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1991年全国高考数学试题及答案解析
(理工农医类)
一、选 择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填
在题后括号内.

【 】

[Key]
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
常规卷和A型卷答案
(1)A

(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是
(A)y
2
=8(x+1) (B)y
2
=-8(x+1)
(C)y
2
=8(x-1) (D)y
2
=-8(x-1)
【 】

[Key] (2)D

(3)函数y=cos
4
x-sin
4
x的最小正周期是

【 】

[Key] (3)B

(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有
(A)12对 (B)24对 (C)36对 (D)48对
【 】

[Key]
(4)B



【 】

[Key] (5)A


第 1 页 共 9 页

(6)如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相
等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的
(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心
【 】

[Key] (6)D

(7)已知{a
n
},且a
n
>0, a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4< br>a
6
=25,那么a
3
+a
5
的值等于
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
【 】

[Key]
(7)A


(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)
(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)
【 】

[Key] (8)D

(9)从4台甲型和5台乙型电视机 中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不
同的取法共有
(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
【 】

[Key]
(9)C


(D)第四象限 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限
【 】

[Key] (10)C

(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙 的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条
件,那么
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【 】

[Key]
(11)A


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(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【 】

[Key] (12)C

(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[- 7,-3]上是
(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5
(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5
【 】

[Key]
(13)B


(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【 】

[Key] (14)C

(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M ={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│
f(x)g(x)=0}等于

【 】

[Key] (15)D

二、填空题:把答案填在题中横线上.




(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是
45°,那么这个正三棱台的体积等于 .

(19)在( ax+1)
7
的展开式中,x
3
的系数是x
2
的系数与x< br>4
的系数的等差中项,若实数
a>1,那么a= .

(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC ＝a.
那么这个球面的面积是 .

[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

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三、解答题.
(21)求函数y=s in
2
x+2sinxcosx+3cos
2
x的最小值,并写出使函数y取 最小值的x的集合.

[Key]
三、解答题.
(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.
解:y=sin
2
x+2sinxcosx+3cos
2
x
=(sin
2
x+cos
2
x)2sinxcosx+2cos
2
x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x

+




[Key] (22)本小题考查复数基本概念和运算能力.


(23)已知ABCD是 边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平
面,且GC＝2.求 点B到平面EFG的距离.


[Key] (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推
理和空间想象能力.

第 4 页 共 9 页

解:如图,连结EG、FG、EF、BD、、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、
F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛
盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是
点 B到平面EFG的距离.

注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.

(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x
3
+1在(-∞,+∞)上
是减函数.

[Key] (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.
证法一:在(-∞,+∞ )上任取x
1
,x
2
,且x
1
2
,

∵x
1
2
,
∴x
1
-x
2
<0.

所以,函数f(x)=-x
3
+1在(-∞,+∞)上是减函数.

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证法二:在(-∞,+∞)上任取x1
,x
2
,且x
1
2
,

∵ x
1
2
,
∴ x
1
-x
2
<0.
∵ x
1
,x
2
不同时为零,


即 f(x
2
)1
).
所以,函数f(x)=-x
3
+1在(-∞,+∞)上是减函数.

(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式


[Key]
(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能
力.
解:利用对数换底公式,原不等式左端化为

因为a>1,②式等价于




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log
a
xa
(x
2
-a).
因为a>1,②式等价于






[Key] (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次 方程等
基本知识,以及综合分析能力.

依题意知,点P,Q的坐标满足方程组


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将②式代入①式,整理得
(5b
2
-3a
2
)x
2
+6a
2
cx-(3a
2
c
2
+5a
2
b
2
)=0. ③

根据根与系数的关系,有



整理得3c(x
1
+x
2
)-8x
1
x
2
-3c
2
=0. ⑥
将④,⑤式及c
2=a
2
+b
2
代入⑥式,并整理得
3a
4
+ 8a
2
b
2
-3b
4
=0,
(a
2+3b
2
)(3a
2
-b
2
)=0.
因为 a
2
+3b
2
≠0,解得b
2
=3a
2
,

整理得(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
-10=0. ⑦
将④,⑤式及b
2
=3a2
,c=2a代入⑦式,解得a
2
=1.
将a
2
=1代入b
2
=3a
2
得 b
2
=3.

解法二:④式以上同解法一.

将④式及c
2
=a
2
+b
2
代入⑤式并整理得 3a
4
+8a
2
b
2
-3b
4
=0,
即 (a
2
+3b
2
)(3a
2
-b
2
)=0.
因a
2
+3b
2
≠0,解得b
2=3a
2
.

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即 (x
2
-x
1
)
2
=10. ⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b
2
-3a
2
)
2
-16a
2
b
4
=0.
将b
2
=3a
2
代入上式,得a
2
=1,
将a
2
=1代入b
2
=3a
2
得b
2
= 3.
故所求双曲线方程为








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