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2017全国Ⅰ卷高考文科数学真题及答案
本试卷共5页，满分150分。
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对 答题卡上粘贴的条形
码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合
A
=

x|x2

，
B
=
< br>x|32x0

，则（ ）。
3

A．
A< br>I
B
=

x|x


2
< br>3

C．
A
U
B


x|x< br>

2

B．
A
I
B


D．
A
U
B=
R

【答案】A
【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
2．为评估一种农作 物的种植效果，选了
n
块地作试验田.这
n
块地的亩产量（单位：kg）分别 为
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，下面 给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）。
A．
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的平均数
C．
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的最大值
【答案】B
【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）。
A．i(1+i)
2

【答案】C
【难度】一般
B．i
2
(1-i) C．(1+i)
2
D．i(1+i)



B．
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的标准差
D．
x
1
，
x
2
，…，
xn
的中位数

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 < br>4．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学 科&网则此点取自黑色部分的概率是（ ）。

A．
1

4
B．
π

8
C．
1

2

π
D．


4
【答案】B
【难度】一般
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班
中均有涉及。
y
25．已知
F
是双曲线
C
：
x
-=1的右焦点，
P
是
C
上一点，且
PF
与
x
轴垂直，点
A
的坐标是(1,3).则△
APF
3
2
的面积为（ ）。
1
A．
3

1
B．


2

2
C．


3

3
D．


2
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
6．如图，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M< br>，
N
，
Q
为所在棱的中点，则在这四个正方体
中，直接
AB
与平面
MNQ
不平行的是（ ）。


【答案】A

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。

x 3y3,

7．设
x
，
y
满足约束条件
xy1,
则
z
=
x
+
y
的最大值为（ ）。

y0,

A．0
【答案】D
B．1 C．2 D．3
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒
假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
8．.函数
y

sin2x
的部分图像大致为（ ）。
1cosx

【答案】C
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
9．已知函数
f(x)lnxln(2x)
，则（ ）。
A．
f(x)
在（0,2）单调递增

B．
f(x)
在（0,2）单调递减
D．
y
=
f(x)
的图像关于点（1,0）对称 C．
y
=
f(x)
的图像关于直线
x
=1对称
【答案】C

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
10．如图是为了求 出满足
3
n
2
n
1000
的最小偶数
n
，学|科网那么在
别填入（ ）。

和两个空白框中，可以分

A．
A
>1000和
n
=
n
+1
C．
A
≤1000和
n
=
n
+1
【答案】D
【难度】较难






B．
A
>1000和
n
=
n
+2
D．
A
≤1000和
n
=
n
+2
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
11．△< br>ABC
的内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
。已知sinBsinA(sinCcosC)0
，
a
=2，
c
=
2
，
则
C
=（ ）。
A．
π

12
B．
π

6
C．
π

4
D．
π

3
【答案】B
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
x
2< br>y
2
12．设
A
、
B
是椭圆
C
：< br>1
长轴的两个端点，若
C
上存在点
M
满足∠
AM B
=120°，则
m
的取值范围
3m

是（ ）。
A．
(0,1]U[9,)

C．
(0,1]U[4,)

【答案】A
【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
= （–1，2），
b
=（
m
，1）.若向量
a
+
b< br>与
a
垂直，则
m
=______________.
【答案】7
【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
14．曲线
yx
【答案】x-y+1=0
【难度】简单
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
π
π
15．已知
a(0，)
,tan α=2，则
cos(

)
=__________。
4
2
2








B．
(0,3]U[9,)

D．
(0,3]U[4,)

1
在点（1，2）处的切线方程为_________________________.
x
【答案】
310

10
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
16．已知三棱 锥
S-ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
SC
是球O
的直径。若平面
SCA
⊥平面
SCB
，
SA
=
AC
，
SB
=
BC
，三棱锥
S-ABC
的体积为9，则球
O
的表面积为________。
【答案】36π
【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲

刺班中均有涉及。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作 答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
记
S
n
为等比数列

a
n

的前
n
项和，已知
S
2
=2，
S
3
=-6.
（1）求

a
n

的通项公式；
（2）求
S
n
，并判断
S
n
+1
，
S
n
，
S
n
+2
是否成等差数列
。
【答案】


(2)
n1
2
=
3

S
n1
S
n2
(2)
n2
2(2)
n3< br>2(2)
n2
(2)
n3
4


333
=

即S
n
S
n1
S
n2
S
n

∴
Sn1
,S
n
,S
n2
成等差数列

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
18．（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
ABCD，且
BAPCDP90
o


（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
,
APD 90
o
,且四棱锥
P-ABCD
的体积为
【答案】
8
，求该四棱锥的侧面积.
3


由AB⊥平面PAD知：AB⊥AD
又∵AB∥DC，AB=DC
∴四边形ABCD为矩形
ADBC2a

∴△PBC为等边三角形
由（1）知AB⊥平面PAD

∴平面ABCD⊥平面PAD
取AB的中点M连接PM
由PA=PD,得PM⊥AD，
PM
2
a

2
由平面ABCD⊥平面PAD且交线为AD知：PM⊥平面ABCD
∴PM为四棱柱P-ABCD的高
112a8
V
PABCD
 S
矩形ABCD
.PMa2a

3323

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该 生产线上随机抽取一个零件，并
测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零 件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96
抽取次序 9 10 11
9.96 10.01 9.92
12 13 14
9.98 10.04
15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)0.212
，


16
i1
16
i1
16
i1

(i8.5)
i1
16
2
其中
x
i
为抽取的第
i
个零 件的尺寸，
i1,2,,16
．
18.439
，
(x
i
x)(i8.5)2.78
，
i1
16
（1）求
(x
i
,i)
(i1,2,,16)
的相关系数
r
，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程
的进行而系统地变大或变 小（若
|r|0.25
，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变
小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(x3s,x3s)
之外 的零件，就认为这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在
(x3s,x3s)
之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生 产线当天生产的零件尺
寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本
(x
i
,y
i
)
(i1,2,,n)
的相关系数
r

(xx)(yy)
ii
i1
n

(xx )

(yy)
2
ii
i1i1
nn
，
0.0080.09
．
2
【答案】




根据表格中数据可知第13次抽取的尺寸不在范围内，因此需要检查。
（ii）剔除离群值之 后，组成一组新的数据，设平均数为
x'
，标准差为
s'

0.0080.09

【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
20．（12分）
x
2
设
A
，
B
为曲线
C
：
y
=上两点，
A
与
B
的横坐标之和为 4.
4
（1）求直线
AB
的斜率；
（2）设
M
为曲线
C
上一点，
C
在
M
处的切线与直线
AB平行，且
AM

BM
，求直线
AB
的方程.
【答案】



由题意知切线与直线AB平行

∴M点处的切线斜率为
k'y'|
xx
0

1
x
0
k1

2

x
0
2

∴M点坐标为M（2,1）则
AM(2x
1
,1y
1
),BM(2x
2
,1y
2< br>)

由（1）联立知
x4kx4b0,△=kb＞0又k1

22
x
2
4kx4b0,△=1b＞0

由韦达定理得：
x
1
x
2
4,x
1
x
2
4b
y
1
y
2
x
1
bx
2
bx
1
x
2
2b
y
1
y
2
(x
1
b)(x
2
b)x
1
x
2
b(x
1
x
2
)b
2
根据题意：AM⊥BM


【难度】较难

【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
21．（12分）
已知函数
f(x)
=e
x
(e
x
﹣
a
)﹣
a
2
x
．
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)0
，求
a
的取值范围．
【答案】

得：
2ea0,即xln()

x
a
2
即
2ea＜0，故f'(x)＜0,从而f(x)单调递减

x
a
e
x
＞-,即2e
x
a＞0，故f'(x)＞0,从而f(x)单调递增
2
综上，a=0时，f(x)在R上单调递增

a＞0时，f(x)在 （，lna)上单调递减，在[lna,)上单调递增
aa
a＜0时，f(x)在（ ，ln（-）)上单调递减，在[ln（-）,)上单调递增
22
(2)i)当a0时 ，f(x)e
2x
＞0，xR
a0满足题意


【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
< br>（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为

ysin< br>
,


xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
，求
a
.
【答案】

【难度】中等
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x< br>）=–
x
+
ax
+4，
g
（
x
）= │
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时， 求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
【答案】
2

（2）-x
2
ax4|x1 ||x1|对x[-1，1]恒成立
即-x
2
ax42对x[-1，1 ]恒成立
即-x
2
-ax-20对x[-1，1]恒成立，令p(x)x
2
ax2
a-1+1
当＜=0时，由p(1)1a≤0，得1≤a＜0
22
a
当0，由p(1)1+a≤0，得0≤a＜1
2
综上 ：1a1
【难度】较难
【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒
假特训班、百日冲刺班中均有涉及。