江苏技术师范学院-初三班主任计划

江苏省常州市中考数学试卷
试题解析
一、选择题（本大题共8小 题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）﹣3的相反数是（ ）
A．
1

3
B．

1

3
C．3 D．﹣3
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【解答】解：（﹣3）+3＝0．
故选：
C
．
【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．
2．（2分）若代数式
A．
x
＝﹣1
x1
有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）
x3
B．
x
＝3 C．
x
≠﹣1 D．
x
≠3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵代数式
∴
x
﹣3≠0，
∴
x
≠3．
故选：
D
．
【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．
3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
x1
有意义，
x3

A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．
【解答】解：该几何体是圆柱．
故选：
A
．
【点评】本题考查了 由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视
图想象几何 体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂
几 何体的想象会有帮助．
4．（2分）如图，在线段
PA
、
PB
、< br>PC
、
PD
中，长度最小的是（ ）

A．线段
PA
B．线段
PB
C．线段
PC
D．线段
PD

【分析】由垂线段最短可解．
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为
B
．
故选：
B
．
【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂 线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
5．（2分）若△
ABC
～△A
′
B
'
C
′，相似比为1：2，则△
ABC
与△
A
'
B
′
C
'的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△
ABC
～△< br>A
′
B
'
C
′，相似比为1：2，
∴△
A BC
与△
A
'
B
′
C
'的周长的比为1：2．
故选：
B
．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相 等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周
长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线 、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似
三角形的面积的比等于相似比的平方．
6．（2分）下列各数中与2+
3
的积是有理数的是（ ）
A．2+
3
B．2 C．
3
D．2﹣
3

【分析】利用平方差公式可知与2+
3
的积是有理数的为2-
3
；
【解答】解：∵（2+
3
）（2﹣
3
）＝4﹣3＝1；
故选：
D
．
【点评】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
7．（2分）判断命题“如果
n
＜1，那么
n
﹣1＜0”是假命题，只需举 出一个反例．反例中的
n
可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣
2
1

2
2
C．0 D．
1
2
【分析】反例中的
n
满足
n
＜1，使
n
﹣1 ≥0，从而对各选项进行判断．
【解答】解：当
n
＝﹣2时，满足
n
＜1，但
n
﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果
n
＜1，那么< br>n
﹣1＜0”是假命题，举出
n
＝﹣2．
故选：
A
．
2
2

【点评】本题 考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个
命题 的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．（2分）随 着时代的进步，人们对
PM
2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切． 某市一天中
PM
2.5
的值
y
1
（
ug
< br>m
）随时间
t
（
h
）的变化如图所示，设
y
2
表示0时到
t
时
PM
2.5的值的极差（即0时到
t时
PM
2.5的
最大值与最小值的差），则
y
2
与t
的函数关系大致是（ ）
3

A． B．
C． D．
【分析】根据极差的定义，分别从
t
＝0、0＜
t
≤10、10＜< br>t
≤20及20＜
t
≤24时，极差
y
2
随
t
的变化而变化的情况，
从而得出答案．
【解答】解：当
t
＝0时，极差
y
2
＝85﹣85＝0，
当0＜
t
≤10时，极差
y
2
随
t
的增大 而增大，最大值为43；
当10＜
t
≤20时，极差
y
2
随
t
的增大保持43不变；
当20＜
t
≤24时，极差
y
2
随
t
的增大而增大，最大值为98；
故选：
B
．
【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．
二、填空 题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算：
a
÷
a
＝ ．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：
a
÷
a
＝
a
．
故答案为：
a
．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
10．（2分）4的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可．
【解答】解：4的算术平方根是2．
2
32
3

故答案为：2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：①被开方数
a
是非负
数；②算术平方根
a
本身是非负 数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的
算术平方根时，可以借 助乘方运算来寻找．
11．（2分）分解因式：
ax
﹣4
a
＝ ．
【分析】先提取公因式
a
，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：
ax
﹣4
a
，
＝
a
（
x
﹣4），
＝
a
（
x
+2）（
x
﹣2）．
【点评】 本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其
他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
【分析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．
【解答】解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
故答案为：55．
【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
13．（2分） 如果
a
﹣
b
﹣2＝0，那么代数式1+2
a
﹣2
b
的值是 ．
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中
a
﹣
b
＝2整体代入即可求值；
【解答】解：∵
a
﹣
b
﹣2＝0，
∴
a
﹣
b
＝2，
∴1+2
a
﹣2
b
＝1+2（
a
﹣
b
）＝1+4＝5；
故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
14．（2分）平面直角坐标系中，点
P
（﹣3，4）到原点的距离是 ． 【分析】作
PA
⊥
x
轴于
A
，则
PA
＝4，
OA
＝3，再根据勾股定理求解．
【解答】解：作
PA
⊥< br>x
轴于
A
，则
PA
＝4，
OA
＝3．
则根据勾股定理，得
OP
＝5．
故答案为5．
【点评】此题考查 了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到
x
轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．
2
2
2

x1
15．（2分）若

是关于
x
、
y
的二元一次方程
ax
+
y
＝3的解，则< br>a
＝ ．
y2


【分析】把


x1
代入二元一次方程
ax
+
y
＝3中即可 求
a
的值．

y2

x1
代入二元一次方程
ax
+
y
＝3中，

y2
【解答】解：把
a
+2＝3，解得
a
＝1．
故答案是：1．
【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
16．（2分 ）如图，
AB
是⊙
O
的直径，
C
、
D
是⊙
O
上的两点，∠
AOC
＝120°，则∠
CDB
＝ °．

【分析】先利用邻补角计算出∠
BOC
，然后根据圆周角定理得到∠
CDB
的度数．
【解答】解：∵∠
BOC
＝180°﹣∠
AOC
＝180°﹣120°＝60°，
∴∠
CDB
＝
1
∠
BOC
＝30°．
2
故答案为30．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
一半．
17．（2分）如图，半径为
3
的⊙
O
与边长为8的等边三角形
ABC
的两边
AB
、
BC
都相切，连接
OC
，则tan∠
OCB
＝
3
．
5

【分析】根据切线长定理得出∠
OBC
＝∠
OBA
＝
角形
OCD
即可求得tan∠
OCB
的值．
【解答】解：连接
OB
，作
OD
⊥
BC
于
D
，
∵⊙
O
与等边三角形
ABC
的两边
AB
、
BC
都相切，
∴∠
OBC
＝∠
OBA< br>＝
∴tan∠
OBC
＝
1
∠
ABC
＝30° ，解直角三角形求得
BD
，即可求得
CD
，然后解直角三
2
1
∠
ABC
＝30°，
2
OD
，
BD

∴
BD
＝
OD
3
＝＝3，
tan30
o
3
3
∴
CD
＝
BC
﹣
BD
＝8﹣ 3＝5，
∴tan∠
OCB
＝
3
OD
＝．
5
CD
故答案为
3
．
5

【点评】本题 考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
18．（2分）如图，在矩形
ABCD
中，
AD
＝3
AB
＝ 3
10
，点
P
是
AD
的中点，点
E
在BC
上，
CE
＝2
BE
，点
M
、
N< br>在线段
BD
上．若△
PMN
是等腰三角形且底角与∠
DEC< br>相等，则
MN
＝ 6或
15
．
8

【解答】解：①作
PF
⊥
MN
于
F
，如图所示：
则∠
PFM
＝∠
PFN
＝90°，
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AB
＝
CD
，
BC
＝
AD
＝3
AB
＝3
10
，∠< br>A
＝∠
C
＝90°，
∴
AB
＝
CD
＝
10
，
BD
＝
∵点
P
是
AD
的中点，
∴
PD
＝
AB
2
AD
2
＝10，
310
1
AD
＝，
2
2
∵∠
PDF
＝∠
BDA
，
∴△
PDF
∽△
BDA
，

310
PF
PFPD

2
， ∴＝，即
10
ABBD
10
解得：
PF
＝
3
，
2
∵
CE
＝2
BE
，
∴
BC
＝
AD
＝3
BE
，
∴
BE
＝
CD
，
∴
CE
＝2
CD
，
∵△
PMN
是等腰三 角形且底角与∠
DEC
相等，
PF
⊥
MN
，
∴< br>MF
＝
NF
，∠
PNF
＝∠
DEC
，
∵∠
PFN
＝∠
C
＝90°，
∴△
PNF
∽△
DEC
，
∴
NFCE
＝＝2，
PFCD
∴
NF
＝2
PF
＝3，
∴
MN
＝2
NF
＝6；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示，

由①得：PF=
3
，MF=3，
2
2
设MN=PN=x，则FN=3-x，

3

在Rt△PNF中，



3x
2

x< br>2
，

2

1515
，即MN=，
88
15
综上所述，MN的长为6或。
8
15
故答案为：6或.
8
解得：
x
【点评】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的
性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84 分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算
步骤或推理过程）
19．（8分）计算：

（1）π+（
0
1
﹣12
）﹣（
3
）；
2
（2）（
x
﹣1）（
x
+1）﹣
x
（
x
﹣1）．
【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；
【解答】解：（1）π+（
0
1
﹣12
）﹣（
3
）＝1+2 ﹣3＝0；
2
22
（2）（
x
﹣1）（
x
+1） ﹣
x
（
x
﹣1）＝
x
﹣1﹣
x
+
x
＝
x
﹣1；
【点评】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数 幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算
法则是解题的关键．

x1＞ 0
20．（6分）解不等式组

并把解集在数轴上表示出来．
3x8- x

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找 、大大小小无解了确定
不等式组的解集．
【解答】解：解不等式
x
+1＞0，得：
x
＞﹣1，
解不等式3
x
﹣8≤﹣
x
，得：
x
≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜
x
≤2，
将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小；大
小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）如图， 把平行四边形纸片
ABCD
沿
BD
折叠，点
C
落在点
C
′处，
BC
′与
AD
相交于点
E
．
（1）连接
AC
′，则
AC
′与
BD
的位置关系是 ；
（2）
EB
与
ED
相等吗？证明你的结论．

【分析】（1）根据
AD
＝
C
'
B
，
ED
＝
EB
，即可得到
AE
＝
C
'
E
，再根 据三角形内角和定理，即可得到∠
EAC
'＝∠
EC
'
A
＝
∠
EBD
＝∠
EDB
，进而得出
AC
'∥
BD
；
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠
EDB
＝∠< br>EBD
，进而得出
BE
＝
DE
．
【解答】解：（1 ）连接
AC
′，则
AC
′与
BD
的位置关系是
AC
′∥
BD
，
故答案为：
AC
′∥
BD
；

（2）
EB
与
ED
相等．
由折叠可得，∠
CBD
＝∠
C
'
BD
，
∵
AD
∥
BC
，
∴∠
ADB
＝∠
CBD
，
∴∠
EDB
＝∠
EBD
，
∴
BE
＝
DE
．

【点评】本题主要考查了折叠 问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位 置变化，对应边和对应角相等．
22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况 ，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），
并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

【分析】 （1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；
故答案为：30，10；
（2）这组数据的平均数为
651110815520
＝12（元）；
30
（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．
【点评】此 题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形
统 计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
23．（8分）将图中的
A
型（正方形）、
B
型（菱形）、
C
型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形

状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片 长
度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
【分析】 （1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为
A
型（正方形）、
B
型（菱形） 或
C
型（等腰直角三角形）这
3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2 种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图
形的概率；
（2）依据共有6种等可 能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：
A
和
C
，
C
和
A
，即可得到拼成的
图形是轴对称图形的概率．
【解答】解：（ 1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为
A
型（正方形）、
B
型（菱形）或C
型（等腰直角三角形）这
3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是
故答案为：
2
；
3
2
；
3
（2）画树状图为：

共有6种等可 能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：
A
和
C
，
C
和
A
，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为
21

．
63
【点评 】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
24 ．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等 ．甲、
乙两人每小时各做多少个零件？
【分析】设甲每小时做
x
个零件，则 乙每小时做（30﹣
x
）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与
乙做 120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．
【解答】解：设甲每小时做
x
个零件，则乙每小时做（30﹣
x
）个零件，
由题意得：
180120

，
x30x
解得：
x
＝18，

经检验：
x
＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
【点评】此题主要考查了分式方程的 应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．
25．（8分）如图，在 ▱
OABC
中，
OA
＝2
2
，∠
AOC
＝ 45°，点
C
在
y
轴上，点
D
是
BC
的中 点，反比例函数
y
＝
＞0）的图象经过点
A
、
D
．
（1）求
k
的值；
（2）求点
D
的坐标．
k
（
x
x

【分析】（1）根据已知条件求出
A
点坐标即可；
（2）四边形
O ABC
是平行四边形
OABC
，则有
AB
⊥
x
轴， 可知
B
的横纵标为2，
D
点的横坐标为1，结合解析式即可
求解；
【解答】解：（1）∵
OA
＝2
2
，∠
AOC
＝4 5°，
∴
A
（2，2），
∴
k
＝4，
∴
y
＝
4
；
x
（2）四边形
OABC
是平行四边形
OABC
，
∴
AB
⊥
x
轴，
∴
B
的横纵标为2，
∵点
D
是
BC
的中点，
∴
D
点的横坐标为1，
∴
D
（1，4）；
【点 评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点
B
的 横坐标是解题
的关键．
26．（10分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的 面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，
我们把这一思想称为 “算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

【理解】
（1）如图1，两个边长分别为
a
、
b
、
c
的直角三角形和一个两条直角边都是
c
的直角三角形拼成一个梯形．用两种
不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，
n
行
n
列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：
n
＝ ；
【运用】
（3）
n
边形有
n
个顶点，在它的内部再画
m
个点，以（
m
+
n
）个点为顶点，把
n
边形剪成若干个三角形，设最多可
以剪得
y
个这样的三角形．当
n
＝ 3，
m
＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以
y
＝7．
①当
n
＝4，
m
＝2时，如图4，
y
＝ ；当
n
＝5，
m
＝ 时，
y
＝9；
②对于一 般的情形，在
n
边形内画
m
个点，通过归纳猜想，可得
y
＝ （用含
m
、
n
的代数式表示）．请对同
一个量用算两次的方法说明你 的猜想成立．
2

【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的 面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并
整理．
（2）由图可知
n
行
n
列的棋子排成一个正方形棋子个数为
n
，每层棋子分别为1，3，5，7， …，2
n
﹣1．故可得用
两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．
【解答】解：（1）有三个Rt△其面积分别为
ab
，
直角梯形的面积为2
11
ab
和
c
2
．
22
1
（
a
+
b
）（
a
+
b
）．
2
1111
2
由图形可知：（
a
+
b
）（
a
+
b
）＝
ab
+
ab
+
c
2222
整理得（
a
+
b
）＝2
ab
+
c
，
a
+
b
+2
ab
＝2
ab
+
c
，
∴
a
+
b
＝
c
． 故结论为：直角长分别为
a
、
b
斜边为
c
的直角三角形 中
a
+
b
＝
c
．
（2）
n
行< br>n
列的棋子排成一个正方形棋子个数为
n
，每层棋子分别为1，3，5，7，… ，2
n
﹣1．
由图形可知：
n
＝1+3+5+7+…+2
n
﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2
n
﹣1．
（3）①如图4，当
n
＝4，
m
＝2时，
y
＝6，
2
2
222
222
22222

如图5，当
n
＝5，
m
＝3时，
y
＝9．
②方法1．对于一般的情形，在
n
边形内画
m
个点，第一个点将多边形分成 了
n
个三角形，以后三角形内部每增加
一个点，分割部分增加2部分，故可得
y
＝
n
+2（
m
﹣1）．
方法2．以△
ABC< br>的二个顶点和它内部的
m
个点，共（
m
+3）个点为顶点，可把△ABC
分割成3+2（
m
﹣1）个互不重
叠的小三角形．以四边形的4个 顶点和它内部的
m
个点，共（
m
+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2 （
m
﹣1）个
互不重叠的小三角形．故以
n
边形的
n
个顶点和它内部的
m
个点，共（
m
+
n
）个点作为顶点， 可把原
n
边形分割成
n
+2（
m
﹣1）个互不重叠的小三角 形．故可得
y
＝
n
+2（
m
﹣1）．
故答案为：①6，3；②
n
+2（
m
﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
2 7．（10分）如图，二次函数
y
＝﹣
x
+
bx
+3的图象 与
x
轴交于点
A
、
B
，与
y
轴交于点C
，点
A
的坐标为（﹣1，0），
点
D
为
OC
的中点，点
P
在抛物线上．
（1）
b
＝ ； （2）若点
P
在第一象限，过点
P
作
PH
⊥
x
轴，垂足为
H
，
PH
与
BC
、
BD
分别交于点
M
、
N
．是否存在这样的点
P
，使
得
PM
＝
MN
＝
NH
？若存在，求出点
P
的 坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点
P
的横坐标小于3，过点
P作
PQ
⊥
BD
，垂足为
Q
，直线
PQ
与
x
轴交于点
R
，且
S
△
PQB
＝2S
△
QRB
，求点
P
的坐
标．
2

【分析】（1）把点
A
坐标代入二次函数解析式即求得
b
的值． < br>（2）求点
B
、
C
、
D
坐标，求直线
BC< br>、
BD
解析式．设点
P
横坐标为
t
，则能用
t
表示点
P
、
M
、
N
、
H
的坐标 ，进而用
含
t
的式子表示
PM
、
MN
、
N H
的长．以
PM
＝
MN
为等量关系列得关于
t
的方 程，求得
t
的值合理（满足
P
在第一象限），
故存在满足条件的点< br>P
，且求得点
P
坐标．
（3）过点
P
作
P F
⊥
x
轴于
F
，交直线
BD
于
E
，根据同角的余角相等易证∠
EPQ
＝∠
OBD
，所以cos∠
EP Q
＝cos∠
OBD

＝
25PQ25PF2525

，即在Rt△
PQE
中，cos∠
EPQ
＝；在Rt△
PFR
中，cos∠
RPF
＝，进而得
PQ
＝
PE
，
5PE5PR55
5
PF
．设点
P
横坐标为t
，可用
t
表示
PE
、
PF
，即得到用
t
表示
PQ
、
PR
．又由
S
△
PQB< br>＝2
S
△
QRB
易得
PQ
＝2
QR
．要
2
PR
＝
对点
P
位置进行分类讨论得到
PQ< br>与
PR
的关系，即列得关于
t
的方程．求得
t
的值要 注意是否符合各种情况下
t
的
取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数< br>y
＝﹣
x
+
bx
+3的图象与
x
轴交于点< br>A
（﹣1，0）
∴﹣1﹣
b
+3＝
解得：
b
＝2
故答案为：2．

（2）存在满足条件呢 的点
P
，使得
PM
＝
MN
＝
NH
．
∵二次函数解析式为
y
＝﹣
x
+2
x
+3
当
x
＝0时
y
＝3，
∴
C
（0，3）
当
y
＝0时，﹣
x
+2
x
+3＝0
解得：
x
1
＝﹣1，
x
2
＝3
∴
A
（﹣1，0），
B
（3，0）
∴直线
BC
的解析式为
y
＝﹣
x
+3
∵点
D
为
OC
的中点，
∴
D
（0，
2
2
2
3
）
2
13
x
+，
22
∴直线
BD
的解析式 为
y
＝﹣
2
13
t
+），
H
（
t
，0）
22
131313
22
∴
PM
＝﹣
t
+2
t
+3﹣（﹣
t
+3）＝﹣
t
+3
t
，
MN
＝﹣
t
+3﹣（﹣
x
+）＝﹣
t
+，
NH
＝﹣
t
+
222222
设
P
（
t
，﹣
t
+2
t
+3）（0＜
t
＜3），则
M
（
t
，﹣
t
+3），
N
（
t
，﹣
∴
MN
＝
NH

∵
PM
＝
MN

∴﹣
t
+3
t< br>＝﹣
解得：
t
1
＝
2
13
t
+
22
1
，
t
2
＝3（舍去）
2
115
∴
P
（，）
24
115
∴P
的坐标为（，），使得
PM
＝
MN
＝
NH

24

（3）过点
P
作
PF
⊥x
轴于
F
，交直线
BD
于
E

∵OB
＝3，
OD
＝
3
，∠
BOD
＝90°
2
35

2
∴
BD
＝
OB
2OD
2
＝
∴cos∠
OBD
＝
25
3
OB
==
5
BD
35
2
∵
PQ
⊥BD
于点
Q
，
PF
⊥
x
轴于点
F
∴∠
PQE
＝∠
BQR
＝∠
PFR
＝90°
∴∠
PRF
+∠
OBD
＝∠
PRF
+∠
E PQ
＝90°
∴∠
EPQ
＝∠
OBD
，即cos∠
EPQ
＝cos∠
OBD
＝
25

5
在Rt△< br>PQE
中，cos∠
EPQ
＝
PQ
25
=
5
PE
∴
PQ
＝
25
PE

5< br>在Rt△
PFR
中，cos∠
RPF
＝
PF
25=
5
PR
∴
PR
＝
PF
25
5=
5
PF

2
∵
S
△
PQB
＝2
S
△
QRB
，
S
△
PQB
＝
∴
PQ
＝2
QR

11
BQ
•
PQ
，
S
△
QRB
＝
BQ
•
QR

22
设直线
BD
与抛物线交于点
G

131
x
+＝﹣
x
2
+2
x
+3，解得：
x
1
＝3（即点
B
横坐标），
x
2
＝﹣
222
1
∴点
G
横坐标为﹣
2
13
2< br>设
P
（
t
，﹣
t
+2
t
+3）（< br>t
＜3），则
E
（
t
，﹣
t
+）
22
133
222
5
∴
PF
＝|﹣
t
+2
t
+3|，
PE
＝|﹣
t
+2
t
+3﹣（ ﹣
t
+）|＝|﹣
t
+
t
+|
2222
1
①若﹣＜
t
＜3，则点
P
在直线
BD
上方，如图 2，
2
3
22
5
∴
PF
＝﹣
t
+2
t
+3，
PE
＝﹣
t
+
t
+
22
∵﹣
∵
PQ
＝2
QR

∴
PQ
＝
2
PR

3< br>∴
255
2
PE
＝•
PF
，即6
PE
＝5
PF

5
3
2
2
∴6（﹣
t
+
53
t
+）＝5（﹣
t
2
+2
t
+3 ）
22
解得：
t
1
＝2，
t
2
＝3（舍去）
∴
P
（2，3）
②若﹣1＜
t
＜﹣
1
， 则点
P
在
x
轴上方、直线
BD
下方，如图3，
2
此时，
PQ
＜
QR
，即
S
△
PQB
＝2
S
△
QRB
不成立．
③若
t
＜﹣1，则点
P
在
x
轴下方，如图4， < br>∴
PF
＝﹣（﹣
t
+2
t
+3）＝
t
﹣2
t
﹣3，
PE
＝﹣
∵
PQ
＝2
QR

∴
PQ
＝2
PR

∴
22
13 53
t
+﹣（﹣
t
2
+2
t
+3）＝
t< br>2
﹣
t
﹣
2222
255
PE
＝2•PF
，即2
PE
＝5
PF

52
2
5 3
t
﹣）＝5（
t
2
﹣2
t
﹣3）
22
4
解得：
t
1
＝﹣，
t
2
＝3（舍去）
3
413
∴
P
（﹣，﹣）
39
413
综上所述，点
P
坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．
39
∴2（
t
﹣

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角 的余角相等，三角函
数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点
P
的位置，要通过图象发现每种情况下相同
的和不同的解题思路．
28．（10分）已 知平面图形
S
，点
P
、
Q
是
S
上任意两点 ，我们把线段
PQ
的长度的最大值称为平面图形
S
的“宽距”．例
如 ，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆： ；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点
A
（﹣1，0）、
B
（1，0） ，
C
是坐标平面内的点，连接
AB
、
BC
、
CA< br>所
形成的图形为
S
，记
S
的宽距为
d
． < br>①若
d
＝2，用直尺和圆规画出点
C
所在的区域并求它的面积（所在区 域用阴影表示）；
②若点
C
在⊙
M
上运动，⊙
M
的半径为1，圆心
M
在过点（0，2）且与
y
轴垂直的直线上．对于⊙
M
上任意点
C
，都
有5≤
d
≤8，直接写出圆心
M
的横坐标
x
的取值范围．

【分析】（1）①平面图形
S
的“宽距”的定义即可解决问题．
②如图1， 正方形
ABCD
的边长为2，设半圆的圆心为
O
，点
P
是⊙
O
上一点，连接
OP
，
PC
，
OC
．求出
PC
的最大值即
可解决问题．
（2）①如图2﹣1中，点
C
所在的区域是图中正方形
AEBF
，面积为2．

②如图 2﹣2中，当点
M
在
y
轴的右侧时，连接
AM
，作
MT
⊥
x
轴于
T
．求出
d
＝5或8时，点
M
的坐标，即可判断，
再根据对称性求出点
M
在
y
轴左侧的 情形即可．
【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，
故答案为1．
② 如图1，正方形
ABCD
的边长为2，设半圆的圆心为
O
，点
P是⊙
O
上一点，连接
OP
，
PC
，
OC
．

22
在Rt△
ODC
中，
OC
＝
CD
2
OD
2
＝
12
＝
5

∴
OP
+
OC
≥
PC
，
∴
PC
≤1+
5
，
∴这个“窗户形“的宽距为1+
5
．
故答案为1+
5
．

（2）①如图2﹣1中，点
C
所在的区域是图中正方形
AEBF< br>，面积为2．


②如图2﹣2中，当点
M
在
y< br>轴的右侧时，连接
AM
，作
MT
⊥
x
轴于
T
．

∵
AC
≤
AM
+
CM
，又∵5≤
d
≤8，
∴当
d
＝5时．
AM
＝4，
∴
AT
＝< br>AM
2
MT
2
＝
23
，此时
M
（
23
﹣1，2），
当
d
＝8时．
AM
＝7， < br>∴
AT
＝
8
2
2
2
＝
215，此时
M
（
215
﹣1，2），
∴满足条件的点
M< br>的横坐标的范围为
23
﹣1≤
x
≤
215
﹣1． < br>当点
M
在
y
轴的左侧时，满足条件的点
M
的横坐标的 范围为﹣
215
+1≤
x
﹣
23
+1．
【点评】 本题属于圆综合题，考查了平面图形
S
的“宽距”的定义，正方形的判定和性质，三角形的三边 关系等知
识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中 考压轴题．