2012-2018高考文科数学解答题归类
2012高考-情人节唱什么歌
解答题
一、解三角形
(17)(12年)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c = 3asinC-ccosA
(1) 求A。
(2) 若a=2,△ABC的面积为3,求b,c
(17)(15年)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的
对边,sin
2
B=2sinAsinC
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=
2
,求△ABC的面积
1
二、数列
17.(2013课标全国Ⅰ,文17)(本小题满分12分)已知
等差数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足<
br>S
3
=0,
S
5
=-5.
(1)求{
a
n
}的通项公式;
1
(2)求数列
的前
n
项和.
aa
2n12n1
(17)(2014课标全国Ⅰ,文17)(本小题满分12分)
已知
a
n
是递增的等差数列,
a
2
,
a4
是方程
x
2
5x60
的根。
a<
br>
(I)求
a
n
的通项公式;
(II)求数列
n
的前
n
项和.
n
2
17.
(2016课标全国Ⅰ,文17)(本题满分12分)
1
已知
a
n
是公差为3的等差数列,数列
b
n
满足<
br>b
1
=1,b
2
=,a
n
b
n1
b
n1
nb
n
,
3
(I)求
a
n
的通项公式;
(II)求
b
n
的前n项和.
17
.
.
(2017
课标全国Ⅰ,文
17)
(本题满分
12
分)
<
br>记
S
n
为等比数列
a
n
的前<
br>n
项和,已知
S
2
=2
,
S
3
=<
br>-
6.
S
n
,
S
n+2
是否成等差数列<
br>。
17
.(
1
)求
a
n
的通项公式;(
2
)求
S
n
,并判断
S
n+1<
br>,(
12
分)
2
17.
(
2018
)已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
na
n1
2
n1
a
n
,设
b
n
b
3
;
(
1
)求
b
1
,b
2
,
a
n
n
.
(
2
)判断数列
b<
br>n
是否为等比数列,并说明理由;
(
3
)求
a
n
的通项公式.
二、立几
(19)(2012年)(本小题满分12分)
1
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱垂直
底面,∠ACB=90°,AC=BC=
2
AA
1
,D是棱AA
1<
br>的中点
(I)证明:平面BDC
1
⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC
1
分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
19.(2013课标全国Ⅰ,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
CA
=
CB
,
AB
=
AA
1
,∠
BAA1
=60°.
(1)证明:
AB
⊥
A
1
C
;
(2)若
AB
=
CB
=2,
A
1
C
=
6<
br>,求三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
的体积.
19(2014年)(本题满分12分)
如图,三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中,侧面
BB
1
C
1
C
为菱形,
B
1
C
的中点为
O
,且
AO
平面
BB
1
C
1
C
.
3
(1)证明:
B
1
CAB;
(2)
若
ACAB
1
,
CBB
1
60
,
BC1,
求三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的高.
(18)(2015年)(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:
平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E—ACD的
体积为
18.(2016年)(本题满分12分)
如图,已知正三棱锥
P
-
ABC
的侧面是直角三角形,
PA
=6,顶点
P
在平
面<
br>ABC
内的正投影为点
D
,
D
在平面
PAB
内的正投影为点
E
,连结
PE
并
延长交
AB
于点<
br>G
.
(I)证明:
G
是
AB
的中点;
(
II)在图中作出点
E
在平面
PAC
内的正投影
F
(说明作
法及理由),
并求四面体
PDEF
的体积.
6
,求该三棱锥的侧面积
3
18
.(
2017
)(
12
分)如图,在四棱锥
P-ABCD
中,
ABCD
,且
BAPCDP90
(
1
)证明:平面
PAB
⊥平面
PAD
;
4
(
2
)若
PA=PD=AB=DC,
APD90
,
且四棱锥
P-ABCD
的体积为
8
,求该四棱锥的侧面积
.
3
18
.(
2018
)(
12
分)
如图,
在平行四边形
ABCM
中,
ABAC3
,
∠ACM90,以
AC
为折痕将△
ACM
折起,使点
M
到达点
D
的位置,且
AB⊥DA
.
(
1
)证明:平面
ACD⊥
平面
ABC
;
(
2
)
Q
为线段
AD
上一点,
P
为线段
BC
上
一点,且
BPDQ
3
DA
,求三
棱锥
QABP
的体积.
三、统计与概率
18.(2012年)(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝
玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果
当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。
(Ⅰ)
若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:
枝,n∈N)的
函数解析式。
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量
n
频数
14
10
15
20
16
16
17
16
18
15
19
13
20
10
2
(1)假设花店在这100天内每天购进17
枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均
5
数; <
br>(2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,
求当天的利润不少于75元的概率。
18.(2013课标全国Ⅰ,文18)(本小题满
分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A
药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A
药,20位患者服用B药,这40位患者在服用
一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h
).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2
2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7
1.5 2.9
3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9
2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1
2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,
哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,
哪种药的疗效更好?
(2014年)(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这
些产品的一项质量指标值,由测量表得如
下频数分布表:
质量指标
值分组
频数
6 26 38 22 8
[75,85) [85,95)
[95,105) [105,115) [115,125)
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均
数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表);
6
<
br>(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95
的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
(19)(2015年)(本小题满分12分)
某公司为确定下一年度投入某种产
品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年
销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的
影响,对近8年的年宣传费
和年销售量
(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
7
x
y
w
i1
8
(x
1
-
x
)
2<
br>
(w
1
-
w
)
i1i1
8
8
(x
1
-
x
)
i1
8
(w
1
-
2
(y-
y
)
1469
w
)(y-
y
)
108.8 46.6 563 6.8
289.8
1
表中w
1
=
x
1,
,
w
=
8
1.6
w
1
i1
8
(1) 根据散点图判断,y=
a+bx与y=c+d
x
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的
回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)以知这种产品的
年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问
题:
(i)
年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)
年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u
1
v
1
),(u
2
v
2
)…….. (u
n
v
n
),其回归线v=
u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(19)(2016年)(本小题满分12分)
某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,
可以额外
购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每
个500元.现需
决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机
器在三年使用期内更换的
易损零件数,得下面柱状图:
8
记x表示1台机器在
三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所
需的费用(单位:元),
n
表示购机的同时购买的易损零件数.
(I)若
n
=19,求y与x的函数解析式;
(II)若要求“需更换的易
损零件数不大于
n
”的频率不小于0.5,求
n
的最小值;
(II
I)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损
零件,分别
计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购
买1台机器的同时应购
买19个还是20个易损零件?
19
.(
2017
((
12
分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔
30 min
从该生
产线上随
机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:
cm
).下面是检验员在一天内依次
抽取的
16
个零件的尺寸:
抽取次序
零件尺寸
1
9.95
2
10.12
10
9.91
3
9.96
11
4
9.96
12
5
10.01
13
9.22
6
9.92
14
7
9.98
15
8
10.04
16
9.95
9
抽取次序
零件尺寸
10.26
10.13 10.02 10.04 10.05
9
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
,
s
经计算得
x
(x
i
x)(
x
i
16x
2
)0.212
,
<
br>16
i1
16
i1
16
i1
(i
8.5)
i1
16
2
i1,2,,16
.
其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸,
18.439
,
(x
i
x)(i8.5)2.78
,
i1
16
(
1
)求
(x
i
,i)
(i
1,2,,16)
的相关系数
r
,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不
随生产
过程的进行而系统地变大或变小(若
|r|0.25
,则可以认为零件的尺寸
不随生产过程的进行
而系统地变大或变小).
(
2
)一天内抽检零
件中,如果出现了尺寸在
(x3s,x3s)
之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
3s)
之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产(ⅱ)在
(x3s,x
的
零件尺寸的均值与标准差.(精确到
0.01
)
附:样本
(xi
,y
i
)
(i1,2,,n)
的相关系数
r
(xx)(yy)
ii
i1
n
(x
x)
(yy)
2
ii
i1i1
nn
,0.0080.09
.
2
19
.(
12
分)
3
某家庭记录了未使用节水龙
头
50
天的日用水量数据(单位:
m
)和使用了
节水龙头
5
0
天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头
50
天的日用水量频数分布表
日用
水量
频数
1 3 2 4 9 26 5
0,0.1
0.1,0.2
0.2,0.3
0.3,0.4
0.4,0.5
0.5,0.6
0.6,0.7
使用了节水龙头
50
天的日用水量频数分布表
日用
水量
10
0,0.1
0.1,0.2
0.2,0.3
0.3,0.4
0.4,0.5
0.5,0.6
频数
1
5 13 10 16 5
(
1
)在答题卡上作出使用了节水龙头
50天的日用水量数据的频率分布直
方图:
3
(
2
)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于
0.35
m
的概率;
(
3
)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水
?(一年按
365
天计
算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)<
br>
11
四、圆锥曲线
(20)(2012年)(本小题满分12分)
设抛物线C:x
2
=2py
(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半
径的圆F交l于B,D两
点。
(I)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;
(II
)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求
坐标原点到m,n
距离的比值。
21.(2013课标全国Ⅰ,文21)(
本小题满分12分)已知圆
M
:(
x
+1)
2
+
y
2
=1,圆
N
:(
x
-1)
2
+
y
2
=9,动圆
P
与圆
M
外切并且与圆
N
内切,圆心
P
的轨迹为曲线
C
.
(1)求
C
的方程;
(2)
l
是与圆
P
,圆
M
都相切的一条直线,
l
与曲线
C
交于
A,
B
两点,当圆
P
的半径最长时,
求|
AB
|
.
20.(2014年)(本小题满分12分)
已知点
P(2,2)
,圆C
:
x
2
y
2
8y0
,过点
P
的动直线
l
与圆
C
交于
A,B
两点,线段
AB
的中
点为
M
,
O
为坐标原点.
(1)求
M
的轨迹方程;
(2)当
OPOM
时,求l
的方程及
POM
的面积
12
(20)(2015年)(本小题满分12分)
已知过点A(0,1)且斜率
为k的直线l与圆C(x-2)
2
+(y-3)
2
=1交于M,N两点.
(1) 求K的取值范围;
(2) 若
OM
·
ON
=12,其中0为坐标原点,求︱MN︱.
(20)(2016年)(本小题满分12分)
在直角坐标系
xOy
中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:
y
2
2
px(p0)
于点P,M
关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
OH
(I)求
ON
;
(II)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.
<
br>x
2
20
.(
2017
)(
12
分)设A
,
B
为曲线
C
:
y=
上两点,
A<
br>与
B
的横坐标之和为
4.
4
(
1
)求直线
AB
的斜率;
(
2
)设
M
为曲线
C
上一点,
C
在
M处的切线与直线
AB
平行,且
AM
BM
,求直线AB
的方程
.
20
.(
2018
)(
12
分)
设抛物
线
C:y
2
2x
,点
A
2,0
,
B
2,0
,过点
A
的直线
l
与
C
交于
M
,
N
两点.
(1
)当
l
与
x
轴垂直时,求直线
BM
的方程;
13
(
2
)证明:
∠ABM
五、函数
∠ABN
.
(21)(2012年)(本小题满分12分)
设函数f(x)=
e
x
-ax-2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)
f
´
(x)+x+1>0,求k的最大值
20.(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分)已知函
数
f
(
x
)=e
x
(
ax
+
b<
br>)-
x
2
-4
x
,曲线
y
=
f(
x
)在点(0,
f
(0))处的切线方程为
y
=4<
br>x
+4.
(1)求
a
,
b
的值;
(2)
讨论
f
(
x
)的单调性,并求
f
(
x
)的
极大值.
21、(2014年)(12分)
14
设函数
f
x
alnx
1a
2
xbx
a1
,曲线
yf
x
在点
1,f
1
处的切线斜率为0
2
(1)求b;
(2)若存在
x
a
0
1,
使得
f
x
0
a1
,求a的取
值范围。
(21)(2015年).(本小题满分12分)设函数<
br>f(
x
)=e
2x
-alnx
。
(Ⅰ)讨论
f(x)
的导函数
f'(x)
零点的个数;
(
Ⅱ)证明:当
a0
时,
f(x)2aaln
2
a
。
(21)(2016年)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x-2)e
x
+a(x-1)
2
.
(I)讨论
f(x)
的单调性;
(II)若
f(x)
有两个零点,求
a
的取值范围.
21
.
(
2017
年)(
(
12
分)
已知函数
f(x)
=e
x
(e
x
﹣
a)
﹣
a
2
x
.(
1
)讨论
f(x)
的单调性;(
2
)若
f(x)0
,求
的
取值范围.
21
.(
12
分)
21.
(
2018
)已知函数
f
x
ae
x
lnx1
.
(
1
)设
x2
是
f
x
的极值点.求
a
,并求
f
x
的单调区间;
15
a
1<
br>(
2
)证明:当
a≥
时,
f
x
≥0
.
e
六、选修
(23)(2012年)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
x
=2cosφ
已知曲线C
1
的参数方程是
(φ为参数),以坐标原
点为极点,x轴的正半轴为极轴建
y=3sinφ
立极坐标系,曲线C
2<
br>的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C
2
上,且A、B、C、D
π
以逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,
3
)
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C
1
上任意一点,求|PA|
2
+
|PB|
2
+ |PC|
2
+
|PD|
2
的取值范围。
23.(2013课标全
国Ⅰ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线
C
1
x45cost,
的参数方程为
(
t
为参
数),以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐
y55sin
t
标系,曲线
C
2
的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把
C
1
的参数方程化为极坐标方程;
(2)求
C<
br>1
与
C
2
交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
16
(23)(2014年)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
x
2t
x
2
y
2
已知曲线
C:
(
t<
br>为参数)
1
,直线
l:
y22t
49
(1)写出曲线
C
的参数方程,直线
l
的普通方程;
(2)过曲线
C
上任意一点
P
作与
l
夹角为30°的直线
,交
l
于点
A
,求
PA
的最大值与最小
值.
(23)(2015年)(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐
标系xOy中,直线C
1
:x=-2,圆C
2
:(x-1)
2
+(y-2)
2
=1以坐标原点为极点,x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系。
(1)求C
1
,C
2
的极坐标方程。
(2)若直线C
3
的极坐标为θ=
(ρ∈R)设C
2
与C
3
的交点为M,N,求△C
2
MN的面积。
(23)(2016年)
(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线
C
1
的参数方程为
xacost
(t为参数,a>0).
y1asint
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C
2
:ρ=4c
osθ.
(I)说明
C
1
是哪种曲线,并将
C
1
的方程化为极坐标方程;
(II)直线
C
3
的极坐标方程为
0
,其中
0
满足
tan
0
2
,若曲线
C
1
与
C
2
的公共点
都在
C
3
上,求
0
.
17
22
.(
2017<
br>)
[
选修
4―4
:坐标系与参数方程
]
(
1
0
分)
x3cos
,
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
(
θ
为参数)
,直线
l
的参数方程为
ysin
,
xa4t,
(t为参数)
.
y1t,
(<
br>1
)若
a=−1
,求
C
与
l
的交点坐标;<
br>
(
2
)若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
,求
a.
22
.(
2018
)
[<
br>选修
4—4
:坐标系与参数方程
]
(
10
分)
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
的方程为
y
kx2
.以坐标原点为极点,
x
轴正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
2
的极坐标方程为
2
2
cos
30
.
(
1
)求
C
2
的直角坐标方程;
(<
br>2
)若
C
1
与
C
2
有且仅有三个公共点,求
C
1
的方程.
18