幼儿园毕业歌-案件调查报告

数学物理方程试题（一）
一、填空题
（每小题5分，共20分）
< br>1.长为

的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为
xsin2x
，初始速度为
cos2x
。则其定解条件是
2. 方程
uu
30
的通解为
tx

X

(x)

X(x)0
3 .已知边值问题

'
，则其固有函数
X
n
(x)
=

X(0)X(

)0
4.方程
x
2
y
xy
'
(

2
x
2
n
2
)y0
的通解为
二.单项选择题
（每小题5分，共15分）

2
u
2
u
1. 拉普拉斯方程
2

2
0
的一个解是（ ）
xy
（A）
u(x,y)e
x
sinxy
（B）
u(x,y)
（C）
u(x,y)
x
2
y2

x
2
y
2

1
x
2
y
2
（D）
u(x,y)ln
2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为
F(x, t)
,热传导系数为
k
，侧面绝热,体密度为

,比
热为< br>c
，则热传导方程是 ( )

2
uF(x,t)
u
2
uF(x,t)
2
（A） （B）
a
2

a
2
2
c

tc

 tx
x
2
222
FFu(x,t)FFu(x,t)
(其中
2
k
)
22
(C ) (D)
aa 
a
222
c

tc

c

txx
2


2
u
2
u
a

t
2
x
2
3. 理想传输线上电压问题

u(x,0)Acos

x,
u

 t


2
u

t0
aA

sin

x
( 其中
a
2

1
)的解为（ ）
LC
（A）
u(x,t)Acos

(xat)
（B）
u(x,t)Acos

xcosa

t

（C）
u(x,t)Acos

xsina

t
（D）
u(x,t)Acos

(xat)


1

三. 解下列问题
1.
u

u
30

( 本题8分)
求问题

x
的解
y
3x


u(x,0) 8e


2
u
6x
2
y


xy
( 本题8分)



u(x,0)1c osx,u(0,y)y
2


2


2
u
2
u

2
a
2

tx
3 . ( 本题8分)
求问题


u(x,0)sin2x,u

t

2.
的解
t0
3x
2
四. 用适当的方法解下列问题
2

u
2
u
a

( 本题8分)
解问题


t
x
2

u(x,0) 12x3x
2

1.
2.
2


2
u
2
u
2
u
2
u
a(
2

2

2
)

2

tx yz
( 本题8分)
解问题


2
u
2< br>
u
t0
2y3xz,6y
t0

t< br>2

2

u
2
u
a

2
t
x


五．
( 本题10分)
解混合问题：

u(0,t)u(1,t)0


u(x,0)2sin

x



六．
( 本题15分)
用分离变量法解下列混合问题：
2


2< br>u
2
u
a

2
x
2

t


u(0,t)u(

,t)0

 u

u(x,0)2x(

x),
t

< br>
t0
3sin2x
一. 单项选择题
（每小题4分，共20分）

1.（D） 2.（B） 3. （D） 4. （D）
二. 填空题
（每空4分，共24分）


2


u(0,t)u(2

,t)0

1.
xyC
1
,2xyC
2
2.

,

u(x,0)x,
t0
2x
t

3.
u(x,t)xf(3x2y)
，
4.
X
n
(x)
=
B
n
cos
n

x
,(n0,1,2,3,)

2
5.通解为
u(x,t)
3
22
xyf(x)g(y)

2
三. 解下列问题
( 本题7分)
u

u
30

1．
求问题

x
的解
y
3x

u(x,0)8e
解：设
u(x,t)
代入方程，
(8e
8e
3x my
（2分）
)33(8e
3xmy
)m0

3xmy
3m30,m1
（6分）
所以解为
u(x,t)e8
3xy
（7分）
2．
2


2
u
2
u
2
a
2

tx
( 本题7分)
求问题 

u(x,0)sin2x,
u

t

的解
t0
3x
2
解：由达朗贝尔公式，得
11
x at
2
u(x,t)[sin2(xat)sin2(xat)]3
< br>d

（3分）

xat
22a
cos2ats in2x3x
2
ta
2
t
3
（7分）
四. 用适当的方法解下列问题
2

u
2
u
a

1. ( 本题7分)
解问题


t
x
2

u(x,0)12x3x
2

解：设
u(x,t)

12x3x
2
At

3

代入方程，
Aa
2
[006A

t] 6x


A

0
令

显然成立
2

A6a6x
解为
u(x,t)12x3x
2
6a
2
t6xt

2

2
u

2
u
2
u
2
u
a(
2

2

2
)
2< br>txyz

2
u
2
x2y3yz,6y< br>t0t0
t
2
2.



( 本题7分)
解问题


u


解：设
u[x
2
2y
2
3yzAt
2
][6x
2
tBt
3
]
（2分）
代入方程
2A6B ta
2
[(212yAt
2
)(12tBt
3
)]
（4分）

B0
令 ，

显然成立，解为
2
6B12a

u(x,t)x2y3yza
2
t
2
6y
2
t2a
2
t
3

五．
( 本题7分)
解混合问题：
2

 u
2
u
a

t
x
2




u(0,t)u(1,t)0

u(x,0)2sin< br>
x



解
u(x,t)L
1
{U(x,s)}
2e
a

t
sin

x< br>
22
六．
( 本题15分)
用分离变量法解下列混合问题： 2


2
u
2
u
a

2 2
tx



u(0,t)u(

,t) 0

u

u(x,0)2x(

)x,
t




t0
3sin2x
解：设
u(x,t)X(x)T(t)
代入方程及边界

4


T



a
2
T0
n
2


()n
2
,X
n
si nnx



X

X0
n


X(0)X(

)0

u
n
(C
n
cosantD
n
sinant )sinnx

u(x,t)

(C
n
cosantD
n
sinant)sinnx

n1

其中 < br>C
n

2



0
8[1(1 )
n
]
x(

x)sinnxdx

n
3

D
n

2



0

0(n2)


3sin2xsinnxdx

3
(n2)


a

38[1(1)
n
]
所以解为
u(x,t)sin2atsin2x

cosantsi nnx

3
an

n1


2009-2010学年第一学期数学物理方程试题
一、 填空题
（每小题4分，共24分）


2
u
2
u
2
u
1. 方程
2
32
2
sin(x
2
y
2
)
的特征线为
xy
xy
2. 长 为
l
的弦做微小的横振动，
x0
、
xl
两端固定，且在 初始时刻处于水平状态，初始速度
为
2x
, 则其定解条件是
3. 方程
u
u
32x
的通解为
xy

X

(x)

X(x)0
4 . 已知边值问题

, 则其固有函数


X(0)X(2)0
X
n
(x)
=
5. 方程
xyxy(25x64)y0
的通解为
6.
2

xJ
1
(x)dx
.
2'2
二．单项选择题
（每小题4分，共20分）


5

1. 微分方程
u
xxx
u
xyy< br>sinuln(1x
2
)
是（ ）
（A）三阶线性偏微分方程 （B）三阶非线性偏微分方程
（C）三阶线性齐次常微分方程 （D）三阶非线性常微分方程

2
u
2
u
2. 拉普拉斯方程
2

2
0
的一个解是（ ）
xy
（A）
u(x,y)e
x
sinxy
（B）
u(x,y)
（C）
u(x,y)
x
2
y2

x
2
y
2

1
x
2
y
2
（D）
u(x,y)ln
3. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为
F(x, t)
,热传导系数为
k
，侧面绝热,体密度为

,比
热为< br>c
，则热传导方程是 ( )

2
uF(x,t)
u
2
uF(x,t)
2
（A） （B）
a2

a
2
2
c

tc

tx
x
2
222
FFu(x,t)FFu(x,t)
(其中
2
k
)
22
(C ) (D) < br>aa
a
222
c

tc

c< br>
txx
2


2
u
2
u
a

2

tx
2
4. 理想传输线上电压问 题


u(x,0)Acos

x,
u
t


2
u

t0
aA
sin

x
（A）
u(x,t)Acos

(xa t)
（B）
u(x,t)Acos

xcosa

t

（C）
u(x,t)Acos

xsina

t
（D）
u(x,t)Acos

(xat)

5. 单位半径的圆板的热传导混合问题
2

u
1
u
2u
a()(

1)



有形如（ ）的级数解。
t


2




u(1,t)0,u(

,t)M,u(

,0) f(

)

（A）
u(x,t)

A
n
e
n1


2
a
2

n< br>t
sin

n

.（B）
u(x,t)

A
n
e
a

n
t
cos
n


n1


22
（C）
u(x ,t)

A
n
e
n1
2
a
2

n
t
J
0
(

n

)
（D）
u(x,t)

A
n
e
a

n
t
J
n
(

n

)

n1
22
三．求下列问题的解：（每小题6分，共12分）

6

2


2
u
2
u
a< br>
2

t
2
x
1.求问题

u

u(x,0)sin3x,

t

的解 t0
2x
2


2
u
2
u< br>2
u
43
2
0

2

x y
xy
2.
求解下列问题：


u
3x
u(x,0)3e
3x
,
y0
5e

y

四．用适当的方法解下列问题（每小题6分，共18分）
2

u
2
u
a6t

解问题

t

x
2

u(x,0)3(2 x)
2

2


2
u

2
u
2
u
2
u
a(
2

2

2
)


t
2
xyz
解问题< br>

u
2

u
t0
x
23y
3
,
t0
5xz

t

1.
2 .



2
u1
u
12
u

0
3.解问题

r
2
rr
r
2


2



urR
6Rcos

2Rsin3

五．解答题（每小题6 分，共12分）
1.
求方程
u
xx
3u
xy
2u
yy
u
x
u
y
0
的通解 2. 计算

xJ
2
(x)dx

六．
( 本题14分)
用分离变量法解下列混合问题：
2


2
u
2
u
a

22
tx


u(0,t)u(

,t)0

u

u(x,0)2sin3x,
t



t0
6x(

x)
20092010学年第一学期数学物理方程期末试题(A)答案

u(0,t)u(l,t)0

一. 填空题 1.
xyC
1
,2xyC
2
2.


u
u(x,0)0,
t0
2x
t

2
3.
uxf(3xy)
4. 固有函数
X
n
(x)C
n
cos
2
n

x
,n0,1,2

2
5. 通解为
yCJ
8
(5x)DN
8
(5x)
6.
xJ
2
(x)C
.

7

二. 单项选择题 1. （B） 2. （D） 3. （B） 4. （D） 5. （C）
三. 解下列问题
( 本题7分)
1．解：由达朗贝尔公式，得
11
xat
2
u(x,t)[s in3(xat)sin3(xat)]2

d


22a

xat
2
3xcos3at2x
2
ta
2
t
3

u(x,t)sin
3
四. 用适当的方法解下列问题
（每小题7分，共21分）
1.
解：设
u(x,t)3(2x)
2
At3t
2
, 代入方程
A6ta
2
(6At)6t


A0
令

显然成立 , 解为
u(x,t) 3(2x)
2
6a
2
t3t
2

2< br>
A6a
2.
解：设
u(x,y,z,t)[x
2
3y
3
At
2
][5xz
2
tBt
3< br>]

代入方程
2A6Bta
2
{[218y At
2
][10xtBt
3
)]


A0

B0
令

，

显然成立，解为
2
2
2Aa(218y)
6Ba10x


5
u(x,y,z,t)x
23y
3
(19y)a
2
t
2
5xz
2
ta
2
t
3

3
3.
解：设方程解为
u(r,t)Arcos

Br
3
sin3


3
又
u(R,t)ARcos

BRsin3

6Rcos

2Rsin3

,

A6

3
因此
AR6R,BR2R

2

B
2

R

2r
3
解为
u(r,t)6rcos


2
sin3


R
五．解答题

1．解：方程化为
(D
x
D< br>y
)(D
x
2D
y
1)u0

通解是
u(x,y)f(xy)g(2xy)e

2解：
x

xJ
2
(x)dx

x
2
d[x
 1
J
1
(x)]{x
2
[x
1
J
1
(x)]

x
1
J
1
(x)dx
2< br>}

{x
2
[x
1
J
1
(x )]2

x
1
xJ
1
(x)dx}
xJ< br>1
(x)2J
0
(x)C


8


T

(t)

a
2
T(t)0
六．解： 设
u(x,t)X(x)T(t)
代入方程及边界

X



X0

X

(0)X

(

)0
< br>
n



n


,
X
n
(
x
)

sin
nx
,
n< br>1,2,3,




一簇解
u
n
(x,t)(C
n
cosantD
n
sinant)sinnx

叠加解
u(x,t)
2

(C
n1
n
cosantD
n
sinant)sinnx
其中
C
3
2
,
C
n
0(n3)

2
D
n

an



0
122[1(1)
n
]24[1(1)
n
]
6x(

x)sinnxdx

an

n
3
an
4


24[1(1)
n
]
所以解为
u(x,t)2cos3atsin3x

sinantsinnx

4
an

n1


9