辽宁国际留学-2013北京高考英语

数学分析题库（1-22章）
四．计算题、解答题

求下列极限
1.
lim
n
2
4
n
n2
；
2.
lim(1
1
n

12

1< br>23

L

1
n(n1)
)
；
e
x
3.
lim
1
x0
sinx
；
1
x
4.
lim
(1x)e
x0
x
；
5.
lim
n
3
1
n
n1
； < br>6.
lim(1
11
n
n

n
2)
n
；
7.
lim
12sinx
；
x

6
cos3x
8.
lim(
1

1x0
xe
x
1
)
；
9.
lim
tanxx
x
;
x0
xsin
1
10．
lim(sin
x
x0
2xcosx)
；
求下列函数的导数或微分

11.
ye
x
cosx
；
12.
yln(lnx)
；
13.
yx
sinx
；
14.求函数
ysinx
的各阶导数；
15.
ye
x
sin2x

16.
yln(cosxlnx)

8

1

17.
y(cosx)
sinx

18. 求函数
ycosx
的各阶导数；
19．设
y3
tan
x1
x
，求
dy
；
dx
x
20.设
u(x)lnx,v(x)e
，求
d(uv),d()
；
21.
y(arctanx)，
求
y

;
22.
yx
x
，
求
y

;
t

d
2
y

xecost,
23. 求由参量方程

所确定的函数的二阶导数
2
;
t
dx

yesint;
x
33
u
v
32
24. 设
yxe
, 试求
y
3x(6)
.
25. 试求由摆线方程

26.求函数
f

x

x< br>
xa(tsint),
所确定的函数
yf(x)
的二阶导数
ya(1cost)

1
的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.
x1
x0
x0
（
m
为正整数），试问：
1

m

xsin
27．设函数
f(x)

x


0
（1）
m
等于何值时，
f
在< br>x0
连续；
（2）
m
等于何值时，
f
在
x0
可导；
（3）
m
等于何值时，
f

在
x0
连续.
28．试问函数
f(x)x,g(x)x
在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结
论，为什么？
23
1

4

xsin
2
29．设
f(x)

x

0

x0
x0

（1）证明：
x0
是极小值点；
（2）说明
f
的极小值 点
x0
处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.
30．若对任何充分小的

0
，
f
在
[a

,b

]
上连续，能否由此推出
f
在
(a,b)
内连续.
2 8

6
31. 试求
f(x)ln(1x)
到
x
项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.
2
32. 试求函数
y|2x9x12x|
在
[1,3]
上的最值和极值. < br>33.求函数
yx5x5x1
在
[1,2]
上的最大最小值 ：
34. 确定函数
y2x3x36x25
的凸性区间与拐点.
35.举例说明:在有理数集内,确界原理和单调有界定理一般都不成立.
36..举例说明:在有理数集内,聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.
37.设
H



由.
38.求不定积分32
543
32

11

,

n1 ,2,
L
n2n





1


.问能否从
H
中选出有限个开区间覆盖

0,
2

,说明理



du
.
3
uu
39.求不定积分

a
2
x
2
dx(a 0)
.
40.求不定积分
xarctanxdx
.

2x
dx
. 41.求不定积分


3

1x
42.求不定积分
2
1

x
x2dx
.
x2
43.求不定积分
44.计算定积分
45.计算 定积分
46.计算定积分
dx

53cosx
.


e
1
e
1
lnxdx
.
e
x
dx
.
0
1

arcsinxdx
.
0
47.求极限< br>limn

n

1

1

L< br>
1

.

2n
2

n
2
1n
2
2
2
48.设
f(x)
在
[a,b]
上连续,
F(x)

x
a
f(t)(xt) dt
.求
F

(x)
.
2
x
2
y
z
2
49.求由椭球面
2

2

2< br>1
所围立体的体积.
abc
3 8

2
x
2
y
50.求椭圆
2

2
1
所围的面 积.
ab
51.求摆线
xa(tsint),ya(1cost)(a0 ),0t2

的弧长.
52.求平面曲线
ysinx,0x
绕
x
轴旋转一周所得旋转曲面的面积.
53.讨论无穷积分


0
xe
x
dx
是否收敛?若收敛,则求其值. < br>2
54.讨论无穷积分


1
dx
dx
是 否收敛?若收敛,则求其值.
x
2
(1x)
1
是否收敛.若收敛,求其和数.
n(n1)(n2)
n1

55.利用级数敛散性定义验证级数
5 6.判断级数


1cos
n

的敛散性.



n1

n

1

n
的敛散性. 57.判断级数


2n1

n1

58.判断级数


1

n1< br>

n
2
sin
是绝对收敛,条件收敛还是发散.
n
59. 判断级数
sinnx
,x(0,2

)
是绝对收敛,条件收敛还是发散.

n
n1
(1 )
n
(xn)
n
60. 判断函数项级数

在区间
[ 0 , 1 ]
上的一致收敛性.
n
n1
61.
f
n
(x)

62. 函数列
nx
,
x
[ 0 , 1 ]
. 讨论函数列{
f
n
(x)
}的一致收敛性.
22
1nx
1

2
2nx,0x,

2n

11

f
n
(x)

2n2n
2
x,x ,

n1,2,

2nn


1

0,
n
x1.

在
[0,1]
上是否一致收敛？
63.
f
n
(x)
2nxe
2n
2
x
2
在
R
内是否一致收敛？
4 8

64.函数列
1

2
2nx , 0x,

2n

11


f
n
(x)

2n2n
2
x, x , ( n1 , 2 ,  ),

2nn

1

0 , x1 .

n

在
[ 0 , 1 ]
上是否一致收敛？
65. 求幂级数
1234
x
2
x
3

3
x
5

4
x
7
 
的收敛域 .
3
333
66. 计算积分
I

1
0
e
x
dx
, 精确到
0.0001
.
2
67. 把函数
f(x)
< br>ln(5x)
展开成
(x2)
的幂级数.
68. 求幂级数
n1
n
x
的和函数.

n!
n0
x

69. 展开函数
f(x)(1x)e
.
70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数
f(x)x,
（i）


x

,
（ii）
0x2

.< br>
71. 设
f(x)
是以
2

为周期的分段连续函数, 又设
f(x)
是奇函数且满足
f(x)f(

x)
. 试求
f(x)
的Fourier系数
b
2n

n1,2, 
.
72. 设
f(x)
以
2

为周期，在区间
[0,2

]
内,
1



f(x)sin2nxdx
的值，


试求
f(x)
的Fourier级数展开式.
73.设
x

,0x2,
f

x



2 


0,x2,


x
2
x, x0
f

x



2
xx, 0x

,
求在
[

,

]
内
f(x)
的以
2

为周期的F ourier级数展开式.
74. 设
f(x)
是以
2

为周期的连续函数,其Fourier系数为
a
0
,a
n
,b
n
,
n1,2,
.试用
a
0
,a
n
,b
n
,
表示函数
F(x)f(x)cosx
的Fourier 系数
2xy4
75. 试求极限
lim.

(x,y)( 0,0)
xy
1cos(x
2
y
2
)
76. 试求极限
lim.

22x
2
y
2
(x,y) (0,0)
(xy)e
5 8

77. 试求极限
11
(xy)sinsin.

(x,y)(0,0)
xy
lim
xy
2
78. 试讨论
lim.

(x,y)(0,0)
x
2
y
4
79. 试求极限(x,y)(0,0)
lim
x
2
y
2
1xy 1
22
.

uu
,.

xy
80.
uf(xy,xy)
,
f
有连续的偏导数，求
81.
zarctanxy,
ye,
求
x
dz
.

dx
22
82. 求抛物面
z2xy
在点
M(1,1,3)
处的切平面方程与法线方程.
22
83. 求
f (x,y)2xxyy6x3y5
在
(1,2)
处的泰勒公式.

84. 求函数
f(x,y)e(xy2y)
的极值.
85. 叙述隐函数的定义.
86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
87. 叙述隐函数可微性定理的内容.
88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
89. 讨论笛卡儿叶形线
2x2
x
3
y
3
3axy0

所确定的隐函数
yf(x)
的一阶与二阶导数.
90. 讨论方程 F(x,y,z)xyz
3
x
2
y
3
z0< br>
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.
91. 设函数
f(x,y,z)xyz
, 方程
23
x
2
y
2
z
2
3xyz
.
(1)验证在点
P
0
(1,1,1)
附近由上面的方程能确定可微的隐函数
yy(z,x)
和
zz(x,y)
;
(2)试求
f
x
(x,y(x,z ),z)
和
f
x
(x,y,z(x,y))
,以及它们在点
yf(x)
处的值.
92. 讨论方程组

F(x,y,u,v)u
2
v
2
x
2
y0,


G(x,y,u,v)uvxy10

在点
P
0
(2, 1,1,2)
近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
93. 设方程组
6 8


u
2
v
2
x
2
y
2
1,



uvxy0.
问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定
u,v
是
x,y
的可微函数?
(2)由方程组可以唯一确定
u,x
是
v,y
的可微函数?
94. 求球面
xyz50
与锥面
xyz
所截出的曲线的点
(3, 4, 5)
处的切线与
法平面方程。
95. 求曲面
ezxy3在点
M
0
(2,1,0)
处的切平面与法线方程.
96. 抛物面
xyz
被平面
xyz1
截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最
短距离.
97. 叙述含参量
x
的正常积分定义.
98. 叙述含参量
x
的正常积分的连续性定理的内容.
99. 叙述含参量
x
的无穷限反常积分定义.
100. 叙述含参量
x
的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
101. 叙述含参量
x
的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
102. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
103. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
104. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
105. 求
I
22
z
222222

1
0
x
b
x
a
dx(ba0).

lnx
1
ba

1

xx
dx (a0,b0)
. 106. 计算积分

sin

ln
0
xlnx

107. 计算
I

e
px
0

sinbxsinax
dx(p0,ba).< br>
x

sinxsinax
dx, I

dx

0
xx
并由此计算
I(a)

108. 利用公式

0

< br>0
e
x
dx
2

2
, 计算

(r)

e
x
cosrxdx
.
0

2
109. 利用可微性计算关于参数
a
的含参量反常积分
I
k
(a)

e
kx
0

sinax
dx(k0,a0)< br>.
x
并由此计算
7 8

I(a)

110. 计算
111.计算

0

sinxsinax
dx, I

dx

0
xx

L
|y|ds，其中L为单位圆周
x
2
y
2
1
.
< br>(xy)dx(yz)dy(zx)dz
，其中
L
为从(0,0,0 )到(1,2,3)的直线段.
112.求积分


5xy2

dx

5xy4xsiny

dy
,其中曲线
C

A,B

与
x
轴围成
L
34432
C

B,A

的面积为
S
.

x
2
y
2
1
3

2

32
113 .求
Ñ

3xyy2x

dx

x3xy 4x1

dy
,其中
C:
a
2

b< br>2
1
.

3

C

114.求 全微分
(2xyz)dx(2yzx)dy(2zxy)dz
的原函数.
222


xy

dxdy,
其中
D
由
yx,yx
围成.
116.求


xy z

dxdydz
,其中
V
由
zxy
115. 求
2
D
222
222
,
x
2
y
2
z
2
R
2

z0

所围成
V
的有界闭区域.
xy

xy

117.求





a0,b0

与
y0< br>所围成区域
D
的面积.

ab

ab
2< br>x
2
y
2
y
2

2

x< br>118.求

sin

2

2

dxdy
,其中
D
是
2

2
1
. ab

ab

D
1
22222
119.求
zdxdydz
,其中
V
由
z

x y

,xyz4

z0

所围成的有界闭区
3
V
域.
120.求
121.求
2222
,其中
zd

S:xyza

0hza

. 
S
2

zdxdy
,S是
x
S
2
y
2
z
2
a
2
(x0,y0)
,取球面的外侧为正侧.
122.设
f(u)
具有连续导数,求
3

1

y
2

3

2< br>
y
2

3

y
2
z
2

2

xsin

dydz

f
y

dzdx

f

z

dxdy
.
Ò

2
S

z

z


y

z

< br>
22222222222
其中
S
为
yxz,yxz a,yxzb

0ab

所围立体的表面的
外侧. < br>123.求

1
3

1
3

1< br>32

xy

xsinzdydzycosxdzdxz 2e

dxdy
,其中
S
是
Ò
33 3

S

2
V


x,y,z

xy
2
z
2
a
2
的表面,取外侧 为正侧

a0

.
222

x
2y
2
z
2
124.计算积分
I

xydy dzyzdzdxzxdxdy
，其中
S
是椭球面
2

2

2
1
的
abc
S
外侧.
8 8