
10


【解析】
(

1k

3
,

2
l

3
) (

1
,

2
,

3
)01< br>


kl



10

记
A(

1
k

3
,

2
l

3
),B(

1
,

2
,

3
),C01


kl


若

1
,

2
,

3
线性无关，则
r(A)r(BC)r(C)2

1
k

3
,

2
l

3< br>线性无关.
由

1
k

3
,

2
l

3
线性无关不一定能推出

1
,

2
,

3
线性无关.

1
 
0

0


如：

1=

0

，

2
=

1
，

3
=

0

，
1
k

3
,

2
l

3
线性无关，但此时

1
,

2
,

3
线性

0

0

0

 
相关.故选A.
（7）设随机事件A与B相互独立，且
P(B)0.5 ,P(AB)0.3
，则
P(BA)
（ ）
（A）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
【答案】B
【考点】概率的基本公式
【解析】
P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)

P(A)0.5P(A)0.5P(A)0.3P(A)0.6
.
P( BA)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)0.50.50.60.2
. 故选B.
（8）设连续型随机变量
X
1
,X
2
相互独立， 且方差均存在，
X
1
,X
2
的概率密度分别为
1
f
1
(x),f
2
(x)
，随机变量
Y
1
的 概率密度为
f
Y
1
(y)[f
1
(y)f
2< br>(y)]
，随机变量
2
1
Y
2
(X
1X
2
)
，则
2
（A）
EY
1
E Y
2
,DY
1
DY
2
（B）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2

（C）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2
（D）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2

【答案】D
【考点】统计量的数学期望

【解 析】
Y
2

111
(X
1
X
2
)
，
EY
2
E[(X
1
X
2
)]( EX
1
EX
2
)
，
222
11
DY< br>2
D[(X
1
X
2
)](DX
1
D X
2
)
.
24

y11
f
Y
1
(y)[f
1
(y)f
2
(y)]
，
EY< br>1


[f
1
(y)f
2
(y)]dy (EX
1
EX
2
)EY
2
.

2 22
EY

2
1


y
2
1
2
[f
1
(y)f
2
(y)]dy(EX
1
2
EX
2
)
，
22
11
2
D Y
1
EY
1
2
(EY
1
)
2
(EX
1
2
EX
2
)(EX
1
EX
2
)
2

24
1
2


2EX
1
2
2EX
2
(EX
1
)
2
(EX
2
)
2
2EX
1
EX
2
< br>

4
1
22



DXDX EXEX2EX
1
EX
2

1212

4
1
22



DXDX(EX)(EX)2EX
1
EX
2

1212

4
1


DX
1
DX
2
(EX
1
EX< br>2
)
2


DY
2

4
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．． ．
（9）曲面
zx(1siny)y(1sinx)
在点
(1,0, 1)
处的切平面方程为
【答案】
2xyz10

【考点】曲面的切平面
【解析】
F(x,y,z)x(1siny)y(1sinx)z

22
22

F
x

2x(1siny)co sxy
2
，
F
y

cosyx
2
2y(1sinx)
，
F
z

1

F
x

(1,0,1)
2
，
F
y

1
，
F
z

(1,0,1)
1

(1,0,1)
曲面在点
(1,0,1)
处的切平面方程为
2(x 1)(1)(y0)(1)(z1)0
，即
2xyz10

（10）设
f(x)
是周期为
4
的可导奇函数，且
f

(x)2(x1),x[0,2]
，则
f(7)
【答案】1

【考点】函数的周期性
【解析】
由于
f

(x)2(x1),x[0,2]
，所以
f(x)(x1)C,x [0,2]

又
f(x)
是奇函数，
f(0)0
，解得< br>C1

2
f(x)(x1)
2
1,x[0,2]

Q
f(x)
是以4为周期的奇函数，故
f(7)f(3)f(1) f(1)[(11)
2
1]1

（11）微分方程
xy

y(lnxlny)0
满足条件
y(1)e
的解为
y
【答案】
yxe
2x1
3


【考点】变量可分离的微分方程
【解析】
xy

y(lnx lny)0y


令
u
yx
ln0

①

xy
y
，则
yux
，
y

uu

x

x
u(lnu1)

x
代入①，得
uu

xulnu0
即
u

分离变量，得
dud(lnu1)dx


u(lnu 1)lnu1x
两边积分得
lnlnu1lnxC
1
，即
l nu1Cx
即
ln
代入初值条件
y(1)e
，可得
C 2
，即
ln
整理可得
yxe
2x1
y
1 Cx

x
3
y
12x

x
.
22
（12）设
L
是柱面
xy1
与平面
yz0< br>的交线，从
z
轴正向往
z
轴负向看去为逆时
针方向，则曲线积 分
zdxydz
L


【答案】π
【考点】斯托克斯公式
【解析】由斯托克斯公式，得

dydzdz dxdxdy
Ñ
zdxydz

L

x
z

y
0



dydzdzdx
dydzdzdx

z
D
xy

y
其中
D
xy
(x,y)x
2
y
2
 1

22
（13）设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
x
2
2ax
1
x< br>3
4x
2
x
3
的负惯性指数为1，则
a
的 取值范

围是
【答案】
[2,2]

【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形
【详解】
【解法一】

10a


二次型对应的系数矩阵为：

0 12

O
，记特征值为

1
,

2,

3


a20


则

1


2


3
tr(A)11 00
，即特征值必有正有负，共3种情况；
故二次型的负惯性指数为
1
特征值1负2正或1负1正1零；
1
a
0
2
a
0
0124a
2
0
，即
a[2,2]

【解法二】
f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
2
x
2
2
2ax
1
x
3
4x
2
x
3
x
1
2
2ax
1
x
3
a
2
x
3
2
x
2
2
4x
2
x
3
a
2
x
3
2

(x
1
ax
3< br>)
2
(x
2
2x
3
)
2
(4 a
2
)x
3
2
y
1
2
y
2
2
(4a
2
)y
3
2

若负惯性指数为1，则
4a0a[2,2]

2

2x
,

x2


（14）设总体
X
的概率密度为
f(x,

)

3

2
，其中

是未知参数，

,其他

0
X
1
,X
2
,,X
n
为来自总体
X
的简单随机样本， 若
c

X
i
2
是

2
的无偏估计 ，则
i1
n

c
【答案】

2

5n
【考点】统计量的数字特征
【解析】根据题意，有
E(c

X
i
)c

E(X
i
)ncE(X)nc< br>
222
i1i1
nn
2


2x3
dx

2
3


2nc1
4
2

5nc
2
2
2

x



c
2

3

425n
三、解答题 ：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、
．．．
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限
lim
[t
1
x
2
(e1)t]dt
2
1
tx
1
xln(1)
x

【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则
【详解】
x 

lim
x
1
(t(e1)t)dt
1
x
2
ln(1)
x
2
1
x
2
1
t

lim
x
x
1
(t(e1)t)dt
1
x
2

x
2
1
t

1
x(e1)x1
2
limlimx(e
x
1)
xx
1x
1e
t
1te
t
11令tlimlim

2

t0t0
xt2t2
（16）（本题满分10分） 设函数
yf(x)
由方程
yxy+xy60
确定，求
f (x)
的极值
【考点】极值的必要条件
【解析】对方程两边直接求导：
3 yy

xy

2xyy2xyy

0
①
令
y

0
，得
y2x
，或
y 0
（舍去）
222
322

将
y2x
代入原方程得
6x60
解得
x1
，此时
y2
.
对①式两端再求导，得
3
(3y
2
2xyx
2
)y

2(3yx)(y

)
2
4(yx)y

2y0

将
x1
，
y2
，< br>y

0
代入上式，得
y


440
，即
f

(1)0

99
yf (x)
在
x1
处取极小值，极小值为
f(1)2
.
（17）（本题满分10分）
设函数
f(u)
具有2阶连续导数，
zf(ecosy)
满足 < br>x

2
z
2
z

2
(4ze
x
cosy)e
2x
，若
f(0)0,f

(0 )0
，求
f(u)
的表达式.
2
xy
【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程
【解析】由
zf(ecosy)
，知
x
z
z
f

(e
x
cosy)e
x
cosy
，f

(e
x
cosy)(e
x
siny)

y
x

2
z
f

(e
x
cosy)e
x
cosye
x
cosyf
(e
x
cosy)e
x
cosy
，
2
x

2
z
f

(e
x
cosy)( e
x
siny)(e
x
siny)f

(e
x
cosy)(e
x
cosy)

2
y
< br>2
z
2
z
x2x
由
2

2
(4zecosy)e
，代入得
xy
f

(e
x
cosy)e
2x
[4f(e
x
cosy)e
x
cosy]e
2x

即
f

(ecosy)4f(ecosy)ecosy
x
令
uecosy
，则
f

(u)4f(u) u

2
特征方程
r40r
1
2,r
22

xxx
齐次方程通解为
yC
1
e
*
2u
C
2
e
2u

设特解
yau b
，代入方程得
a
11
,b0
，特解
y
*< br>u

44

1
C
2
e
 2u
u

4
11
,C
2


由
f(0)0,f

(0)0
，得

C1

1616
111
yf(u)e
2u
e2u
u

16164
原方程的通解为
yC
1e
2u
（18）（本题满分10分）
设

为曲面
zxy(z1)
的上侧，计算曲面积分
22
I

(x1)
3
dydz(y1)
3
dzdx(z1)dxdy


【考点】高斯公式

x2
y
2
1
【解析】因

不封闭，添加辅助面

1
:

，方向向上．
z1


 
1
33
(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy

Ò


(3(x1)
2
3(y1)
2
1)dxdydz

(3x
2
6x33y
2
6y31)dxdydz




(3x< br>2
3y
2
7)dxdydz


0
dz

(3x
2
3y
2
7)dxdy


1
1
D(z)


dz

d


(3r
2
7)rdr4


000
2

z
（其中

(6x6y)dxdydz0
，因 为积分区域关于
xoz,yoz
对称，积分函数

33
(x1)d ydz(y1)dzdx(z1)dxdy0



1
f(x,y)6x6y
分别是
y,x
的奇函数．）
在曲面
< br>1
上，
故
33
(x1)dydz(y1)dzdx(z1) dxdy4

．
Ò

（19）（本题满分10分） 设数列
{a
n
},{b
n
}
满足
0a
n

（I）证明：
lima
n
0;

n< br>
2
,0b
n


2
,cosa
n
a
n
cosb
n
，且级数

b
n< br>收敛.
n1

（II）证明：级数
a
n
收敛.

n1
b
n

【考点】级数敛散性的判别

【解析】证明：（I）
cosa
n
a
n
cosbn
a
n
cosa
n
cosb
n

Q0a
n



2
,0b
n

2
，
cosa
n
cosb
n
00 a
n
b
n


Q
级数

bn
收敛，

级数

a
n
收敛，
lim a
n
0
.
n1n1
n
（II）解法1：
a
n
cosa
n
cosb
n

b
n
b
n
2sin
a
n
b
n
ab
sin
nn
22

b
n
Q
0a
n

22
abababab
sin
nn
< br>nn
,sin
nn

nn

2222
an

b
n
2
a
n
b
n
a
n
b
n

22
2
ba
bb
n
22

n

n

n

b
n
2b
n
2b
n
2
，
0b
n


，

Q
0a
n


2
，
0b
n


2
，且级数
b
n1

n
收敛，

级数

a
n
收敛.
n1
b
n
a
n
cosa
n
cosb
n
1cosbn


b
n
b
n
b
n
解法 2：
1cosb
n
b
n
1cosb
n
1
limlim

2
nn
b
n
b
n
2
∵同阶无穷小有相同的敛散性，

1cosb
n
a< br>∴由

b
n



收敛


n
收敛
b
n
n1
n1
b
n
n1


（20）（本题满分11分 ）

1234


设
A

01 11

,E
为
3
阶单位矩阵.

1203< br>

（I）求方程组
Ax0
的一个基础解系；
（II）求满足
ABE
的所有矩阵
B
.

【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解
【详解】
E)
施以初等行变换 对矩阵
(AM

1234M100


(AME)

0111M010



1203M001



1205M4123




0102M131



0013M141



1001M261




0102M131



0013M 141



x
1
x
4
1



x2x

2

24
（I） 方程组
Ax0
的同解方程组为

，即基础解系为

< br>3
x3x
4

3


1



x
4
x
4

x
1
x
4
2

1

2

 
1


x2x1


2
 
1


24
（II）
Ax

0
的同解方程组为：

，即通解为
k
1




31

0


x
33x
4
1




10< br>xx0

4

4


x
1
x
4
6

1

6


0




2

3

x
2
2x
4
3
，即通解为
k
2




Ax

1
的同解方程组为：


34

0


x
3
3x
4
4



1< br>
0


xx0

4

4

x
1
x
4
1

1

1



0




2

1


x
2
2x
4
1
，即通解为
k
3



， Ax

0

的同解方程组为：

31
1


x
3
3x
4
1
< br>



1

0

< br>x
4
x
4
0


k
1
2k
2
6k
3
1


2k12k 32k1
123

，
k,k,k
为任意常数
B< br>
123

3k
1
13k
2
43k3
1


kkk
123


（21）（本题满分11分）

11


11
证明 ：
n
阶矩阵




11

1

0

1

0

与




1


0
0
0

0
1


2


相似


n


【考点】矩阵的特征值、相似对角化
【详解】

1

1
设
A


M


1
1L
1L
MO
1L
1< br>
0

1

0
，
B


MM

1

0
L
L
O
L
01


02



MM
< br>0n

因为
r(A)1
，
r(B)1

所以
A
的特征值为：

1


2
< br>
n1
0,

n
tr(A)n




n

1
0,

n

tr(B)n

B
的特征值为：

1



2
关于
A
的
0
特征值，因为
r(0 EA)r(A)r(A)1
，

0


故有
n1
个线性无关的特征向量，即
A
必可相似对角化于
< br>


同理，关于
B
的
0
特征值，因为r(0EB)r(B)r(B)1
，





0

n



0



故有
n1
个线性无关的特征 向量，即
B
必可相似对角化于




由相似矩阵 的传递性可知，
A
与
B
相似.
（22）（本题满分11分） 设随机变量
X
的概率分布为
P{X1}P{X2}





0

n


1
， 在给定
Xi
的条件下，随机变量
2
Y
服从均匀分布
U(0 ,i)(i1,2)
，
（I）求
Y
的分布函数
F
Y
(y)
；
（II）求
EY

【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望）
【详解】
（I）
F
y
(y)P(Yy)

P(X1)P(YyX1)P(X2)P(YyX2)


11
P(YyX1)P(YyX2)

22
① 当
y0
时，
F
Y
(y)0

1113
yyy

2224
1111y
③ 当
1y2
时，
F
Y
(y)y

22224
11
④ 当
y2
时，
F
Y
(y)1

22
② 当
0y1
时，
F
Y
(y)

0

3

y

4
综上：
FY
(y)


1

y

24

1

y0
0y1

1y2
y2< br>
3

4


1
'
（II）随机变 量
Y
的概率密度为
f
Y
(y)F
Y
(y)

4

0


EY

 
-
0y1
1y2

其他
yf
Y(y)dy
3
1
1
2
31133
ydyydy 


01
4442424
（23）（本题满分11分） < br>x




设总体
X
的分布函数
F (x;

)

1e,x0
，其中

是未知参 数且大于零，


0，x0
2
X
1
,X
2
,L,X
n
为来自总体
X
的简单随机样本.
（Ⅰ）求
EX
与
EX
；
2
ˆ
； （Ⅱ） 求

的最大似然估计量

n

ˆ
a

0
？ （Ⅲ）是否存在实数
a
，使得对任何

0< br>，都有
limP

n
n

【考点】统计量的数 字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性）
【解析】

2x

x

e

,x0

（Ⅰ）
X
的 概率密度为
f(x;

)F(x;

)

< br>

0,x0

E(X)


2

xf(x;

)dx


0
x
2x

x
2
e

x
2
< br>dx


0
xd(e

x
2

)

xe

x
2


0


e
0



x
2

dx

e
0




1


dx2


222
2x
e

x
2
E(X
2
)


x< br>2
f(x;

)dx

0
x
2




dx


0
x
2
d(e

x
2

)

x
2< br>e

x
2


0


2 xe
0


x
2

dx

2xe
0

x
2

dx



2x
0

e

x
2

dx 


（Ⅱ）设
x
1
,x
2
,L,x
n
为样本的观测值，似然函数为
n
x

2
n
n
< br>i

()

x
i
e

,x
i
0(i1,2,L,n),
f(x;

)

i1


0,x
i
0

2
L(< br>
)

i1
当
x
i
0(i1,2, L,n)
时，
L(

)()
2
n

< br>xe
i
i1
n

x
i
2

()
2
n


xe
i
i1
n

1


x
i
2
i1
n

两边取对数，得
lnL(

)nln
2

l n

x
i

i1
n

x
i1
1
n
2
i
nln
n
2


lnx
i

i1
n

x

i1
1
n
2
i

dlnL(
)n1

2
两边求导，得
d

1
n< br>2
dlnL(

)
0
，得



x
i
令
n
i1
d


xi1
2
i

1
n
2
ˆ
所以，

的最大似然估计量为



X
i
.
n
i1

2
2
（Ⅲ）存在
a

. 因为
X
n
是独立同分布的随机变量序列，且
EX
1



，

1
n
2
2
ˆ
所以根据辛钦大数定律，当
n
时，

n


X
i
依概率收敛于
EX
1
，即

.
n
i1
ˆ




0
. 所 以对于任何

0
都有
limP

n
n
