柳州音乐网-中秋节的日记

湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题， 共10小题， 每小题5分， 共50分
1．（5分）（2020•湖南）已知=1+i（i为虚数单位）， 则复数z=（ ）
A1+i B1﹣i C﹣1+i D﹣1﹣i
． ． ． ．

考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则， 求得z的值．
解答：
解：∵已知=1+i（i为虚数单位），
∴z===﹣1﹣i，
故选：D．
点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用， 属于基础题．

2．（5分）（2020•湖南）设A、B是两个集合， 则“A∩B=A”是“A⊆B”的（ ）
A充分不必要条件 B． 必要不充分条件
．
C． 充要条件 D既不充分也不必要条件
．

考点必要条件、充分条件与充要条件的判断．
：
专题集合；简易逻辑．
：
分析直接利用两个集合的交集， 判断两个集合的关系， 判断充要条件即可．
：
解答解：A、B是两个集合， 则“A∩B=A”可得“A⊆B”，
：
“A⊆B”， 可得“A∩B=A”．
所以A、B是两个集合， 则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．
故选：C．
点评本题考查充要条件的判断与应用， 集合的交集的求法， 基本知识的应用．
：

3．（5分）（2020•湖南）执行如图所示的程序框图， 如果输入n=3， 则输出的S=（

）
1

A
．

考点： 程序框图．
分析： 列出循环过程中S与i的数值， 满足判断框的条件即可结束循环．
解答： 解：判断前i=1， n=3， s=0，

B
．

C
．

D
．

第1次循环， S=
第2次循环， S=
第3次循环， S=
， i=2，
， i=3，
， i=4，
此时， i＞n， 满足判断框的条件， 结束循环，
输出结果：S===
故选：B
点评： 本题考查循环框图的应用， 注意判断框的条件的应用， 考查计算能力

4．（5分）（2020•湖南）若变量x、y满足约束条件，
则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A﹣7 B﹣1 C1 D2
． ． ． ．

考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由约束条件作出可行域， 由图得到最优解， 求出最优解的坐标，

2

数形结合得答案．
解答：
解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知， 最优解为A，
联立， 解得C（0， ﹣1）．由解得A（﹣2， 1），
由， 解得B（1， 1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．
故选：A．

点评： 本题考查了简单的线性规划， 考查了数形结合的解题思想方法，
是中档题．易错点是图形中的B点．

5．（5分）（2020•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）， 则f（x）是（ ）
A． 奇函数， 且在（0， 1）上是增函数 B． 奇函数， 且在（0， 1）上是减函数


考
点
：
专
题
：
分
析
：
解
答
：

C． 偶函数， 且在（0， 1）上是增函数 D． 偶函数， 且在（0， 1）上是减函数
利用导数研究函数的单调性．
导数的综合应用．
求出好的定义域， 判断函数的奇偶性， 以及函数的单调性推出结果即可．
解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）， 函数的定义域为（﹣1， 1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），
所以函数是奇函数．
3

排除C， D， 正确结果在A， B， 只需判断特殊值的大小， 即可推出选项， x=0时，
f（0）=0；
x=时， f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1， 显然f（0）＜f（），
函数是增函数， 所以B错误， A正确．
故选：A．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用， 考查计算能力． 点
评
：

6．（5分）（2020•湖南）已知（﹣）
5
的展开式中含x的项的系数为30，
则a=（ ）
AB
﹣
C6 D﹣6

． ． ． ．

考点二项式定理的应用．
：
专题二项式定理．
：
分析根据所给的二项式， 利用二项展开式的通项公式写出第r+1项， 整理成最简形式，
：
令x的指数为求得r， 再代入系数求出结果．
解答
：
解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T
r+1
==；
展开式中含x
∴
的项的系数为30，
，
， 解得a=﹣6． ∴r=1， 并且
点评
：

7．（5分）（2020•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，
则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，
1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附“若X﹣N=（μ， a
2
）， 则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．

故选：D．
本题考查二项式定理的应用， 本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，
在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
4

A2386 B2718 C3413 D4772
． ． ． ．

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题： 计算题；概率与统计．
分析：
求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413， 即可得出结论．
解答：
解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，
故选：C．
点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，
考查正态分布中两个量μ和σ的应用， 考查曲线的对称性， 属于基础题．

8．（5分）（2020•湖南）已知A， B， C在圆x
2
+y
2
=1上运动， 且AB⊥BC，
若点P的坐标为（2， 0）， 则||的最大值为（ ）
A6 B7 C8 D9
． ． ． ．

考点： 圆的切线方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析：
由题意， AC为直径， 所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，
|4+|≤7， 即可得出结论．
解答：
解：由题意， AC为直径， 所以||=|2+|=|4+|．
所以B为（﹣1， 0）时， |4+|≤7．
所以||的最大值为7．
故选：B．
点评： 本题考查向量知识的运用， 考查学生分析解决问题的能力， 比较基础．


0）时，
5

9．（5 分）（2020•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得
， 到 函数g（x）的图象．若对满足|f（x
1
）﹣g（x
2
）|=2的x
1
、x
2
， 有|x
1
﹣x
2
|
min
=
则φ=（
A
．

考点：
专题：
分析：
解答：
）

B
．

C
．

D
．

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
三角函数的图像与性质．
利用三角函数的最值， 求出自变量x
1
， x
2
的值， 然后判断选项即可．
解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，
函数的图象向右平 移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|
f（x
1
）﹣g（x
2
）|=2的可知， 两个函数的最大值与最小值的差为2，
有|x
1﹣x
2
|
min
=
不妨x
1
=
sin （2×
x
1
=
此时φ=
，
， 即g（x）在x
2
=， 取得最小值，
， 不合题意，
， 取得最大值， sin（2×﹣2φ）=1，
， x
2
=
﹣2φ）=﹣1， 此时φ=
， 即g（x）在x
2
=， x
2
=
， 满足题意．
故选：D．
点评： 本题考查三角函数的图象平移， 函数的最值以及函数的周期的应用，
考查分析问题解决问题的能力， 是好题， 题目新颖．有一定难度， 选择题，
可以回代验证的方法快速解答．

10．（5分）（2020•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，
加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，
则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）

6

A
．

考点：
专题：
分析：
简单空间图形的三视图．
创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．
根据三视图可判断其为圆锥， 底面半径为1， 高为2， 求解体积．
利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形， 高为x，

B
．

C
．
D
．


利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣）， 0＜x＜2， 求解体积式子，
解答：
利用导数求解即可， 最后利用几何概率求解即．
解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1， 高为2，
∴V=×2=

∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，
∴此长方体底面边长为n的正方形， 高为x，
∴根据轴截面图得出：=，

7

解得；n=（1﹣）， 0＜x＜2，
）
2
x， Ω′=x
2
﹣4x+2， ∴长方体的体积Ω=2（1﹣
∵， Ω′=x
2
﹣4x+2=0， x=， x=2，
∴可判断（0， ）单调递增， （， 2）单调递减，
Ω最大值=2（1﹣）
2
×=，
∴原工件材料的利用率为=×=，
点评：
故选：A
本题很是新颖， 知识点融合的很好， 把立体几何， 导数， 概率都相应的考查了，
综合性强， 属于难题．

二、填空题， 共5小题， 每小题5分， 共25分
11．（5分）（2020•湖南）
考点
：
专题
：
分析
：
解答
：
定积分．
（x﹣1）dx= 0 ．
导数的概念及应用．
求出被积函数的原函数， 代入上限和下限求值．
解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；
点评
：

12．（5分）（2020•湖南）在一次马拉松比赛中，
35名运动员的成绩（单位：分钟 ）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣
35号， 再用系统抽样方法从中抽取7人， 则其中成绩在区间[139， 151]上的运动员人数是
故答案为：0．
本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．
4 ．

考点：
专题：
分析：


茎叶图．
概率与统计．
根据茎叶图中的数据， 结合系统抽样方法的特征， 即可求出正确的结论．
8

解答： 解：根据茎叶图中的数据， 得；
成绩在区间[139， 151]上的运动员人数是20，
用系统抽样方法从35人中抽取7人，
成绩在区间[139， 151]上的运动员应抽取
7×=4（人）．
点评：

故答案为：4．
本题考查了茎叶图的应用问题， 也考查了系统抽样方法的应用问题， 是基础题目．
13．（5分）（2020•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，
使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点， 则C的离心率为 ．

考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设F（c， 0）， P（m， n）， （m＜0）， 设PF的中点为M（0， b）， 即有m=﹣c，
n=2b， 将中点M的坐标代入双曲线方程， 结合离心率公式， 计算即可得到．
解答： 解：设F（c， 0）， P（m， n）， （m＜0），
设PF的中点为M（0， b），
即有m=﹣c， n=2b，
将点（﹣c， 2b）代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得e
2
==5，
点评：
解得e=．
故答案为：．
本题考查双曲线的方程和性质， 主要考查双曲线的离心率的求法，
同时考查中点坐标公式的运用， 属于中档题．

14．（5分）（2020•湖 南）设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和， 若a
1
=1， 且3S
1
， 2S
2
，
S
3
成等差数列， 则a
n
= 3
n﹣1
．

考点等差数列与等比数列的综合．
：
专题等差数列与等比数列．
：
分析利用已知条件列出方程求出公比， 然后求解等比数列的通项公式．
：
解答
解：设等比数列的公比为q， S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和， 若a
1
=1， 且3S
1
， 2S
2
，
：
S
3
成等差数列，

9

可得4S
2
=S
3
+3S
1
， a
1
=1，
即4（1+q）=1+q+q
2
+3， q=3．
∴a
n
=3
n﹣1
．
故答案为：3
n﹣1
．
本题考查等差数列以及等比数列的应用， 基本知识的考查． 点评
：

15．（5分）（2020•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，
使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点， 则a的取值范围是 {a|a＜0或a＞1} ．

考点函数的零点．
：
专题计算题；创新题型；函数的性质及应用．
：
分析由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，
： 即y=f（x）与y=b的图象有两个交点， 则函数在定义域内不能是单调函数，
结合函数图象可求a的范围
解答解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，
： ∴f（x）=b有两个零点， 即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由x
3
=x
2
可得， x=0或x=1
①当a＞1时， 函数f（x）的图象如图所示， 此时存在b， 满足题意，
故a＞1满足题意

②当a=1时， 由于函数f（x）在定义域R上单调递增， 故不符合题意
③当0＜a＜1时， 函数f（x）单调递增， 故不符合题意

10

④a=0时， f（x）单调递增， 故不符合题意
⑤当a＜0时， 函数y=f（x）的图象如图所示， 此时存在b使得，
y=f（x）与y=b有两个交点

综上可得， a＜0或a＞1
故答案为：{a|a＜0或a＞1}
本题考察了函数的零点问题， 渗透了转化思想，
数形结合、分类讨论的数学思想．
点评
：

三、简答题， 共1小题， 共75分， 16、17、18为选修题， 任选两小题作答， 如果全做，
则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲
16．（6分）（2020•湖南）如图， 在⊙O中， 相较于点E的两弦AB， CD的中点分别是M，
N， 直线MO与直线CD相较于点F， 证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．

11

考点：
专题：
分析：
解答：
相似三角形的判定．
选作题；推理和证明．
（1）证明O， M， E， N四点共圆， 即可证明∠MEN+∠NOM=180°
（2）证明△FEM∽△FON， 即可证明FE•FN=FM•FO．
证明：（1）∵N为CD的中点，
∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点，
∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中， ∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，
∴O， M， E， N四点共圆，
∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM与△FON中， ∠F=∠F， ∠FME=∠FNO=90°，
∴△FEM∽△FON，
∴=
点评：
∴FE•FN=FM•FO．
本题考查垂径定理， 考查三角形相似的判定与应用，
考查学生分析解决问题的能力， 比较基础．

选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）（2020•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5， ）， 直线l与曲线C的交点为A， B， 求|MA|•|MB|的值．

考点参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
：
专题选作题；坐标系和参数方程．
：
分析
（1）曲线的极坐标方程即ρ
2
=2ρcosθ，
：
根据极坐标和直角坐标的互化公式得x
2
+y
2
=2x， 即得它的直角坐标方程；
（2）直线l的方程化为普通方程， 利用切割线定理可得结论．
解答
解：（1）∵ρ=2cosθ， ∴ρ
2
=2ρcosθ， ∴x
2
+y
2
=2x，

12

：
故它的直角坐标方程为（x﹣1）
2
+y
2
=1；
（2）直线l：（t为参数）， 普通方程为， （5，
点评
：

选修4-5：不等式选讲
）在直线l上，
过点M作圆的切线， 切点为T， 则|MT|
2
=（5﹣1）
2
+3﹣1=18，
由切割线定理， 可得|MT|
2
=|MA|•|MB|=18．
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法， 属于基础题．
18．（2020•湖南）设a＞0， b＞0， 且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a
2
+a＜2与b
2
+b＜2不可能同时成立．

考点： 不等式的证明．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （ⅰ）由a＞0， b＞0， 结合条件可得ab=1， 再由基本不等式， 即可得证；
解答： < br>（ⅱ）运用反证法证明．假设a
2
+a＜2与b
2
+b＜2可能同时成 立．结合条件a＞0，
b＞0， 以及二次不等式的解法， 可得0＜a＜1， 且0＜b＜1， 这与ab=1矛盾，
即可得证．
证明：（ⅰ）由a＞0， b＞0，
则a+b=+=，
由于a+b＞0， 则ab=1，
即有a+b≥2=2，
当且仅当a=b取得等号．
则a+b≥2；
（ⅱ）假设a
2
+a＜2与b
2
+b＜2可能同时成立．
由a
2
+a＜2及a＞0， 可得0＜a＜1，
由b
2
+b＜2及b＞0， 可得0＜b＜1，
这与ab=1矛盾．
点评：
a
2
+a＜2与b
2
+b＜2不可能同时成立．
本题考查不等式的证明， 主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，
属于中档题．


19．（2020•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， a=btanA，
且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

13

考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA， 由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0， ）， 可得0＜sinA＜，
化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）
2
+， 由二次函数区间的最值可得．
解答：
解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得
∴sinB=cosA， 即sinB=sin（
又B为钝角， ∴
∴B=
+A∈（
+A）
， π），
；
+A）=
﹣2A）
﹣2A＞0，
==，
+A， ∴B﹣A=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+
∴A∈（0， ）， ∴sinA+sinC=sinA+sin（
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin
2
A
=﹣2（sinA﹣）
2
+，
∵A∈（0， ）， ∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）
2
+≤
， ] ∴sinA+sinC的取值范围为（
点评： 本题考查正弦定理和三角函数公式的应用， 涉及二次函数区间的最值，
属基础题．

20．（2020•湖南）某商场举行有奖促销活动， 顾客购买一定金额商品后即可抽奖，
每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，
各随机摸出1个球， 在摸出的2个球中， 若都是红球， 则获一等奖， 若只有1个红球，
则获二等奖；若没有红球， 则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会， 记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，
求X的分布列和数学期望．

考点离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
：
专题概率与统计．
：

14

分析
：
（1）记事件A
1
={从甲箱中摸出一个球是红球}，
事件A
2
={从乙箱中摸出一个球是红球}， 事件B
1
={顾客抽奖1次获一等奖}，
事件A
2
={顾客抽奖1次获二等奖}， 事件C={顾客抽奖1次能获奖}， 利用A
1
，
A
2
相互独立， ， 互斥， B
1
， B
2
互斥， 然后求出所求概率即可．
．求出概率， （2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验， 判断X～B
解答
：
得到X的分布列， 然后求解期望．
解：（1）记事件A
1
={从甲箱中摸出一个球是红球}，
事件A
2
={从乙箱中摸出一个球是红球}， 事件B
1
={顾客抽奖1次获一等奖}，
事件A
2
={顾客抽奖1次获二等奖}， 事件C={顾客抽奖1次能获奖}， 由题意A
1
，
A
2
相互独立， ， 互斥， B
1
， B
2
互斥， 且B
1
=A
1
A
2
， B
2
=
， P（A
2
）=
=，
）=
=，
故所求概率为：P（C）= P（B
1
+B
2
）=P（B
1
）+P（B
2
）=
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验， 由（1）可知，
顾客抽奖1次获一等 奖的概率为：
P（X=0）=
P（X=2）=
故X的分布列为：
X 0
P
E（X）=3×=．
=
=
所以．X～B
， P（X=1）=
， P（X=3）=
．于是，
=
=
，
．
．
+=
， 所以，
+，
C=B
1
+B
2
， 因为P（A
1
）=
P （B
1
）=P（A
1
）P（A
2
）=
P（B
2
）=P（）+P（
1

2

3

点评
：
期望是概率论和数理统计的重要概念之一， 是反映随机变量取值分布的特征数，
学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫， 它在市场预测， 经济统计，
风险与决策等领域有着广泛的应用，
为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．

21．（2020•湖南）如图，
已知四棱台ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的上、下底面分别是边长为3和6的正方形， AA
1
=6，
且AA
1
⊥底面ABCD， 点P、Q分别在棱DD
1
、BC上．

15

（1）若P是DD
1
的中点， 证明：AB
1
⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB
1
A
1
， 二面角P﹣QD﹣A的余弦值为， 求四面体ADPQ的体积．


考点：
专题：
分析：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
（1）首先以A为原点， AB， AD， AA
1
所在直线分别为x， y， z轴，
建立空间直角坐标系， 求出一些点的坐标， Q在棱BC上， 从而可设Q（6， y
1
，
0）， 只需求即可；
（2）设P（0， y
2
， z
2
）， 根据P在棱DD
1
上，
从而由即可得到z
2
=12﹣2y
2
， 从而表示点P坐标为P（0， y
2
，
与平面ABB
1
A
1
的法向量垂直， 12﹣2y
2
）．由PQ∥平面ABB
1
A
1
便知道
从而得出y
1=y
2
， 从而Q点坐标变成Q（6， y
2
， 0），
设平面PQD的法向量为，
根据即可表示，
平面AQD的一个法向量为， 从而由即可求出y
2
，
解答：
从而得出P点坐标， 从而求出三棱锥P﹣AQD的高，
而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积， 从而求出四面体的体积．
解：根据已知条件知AB， AD， AA
1
三直线两两垂直， 所以分别以这三直线为x，
y， z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则：
A（0， 0， 0）， B（6， 0， 0）， D（0， 6， 0）， A
1
（0， 0， 6）， B
1
（3，
0， 6）， D
1
（0， 3， 6）；
Q在棱BC上， 设Q（6， y
1
， 0）， 0≤y
1
≤6；
∴（1）证明：若P是DD
1
的中点， 则P
∴，
；
；

16

∴
∴
；
；
∴AB
1
⊥PQ；
（2）设P（0， y
2
， z
2
）， y
2
， z
2
∈[0， 6]， P在棱DD
1
上；
∴， 0≤λ≤1；
∴（0， y
2
﹣6， z
2
）=λ（0， ﹣3， 6）；
∴；
∴z
2
=12﹣2y
2
；
∴P（0， y
2
， 12﹣2y
2
）；
∴
平面ABB
1A
1
的一个法向量为
∵PQ∥平面ABB
1
A
1
；
∴=6（y
1
﹣y
2
）=0；
∴y
1
=y
2
；
∴Q（6， y
2
， 0）；
设平面PQD的法向量为， 则：
；
；
；
∴， 取z=1， 则；
又平面AQD的一个法向量为
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；
；
∴；
解得y
2
=4， 或y
2
=8（舍去）；
∴P（0， 4， 4）；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4， 且；

17

∴V
四面体ADPQ
=V
三棱锥P﹣ADQ
=．
点评：

考查建立空间直角坐标系， 利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，
共线向量基本定理， 直线和平面平行时， 直线和平面法向量的关系，
平面法向量的概念， 以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，
三棱锥的体积公式．

22 ．（13分）（2020•湖南）已知抛物线C
1
：x
2
=4y的焦点F也是 椭圆C
2
：
＞0）的一个焦点．C
1
与C
2
的公共 弦长为2
（Ⅰ）求C
2
的方程；
．
+=1（a＞b
（Ⅱ）过点F的直线l与C
1
相交于A、B两点， 与C
2
相交于C、D两点， 且
（ⅰ）若|AC|=|BD|， 求直线l的斜率；
与同向．
（ⅱ）设C
1
在点A处的切线与x轴的交点为M， 证明：直线l绕点F旋转时，
△MFD总是钝角三角形．

考点直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
：
专题创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．
：
分析
（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同， 得到a
2
﹣b
2
=1， 再根据C
1
与C
2
的公共弦长为2
：
得到=1， 解得即可求出；
，
解答
：
（Ⅱ）设出点的坐标， （ⅰ）根据向量的关系，
得到（x
1
+x
2
）
2
﹣4x
1
x
2
=（x
3
+x
4
）
2
﹣4x
3
x
4
， 设直线l的方程， 分别与C
1
，
C
2
构成方程组， 利用韦达定理， 分别代入得到关于k的方程， 解得即可；
（ⅱ）根据导数的几何意义得到C
1
在点A处的切线方程， 求出点M的坐标，
利用向量的乘积∠AFM是锐角， 问题得以证明．
解：（Ⅰ）抛物线C
1
：x
2
=4y的焦点F的坐标为（0， 1），
因为F也是椭圆C
2
的一个焦点，
∴a
2
﹣b
2
=1， ①，
又C
1
与C
2
的公共弦长为2， C
1
与C
2
的都关于y轴对称， 且C
1
的方程为x
2
=4y，
18

由此易知C
1
与C
2
的公共点的坐标为（±
所以=1， ②，
， ），
联立①②得a
2
=9， b
2
=8，
故C
2
的方程为+=1．
（Ⅱ）设A（x
1
， y
1
）， B（x
2
， y
2
）， C（x
3
， y
3
）， A（x
4
， y
4
），
（ⅰ）因为
所以=
与
，
同向， 且|AC|=|BD|，
从而x
3
﹣x
1
=x
4
﹣x
2
， 即x
1
﹣x
2
=x
3
﹣x
4
， 于是 < br>（x
1
+x
2
）
2
﹣4x
1
x2
=（x
3
+x
4
）
2
﹣4x
3x
4
， ③
设直线的斜率为k， 则l的方程为y=kx+1，
由， 得x
2
﹣4kx﹣4=0， 而x
1
， x
2
是这个方程的两根，
所以x
1
+x
2
=4k， x
1
x
2
=﹣4， ④
， 得（9+8k
2
）x
2
+16kx﹣64=0， 而x
3
， x
4
是这个方程的两根， 由
所以x
3
+x
4
=， x
3
x
4
=﹣， ⑤
将④⑤代入③， 得16（k
2
+1）=+，
即16（k
2
+1）=
所以 （9+8k
2
）
2
=16×9，
解得k=±．
，
（ⅱ）由x
2
=4y得y′=x，
所以C
1
在点A处的 切线方程为y﹣y
1
=x
1
（x﹣x
1
），
即y=x
1
x﹣x
1
2
，
令y=0， 得x=x
1
，

19

M（x
1
， 0），
所以
而
于是
=（x
1
， ﹣1），
=（x
1
， y
1
﹣1），
•=x
1
2
﹣y
1
+1=x
1
2
+1＞0，
点评
：

因此∠AFM是锐角， 从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，
故直线l绕点F旋转时， △MFD总是钝角三角形．
本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系， 关键是联立方程， 构造方程，
利用韦达定理， 以及向量的关系， 得到关于k的方程， 计算量大， 属于难题．
23．（13分）（2020•湖南）已知a＞0， 函数f（x）=e
ax
sinx（x∈[0，
+∞]）．记x
n
为 f（x）的从小到大的第n（n∈N
*
）个极值点．证明：
（Ⅰ）数列{f（x
n
）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥

考点
：
专题
：
分析
：
利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
， 则对一切n∈N
*
， x
n
＜|f（x
n
）|恒成立．
创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
（Ⅰ）求出导数， 运用两角和的正弦公式化简， 求出导数为0的根，
讨论根附近的导数的符号相反， 即可得到极值点， 求得极值，
运用等比数列的定义即可得证；
（Ⅱ）由sinφ=， 可得对一切n∈N
*
，
x
n
＜|f（x
n
）|恒 成立．即为nπ﹣φ＜e
a（nπ﹣φ）
恒成立⇔＜
， ①设g（t）=
由恒成立思想即可得证．
解答
：
（t＞0）， 求出导数， 求得最小值，
证明：（Ⅰ）f′（x）=e
ax
（asinx+cosx）=
tanφ=， 0＜φ＜，
•e
ax
sin（x+φ），
令f′（x）=0， 由x≥0， x+φ=mπ， 即x=mπ﹣φ， m∈N
*
，
对k∈N， 若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π， 即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，
则f′（x）＜0， 因此在（（m﹣1）π， mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，
mπ）上f′（x）符号总相反．

20

于是当x=nπ﹣φ， n∈N
*
， f（x）取得极值， 所以x
n
=nπ﹣φ， n∈N
*
，
此时f（x
n）=e
a（nπ﹣φ）
sin（nπ﹣φ）=（﹣1）
n+1
e
a（nπ﹣φ）
sinφ，
易知f（x
n
）≠0，
而==﹣e
aπ
是常数，
故数列{f（x
n
）}是首项 为f（x
1
）=e
a（π﹣φ）
sinφ， 公比为﹣e
aπ
的等比数列；
（Ⅱ）由sinφ=， 可得对一切n∈N
*
， x
n
＜|f（x
n
）|恒成立．
即为nπ﹣φ＜e
a（nπ﹣φ）
恒成立⇔＜， ①
设g（t）=（t＞0）， g′（t）=，
当0＜t＜1时， g′（t）＜0， g（t）递减， 当t＞1时， g′（t）＞0， g（t）递增．
t=1时， g（t）取得最小值， 且为e．
因此要使①恒成立， 只需＜g（1）=e，
只需a＞， 当a=， tanφ==， 且0＜φ＜，
可得＜φ＜， 于是π﹣φ＜
＞，
＜， 且当n≥2时，
nπ﹣φ≥2π﹣φ＞
因此对n∈N
*
， ax
n
=
故①亦恒成立．
综上可得， 若a≥
点评
：

≠1， 即有g（ax
n
）＞g（1）=e=，
， 则对一切n∈N
*
， x
n
＜|f（x
n
）|恒成立．
本题考查导数的运用：求极值和单调区间， 主要考查三角函数的导数和求值，
同时考查等比数列的定义和通项公式的运用， 考查不等式恒成立问题的证明，
属于难题．

21

2020年湖南省高考数学试卷（理科）


一、选择题， 共10小题， 每小题5分， 共50分
1．（5分）（2020•湖南）已知=1+i（i为虚数单位）， 则复数z=（ ）
A1+i B1﹣i C﹣1+i D﹣1﹣i
． ． ． ．

2．（5分）（2020•湖南）设A、B是两个集合， 则“A∩B=A”是“A⊆B”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

3．（5分）（2020•湖南）执行如图所示的程序框图， 如果输入n=3， 则输出的S=（

A
．

B
．

C
．

D
．


4．（5分）（2020•湖南）若变量x、y满足约束条件，
则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A﹣7 B﹣1 C1 D2
． ． ． ．

5．（5分）（2020•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）， 则f（x）是（ ）
A． 奇函数， 且在（0， B． 奇函数， 且在（0，

）

22

1）上是增函数
偶函数， 且在（0，
1）上是增函数
1）上是减函数
偶函数， 且在（0，
1）上是减函数


C． D．
6．（5分）（2020•湖南）已知（﹣）
5
的展开式中含x的项的系数为30，
则a=（ ）
AB
﹣
C6 D﹣6

． ． ． ．

7．（5分）（2020•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，
则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，
1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附“若X﹣N=（μ， a
2
）， 则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．

A2386
．

B2718
．
C3413
．
D4772
．
8．（5分）（2020•湖南）已知A， B， C在圆x
2
+y
2
=1上运动， 且AB⊥BC，
若点P的坐标为（2， 0）， 则|
A6 B7
． ．

|的最大值为（ ）
C8 D9
． ．
9．（5分）（2020•湖 南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得
， 到函数g（x）的图象 ．若对满足|f（x
1
）﹣g（x
2
）|=2的x
1
、x< br>2
， 有|x
1
﹣x
2
|
min
=
则φ=（ ）
ABCD

． ． ． ．

10．（5分）（2020•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，
加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，
则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）

23

A
．

B
．

C
．
D
．





二、填空题， 共5小题， 每小题5分， 共25分
11．（5分）（2020•湖南）（x﹣1）dx= ．

12．（5分）（2020•湖南）在一次马拉松比赛中，
35名运动员的成绩（单位：分钟 ）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣
35号， 再用系统抽样方法从中抽取7人， 则其中成绩在区间[139，
151]上的运动员人数是 ．


13．（5分）（2020•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，
使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点， 则C的离心率为 ．

1 4．（5分）（2020•湖南）设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和， 若a
1
=1， 且3S
1
， 2S
2
，
S
3
成等差数列， 则a
n
= ．

15．（5分）（2020•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，
使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点， 则a的取值范围是 ．

24

三、简答题， 共1小题， 共75分， 16、17、18为选修题， 任选两小题作答， 如果全做，
则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲
16．（6分）（2020•湖南）如图， 在⊙O中， 相较于点E的两弦AB， CD的中点分别是M，
N， 直线MO与直线CD相较于点F， 证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．



选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）（2020•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，
求|MA|•|MB|的值．


选修4-5：不等式选讲
）， 直线l与曲线C的交点为A， B，
18．（2020•湖南）设a＞0， b＞0， 且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a
2
+a＜2与b
2
+b＜2不可能同时成立．



19．（2020•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， a=btanA，
且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

20．（2020•湖南）某商场举行有奖促销活动， 顾客购买一定金额商品后即可抽奖，
每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，

25

各随机摸出1个球， 在摸出的2个球中， 若都是红球， 则获一等奖， 若只有1个红球，
则获二等奖；若没有红球， 则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会， 记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，
求X的分布列和数学期望．

22 ．（13分）（2020•湖南）已知抛物线C
1
：x
2
=4y的焦点F也是 椭圆C
2
：
＞0）的一个焦点．C
1
与C
2
的公共 弦长为2
（Ⅰ）求C
2
的方程；
．
与同向．
+=1（a＞b
（Ⅱ）过点F的直线l与C
1
相交于A、B两点， 与C
2
相交于C、D两点， 且
（ⅰ）若|AC|=|BD|， 求直线l的斜率；
（ⅱ）设C
1
在点A处的切线与x轴的交点为M， 证明：直线l绕点F旋转时，
△MFD总是钝角三角形．

23．（13分）（2020•湖南）已知a＞0， 函数f（x）=e
ax
sinx（x∈[0，
+∞]）．记x
n
为 f（x）的从小到大的第n（n∈N
*
）个极值点．证明：
（Ⅰ）数列{f（x
n
）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥， 则对一切n∈N
*
， x
n
＜|f（x
n
）|恒成立．

21．（2020•湖南）如图，
已知四棱台ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的上、下底面分别是边长为3和6的正方形， AA
1
=6，
且AA
1
⊥底面ABCD， 点P、Q分别在棱DD
1
、BC上．
（1）若P是DD
1
的中点， 证明：AB
1
⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB
1
A
1
， 二面角P﹣QD﹣A的余弦值为， 求四面体ADPQ的体积．





26