2012-2018高考文科数学解答题归类

巡山小妖精
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2020年08月13日 03:42
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2012高考-情人节唱什么歌


解答题
一、解三角形
(17)(12年)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c = 3asinC-ccosA
(1) 求A。
(2) 若a=2,△ABC的面积为3,求b,c









(17)(15年)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的 对边,sin
2
B=2sinAsinC
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=
2
,求△ABC的面积










1


二、数列
17.(2013课标全国Ⅰ,文17)(本小题满分12分)已知 等差数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足< br>S
3
=0,
S
5
=-5.
(1)求{
a
n
}的通项公式;

1
(2)求数列

的前
n
项和.
aa

2n12n1






(17)(2014课标全国Ⅰ,文17)(本小题满分12分)
已知

a
n

是递增的等差数列,
a
2

a4
是方程
x
2
5x60
的根。

a< br>
(I)求

a
n

的通项公式; (II)求数列

n
的前
n
项和.
n


2




17. (2016课标全国Ⅰ,文17)(本题满分12分)
1
已知

a
n

是公差为3的等差数列,数列

b
n

满足< br>b
1
=1,b
2
=,a
n
b
n1
b
n1
nb
n

3
(I)求

a
n

的通项公式;
(II)求

b
n

的前n项和.



17

. (2017
课标全国Ⅰ,文
17)
(本题满分
12
分)
< br>记
S
n
为等比数列

a
n

的前< br>n
项和,已知
S
2
=2

S
3
=< br>-
6.
S
n

S
n+2
是否成等差数列< br>。
17
.(
1
)求

a
n

的通项公式;(
2
)求
S
n
,并判断
S
n+1< br>,(
12
分)

2


17.

2018
)已知数列

a
n

满足
a
1
1

na
n1
2

n1

a
n
,设
b
n

b
3


1
)求
b
1
,b
2

a
n
n



2
)判断数列

b< br>n

是否为等比数列,并说明理由;


3
)求

a
n

的通项公式.



二、立几
(19)(2012年)(本小题满分12分)
1
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱垂直 底面,∠ACB=90°,AC=BC=
2
AA
1
,D是棱AA
1< br>的中点
(I)证明:平面BDC
1
⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC
1
分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。



19.(2013课标全国Ⅰ,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
中,
CA

CB

AB

AA
1
,∠
BAA1
=60°.
(1)证明:
AB

A
1
C

(2)若
AB

CB
=2,
A
1
C

6< br>,求三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
的体积.





19(2014年)(本题满分12分)
如图,三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中,侧面
BB
1
C
1
C
为菱形,
B
1
C
的中点为
O
,且
AO
平面
BB
1
C
1
C
.
3


(1)证明:
B
1
CAB;

(2) 若
ACAB
1
,
CBB
1
60

, BC1,
求三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的高.


(18)(2015年)(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明: 平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E—ACD的
体积为





18.(2016年)(本题满分12分)
如图,已知正三棱锥
P
-
ABC
的侧面是直角三角形,
PA
=6,顶点
P
在平
面< br>ABC
内的正投影为点
D

D
在平面
PAB
内的正投影为点
E
,连结
PE

延长交
AB
于点< br>G
.
(I)证明:
G

AB
的中点;
( II)在图中作出点
E
在平面
PAC
内的正投影
F
(说明作 法及理由),
并求四面体
PDEF
的体积.
6
,求该三棱锥的侧面积
3


18
.(
2017
)(
12
分)如图,在四棱锥
P-ABCD
中,
ABCD
,且
BAPCDP90



1
)证明:平面
PAB
⊥平面
PAD


4



2
)若
PA=PD=AB=DC,
APD90
,
且四棱锥
P-ABCD
的体积为
8
,求该四棱锥的侧面积
.
3

18
.(
2018
)(
12
分)

如图, 在平行四边形
ABCM
中,
ABAC3

∠ACM90,以
AC
为折痕将△
ACM
折起,使点
M
到达点
D
的位置,且
AB⊥DA



1
)证明:平面
ACD⊥
平面
ABC



2

Q
为线段
AD
上一点,
P
为线段
BC

一点,且
BPDQ
3
DA
,求三 棱锥
QABP
的体积.


三、统计与概率
18.(2012年)(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝 玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果
当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。
(Ⅰ) 若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:
枝,n∈N)的 函数解析式。
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量
n
频数
14
10
15
20
16
16
17
16
18
15
19
13
20
10
2
(1)假设花店在这100天内每天购进17 枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均
5


数; < br>(2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,
求当天的利润不少于75元的概率。

18.(2013课标全国Ⅰ,文18)(本小题满 分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A
药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B药,这40位患者在服用
一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9
3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1
2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,
哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,
哪种药的疗效更好?


(2014年)(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这 些产品的一项质量指标值,由测量表得如
下频数分布表:
质量指标
值分组
频数
6 26 38 22 8
[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均 数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表);
6

< br>(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95
的产品至少要占全部产品的80%”的规定?

















(19)(2015年)(本小题满分12分)
某公司为确定下一年度投入某种产 品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年
销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的 影响,对近8年的年宣传费

和年销售量

(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

7


x

y

w


i1
8
(x
1
-
x

2< br>
(w
1
-
w


i1i1
8 8
(x
1
-
x


i1
8
(w
1
-
2

(y-
y
)
1469
w
)(y-
y
)
108.8 46.6 563 6.8 289.8
1
表中w
1
=
x
1,

w

=
8
1.6

w
1

i1
8
(1) 根据散点图判断,y= a+bx与y=c+d
x
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的
回归方程类型? (给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)以知这种产品的 年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问
题:
(i) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii) 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u
1
v
1
),(u
2
v
2
)…….. (u
n
v
n
),其回归线v=



u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

(19)(2016年)(本小题满分12分)
某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,
可以额外 购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每
个500元.现需 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机
器在三年使用期内更换的 易损零件数,得下面柱状图:
8



记x表示1台机器在 三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所
需的费用(单位:元),
n
表示购机的同时购买的易损零件数.
(I)若
n
=19,求y与x的函数解析式;
(II)若要求“需更换的易 损零件数不大于
n
”的频率不小于0.5,求
n
的最小值;
(II I)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损
零件,分别 计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购
买1台机器的同时应购 买19个还是20个易损零件?











19
.(
2017
((
12
分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔
30 min
从该生 产线上随
机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:
cm
).下面是检验员在一天内依次 抽取的
16
个零件的尺寸:

抽取次序

零件尺寸

1
9.95
2
10.12
10
9.91
3
9.96
11
4
9.96
12
5
10.01
13
9.22
6
9.92
14
7
9.98
15
8
10.04
16
9.95
9
抽取次序

零件尺寸

10.26 10.13 10.02 10.04 10.05
9


1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97

s
经计算得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)0.212


< br>16
i1
16
i1
16
i1

(i 8.5)
i1
16
2
i1,2,,16

其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸,
18.439


(x
i
x)(i8.5)2.78

i1
16

1
)求
(x
i
,i)
(i 1,2,,16)
的相关系数
r
,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不 随生产
过程的进行而系统地变大或变小(若
|r|0.25
,则可以认为零件的尺寸 不随生产过程的进行
而系统地变大或变小).


2
)一天内抽检零 件中,如果出现了尺寸在
(x3s,x3s)
之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?

3s)
之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产(ⅱ)在
(x3s,x
的 零件尺寸的均值与标准差.(精确到
0.01


附:样本
(xi
,y
i
)
(i1,2,,n)
的相关系数
r 

(xx)(yy)
ii
i1
n

(x x)

(yy)
2
ii
i1i1
nn
0.0080.09


2

19
.(
12
分)

3
某家庭记录了未使用节水龙 头
50
天的日用水量数据(单位:
m
)和使用了
节水龙头
5 0
天的日用水量数据,得到频数分布表如下:

未使用节水龙头
50
天的日用水量频数分布表

日用

水量

频数

1 3 2 4 9 26 5

0,0.1



0.1,0.2



0.2,0.3



0.3,0.4



0.4,0.5



0.5,0.6



0.6,0.7


使用了节水龙头
50
天的日用水量频数分布表

日用

水量

10


0,0.1



0.1,0.2



0.2,0.3



0.3,0.4



0.4,0.5



0.5,0.6


频数

1 5 13 10 16 5

1
)在答题卡上作出使用了节水龙头
50天的日用水量数据的频率分布直
方图:


3

2
)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于
0.35 m
的概率;


3
)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水 ?(一年按
365
天计
算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)< br>










11


四、圆锥曲线
(20)(2012年)(本小题满分12分)
设抛物线C:x
2
=2py (p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半
径的圆F交l于B,D两 点。
(I)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;
(II )若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求
坐标原点到m,n 距离的比值。




21.(2013课标全国Ⅰ,文21)( 本小题满分12分)已知圆
M
:(
x
+1)
2

y
2
=1,圆
N
:(
x
-1)
2

y
2
=9,动圆
P
与圆
M
外切并且与圆
N
内切,圆心
P
的轨迹为曲线
C
.
(1)求
C
的方程;
(2)
l
是与圆
P
,圆
M
都相切的一条直线,
l
与曲线
C
交于
A
B
两点,当圆
P
的半径最长时,
求|
AB
| .







20.(2014年)(本小题满分12分)
已知点
P(2,2)
,圆C
:
x
2
y
2
8y0
,过点
P
的动直线
l
与圆
C
交于
A,B
两点,线段
AB
的中
点为
M

O
为坐标原点.
(1)求
M
的轨迹方程;
(2)当
OPOM
时,求l
的方程及
POM
的面积

12


(20)(2015年)(本小题满分12分)
已知过点A(0,1)且斜率 为k的直线l与圆C(x-2)
2
+(y-3)
2
=1交于M,N两点.
(1) 求K的取值范围;
(2) 若
OM
·
ON
=12,其中0为坐标原点,求︱MN︱.








(20)(2016年)(本小题满分12分)
在直角坐标系
xOy
中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:
y
2
2 px(p0)
于点P,M
关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
OH
(I)求
ON

(II)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.


< br>x
2
20
.(
2017
)(
12
分)设A

B
为曲线
C

y=
上两点,
A< br>与
B
的横坐标之和为
4.
4

1
)求直线
AB
的斜率;


2
)设
M
为曲线
C
上一点,
C

M处的切线与直线
AB
平行,且
AM

BM
,求直线AB
的方程
.

20
.(
2018
)(
12
分)

设抛物 线
C:y
2
2x
,点
A

2,0

B

2,0

,过点
A
的直线
l

C
交于
M

N
两点.

1
)当
l

x
轴垂直时,求直线
BM
的方程;

13



2
)证明:
∠ABM




五、函数
∠ABN


(21)(2012年)(本小题满分12分)
设函数f(x)= e
x
-ax-2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f
´
(x)+x+1>0,求k的最大值







20.(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分)已知函 数
f
(
x
)=e
x
(
ax

b< br>)-
x
2
-4
x
,曲线
y

f(
x
)在点(0,
f
(0))处的切线方程为
y
=4< br>x
+4.
(1)求
a

b
的值;
(2) 讨论
f
(
x
)的单调性,并求
f
(
x
)的 极大值.







21、(2014年)(12分)
14


设函数
f

x

alnx
1a
2
xbx

a1

,曲线
yf

x

在点
1,f

1


处的切线斜率为0
2
(1)求b;
(2)若存在
x

a
0
1,
使得
f

x
0

a1
,求a的取 值范围。



(21)(2015年).(本小题满分12分)设函数< br>f(
x
)=e
2x
-alnx

(Ⅰ)讨论
f(x)
的导函数
f'(x)
零点的个数;
( Ⅱ)证明:当
a0
时,
f(x)2aaln
2
a







(21)(2016年)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x-2)e
x
+a(x-1)
2
.
(I)讨论
f(x)
的单调性;
(II)若
f(x)
有两个零点,求
a
的取值范围.



21


2017
年)(

12
分)

已知函数
f(x)
=e
x
(e
x

a)

a
2
x
.(
1
)讨论
f(x)
的单调性;(
2
)若
f(x)0
,求
的 取值范围.
21
.(
12
分)

21.

2018
)已知函数
f

x

ae
x
 lnx1



1
)设
x2

f
x

的极值点.求
a
,并求
f

x

的单调区间;

15

a


1< br>(
2
)证明:当
a≥
时,
f

x

≥0


e











六、选修
(23)(2012年)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

x =2cosφ
已知曲线C
1
的参数方程是

(φ为参数),以坐标原 点为极点,x轴的正半轴为极轴建

y=3sinφ
立极坐标系,曲线C
2< br>的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C
2
上,且A、B、C、D
π
以逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,
3
)
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C
1
上任意一点,求|PA|
2
+ |PB|
2
+ |PC|
2
+ |PD|
2
的取值范围。



23.(2013课标全 国Ⅰ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线
C
1


x45cost,
的参数方程为

(
t
为参 数),以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐

y55sin t
标系,曲线
C
2
的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把
C
1
的参数方程化为极坐标方程;
(2)求
C< br>1

C
2
交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

16




(23)(2014年)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

x 2t
x
2
y
2
已知曲线
C:

t< br>为参数)
1
,直线
l:

y22t
49
(1)写出曲线
C
的参数方程,直线
l
的普通方程;
(2)过曲线
C
上任意一点
P
作与
l
夹角为30°的直线 ,交
l
于点
A
,求
PA
的最大值与最小
值.




(23)(2015年)(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐 标系xOy中,直线C
1
:x=-2,圆C
2
:(x-1)
2
+(y-2)
2
=1以坐标原点为极点,x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系。
(1)求C
1
,C
2
的极坐标方程。

(2)若直线C
3
的极坐标为θ=

(ρ∈R)设C
2
与C
3
的交点为M,N,求△C
2
MN的面积。



(23)(2016年)
(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线
C
1
的参数方程为



xacost
(t为参数,a>0).
y1asint

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C
2
:ρ=4c osθ.
(I)说明
C
1
是哪种曲线,并将
C
1
的方程化为极坐标方程;
(II)直线
C
3
的极坐标方程为


0
,其中

0
满足
tan
0
2
,若曲线
C
1

C
2
的公共点 都在
C
3
上,求

0
.





17


22
.(
2017< br>)
[
选修
4―4
:坐标系与参数方程
]

1 0
分)


x3cos

,
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为


θ
为参数) ,直线
l
的参数方程为

ysin

,

xa4t,
(t为参数)
.

y1t,

(< br>1
)若
a=−1
,求
C

l
的交点坐标;< br>

2
)若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
,求
a.
22
.(
2018

[< br>选修
4—4
:坐标系与参数方程
]

10
分)

在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
的方程为
y kx2
.以坐标原点为极点,
x
轴正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
2
的极坐标方程为

2
2

cos

30



1
)求
C
2
的直角坐标方程;

(< br>2
)若
C
1

C
2
有且仅有三个公共点,求
C
1
的方程.


18

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