爱好特长-日本留学生考试真题

2014年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)

考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷 前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上 ，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在 答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. （2014）函数
y12cos(2x)
的最小正周期是 . 【解析】：原式＝
cos4x
，
T
2
2



42


1


z
.
z

2. （2014）若复数
z12i
，其中
i
是虚数单位，则

z
【解析】：原式＝
zz1z15 16

2
x
2
y
2
1
的右焦点重合 ，则该抛物线的准3. （2014）若抛物线
y2px
的焦点与椭圆
95
2
线方程为 .
【解析】：椭圆右焦点为
(2,0)
，即抛物线焦点，所以准线方程
x 2


x,x(,a),
4. （2014）设
f(x)

2
若
f(2)4
，则
a
的取值范围为 .

x,x[a,).
【解析】：根据题意，
2[a,)
，∴
a2

5. （2014）若实数
x,y
满足
xy1
，则
x2y
的最小值为 .
22
【解析】：
x2y2x2y22

22
6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的
3
倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结
果用反三角函数值表示）.
2
【解析】：设圆锥母线长为
R
， 底面圆半径为
r
，∵
S
侧
3S
底
，∴

rR3

r
，即
11
R3r
，∴
cos


，即母线与底面夹角大小为
arccos

33
7. （2014）已知曲线
C
的极坐标方程为

(3 cos

4sin

)1
，则
C
与极轴的交点 到极点
整理人 谭峰

的距离是 .
【 解析】：曲线
C
的直角坐标方程为
3x4y1
，与
x
轴 的交点为
(,0)
，到原点距离为
8. （2014）设无穷等比数列
a
n

的公比为
q
，若
a
1
lim

a
3
a
4

n
1
31

3

n
a

，则
q
.
51
a
3
a
1
q
2
15
【解析】：
a
1

，∵
0q1
，∴
q
q
2
q10q
2
1q1q2
9. （2014）若
f(x)xx
2
3
2
3

1< br>2
，则满足
f(x)0
的
x
的取值范围是 .
1
2
【解析】：
f(x)0xx

，结合幂函数 图像，如下图，可得
x
的取值范围是
(0,1)


10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续
10
天中随机选择
3
天 进行紧急疏散演
练，则 选择的
3
天恰好为连续
3
天的概率是 （结果用最简分数表示）.
【解析】：
P
81


3
C
10
15
11. （2014）已知互异的复数
a,b
满足
ab0
，集合

a,b

a
2< br>,b
2

，则
ab
.
【解析】：第一种情况：
aa,bb
，∵
ab0
，∴
ab 1
，与已知条件矛盾，不符；
432
第二种情况：
ab,ba
，∴
aaa1
，∴
aa10
，即
ab1
；
22
22
12. （2014）设常数
a
使方程
si nx3cosxa
在闭区间
[0,2

]
上恰有三个解
x
1
,x
2
,x
3
，
则
x
1x
2
x
3

.
【解析】 ：化简得
2sin(x
即
x
1
x
2
x
3
0

3
)a
，根据下图，当且仅当
a3
时，恰有三个交点，
7


3

3
2


整理人 谭峰

13. （2014）某游戏的得分为
1,2,3,4,5
，随机变量

表示小白玩该游戏的得分. 若
E(

)4.2
，则小白得
5
分的概率至少为 .
【解析】：设得
i
分的概率为
p
i
，∴
p1
2p
2
3p
3
4p
4
5p
5
4.2
，
且
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
1
，∴
4p
1
4p
2
4p
3
4p
4
4p
5
 4
，与前式相减得：
3p
1
2p
2
p
3< br>p
5
0.2
，∵
p
i
0
，∴
3p
1
2p
2
p
3
p
5
p5
，即
p
5
0.2

14. （2014）已知曲线
C:x4y
2
，直线
l:x6
. 若 对于点
A(m,0)
，存在
C
上的
点
P
和
l
上的
Q
使得
APAQ0
，则
m
的取值范围为 .
【解析】：根据题意，
A
是
PQ
中点，即
m
x
P
x
Q
2

x
P
6
，∵< br>2x
P
0
，∴
m[2,3]
2



二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸< br>的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. （2014 ）设
a,bR
，则“
ab4
”是“
a2
且
b2
”的 （ ）
(A) 充分条件.







(B) 必要条件.
(D) 既非充分又非必要条件. (C) 充分必要条件.
【解析】：B
16. （2014）如 图，四个棱长为
1
的正方体排成一个正四
棱柱，
AB
是一条侧棱，< br>P
i
(i1,2,,8)
是上底
P
1
P
2
P
4
P
3
P
5
P
7
P
6
P
8
面上其余的八个点，则
ABAP, 2,
i
(i1
不同值的个数为 （ ）
(A)
1
.
(C)
4
.
整理人 谭峰
, 8)
的
B




(B)
2
.
(D)
8
.
A

【解析】 ：根据向量数量积的几何意义，
ABAP
i
等于
AB
乘以
AP
i
在
AB
方向上的投影，
而
AP
i
在
AB
方向上的投影是定值，
AB
也是定值，∴
ABAP
i
为定值
1
，∴选A
17. （2014）已知
P
1
(a
1
,b
1
)
与
P
2
(a
2
,b
2
)
是直线
ykx1
（
k
为常数 ）上两个不同的点，
则关于
x
和
y
的方程组


a
1
xb
1
y1,
的解的情况是 （ ）

a
2
xb
2
y1
(B) 无论
k,P
1
,P
2
如何，总有唯一解.
(D) 存在
k,P
1
,P
2
，使之有无穷多解.
(A) 无论
k,P
1
,P
2
如何，总是无解.
(C) 存在
k,P
1
,P
2
，使之恰有两解.
【解析】：由已 知条件
b
1
ka
1
1
，
b
2
ka
2
1
，
D
a
1
a
2
b
1
b
2
a
1
b
2
a
2b
1
a
1
(ka
2
1)a
2
( ka
1
1)a
1
a
2
0
，∴有唯一解，选 B

(xa)
2
,x0,

18. （2014）设
f(x)

若
f(0)
是
f(x)的最小值，则
a
的取值范围为
1

xa,x0.
x

（ ）
(A)
[1,2]
. (B)
[1,0]
. (C)
[1,2]
. (D)
[0,2]
.
【解析】：先分析
x0
的情况，是一个对称轴为< br>xa
的二次函数，当
a0
时，
f(x)
min
f(a)f(0)
，不符合题意，排除AB选项；当
a0
时，根据图像
f(x)
min
f(0)
，
即
a0
符合题意，排除C选 项；∴选D；

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应 编号的规定区
域内写出必要的步骤.

19. （2014）(本题满分12分)
底面边长为
2
的正三棱锥
P-ABC
，其表面展开图是
三角 形
PP
12
P
3
，如图. 求
△P
1
P< br>2
P
3
的各边长及此三棱锥的
体积
V
.


【解析】：根据题意可得
P
1
,B,P
2
共线，
∵
ABP
1
BAP
1
CBP< br>2
，
ABC60
，
∴
ABP1
BAP
1
CBP
2
60
，∴
 P
1
60
，同理
P
2
P
3
6 0
，
∴△
PP
12
P
3
是等 边三角形，
PABC
是正四面体，所以△
PP
12
P
3< br>边长为4；
整理人 谭峰
P
3
A
C
P1
B
P
2

∴
V


222
AB
3


123
20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
2
x
a
设常 数
a0
，函数
f(x)
x
.
2a
(1) 若
a4
，求函数
yf(x)
的反函数
yf
1
(x)
；
(2) 根据
a
的不同取值，讨论函数
yf(x)
的奇偶性，并说明理由.
2
x
4
4y44y4
y
，∴
2
x

【解析】：（1）∵
a4
，∴
f(x)
x
，∴xlog
2
，
y1y1
24
∴
yf
1
(x)log
2
4x4
，
x( ,1)(1,)

x1
2
x
a2
x
a

（2）若
f(x)
为偶函数，则
f(x)f(x)
，∴
x
，
2a2
x
a
整理得
a(22)0
，∴
a0
，此时为偶函数
xx
2
x
a2
x
a

x
若
f(x)
为奇函数，则
f(x)f(x)
，∴
x
，
2a2a
整理得
a10
，∵
a0
，∴
a1
，此时为奇函数
当
a(0,1)(1,)
时，此时
f(x)
既非奇函数也非偶函数

21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在
A、B
两地连线上的定点
其中
D
为顶端，
AC
长
35C
处建造广告牌
CD
，
米，
CB
长
80
米. 设点< br>A、B
在同一水平面上，
从
A
和
B
看
D的仰角分别为

和

.
(1) 设计中
CD
是铅垂方向. 若要求
A
D
2

C
B

2

，问
CD
的长至多为多少（结果 精确到
0.01
米）？
(2) 施工完成后，现在实测得

3 8.12
，

18.45
，求
CDCD
与铅垂方向有 偏差．
的长（结果精确到
0.01
米）.
【解析】：（1）设
CD
的长为
x
米，则
tan


xx

,tan


，∵


2

0，
35802
整理人 谭峰

x
2tan

x
80

160x
， ∴
tan
tan2

，∴
tan


，∴

1tan
2

x
2
356400x
2
1
6400
2
解得
0x20228.28，∴
CD
的长至多为
28.28
米
（2）设
DBa,DAb,DCm
，
ADB180



123.43
，
则
aAB115sin38.12
，解得
a85.06
，
sin

sinADBsin123.43
∴
m80
2
a
2
160acos18.4526.93
， ∴
CD
的长为
26.93
米

22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，
第3小题满分8分.
在平面直 角坐标系
xOy
中，对于直线
l:axbyc0
和点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，
记

(ax
1
by1
c)(ax
2
by
2
c)
. 若
< br>0
，则称点
P
1
,P
2
被直线
l
分割. 若曲线
C
与直
线
l
没有公共点，且曲线
C
上存在点
P
1
,P
2
被直线
l
分割，则称直线l
为曲线
C
的一条分割
线.
(1) 求证：点
A(1,2),B(1,0)
被直线
xy10
分割；
(2) 若直线
ykx
是曲线
x
2
4y
21
的分割线，求实数
k
的取值范围；
(3) 动点
M
到点
Q(0,2)
的距离与到
y
轴的距离之积为
1
，设点
M
的轨迹为曲线
E
. 求证：
通过原点的直线中，有且仅有一条直线是
E
的分割线.
【解析】：（ 1）将
A(1,2),B(1,0)
分别代入
xy1
，得
(1 21)(11)40

∴点
A(1,2),B(1,0)
被直线
xy10
分割

x
2
4y
2
1
22
（2）联立

，得
(14k)x1
，依题意，方程无解，

ykx
∴
14k0
，∴
k
2
11
或
k

22
2
（3）设
M(x,y)
，则
x(y2)x1
，
∴曲线
E
的方程为
[x(y2)]x1
①
当斜率不存在时，直线
x0
，显然与方程①联立无解，
又
P1
(1,2),P
2
(1,2)
为
E
上两点，且代入
x0
，有

10
，
∴
x0
是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为
ykx
，代入方程得：
(k1)x4kx4x10
，
整理人 谭峰 < br>2432
222
2

令
f(x)(k1)x4kx 4x1
，则
f(0)1
，
2432
f(1)k
2
14k3(k2)
2
，
f(1)k
2
1 4k3(k2)
2
，
当
k2
时，
f(1)0
，∴
f(0)f(1)0
，即
f(x)0
在
(0,1)
之间存在实根，
∴
ykx
与曲线
E
有公共点
当
k2
时，
f(0)f(1)0
，即
f(x)0
在
(1,0)
之间存在实根，
∴
ykx
与曲线
E
有公共点
∴直线
ykx
与曲线
E
始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线
x0
是
E
的分割线

23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，
第3小题满分8分.
已 知数列

a
n

满足
a
n
a
n 1
3a
n
，
nN
，
a
1
1
.
*
1
3
(1) 若
a
2
2,a
3
x,a
4
9
，求
x
的取值范围；
(2) 设

a
n

是公比为
q
的等比数列，
S< br>n
a
1
a
2

求
q
的取值范围；
(3) 若
a
1
,a
2
,
1

a
n
. 若
S
n
S
n1
3Sn
，
nN
*
，
3
,a
k
成等差数列 ，且
a
1
a
2
a
k
1000
，求 正整数
k
的最大值，以及

k
取最大值时相应数列
a
1
,a
2
,,a
k
的公差.
1
3
综上可得
3x6
；
【解析】 ：（1）依题意，
a
2
a
3
3a
2
，∴
21

x6
，又
a
3
a
4
3a
3
，∴
3x27
，
33
1
q3

3
n1
（2）由已知得
a
n
q
，又
a
1
a
2
3a
1
，∴
1
3
当
q1
时，
S
n
n
，
1n
S
n
S
n1
3S
n
，即
n13n
，成立
33
q
n
1
1
1q< br>n
1q
n1
1q
n
1
S
n
3
当
1q3
时，，
S
n
S
n1
3S
n
，即，
q1
3
3q1q1 q1

3q
n1
q
n
20
1q
n1
1
3
，此不等式即

n1
∴

n
，∵
q1
，
n
3q1

q3q20
∴
3q
n1
q
n
2q
n
(3q1)22q
n
20
，
n1
对于不等式
q3qn
20
，令
n1
，得
q
2
3q2 0
，解得
1q2
，
整理人 谭峰

又当
1q2
时，
q30
，
∴
q
n1< br>3q
n
2q
n
(q3)2q(q3)2(q1) (q2)0
成立，
∴
1q2

1q
n
1
11q
n
1q
n
1
S
n

当
q1
时，，
SS
n1
3S
n
，即< br>1q
3
n
31q1q
3
1
1q
n
3
1q
，

3q
n1
q
n20
即

n1
，
3q10,q30
< br>n

q3q20
∵
3q
n1
q
n
2q
n
(3q1)22q
n
20

q
n1
3q
n
2q
n
(q3)2q(q3 )2(q1)(q2)0

1
q1
时，不等式恒成立
3
1
综上，
q
的取值范围为
q2

3
∴
（3）设公差为
d
，显然，当
k1000,d0
时， 是一组符合题意的解，
∴
k
max
1000
，则由已知得
∴

1(k2)d
1(k1)d3[1(k2)d]
，
3

(2k1)d2
22
，当
k1000
时，不等式即
d
，
,d
2k12k5
(2k5)d 2

2k(k1)d
，
a
1
a
2
...a
k
k1000
，
2k12
20002k2

，
k(k1)2k1
∴
d
∴
k1000
时，
d
解得
1000 999000k1000999000
，∴
k1999
，
∴
k
的最大值为
1999
，此时公差
d

20002k19981


k(k1)199919981999
整理人 谭峰