湖南省2018学业水平考试数学(真题附含答案解析)
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2017年湖南省学业水平考试（真题）
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.
已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可
以是（）
A、正方体B、圆柱
C、三棱柱D、球
2.
已知集合A{0,1},B{1,2}，则AB中元素的个数为（）
A、1B、2C、3D、4
3.
已知向量，若，则a(x,1),b(4,2),c
(6,3)，若cab，则x（）
A、-10B、10C、-2D、2
4.
执行如图2所示的程序框图，若输入x的值为-2，则输
出的y()
A、-2B、0C、2D、4
5.
在等差数列{}
a
n
中，已知a
1
a
2
11,a
3
16，则
公差d（）
A、4B、5C、6D、7
1
6.
既在函数
2
f(x)x的图象上，又在函数
g(x)x的
图象上的点是
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1
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1
）D、（
2
1
）
,2
2
A、（0，0）B、（1，1）C、（2,
7.
如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平
面BEF的位置关系是()
A、平行B、在平面内
C、相交但不垂直D、相交且垂直
8.
已知sin2sin,(0,)，则cos（）
A、
C
31
B、、
1
22
1
2
22
2
4
D、3
2
9.
已知alog,b1,clog，则
A、abcB、bacC、cabD、cba
10.
如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000
粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为（）
A、
4
5
3
B、
5
1
C、
2
2
D、
5
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.
已知函数f(x)cosx,xR（其中0）的最小正周期为，则
.
12.
某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
服务，则抽出的学生中男生比女生多人。
13.
在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b3,sinC1，
则ABC的面积为。
x0,
14.
已知点A(1,m)在不等式组y0,表示的平面区域内，则实数m的取值
xy4
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范围为。
15.
已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为。
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
16.
（本小题满分6分）
已知定义在区间[,]上的函数f(x)sinx的部分图象如图6所示.
（1）将函数f(x)的图象补充完整；
（2）写出函数f(x)的单调递增区间.
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17.
(本小题满分8分)
已知数列{a}满足
n
a
n1
3a
n
(nN*)，且a
2
6.
（1）求a
1
及a
n
；
（2）设2
ba
nn
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
18.
（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名
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学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组
的概率.
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19（本小题满分8分）
已知函数
f(x)
2,0,x
x
x
2
2(x1)m,0
（1）若m1，求f(0)和f(1)的值，并判断函数f(x)在区间(0,1)内是
x
否有零点；
（2）若函数f(x)的值域为[2,)，求实数m的值.
19.
(本小题满分10分)
已知O为坐标原点，点p(1,2)在圆
22
M:xy4xay10上，
（1）求实数a的值；
（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3）过点O作互相垂直的直线 <
br>l
1
,l
2
,l
1
与圆M交于A,B两点，
C,D两点，求|AB||CD|的最大值.
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2
与圆M交于l
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2017年湖南省学业水平考试（参考答案）
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
20.
已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以
是（A）
A、正方体B、圆柱
C、三棱柱D、球
21.
已知集合A{0,1},B{1,2}，则AB中元素的个数为（C）
A、1B、2C、3D、4
22.
已知向量，若，则a(x,1),b(4,2),c(6,3)，若cab，则x（D）
A、-10B、10C、-2D、2
23.
执行如图2所示的程序框图，若输入x的值为-2，则输
出的y(B)
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A、-2B、0C、2D、4
24.
在等差数列{}
a中，已知a
1
a
2
11,a
3
16，则
n
公差d（D）
A、4B、5C、6D、7
1
25.
既在函数
fxx的图象上，又在函数
()2
图象上的点是(B)
A、（0，0）B、（1，1）C、（
1
（
2,
）D、
2
1
）
,2
2
1
g(x)x的
26.
如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，
则直线CD与平面BEF的位置关系是(A)
A、平行B、在平面内
C、相交但不垂直D、相交且垂直
27.
已知sin2sin,(0,)，则cos（C）
A、
3
2
B、
1
2
1
C、
2
3
D、
2
1
4
28.
已
alog,b1,clog，则(A)
知
2
22
A、abcB、bacC、cabD、cba
29.
如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000
粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方
法计算得阴影部分的面积为（B）
A、
4
5
3
B、
5
1
C、
2
2
D、
5
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
30.
已知函数f(x)cosx,xR（其中0）的最小正周期为，则
2.
31.
某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
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服务，则抽出的学生中男生比女生多1人。
32.
在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b3,sinC1，
则ABC的面积为6。
x0,
33.
已知点A(1,m)在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值
y0,
xy4
范围为0m3。
34.
已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱
的体积为4。
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
35.
（本小题满分6分）
已知定义在区间[,]上的函数f(x)sinx的部分图象如图6所示.
（1）将函数f(x)的图象补充完整；
（2）写出函数f(x)的单调递增区间.
解：（1）图象如图：
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（2）由图象可知，函数f(x)sinx在区间[,]上的单调增区间为[,]。
36.
(本小题满分8分)
已知数列{a}满足
n
a
n1
3a
n
(nN*)，且a
2
6.
（1）求
a
1
及a
n
；
（2）设b
n
a
n
2，求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
解：
a
n
3a
1
n
a
2
3a
1
6
a
1
2
a
}
为等比数列，公比q3；
n1a
3{
n
a
n
a
n
2
n
3
1
n1
（2）由已知可知，b232
n
S
n
b
1
b
b
b
1
2
3 n
2
0
(3
3
2
3
n 1
3
)
(
2
2
2
2)
2
1
n
3
1
2n
n
3
3
12n
37.
（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的
学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名
学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图
。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
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（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2
人，求选出的2人来自同一组的概率.
解:(1)由题可知，本次测试成绩的众数为
7080
75
2
（2）成绩在[80,90]的频率为0.015100.15，学生人数为200.153人，
设为a,b,c，成绩在[90,100]的频率为0.010100.1，学生人数为200.12
人，设为A,B,则从5人中任选2人的基本事件如下：
(a,b),(a,c),(a,A
),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共10个，其中
人来自同一组的基本事有(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),其4个基本件。
P(2人来自同一组）
4 2
10 5
19（本小题满分8分）
2,0,
x
x
（1）若m1，求f(0)和f(1)的值，
已知函数
f(x)
x
x
2
2(x1)m,x0
并判断函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点；（2）若函数f(x)的值域为
[2,)，求实数m的值.
2x,x0
解：(1)2f(0)2111,f(1)1,
m1f(x)
2(x1)1,x0
f(0)f(1)0f(x)在区间(0,1)内有零点.
(2)当x0时，f(x)的取值范围是(0,1)，当x0时，f(x)是二次函数，要
2
使函数f(x)的值域为[2,)，则f(x)2(x1)m的最小值为2，由二次函
2
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数可知，当x1时，f(x)2(x1)m取最小值2，即f(1)m2.
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38.
(本小题满分10分)已知O为坐标原点，点P(1,2)在圆
22
M:xy4xay10上，（1）求实数a的值；
（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3）过点O作互相垂直的直线
l
1
,l
2
,l
1
与圆M交于A,B两点，l
2
与圆M交于
C,D两点，求|AB||CD|的最大值.
解：（1）把P(1,2)点代入圆
22
M:xy4xay10得a0；
（2)圆心坐标为M(2,0)，k2，过圆心且与OP平行的直线方程为
OP
y02(x2)，即y2x22
（3）设直线AB的方程为kxy0，直线CD的方程为xky0，圆心到直线AB
的距离为
d，
1
2
2
1k
4
|
AB|23，同理可
1k
2
| CD | 2 3
4k
1k
2
2
6 (
44k
2
4 4k
22
1
)(3 ) 4
2 2
kk
k 1
k
1
|AB||CD|4(34
1
2
)
2
4
2
2
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