马的成语-伤心的个性签名

绝密★启用前

2017
年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

参考公式：
柱体的体积
VSh
，其中
S
是柱体的底面积 ，
h
是柱体的高．

4πR
3
球的体积
V
，其中
R
是球的半径．

3
一、填空题：本大题共
14< br>小题，每小题
5
分，共计
70
分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

．．．．．．．．
1
．已知集合
A{1,2}
，
B{a,a
2
3}
，若
AB{1}
，则实数
a的值为
▲
．

【答案】
1
【解析】由题 意
1B
，显然
a
2
33
，所以
a1
，此时
a
2
34
，满足题意，故答案为
1
．

2
．已知复数
z(1i)(12i)
，其中
i
是虚数 单位，则
z
的模是
▲
．

【答案】
10

【解析】
z(1i)(12i)1i1 2i2510
，故答案为
10
．

3
．某工厂生产甲 、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为
200
，
400
，
3 00
，
100
件．为检验产品的质量，
现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取
60
件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
▲
件．

【答案】
18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取
60
4
．右图是一个算法流程图，若输入
x
的值为
300
18
件，故答案为
18
．

1000
1
，则输出
y
的值是
▲
．

16

【答案】
2

第 1 页 共 15 页

1

【解析】由题意得
y2log
2
1
2
，故答案为
2
．
16
π1
5
．若
tan(

),
则
tan


▲
．

46
【答案】
7

5

1
1
tan(

)tan
7
7
6
44
．故答案为．

【解析】
tan

tan[(
)]
44
1tan(



)tan

1
1
5
5
446
6
．如图，在圆柱
O
1
O
2
内有一个球
O
，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切．记圆柱
O
1
O
2
的体积为
V
1
，球
O
的体积为
V
2
，则
V
1
的值是< br> ▲
．

V
2

【答案】
3

2
V
1
r
2
2 r3
3

【解析】设球半径为
r
，则
V
．故答案 为．

4
2
2
r
3
2
3
7．记函数
f(x)6xx
2
的定义域为
D
．在区间
[4,5]
上随机取一个数
x
，则
xD
的概率是
▲
．

【答案】
5

9

x
8
．在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
y
2
1的右准线与它的两条渐近线分别交于点
P
，
Q
，其焦点是
3F
1
,F
2
，则四边形
F
1
PF
2< br>Q
的面积是
▲
．

2
【答案】
23

【解析】右准线方程为
x
3< br>10

310
33103031030
，渐近线方程为
y 
设
P(
则
Q(,)
，
,)
，
x
，
10
10101010
3
第 2 页 共 15 页

2

F
1
(10,0)
，
F
2
(10,0)
，则
S210
30
23
．

10
763
9
．等比数列
{a
n}
的各项均为实数，其前
n
项和为
S
n
，已知
S
3
,S
6

，则
a
8
= ▲
．

44
【答案】
32

10
．某公司 一年购买某种货物
600
吨，每次购买
x
吨，运费为
6
万元

次，一年的总存储费用为
4x
万元．要
使一年的总运费与总存储费用 之和最小，则
x
的值是
▲
．

【答案】
30
600900900
64(x)42900240
，

当且仅当
x
，即
x30
时等号成立．
xxx
1
11
．已知函数
f(x)x
3
2xe
x

x
，其中
e
是自然对数的底数．若
f(a1)f(2a
2
)0
，则实数
a
的取值
e
【解析】总费用为
4x
范围是
▲
．

【答案】
[1,]

【解析】因为
f(x)x2x
3
1
2
1
xef(x)
，所以函数
f(x)
是奇函数，

x
e
因为
f'(x)3x
2
2e
x
e
x< br>3x
2
22e
x
e
x
0
，所以 数
f(x)
在
R
上单调递增，

又
f(a1) f(2a)0
，即
f(2a)f(1a)
，所以
2a
2
1a
，即
2a
2
a10
，

解得1a
22
11
，故实数
a
的取值范围为
[1, ]
．

22
12
．
1
，
2
，OA
与
OC
的夹角为

，如图，在同一个平面内，向量
OA
，
OB
，
OC
的模分别为
1
，且
ta n

=7
，
．若
OCmOAnOB
(m,nR)，则
mn
▲
．

OB
与
OC
的夹角为
45°

【答案】
3
第 3 页 共 15 页

3

【解析】由
tan

7
可得
sin

2
72
，
cos


，根据向量的分解，
< br>10
10



ncos45mcos

2


易得

，即



n sin45msin

0



所以
mn 3
．

22
nm2

5nm10
57< br>210
，即

，即得
m,n
，

44< br>272

5n7m0
nm0
210
13
．在 平面直角坐标系
xOy
中，
A(12,0),B(0,6),
点
P
在圆
O:x
2
y
2
50
上，若
PA PB≤20,
则点
P
的横
坐标的取值范围是
▲
．

【答案】
[52,1]



x< br>2
,xD,

n1
14
．设
f(x)
是 定义在
R
上且周期为
1
的函数，在区间
[0,1)
上，f(x)

其中集合
D{xx
，
x,xD,
n


nN*}
，则方程
f(x)lgx0
的解的个数 是
▲
．

【答案】
8
【解析】由于
f(x)[0,1)
，则需考虑
1x10
的情况，

在此范围 内，
xQ
且
xD
时，设
x
q
,p,qN< br>*
,p2
，且
p,q
互质，

p
n
,m,nN
*
,m2
，且
m,n
互质，

m
若
lgxQ
，则由
lgx(0,1)
，可设
lgx< br>n
m
因此
10
q
m
q
n
，则10()
，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此
lgxQ
，

p
p
因此
lgx
不可能与每个周期内
xD
对应的 部分相等，

只需考虑
lgx
与每个周期
xD
的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外
(1,0)
其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期
xD
的部分，

第 4 页 共 15 页

4

且
x1
处
(lgx)


11
1
，则在
x1
附近仅有一个交点，

xln10ln10
因此方程
f(x)lgx0
的解的个数为
8
．


二、解答题：本大题共
6
小题，共计
90< br>分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
．．．．．．．．
程或 演算步骤．

15
．（本小题满分
14
分）


如图，在三棱锥
A-BCD
中，
AB
⊥
AD
，BC
⊥
BD
，平面
ABD
⊥平面
BCD
，点< br>E
，
F(E
与
A
，
D
不重合
)分别在棱
AD
，
BD
上，且
EF
⊥
AD
．



求证：（
1
）
EF
∥平面
ABC
；


（
2
）
AD
⊥
AC
．


16
．（本小题满分
14
分）


已知向量
a(cosx,sinx),b(3,3),x[0,π].


（
1
）若
a
∥
b
，求
x< br>的值；


（
2
）记
f(x)ab
，求
f(x)
的最大值和最小值以及对应的
x
的值．

第 5 页 共 15 页

5

（
2
）
f(x)ab(cosx,sinx)(3,3)3cosx 3sinx23cos(x
π
)
．

6
因为，所以x
ππ7π
π3
[,]
，从而
1cos(x)．

666
62
取到最大值
3
；

取到最小值
23
．

于是，当
x
ππ

，即
x0
时，
66
π
5π
当
x
，即
x
时，
66
17
．（本小题满分
14
分）

x
2
y
2
xOy

如图， 在平面直角坐标系中，椭圆
E:
2

2
1(ab0)
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，离心率为
ab< br>1
，两准线之间的距离为
8
．点
P
在椭圆
E
上，且位于第一象限，过点
F
1
作直线
PF
1
的垂线
l
1
，过点
F
2
2
作直线
PF
2
的垂线
l
2
．


（
1
）求椭圆
E
的标准方程；


（
2
）若直线
l
1
，
l
2
的交点
Q
在椭圆
E
上，求点
P
的坐标．


【解析】（
1
）设椭圆的半焦距为
c
．

c12a
2
1
因为椭圆
E
的离心率为，两准线之间的距离为
8
，所以

，
8
，

a2
2
c
22
xy
解得
a2,c1
，于是
ba
2c
2
3
，因此椭圆
E
的标准方程是
1
．

43
（
2
）由（
1
）知，
F
1
(1,0)
，
F
2
(1,0)
．

第 6 页 共 15 页

6

设
P(x
0
,y
0
)
，因为
P
为第一象限的点，故
x
0
0,y
0
0
．

当
x< br>0
1
时，
l
2
与
l
1
相交于F
1
，与题设不符．


2
2
x
0< br>1x
0
1
)
．

由①②，解得
xx
0
,y
，所以
Q(x
0
,
y
0
y
0
2
x
0
1
22
22
y
0
1
．

y
0
，即
x
0
 y
0
1
或
x
0
因为点
Q
在椭圆上，由对 称性，得
y
0
22
x
0
y
0
又
P
在椭圆
E
上，故
1
．

43
2222

x
0

x
0
y
0
1y< br>0
1

4737

22
由

x< br>2
y
2
，解得
x
0

；

x
，无解．

,y
y
0
0
000
77< br>11




33

4
4
因此点
P
的坐标为
(
4737
,)
．

77
18
．（本小题满分
16
分）


如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为
32cm
， 容器Ⅰ的底面对角
线
AC
的长为
10
7
cm
，容器 Ⅱ的两底面对角线
EG
，
E
1
G
1
的长分别为14cm
和
62cm
．分别在容器Ⅰ
和容器Ⅱ中注入水，水深均为
12cm
．现有一根玻璃棒
l
，其长度为
40cm
．（容器厚度、 玻璃棒粗细均
忽略不计）


（
1
）将
l放在容器Ⅰ中，
l
的一端置于点
A
处，另一端置于侧棱
CC1
上，求
l
没入水中部分的长度；


（
2
）将
l
放在容器Ⅱ中，
l
的一端置于点
E
处，另 一端置于侧棱
GG
1
上，求
l
没入水中部分的长度．

第 7 页 共 15 页

7

【解析】（
1
）由正棱柱的定义，
CC
1⊥
平面
ABCD
，所以平面
A
1
ACC
1⊥
平面
ABCD
，
CC
1
⊥AC
．
记 玻璃棒的另一端落在
CC
1
上点
M
处．

因为AC107,AM40
，所以
MC40
2
(107)
2
30
，从而
sin∠MAC
3
，

4
记
AM
与水面的交点为
P
1
，过
P
1
作< br>P
1
Q
1
⊥
AC
，
Q
1
为 垂足，

则
P
1
Q
1
⊥平面
ABCD，故
P
1
Q
1
=12
，从而
AP
1< br>=
答：玻璃棒
l
没入水中部分的长度为
16cm
．

(
如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为
24cm)
P
1
Q
1
16
．

sin∠MAC


过
G
作
GK
⊥
E
1
G
1
，
K
为垂足，则
GK =OO
1
=32
．

因为
EG = 14
，
E
1
G
1
= 62
，

所 以
KG
1
=
6214
24
，从而
GG
1
KG
1
2
GK
2
24
2
32
2
40
．

2
第 8 页 共 15 页

8

设
∠ EGG
1


,∠ENG

,
则
sin

sin(∠KGG
1
)cos∠KGG
1

因为

2
4
．

5
3

< br>
，所以
cos


．

25
在
△ENG
中，由正弦定理可得
因为
0


40 14
7

，解得
sin


．

sin

sin

25
24
，所以
cos


．

225
424373

()
．
5255255
于是
sin∠NEGsin(



)sin(



)sin

co s

cos

sin


记
EN
与水面的交点为
P
2
，过
P
2
作
P
2< br>Q
2
⊥
EG
，
Q
2
为垂足，则
P< br>2
Q
2
⊥平面
EFGH
，

故
P< br>2
Q
2
=12
，从而
EP
2
=
P< br>2
Q
2
20
．

sin∠NEG
答：玻璃 棒
l
没入水中部分的长度为
20cm
．

(
如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为
20cm)
19
．（本小题满分
16
分）

对于给定的正整数
k
，若数列
{a
n
}
满足：
a
nk
a
nk1

整数
n(nk)
总成立，则称数列
{an
}
是“
P(k)
数列”．


（
1
）证明：等差数列
{a
n
}
是“
P(3)
数列 ”；


（
2
）若数列
{a
n
}既是“
P(2)
数列”，又是“
P(3)
数列”，证明：
{a< br>n
}
是等差数列．

【解析】（
1
）因为
{ a
n
}
是等差数列，设其公差为
d
，则
a
n
a
1
(n1)d
，

从而，当
n4
时，
a
nk
a
nk
a
1
(nk1)d a
1
(nk1)d

a
n1
a
n1
a
nk1
a
nk
2ka
n
对任意正
2a
1
2(n1)d2a
n
，
k1,2,3,< br>
所以
a
n3
a
n2
+a
n1+a
n1
a
n2
+a
n3
6a
n< br>，

因此等差数列
{a
n
}
是“
P(3)
数列”．

第 9 页 共 15 页

9

a
n2
a
n3
4a
n1
( a
n1
a
n
)
，④

将③④代入②，得
a
n1
a
n1
2a
n
，其中
n4，

所以
a
3
,a
4
,a
5
,
是等差数列，设其公差为
d'
．

在①中，取
n4，则
a
2
a
3
a
5
a
6
4a
4
，所以
a
2
a
3
d'
，< br>
在①中，取
n3
，则
a
1
a
2
a
4
a
5
4a
3
，所以
a
1a
3
2d'
，

所以数列
{a
n
}
是等差数列．

20
．（本小题满分
16
分）


已知函数
f(x)x
3
ax
2
bx1(a0,bR)
有 极值，且导函数
f

(x)
的极值点是
f(x)
的零点．（ 极值点
是指函数取极值时对应的自变量的值）


（
1
） 求
b
关于
a
的函数关系式，并写出定义域；


（
2
）证明：
b
2
3a
；

7

（
3
）若
f(x)
，
f

(x)
这两个函数的所有极值之和不小于

，求
a
的取值范 围．

2

当
a3
时，
f

( x)>0(x1)
，故
f(x)
在
R
上是增函数，
f( x)
没有极值；

22
aa3baa3b

当
a3
时，
f

(x)=0
有两个相异的实根
x< br>1
=
，
x
2
=
．
33
列表如下：< br>
x
(,x
1
)

+
x
1

0
(x
1
,x
2
)

–
x
2

0
(x
2
,)

+
f

(x)

第 10 页 共 15 页

10

f(x)

极大值


极小值


2a
2
3
故
f(x)
的极值点是
x
1
,x
2
．从而
a3
．因此
b
，定义域为
(3,)
．

9a
2t3
b2aa3
232t
2
27
（
2
）由（
1
）知，．设
g(t)=
，则
g
< br>(t)=
2

．

=
2
9t
9 t9t
9
aaa
当
t(
36
36
,)
时，
g

(t)0
，从而
g(t)
在
(, )
上单调递增．

2
2
b
>3
．因此
b< br>2
>3a
．

因为
a3
，所以
aa33
，故
g(aa)>g(33)=3
，即
a

记
f( x)
，
f

(x)
所有极值之和为
h(a)
，
2
1
2
3
a13
因为
f

(x)
的极值为
ba
2

，所以
h(a)=a< br>，
a3
．

9a
39a
23
a
2
0
，于是
h(a)
在
(3,)
上单调递减．

9a
7
6]
．

因为
h(6)=
， 于是
h(a)h(6)
，故
a6
．因此
a
的取值范围为
(3，
2
因为
h

(a)=
数学Ⅱ（附加题）< br>
21
．【选做题】本题包括
A
、
B
、
C< br>、
D
四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，
．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．

A
．
[
选修
4-1
：几何证明选讲
](
本小题满分
10
分
)

如图，
AB为半圆
O
的直径，直线
PC
切半圆
O
于点
C< br>，
AP
⊥
PC
，
P
为垂足．


求证：（
1
）
PACCAB
；


（
2
）
AC
2
APAB
．

第 11 页 共 15 页

11

【解析】（
1
）因为
PC
切半圆
O
于点
C
，所以
∠PCA∠CBA
，

因为
AB
为半圆
O
的直径，所以
∠ACB90
．

因为
AP
⊥
PC
，所以
∠APC90
，所以
PAC CAB
．

（
2
）由（
1
）知，
△APC ∽△ACB
，故
AP
AC

AC
AB
，即
AC
2
AP·AB
．

B
．
[
选修4-2
：矩阵与变换
](
本小题满分
10
分
)

已知矩阵
A

01



10


,B

10



02


.


（
1
）求
AB
；


（
2
）若曲线
C
x
2
y
2
1
:
8

2
1
在矩阵
AB
对应的变 换作用下得到另一曲线
C
2
，求
C
2
的方程．


C
．
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
（本小题满分
10
分）


x8
< br>在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的参考方程为
t


t
(
t
为参数
)
，曲线
C
的参数方程为


y
2


x2s
2
y22s
(
s
为参数
)
．设P
为曲线
C
上的动点，求点
P
到直线
l
的距离 的最小值．



【解析】直线
l
的普通方程为
x 2y80
．因为点
P
在曲线
C
上，设
P(2s
2
,22s)
，

第 12 页 共 15 页

12

从而点
P
到直线
l
的的距离
d
|2s
2
42s8|
1
2
(2)
2
2(s2)
2
4
45

，当< br>s2
时，
d
min

．

5
5
45
．

5
因此当点
P
的坐 标为
(4,4)
时，曲线
C
上点
P
到直线
l
的距离取到最小值
D
．［选修
4-5
：不等式选讲］（本小题满分
10
分）


已知
a,b,c,d
为实数，且
a
2
b
2
4,c
2
d
2
16,
证明：
acbd≤8.


【必做题】第
22
题 、第
23
题，每题
10
分，共计
20
分．请在答题卡指定区 域内作答，解答时应写出文字
．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤．

22
．（本小题满分
10
分）


如图，在平 行六面体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
AA
1
⊥平面
ABCD
，且
AB=AD=2，
AA
1
=
3
，
BAD120
．


（
1
）求异面直线
A
1
B
与AC
1
所成角的余弦值；


（
2
）求二面 角
B-A
1
D-A
的正弦值．


【解析】在平面
ABCD
内，过点
A
作
AE

AD
，交< br>BC
于点
E
．

因为
AA
1
平面
ABCD
，所以
AA
1

AE
，
AA
1

AD
．

如图，以
{AE,AD,AA< br>1
}
为正交基底，建立空间直角坐标系
A-xyz
．

因为
AB=AD=2
，
AA
1
=
3
，
 BAD120
．

则
A(0,0,0),B(3,1,0),D(0, 2,0),E(3,0,0),A,3)
．

1
(0,0,3),C
1
(3,1
第 13 页 共 15 页

13

（
1
）
A,3),AC
1
(3,1,3)
，

1
B(3,1
则
cosA
1
B,AC
1

A1
BAC
1
(3,1,3)(3,1,3)1

．

77
|A
1
B||AC
1
|
1
．

7
因此异面直线
A
1
B
与
AC
1
所成角的余弦值为

设二面角
B-A
1
D-A
的大小为
，则
|cos

|
因为

[0,]< br>，所以
sin

1cos
2


23< br>．（本小题满分
10
分）

3
．

4
7
7
．因此二面角
B-A
1
D-A
的正弦值为．

4
4

已知一个口袋中有
m
个白球，
n个黑球
(
m,nN*,n≥2
)
，这些球除颜色外全部相同．现将口袋 中的球
随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为
1,2,3,
的抽屉
(k 1,2,3,,mn)
．

,mn
的抽屉内，其中第
k
次取出的球放入编号为
k
1 2 3

mn


（
1
）试求编号为2
的抽屉内放的是黑球的概率
p
；


（
2
）随机变量
X
表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，
E(X)是
X
的数学期望，证明：
E(X)
n
．

(mn)(n1)
第 14 页 共 15 页

14

【解析】（
1
）编号为
2
的抽屉内放的是黑球的概率
p
为：
p
C
n1

mn1
C

n
n
．

mn
mn
（
2
）随机变量
X
的概率分布为

X
11
1
1
n

n1

n2

…
1
k

…
mn

P
C
n1
n1
C
n1
n
C
n1
n1
…
C
n1
k1
C
n

…
C
n1
nm1
mn
C
n

mn
C
n

mn
C
n

mn
C
n

mn
mn
1
C
n1
m
随机变量
X
的期望为
E(X)

k1
1
n

kn
kC

n
1( k1)!
mn
C
n
mn
kn
k

(n1)!(kn)!
．

m

nmn
所以
E(X)
1(k2)!
C
n

1
mn
k n
(n1)!(kn)!(n1)C
n

(k2)!
mn
kn
(n2)!(kn)!

1
2n
C
n2
1
(n1)C
n
(1C
n2
n1
C
n

mn2
)
(n1)C
n
(C
n1n2n2
n1
C
n1
C
n
C
n2
mn2
)

mnmn

1< br>(n1)C
n
(C
n1n2
n
C
n
C
n2
1
mn2
)
mn
(n1)Cn
(C
n1n2
mn2
C
mn2
)
mn

C
n1
mn1
(n1)C
n

n
1)
，

mn
(mn)(n
即
E(X)
n
(mn)(n1)
．


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