商业研究-护照照片要求

2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1- 8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四
个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括
号内.)
(1)当
x0
时,
f
x

xsinax
与
g

x

 x
2
ln

1bx

等价无穷小,则
(A)
a1,b
(B)
a1,b

(C)
a1,b
(D)
a1,b
< br>(2)如图,正方形


x,y

x1,y1

被其对角线划分为四
个区域
D
k

k1,2,3,4
,
I
k


ycosxdxdy
,则max

I
k



1k4
D< br>k
1
6
1
6
1
6
1
6

(A)
I
1
(B)
I
2

(C)
I
3
(D)
I
4



(3)设函数
yf

x

在区间

1,3

上的图形为

f(x)

O
0
-1
-2
x
1
2 3
x


则函数
F

x



0
f

t

dt
的图形为

f(x)

1
0
-1
-2 1 2 3
x

(B) (A)
f(x)

1
0
-1
-2 1 2 3
x



f(x)

1
0
-1 1 2 3
x

(C)
f(x)

1
0
-1
-2 1 2 3
x

(D)
( 4)设有两个数列

a
n

,

b
n
,若
lima
n
0
,则
n

< br>(A)当

b
n
收敛时,

a
n
b
n
收敛.
n1

n1


(B)当

b
n
发散时,

a
n
bn
发散.
n1

n1
(C)当
b
n
收敛时,

a
n
2
b
n
2
收敛.
n1


n1

(D)当

b
n
发散时,

a
n
2
bn
2
发散.
n1
n1
(5)设
α
1,α
2
,α
3
是3维向量空间
R
3
的一组基, 则由基
α
1
,
α
2
,
α
3
到基< br>α
1
α
2
,α
2
α
3
,α3
α
1
的过渡矩阵为
1
2
1
3

101


220
(A)




033




120


023
(B)




103




1

2
1
(C)



2

1



2
1
4
1
4
1

4
1



6

1



6

1


6

< br>
1

2

1
(D)


4

1




6

1
2
1
4
1
6
1

2


1



4


1


6

(6)设
A,
B
均为2阶矩阵,
A
*
,B
*
分别为
A,
B
的伴随矩阵,若

OA

A2,B3
,则分块矩阵

的伴随矩阵为

B O


O3B
*

(A)

*


2AO



O
(B)

*

3A
2B
*



O



O3A
*

(C)

*


O

2B


O
(D)

*

3B
2A
*



O

x1


,其中

2

(7)设随 机变量
X
的分布函数为
F

x

0.3

x

0.7




x

为标准正态分布函数,则
EX

(A)0 (B)0.3

(C)0.7 (D)1
(8 )设随机变量
X
与
Y
相互独立,且
X
服从标准正态分布N

0,1

,
Y
的概率分布为
P

Y0

P

Y1


,记
F
Z

z

为随机变量
ZXY
的分布
函 数,则函数
F
Z

z

的间断点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题
纸指定位置上.) < br>(9)设函数
f

u,v

具有二阶连续偏导数,
z f

x,xy

,则

2
z

.
xy
1
2
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程
y

ay

by0
的通解为
y

C1
C
2
x

e
x
,则非齐次方程
y

ay

byx
满足条件
y

0

2,y


0

0
的解为
y
.
(11)已知曲线
L:yx
2
< br>0x2

,则

L
xds
.
(12)设



x,y,z

x
2
y
2
z
2
1

,则

z
2
dxdydz
.

(13) 若3维列向量
α,β
满足
α
T
β2
,其中
αT
为
α
的转置,则矩阵
βα
T
的非零特征值为 .
(14)设
X
1
,X
2
,L,X
m
为 来自二项分布总体
B

n,p

的简单随机样
本,
X
和
S
2
分别为样本均值和样本方差.若
XkS
2
为
np
2
的无偏估计量,

则
k
.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位
置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分9分)
求二元函数f(x,y)x
2

2y
2

ylny
的极值.

(16)(本题满分9分)
设
a
n
为曲线< br>yx
n
与
yx
n1

n1,2,.....

所围成区域的面积,记
S
1


a
n< br>,S
2


a
2n1
,求
S
1< br>与
S
2
的值.
n1n1


(17)(本题满分11分)
x
2
y
2
椭球面
S
1
是椭圆
1
绕
x
轴旋转而成,圆锥面
S
2
是过点

4,0

43
x
2
y
2
且与椭圆
1
相切的直线绕
x
轴旋转而成.
43
(1)求
S
1
及
S
2
的方程. (2)求
S
1
与
S
2
之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数
f
< br>x

在

a,b

上连续,在
(a,b)< br>可
导,则存在



a,b

,使得
f

b

f

a

f
< br>


ba

.
(2)证明:若函数
f

x

在
x0
处连续,在

0,


0

内可导,且

x0
limf


x

A
,则
f


0

存在,且
f



0

A


(19)(本题满分10分)
计 算曲面积分
I
Ò

2x
2
2y
2
z
2
4
的外侧.
xdydzydzdxzdxdy
x
2
y
2
z
3
2
2
,其中


是曲面

(20)(本题满分11分)

11 1


1



ξ

11 1
设
A

,
1

1




2


042



(1)求满足
Aξ
2
ξ
1
的
ξ
2
.
A
2
ξ
3
ξ
1
的所有向量
ξ
2
,
ξ
3
. (2)对(1)中的
任意向量
ξ
2
,
ξ
3
证明
ξ
1
,ξ
2
,ξ3
无关.


(21)(本题满分11分)
22
设 二次型
f

x
1
,x
2
,x
3

ax
1
2
ax
2


a1

x
3
2x
1
x
3
2x
2
x
3
.
(1)求二次型
f
的矩阵的所有特征值; (2)若二次 型
f
的规范
形为
y
1
2
y
2
2
,求
a
的值.

(22)(本题满分11分)
袋中有1 个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取
两次,每次取一球,以
X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与
白球的个数.

(1)

求
p

X1Z0

. (2)求二维随机变量

X,Y

概率分布
(23)(本题满分11 分)


2
xe


x
,x0
设总体
X
的概率密度为
f(x)
< br>,其中参数

(

0)
未
0,其他
知,
X
1
,
X
2
,…
X
n
是 来自总体
X
的简单随机样本.
(1)求参数

的矩估计量.
(2)求参数

的最大似然估计量.