普济寺-说明文怎么写

江苏省2019年13地市中考数学解答题汇总
南京市
解答题（本大题共1 1小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算（x+y）（x
2
﹣xy+y
2
）
【解答】解：（x+y）（x
2
﹣xy+y
2
），
＝x< br>3
﹣x
2
y+xy
2
+x
2
y﹣xy
2
+y
3
，
＝x
3
+y
3
．
故答案为：x
3
+y
3
．
18．（7分）解方程：﹣1＝．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+1）﹣（x
2
﹣1）＝3，
即x
2
+x﹣x
2
+1＝3，
解得x＝2
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．
19．（7分）如图，D是 △ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求
证：△ADF≌△CE F．

【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
＝
方差分别是
＝＝0.8，
＝24，＝＝18，
＝
∴＜，
＝8.8，
∴该市这5天的日最低气温波动大；

（2）25日、26日、27日的天气依 次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说
明下雨后空气质量改善了．
21．（8分 ）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选
择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【解答】解：（1） 画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的
结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天 ，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星
期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

【解答】证明：连接AC，
∵AB＝CD，
∴
∴
＝
+
，
＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．

23．（8分）已知一次函数y
1
＝kx+2（k为常数，k≠0）和y
2
＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y
1
＞y
2
，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y
1
＞y
2
．结合图象，直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）k＝﹣2时，y
1
＝﹣2x+2，
根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，
解得x＜；
（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣ 2，把（1，﹣2）代入y
1
＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，
当﹣4≤k＜0时，y
1
＞y
2
；
当0＜k≤1时，y
1
＞y
2
．
24．（8分）如图，山 顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道
EF．从与E点相距80m的C 处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m
的D处测得A的仰角为45°．求隧道 EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

【解答】解：延长AB交CD于H，
则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，
∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，
∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，

由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，
解得，CH＝300，
∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，
∴AH＝AB+BH＝153，
∴DH＝AH＝153，
∴HF＝DH﹣DF＝103，
∴EF＝EH+FH＝323，
答：隧道EF的长度为323m．

25 ．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充
后的矩形广 场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场
和扩充区域都铺设地砖， 铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩
充后广场的长和宽应分别是多少米 ？

【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000
解得x
1
＝30，x
2
＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．
26 ．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点
D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．
2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的 个数随着点D的位置变化而变化……请你继
续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，
∴DG＝EF，
∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形．
（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴
∴x＝
+x＝3，
，
，
时，菱形的个数为0． < br>∴CD＝x＝
观察图象可知：0≤CD＜
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形 的边长为m．

∵DG∥AB，
∴
∴
＝，
＝，
，
＝，
解得m＝
∴CD＝3﹣
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DG∥AB，
∴
∴
∴n＝
＝，
＝，
，
＝，
＝，
或＜CD≤时，菱形的个数为0，当CD＝
＜CD≤时，菱形的个数为2．
或＜∴CG＝4﹣
∴CD＝
观察图象可知：当0≤CD＜
CD≤时，菱形的个数为1， 当
27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此 ，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按
直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平 面直角坐标系xOy，对两
点A（x
1
，y
1
）和B（x
2
，y
2
），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x
1
﹣x
2
|+|y
1
﹣
y
2
|．

【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．
②函数 y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则
点B的坐标 是 （1，2） ．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使d
（O，C）＝3．
（3）函数y＝x
2
﹣5x+7（x≥0）的图象 如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的
最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到
某处，再 在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适
当的平面直角坐标系，画出 示意图并简要说明理由）
【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴
解得：
，
，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）；

（2）假设函数
根据题意，得
∵x＞0，
∴
∴
，
，
的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
，
，
∴x
2
+4＝3x，
∴x
2
﹣3x+4＝0，
∴△＝b
2
﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x
2
﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）设D（x，y），
根 据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x
2
﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x
2< br>﹣5x+7|，
∵
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x
2< br>﹣5x+7|＝x+x
2
﹣5x+7＝x
2
﹣4x+7＝（x﹣2）< br>2
+3，
∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝
﹣x 的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥M N，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，
再沿HE方向修建到E处．
理由：设 过点E的直线l
1
与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过
，
点P作直线l
2
∥l
1
，l
2
与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．

苏州市
解答题：本大题共10小题，共7 6分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必
要得计算过程，推演步骤或文字说明.作图时 用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19.（本题满分5分）计算：

3
2
2


2


0
【解答】解：
原式321
4

20.（本题满分5分）


x15
解不等式组：




2

x4

3x7
【解答】解：由①得
x15

x4

由②得
2

x4

3x7

2x83x7

x1

x1

所以x1

21.（本题满分6分）
先化简，再求值：
x36

1

，其中
x23
.
x
2
6x9

x3

x3

x36
x3
x3

x3
【解答】解：原式


x3

x3
2



x3

x3
2




x3

2

x3

x3


1

x3
代入
x23
原式



1
233
1
2
2
2


22.(本题满分6分)
在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字 1,2,3,4,这些卡片除数字
外都相同,将卡片搅匀.
(1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ； (2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡
片 标有数字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解).
【解答】解：
1
（1）
2
（2）

P
82


123
1
，抽取的2张卡片标有数< br>2
答：从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是
字之和大于4的概率为
2
.
3
23.(本题满分8分)
某校计划组织学生参加“书法” 、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小組.要求每人必须参
加.并且只能选择其中一个小组, 为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情況,学校从全体学
生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调 查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计
图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题 ：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)；
（2）
m________, n________;

（3）若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？

【解答】解：
（1） 参加问卷调查的学生人数为30

20%

150

人

；

（2）
m36,n16

（3）选择“围棋”课外兴趣小组的 人数为
1200
24
=192

人


150
答：参加问卷调查的学生人数为
150人
，
m36,n16
，选择“围棋”课外兴趣小组的人数
为
192人
.
24.(本题满分8分)
如图，
△ABC
中，点
E
在BC
边上，
AEAB
，将线段
AC
绕点
A
旋 转到
AF
的位置，使得
CAFBAE
，连接
EF
，
EF
与
AC
交于点
G

（1）求证：
EFBC
；
（2）若
ABC65
，
ACB28
，求
FGC
的度数.

【解答】解：
（1）
QCAFBAE


BACEAF




又QAEAB，ACAF


△BAC≌△EAF

SAS


EFBC

（2）
QABAE，ABC65


BAE18065250


FAG50


又Q△BAC≌△EAF


FC28


FGC502878

25.(本题满分8分)
k
如图，
A
为反比例函数
y< br>
其中x0

图像上的一点，在
x
轴正半轴上有一点
B
，
OB4
.
x
连接
OA
，AB，且
OAAB210
.
（1）求
k
的值；
（2）过点
B
作
BCOB
，交反比例函数
y
点
D
，求
AD
的值.
DB
k
连接
OC
交
AB
于

其中x0

的图像于点
C
，
x

【解答】解：
（1）过点
A
作
AHOB
交
x< br>轴于点
H
，交
OC
于点
M
.


QOAAB210,OB4

OH2

AH6

A

2,6


k12

（2）
将x4代入y




12

x
得D

4,3


BC3

QMH
AM
13
BC

22
9

2
QAHx轴，BCx轴

AH∥BC

△ADM∽△BDC


ADAM3


BDBC2
26.（本题满分10分）
如图，AE为
eO
的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.
（1）求证：
DO∥AC
；
（2）求证：
DEDADC
2
;
1
（3）若
tanCAD
,求
sinCDA
的值.
2
C
E
F
A
O
B
D

【解析】
（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为
eO
的半径
∴
OD⊥BC

又∵AB为
eO
的直径
∴
ACB90

∴
AC∥OD

（2）证明：∵D为弧BC的中点
»
BD
»
∴
CD
∴
DCBDAC

∴
DCE∽DAC

DCDE

∴
DADC
即
DEDADC
2

（3）解 ：∵
DCE∽DAC
，
tanCAD
CDDECE1


DADCAC2
设CD=
2a
，则DE=
a
，
DA4a

又∵
AC∥OD

∴
AEC∽DEF

1

2
∴
∴
CEAE
3

EFDE
8
所以
BCCE

3
又
AC2CE

∴
AB
10
CE

3
CA3


AB5
即
sinCDAsinCBA

27．（本题满 分10分）
已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=
25 cm
.如图①，动点M
从点A出发，在矩形边上沿着
ABC
的方向匀速运 动（不包含点C）.设动点M的运动
时间为t（s），
APM
的面积为S（cm²） ，S与t的函数关系如图②所示：
（1）直接写出动点M的运动速度为
cms
，BC的长度为
cm
;
（2）如图③，动点 M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，
另一个动点N从点D出发，在矩 形边上沿着
DCB
的方向匀速运动，设动点N的运动
速度为
v

cms

.已知两动点M、N经过时间
x

s
< br>在线段BC上相遇（不包含点C），动点M、
22
N相遇后立即停止运动，记此时
APM与DPN
的面积为
S
1
cm,S
2
cm
.

①求动点N运动速度
v

cms

的取值范围;
②试探究
S
1
S
2
是否存在最大值.若存 在，求出
S
1
S
2
的最大值并确定运动速度时间
x
的值；
若不存在，请说明理由.

D
C
S
（
c m²
）
P
O
A
（图
①
）
M
B2.5
图
②
7.5
t
（
s
）

【解析】（1）2
cms
；10
cm

（2）①解：∵在边BC上相遇，且不包含C点

5
＜7.5在C点


v
∴


15

2.5在B点


v

D
5
C
2
∴
cms＜v6cms

3
15-2x
10
H
P
M(N)
2x-5
②如右图
S
1
S
2
 S
矩形ABCD
S
PAD
S
CDM（N）
SABM(N)


7510
=15
1152x
过M点做MH⊥AC，则
MHCM

2
5
A
5

152x

2

5 

2x5

2

B

1
∴
S
1
MHAP2x15

2
∴
S
2
2x

S
1
S< br>2


2x15

2x

=
4x
2
30x

15

225

=
4

x



4

4< br>
2
15
15225
因为
2.5＜＜7.5
，所以当
x
时，
S
1
S
2
取最大值.
4
44
28．（本题满分10分）
2
如图①，抛物线
y x(a1)xa
与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y
轴交于点C，已 知
ABC
的面积为6.
（1）求
a
的值；
（2）求
ABC
外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点， 点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，
Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P 到x轴的距离为d，
QPB
的面积为
2d
，且
PAQAQB
，求点Q的坐标.
y
y
C
C
A
O
Bx
A
Q
OB
x

（图①） （图②）
【解析】
（1）解：由题意得
y

x1

xa


由图知：
a＜0

所以A(a,0
)，
B

1,0

,
C
0,a


S
ABC

1

1 a



a

=6
2
A
Q< br>O
C
P
D
B
x
a3或a4(舍)

∴
a3

（2）由（1）得A(
-3,0
)，
B

1,0

,
C

0,3


∴直线AC得解析式为：
yx3


P


33

AC中点坐标为

,



22

∴AC的垂直平分线为：
yx

又∵AB的垂直平分线为：
x1


yx

x1
∴

得


x1
y1


ABC
外 接圆圆心的坐标（-1，1）.

（3）解：过点P做PD⊥x轴
由题意得：PD=d，
1
∴
S
ABP
PDAB

2
=2d
∵
QPB
的面积为
2d

∴
S
ABP
S
BPQ
，即A、D两点到PB得距离相等
∴
AQ∥PB

设PB直线解析式为;
yxb
过点
B(1,0)

∴
yx1


yx1

x4
∴

易得

2
yx2x3
y5



x1
(舍)


y0

所以P(-4,-5),
由题意及
PAQAQB

易得：
ABQ≌QPA

∴BQ=AP=
26

设Q（m，-1）(
m＜0
)
2
∴

1m

126

2
m4

∴Q

4,1


常州市
解答题（本大 题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答
应写出文字说明、演算步骤 或推理过程）
19．（8分）计算：
（1）π
0
+（）
1
﹣（
﹣
）
2
；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
【解答】解：（1）π
0
+（）
1
﹣（
﹣
）
2
＝1+2﹣3＝0；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x
2
﹣1﹣x
2
+x＝x﹣1；
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：

21． （8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD
相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 AC′∥BD ；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．

【解答】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD；
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，

∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．
< br>22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分
学生 的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 30 ，这组数据的众数为 10 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；
故答案为：30，10；
（2）这组数据的平均数为
（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．
23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放
在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋
子中．
＝12（元）；

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是

；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸 出1个盒子，把
摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不
重叠无缝隙拼接）
【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B 型（菱形）或C
型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．
24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲 做180个零件所用的时间与乙做120个零
件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，
由题意得：
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件． 25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC
＝，
的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标．

【解答】解：（1）∵OA＝2
∴A（2，2），
∴k＝4，
∴y＝；
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，
∴AB⊥x轴，
∴B的横纵标为2，
∵点D是BC的中点，
∴D点的横坐标为1，
∴D（1，4）；
26．（10分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积 、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方
法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算 两次”．“算两次”也称做富比尼
原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1） 如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三
角形拼成一个梯形． 用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正 方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可
得等式：n
2
＝ 1+3+5+7+…+2n﹣1． ；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画 m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪
成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当 n＝3，m＝3时，如图3，最多
可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ 6 ；当n＝5，m＝ 3 时，y＝9；
，∠AOC＝45°，

②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ n+2（m﹣1） （用
含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

【解答】解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c
2
．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c
2

整理得（a+b）
2
＝2ab+c
2
，a
2
+b
2
+2ab ＝2ab+c
2
，
∴a
2
+b
2
＝c
2
．
故结论为：直角 长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a
2
+b
2
＝c
2
．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n
2
，每层棋子分别为1，3， 5，7，…，
2n﹣1．
由图形可知：n
2
＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，

如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②方法1．对于一般的情形，在n边形内 画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角
形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分， 故可得y＝n+2（m﹣1）．
方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点 为顶点，可把△ABC
分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的 m个点，
共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n

边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n +2
（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2
+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
点A的坐标为（﹣1，0）， 点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ 2 ；
（2）若点P在第一象限，过点 P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、
N．是否存在这样的点P，使得PM＝M N＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3 ，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，
且S
△
PQB
＝2S
△
QRB
，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函 数y＝﹣x
2
+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x
2
+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x
2
+2x+3＝0
解得：x
1
＝﹣1，x
2
＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，

∴D（0，）
∴直线BD的解析式为y＝﹣+，
设P（t，﹣t
2
+2t+3）（0＜t ＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）
∴PM＝﹣t
2
+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t
2
+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣
﹣t+
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t
2
+3t＝﹣t+
解得：t
1
＝，t
2
＝3（舍去）
∴P（，）
），使得PM＝MN＝NH．
x+）＝﹣t+，NH＝
∴P的坐标为（，
（ 3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°
∴BD＝
∴cos∠OBD＝
＝

∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠E PQ＝cos∠OBD＝
在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝
∴PQ＝PE



在Rt△PFR中，cos∠RPF＝

∴PR＝PF < br>∵S
△
PQB
＝2S
△
QRB
，S
△
PQB
＝BQ•PQ，S
△
QRB
＝BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵﹣+＝﹣x
2
+2x+3，解得：x
1
＝3（即点B横坐标），x
2
＝﹣
∴点G横坐标为﹣
设P（t，﹣t
2
+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）
∴PF＝ |﹣t
2
+2t+3|，PE＝|﹣t
2
+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t
2
+t+|
①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t
2
+2t+3，PE＝﹣t
2
+t+
∵PQ＝2QR
∴PQ＝PR
∴PE＝•PF，即6PE＝5PF
∴6（﹣t
2
+t+）＝5（﹣t
2
+2t+3）
解得：t
1
＝2，t
2
＝3（舍去）
∴P（2，3）
②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S< br>△
PQB
＝2S
△
QRB
不成立．
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t
2
+2t+ 3）＝t
2
﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t
2
+2t+3）＝t
2
﹣t﹣
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF
∴2（t
2
﹣t﹣）＝5（t
2
﹣2t﹣3）

解得：t
1
＝﹣，t
2
＝3（舍去）
∴P（﹣，﹣）
）． 综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣

< br>28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值
称 为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆： 1 ；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： 1+ ；
（2） 如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的
点，连接AB 、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若 点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线
上．对于⊙M上任意 点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，
故答案为1．
②如图1，正方 形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，
PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+，
．
＝＝
∴这个“窗户形“的宽距为1+
故答案为1+．
（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，
∴当d＝5时．AM＝4，
∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
当d＝8时．AM＝7，
∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
﹣1≤x≤2﹣1．
+1≤x﹣2+1．
∴满足条件的点M的横坐标的范围为2
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围 为﹣2


南通市
解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19 ．（本小题满分8分）解不等式：
4x1
x1
，并在数轴上表示解集．
3
解：两边同乘以3，得
4x13x3
．移项，得
4x3x3 1
．合并同类项，得
x4
．
把解集在数轴上表示为：
20．（本 小题满分8分）先化简，再求值：

m



4m4< br>
m2
，其中
m22
．


m
m
2
m
2
4m4m
2
(m2)
2
m
2
••m
2
2m
． 解：原式
mm2mm2
把
m22
代入上式，原式
m
2
2mm(m2)(22)2222
．

21．（本小题满分8分 ）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一
个点C，从点C不经过池塘可以直接 到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连
接BC并延长到点E，使CE=CB．连接D E，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？


CACD,
< br>证明：在△ABC和△DEC中，

ACBDCE,
∴△ABC≌△DE C．∴AB=DE．

CBCE,

22．（本小题满分9分）第一盒中 有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，
这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中 随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白
球、1个黄球的概率．
解：根据题意画出树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这 些结果出现的可能性相等．其中1
白1黄)
白1黄的有3种．所以
P(1
3 1

．
62
23．（本小题满分8分）列方程解应用题：
中华优 秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》
和《三国演义》若 干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，
用3200元购买《三国演义》 的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三
国演义》的价格．
解：设每套 《三国演义》的价格为
x
元，则每套《西游记》的价格为

x40

元．
由题意，得
32002400
2•
（x40）4800x
． ．方程两边乘
x(x40)
，得
3200
xx40
解得
x80
．经检验，
x80
是原方程的解，且符合题意．所以，原分式方程的解为< br>x80
．
答：每套《三国演义》的价格为80元．

24． （本小题满分10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进
行了统计，绘制了如 下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成
绩大于或等于9分为优秀）．



一班
二班
平均分
7.2
6.85
方差
2.11
4.28
中位数
7
8
众数
6
8
合格率
92.5%
85%
优秀率
20%
10%
根据图表信息，回答问题：
（1）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的
阅读水平更好些；
（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或 众数推断，二班阅读
水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？
解：（1）二 一
（2）乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一 班低，但从条形图中
可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受 极端值
影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．（答案不
唯一，理由只要有理有据，参照给分）
25．（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠AC B=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上
一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为
AB
中点，作PQ⊙AC，垂足为Q，求OQ的长；
⊙

（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan⊙PCA的值．

解：（1）连接OB，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°∴∠OBC=30°．
在Rt△O BC中，
cosOBC
23
BC1
，即
cos30
．解得
OB
．
3
OBOB
即⊙O的半径为
23
．
3
（2）连接 OP．∵点P为
AB
的中点，∴OP⊥AB．∴∠QPO=∠A=30°．
在Rt△ OPQ中，
cosQPO
⊙
PQOQ
，
sinQPO
，
OPOP
即
cos30
PQOQ
，
sin30 
．
2323
33
∴
PQ
2332313
• 1
，
OQ•
．
32323
323
PQ3
，∴
CQ
．∴
tanPCA
．

33
CQ2< br>2
（3）在Rt△OBC中，
OC
2a为常数）
26．（本小题满分 10分）已知：二次函数
yx4x3a（
．
（1）请写出该二次函数图像的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像 在
x4
的部分与一次函数
y2x1
的图
像有两个交点，求a
的取值范围．
解：（1）①图像开口向上；②图像的对称轴为直线
x2；③当
x2
时，
y
随
x
的增大而
增大；④当
x2
时，
y
随
x
的增大而减小；⑤当
x2时，函数有最小值．

（2）∵二次函数的图像与一次函数
y2x1
的图像有两个交点，
22
∴
x4x3a22x1
，即
x6x3a30
．
364(3a3)12a240
，解得
a2
．
∵二次函数的图像在
x4
的部分与一次函数
y2x1
的图像有两个交点 ，
2
∴二次函数

x6x3a3
的图像与
x轴
x4
的部分有两个交点．
2
结合图像，可知
x4
时，
x6x3a30
．
2
∴当
x4
时，
x6x3a33a50
，得
a
5
．
3
∴当二次函数的图像在
x4
的部分 与一次函数
y2x1
的图像有两个交点时，
5
a
的取值范围为
a2
．
3
27、（13分 ）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E,FF分别在AD,BC上，点A与点C关于EF所
在的直线对称，P是边DC上的一动点，
（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；
（2）当
PEF
的周长最小时，求
DP
的值；
CP
（3）连接BP交EF于点M，当
EMP45
时，求CP的长。

解：（1）连接AC，交EF于点O．
由对称可知：OA=OC，AC⊥EF．∴AF=CF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．
∴△OAE≌△OCF．∴AE=CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）∵△PEF的周长=PE+PF+EF ，又EF长为定值，∴△PEF的周长最小时，即PE+PF最小．作
E关于直线CD的对称点
E'
，连接
FE'
交DC于点
P'
，则
PEPFPE' PFE'F
，因
此，当点P与点
P'
彼此重合时，△PEF的周长最小．
∵AB=2，AD=4，∴
AC25
．∴
OC5
．
由△COF∽△CBA，得
OCCF5

．∴
CF
．
BCCA2
∴
DEBF4
53

．
22< br>3
3
DPDE'
2
3
由画图可知：
DE'DE< br>．由
△DE'P∽△CFP
，得

．
2
CPC F
5
5
2
（3）设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N．
∵∠EMP=45°，∴OM=OQ，NQ=BN．
由
AB•BCAC•BN
，得
2425BN
．
∴
NQBN
4
5
．
5
在Rt△ABN中，< br>2

4

ANABBN2

5
< br>5
．
5

5

222
2
∴AQANNQ
64
5
．
CQACAQ5
．
55
6
5
4
ABAQ
2
5
PC
由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得．即．解得．

3
CPCQ
PC
4
5
5

28 、（13分）定义：若实数x，y满足
x2yt
，
y2xt
，且xy
，则称点M（x，
y）为“现点”。例如，点（0,2）和（-2,0）是“线点” 。
已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n），
22
（）（）
（1）
P
和
P
两点中，点 是“线点”；
1
3,1
2
-3,1

（2）若点P是 “线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线 PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当
POQAOB30
时，直接写出t的值。
解：（1）
P
2
；
22
（2）∵
P(m,n)< br>是“线点”，∴
m2nt
，
n2mt
．
2222< br>2nm）2nm）2t
．∵
mn
，∴
mn2
． ∴
mn（
，
mn（
（mn）2mn（2nm）2t
．∴
42mn42t
．∴
mnt4
． ∴
（mn ）0
．即
（mn）4mn0
．∴
t30
．解得
t3
． ∵
mn
，∴
∴
t
的取值范围为
t3
．
（3）
t
22
2
10
或6．
3


徐州市
解答题（本大题共有10小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）π
0
﹣+（）
2
﹣|﹣5|；
﹣
（2）÷．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3+9﹣5＝2；
（2）原式＝
＝（x﹣4）•
＝2x．
20．（10分）（1）解方程：+1＝

÷

（2）解不等式组：
【解答】解：（1）+1＝，
两边同时乘以x﹣3，得
x﹣2+x﹣3＝﹣2，
∴x＝；
经检验x＝是原方程的根；
（2）由可得，
∴不等式的解为﹣2＜x≤2； 21．（7分）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字．分
别旋转 这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
乙
积
甲
1
2
3
（2）积为9的概率为
1
2
3
2
4
6
3
6
9
；
4
8
12
1 2 3 4
；积为偶数的概率为
（3）从1～12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为
．

【解答】解：（1）补全表格如下：

1 2 3 4

1
2
3
1
2
3
2
4
6
3
6
9
4
8
12
（2）由表知，共有12种等可能结果，其中积为9的有1种，积为偶数的有8种结果，
所以积为9的概率为
故答案为：，．
；积为偶数的概率为＝，
（3）从1 ～12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的有5和
7这2种，
∴此事件的概率为
故答案为：．
22．（7分）某户居民2018年的电费支出情况（每2个月缴费1次）如图所示：
＝，

根据以上信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中“9﹣10月”对应扇形的圆心角度数；
（2）补全条形统计图．
【解答】解：（1）全年的总电费为：240÷10%＝2400元
9﹣10月份所占比：280÷2400＝，
＝42° ∴扇形统计图中“9﹣10月”对应 扇形的圆心角度数为：360°×
答：扇形统计图中“9﹣10月”对应扇形的圆心角度数是42°
（2）7﹣8月份的电费为：2400﹣300﹣240﹣350﹣280﹣330＝900元，
补全的统计图如图：

23．（8分）如图，将平行四边形纸片AB CD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落
在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
由折叠可得，∠A＝∠ECG，
∴∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，
∴∠ECB＝∠FCG；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，
∴∠B＝∠G，BC＝CG，
又∵∠ECB＝∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA）．

24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为
的垂线，垂足为E，连接OD ．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
的中点．过点D作直线AC

【解答】（1）证明：连接OC，
∵D为
∴＝
的中点，
，
BOC，
BOC，
∴∠BCD＝
∵∠BAC＝
∴∠A＝∠DOB；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由：∵∠A＝∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．