N
的一条渐近线的倾斜角为，


三、解 答题共
6
小题，共
80
分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–
由正弦定理得
=
， ∴B∈（
，∴
sinA=
，π），∴sinB=
．

． < br>∵
B
∈（，
π
），∴
A
∈（
0
，） ，∴∠
A=
．

=
，

．

（Ⅱ ）在△
ABC
中，∵
sinC=sin
（
A+B
）
=sinAcosB+sinBcosA=
如图所示，在△
ABC
中，∵
si nC=
∴
AC
边上的高为．

，∴
h==
（16）解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中 ，
∵CC
1
⊥平面ABC，
∴四边形A
1
ACC
1
为矩形．
又E，F分别为AC，A
1
C
1
的中点，
∴AC⊥EF．
∵AB=BC．
∴AC⊥BE，
∴AC⊥平面BEF．
（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC
1
．
又CC
1
⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．
如图建立空间直角坐称系E-xyz．

93

由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1 ，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．
∴
设平面BCD的法向量为
，
，
∴，∴，
令a=2，则b=-1，c=-4，
∴平面BCD的法向量
又∵平面CDC
1
的法向量为
，
，
∴．
由图可得二面角B-CD-C
1
为钝角，所以二面角B- CD-C
1
的余弦值为
（Ⅲ）平面BCD的法向量为
∴，∴，∴与
．
，∵G（0，2，1），F（0，0，2），
不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
（17）解：（ Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）

>>=>>．
94

（18）解：（Ⅰ）因为=[]，
所以
f ′
（
x
）
=
［
2ax–
（
4a+1
）］
e
x
+
［
ax
2
–
（
4a+1
）
x+4a+3
］
e
x
（< br>x
∈
R
）

=
［
ax
2
–
（
2a+1
）
x+2
］
e
x
．

f ′(1)=(1–a)e
．

由题设知
f ′(1)=0
，即
(1–a)e=0
，解得
a=1
．

此时
f (1)=3e≠0
．

所以
a
的值为
1
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f ′
（
x
）
=
［
ax
2
–
（
2a+1
）
x+2
］
e
x
=
（
ax–1
）
(x–2)e
x
．

若
a>
，则当x
∈
(
，
2)
时，
f ′(x)<0
；

当
x
∈
(2
，
+∞)
时，
f ′(x)>0
．

所以
f (x)<0
在
x=2
处取得极小值．

若
a≤
，则 当
x
∈
(0
，
2)
时，
x–2<0
，ax–1≤x–1<0
，

所以
f ′(x)>0
．

所以
2
不是
f (x)
的极小值点．

综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
（19）解：（Ⅰ）因为抛物线y
2
=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y
2
=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由
依题意
得．
，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
由（I）知，．
直线PA的方程为y–2=．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为
由

．
得，．
95
，

所以．
所以为定值．
（20）解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），
所以M(α，α)=
M(α
，
β
）
=
[(1+1−|1−1|)+(1+1−| 1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，
[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1
．

（Ⅱ）设
α=
（
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
）∈
B
，则
M(α< br>，
α
）
= x
1
+x
2
+x
3
+x
4
．

由题意知
x
1
，
x
2
，
x
3< br>，
x
4
∈
{0
，
1}
，且
M(α< br>，
α)
为奇数，

所以
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
中
1
的 个数为
1
或
3
．

所以
B{(1
，
0
，
0
，
0
），（
0
，
1
，< br>0
，
0)
，（
0
，
0
，
1
，
0)
，（
0
，
0
，
0
，
1)< br>，（
0
，
1
，
1
，
1)
，
(1
，
0
，
1
，
1)
，
(1
，< br>1
，
0
，
1)
，
(1
，
1
，
1
，
0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组：

（
1
，
0
，
0
，
0)
，
(1，
1
，
1
，
0)
；（
0
，
1
，
0
，
0)
，
(1
，
1
，
0
，
1)
；（
0
，
0
，
1
，< br>0)
，（
1
，
0
，
1
，
1)
；（
0
，
0
，
0
，
1)
，（
0
，
1
，
1
，
1).
经验证，对于每组中两个元素
α
，
β
，均有
M(α
，
β
）
=1 .
所以每组中的两个元素不可能同时是集合
B
的元素．

所以集合
B
中元素的个数不超过
4.
又集合
{
（
1
，
0
，
0
，
0
），（
0
，
1
，
0
，
0
），（
0
，
0< br>，
1
，
0
），（
0
，
0
，
0
，
1)}
满足条件，

所以集合
B
中元素个数的最大值为
4.
（Ⅲ）设
S
k
=( x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
）
|( x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
）∈
A
，
x
k
=1
，
x
1
= x
2
=…=x
k
–1
=0
）（
k=1
，< br>2
，
…
，
n)
，

S
n
+1
={( x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
）
| x
1
=x
2
=…=x
n
=0}
，

则
A=S
1
∪
S
1
∪
…
∪
S< br>n
+1
．

对于
S
k
（
k=1，
2
，
…
，
n–1
）中的不同元素
α
，
β
，经验证，
M(α
，
β)≥1.
所以
S
k
（
k=1
，
2
，
…< br>，
n–1
）中的两个元素不可能同时是集合
B
的元素．

所以
B
中元素的个数不超过
n+1.
取
e
k
=( x
1
，
x
2
，< br>…
，
x
n
）∈
S
k
且
x
k
+1
=…=x
n
=0
（
k=1
，
2
，
…
，
n–1
）
.
令
B=
（
e
1
，
e
2
，
…
，
e
n
–1
）∪
S
n
∪
S
n
+1
，则集合
B
的元素个数为
n+1
，且满足条件
.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．








96

北京卷
文科数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（
1
）已知集合
A={x||x|<2},B={−2,0,1,2},则（

）

（A）{0,1} （B）{−1,0,1}
（C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2}
（
2
）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（

）

（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）

（
A
）

（
B
）

（
C
）

（
D
）

（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（
5
）
“
十二平均律
”
是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，


97

为这个理论的发展做出了重要贡献
.
十二平均律将一个纯八度音程分成 十二份，依次得到十

三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率 的比都等于
若第一个单音的频率
f
，
则第八个单音频率为（

）

（
A
）
（
C
）













（
B
）

（
D
）


.
（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）

（A）1
（C）3












（B）2
（D）4 是圆上的四段弧（如图），点
P
在其中一段上，角
，则
P
所在的 圆弧是（

）

（
7
）在平面坐标系中，
以
O
�为始边，
OP
为终边，若

（
A
）
（
C
）












（
B
）
（
D
）


则（

）

（
8
）设集合
（
A
）对任意实数
a
，


（
B
）对任意实数
a
，（
2,1
）
（
C
）当且仅当
a<0
时
,
（
2,1
）
（
D
）当且仅当

时
,
（
2,1
）

第二部分（非选择题

共
110
分）


98

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（
9
）设向 量
a
=
（
1,0
），
b
=
（
−1 ,m
）
,
若，则
m=_________.
截得的线段长为
4
，

（
10
）已知直线
l
过点（
1,0
）且垂直于�轴，若
l
被抛物线
则抛物线的 焦点坐标为
_________.
（
11
）能说明
“
若< br>a
﹥
b
，则
”
为假命题的一组
a
，
b
的值依次为
_________.
（
12
）若双曲线的离心率为，则
a=_________.
（< br>13
）若�
,y
满足，则
2y−
�的最小值是
___ ______.
（
14
）若的面积为
,
且∠
C
为 钝角，则∠
B=_________
；的取值

范围是
_________.
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
设是等差数列，且
的通项公式；

.
.
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求






（16）（本小题13分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；

.
（Ⅱ）若







在区间上的最大值为，求的最小值
.
99

（17）（本小题13分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
电影部数
好评率
第一类
140
0.4
第二类
50
0.2
第三类
300
0.15
第四类
200
0.25
第五类
800
0.2
第六类
510
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资 回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格
中只有两类电影的好评率数 据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，
使得获得好评的电影总 部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）





（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分
别为AD，PB的中 点.

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.

（19）（本小题13分）
设函数
（Ⅰ）若曲线
（Ⅱ）若

.
在点
在
处的切线斜率为
0
，求
a
；

处取得极小值，求
a
的取值范围
.
100