2016年考研数学三真题及解析
关于军训的作文-离职申请书范文
考研数学真题及解析
2 0 1 6 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三） 试题及解答
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
（1）
设函数
y f ( x)
在
(, )
内连续，其导数如图所示，则（ ）
（A）
函数有 2 个极值点，曲线
y f ( x)
有 2
个拐点
（B）
函数有 2 个极值点，曲线
y f ( x)
有 3 个拐点
（C）
函数有 3 个极值点，曲线
y
f ( x)
有 1 个拐点
（D）
函数有 3 个极值点，曲线
y f ( x)
有 2 个拐点
【答案】（B）
【解析】【解析】由图像易知选 B
e
x
，则
2、已知函数
f (x, y)
x y
（A）
f '
x
f '
y
0
（B）
f '
x
f '
y
0
（C）
f '
x
f '
y
f
（D）
f '
x
f '
y
f
【答案】（D）
f '
y
e
x
x
e
【解析】
f
'
x
(x y 1)
2
x
y
2
x
y
， 所 以
f '
x
f '
y
f
（ 3 ） 设
T
i
x
ydxdy (i 1, 2, 3)
3
D
i
， 其 中
D
1
(x, y) 0 x 1, 0 y
1
，
D
2
(x, y) 0 x 1, 0
y x , D
3
(x, y) 0 x 1, x
2
y 1
，则
考研数学真题及解析
（A）
T
1
T
2
T
3
（B）
T
3
T
1
T
2
（C）
T
2
T
3
T
1
（D）
T
2
T
1
T
3
【答案】B
【解析】由积分区域的性质易知选 B.
1 1
sin(n k)
，（K 为常数）
（4）
级数为
n 1
n1
n
（A）
绝对收敛
（B）
条件收敛
（C）
发散
（D）
收敛性与 K 有关
【答案】A
【解析】由题目可得，
1
n1
n
sin(n k )
1
n 1 n
sin(n k)
sin(n k)
n n 1
n 1
n n 1 ( n 1
n
)
n1 n1
sin(n k) 1
1
因为 ，由正项级数的比较判别法得，该级
n n 1(
n 1 n )
n n
n n 1( n 1 n )
数绝对收敛。
（5）
设
A, B
是可逆矩阵，且
A
与
B
相似，则下列结论错误的是（
）
（A）
A
与
B
相 似
T T
（B）
A
与
B
相似
1 1
（C）
A
A
与
B B
相似
T T
考研数学真题及解析
（D）
A A
与
B
B
相似
1 1
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项。由
A
与
B
相似可知，存在可逆矩阵
P,
使得
P
AP B
，则
1
(1) (P
1
AP)
T
B
T
P
T
A
T
(P
T
)
1
B
T
A
T
~ B
T
, 故（A ）不选；
(2) (P
1
AP)
1
B
1
P
1
A
1
P B
1
A
1
~
B
1
，故（B）不选；
(3)P
1
( A
A
1
)P P
1
AP P
1
A
1
P B B
1
A A
1
~ B B
1
, 故（D ）不选；
此外，在（C）中，对于
P
( A A)P PAP PAP
，若
PAP=B
，则
PA(P) B
，
1 T 1 1 T 1 T T T
1 T
而
P
AP
未必等于
B
，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。
1 T T
（6）
） 设二次
型
f (x , x , x ) a(x
2
x
2
x
2
) 2x x
2x x 2x x
的正负惯性指数分别为
1, 2
， 则
1 2
3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
（ ）
（A）
a
1
（B）
a 2
（C）
2
a 1
（D）
a 1
或
a 2
【答案】（C）
【解析】考虑特殊值法，当
a 0
时，
f (x
1
, x
2
, x
3
)
2x
1
x
2
2x
2
x
3
2x
1
x
3
，
0 1 1
其矩阵为
1 0 1
，由此计算出特征值为
2, 1, 1
，满足题目已知条件，故
a 0
成立，因此（C）为
1 1 0
正确选项。
7、设
A, B
为随机事件，
0 P( A) 1, 0 P(B) 1,
若
P( A B) 1
则下面正确的是（
）
（A）
P(B A) 1
（B）
P( A B) 0
考研数学真题及解析
（C）
P( A
B) 1
（D）
P(B A) 1
【答案】（A）
【解析】根据条件得
P( AB) P(B)
P(B A)
P( AB) P( A B) 1 P( A B)
1
P( A) 1 P( A) 1 P( A)
8、设随机变量
X ,Y
独立，且
X N (1, 2),Y (1, 4)
，则
D(
XY )
为
（A）6
（B）8
（C）14
（D）15
【答案】（C）
【解析】因为
X ,Y
独立，
则
D( XY ) E( XY )
(EXY ) EX EY (EXEY
)
2 2 22 2
2 2 2
DX (EX )DY (EY ) (EXEY ) 14
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24
分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
(9)
已知函数
f ( x)
满足
lim
x 0
1 f
( x) sin 2 x 1
2
，则
lim f ( x)
x 0
e
3 x
1
【答案】6
1
f ( x) sin 2x
【解析】因为
lim
1 f ( x) sin 2 x 1
lim
2
lim
f ( x) x
lim
f (
x)
2
x 0
x 0 x 0 x 0
e
3 x
1
3x
3x
3
所以
lim f ( x) 6
x0
考研数学真题及解析
(10)
极限
lim
1
1 2 n
sin 2sin nsin
2
x 0
n
n n n
．
【答案】
sin 1 cos 1
n
1
1 2
n
1
i i
【解析】
lim
2
sin 2sin
nsin
lim
sin
n n n n n
n
x 0
n
x 0
i 1
1
0
xsin xdx sin 1 cos 1
(11)
设函数
f (u, v)
可微，
z
z( x, y)
有方程
( x 1)z y
2
x
2
f ( x z, y)
确定，则
dz
0,1
．
【答案】
dz
0,1
dx 2dy
【解析】
( x
1) x y
x f ( x z, y)
两边分别关于
x,
y
求导得
2 2
z ( x 1)z
2xf
( x z, y) x
2
f
( x z, y)(1
z
)
( x 1)z
2 y x (
f
( x z, y)( z
) f
( x z, y))
2
y 1 y 2
x 1 x
， 将
x 0, y 1, z 1
代 入 得 ，
dz
0,1
dx 2dy
1
0 0
0
1
0
（13）行列式
.
0 0
1
4 3 2
1
【答案】
2
3
4
4 3 2
0
1
0
0
1
0
0
4
+
3
+ 2
2
+3
+
4.
1
4 1
1 + 4 （
-1）
1 0
0
1
【解析】
0 0
4 3 2
0
1
1
0
=
0
3 2
+1
+1
14、设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1
个，直到三种颜色的球都取到为止，则
考研数学真题及解析
取球次数恰为 4 的概率为
【答案】
2
9
【解析】
P( A) C
1
1
2 C
1
2
2
1
3
3
3
3
2
3 9
三、解答题：15—23 小题，共 94
分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
．．．
算步骤.
x0
4
15 （本题满分 10 分）求极限
lim cos
2
x 2 x sin x
x
1
【解析】
lim cos 2 x 2 x sin x
x
4
x0
1
x0
cos 2 x2 x sin x1
lim e
x
4
lim e
x0
x
3
4
4 x
2
2
4
x
4
1
2
2 x
x
1o( x )
3!
4!
x
4
1
e
3
16、（本题满分 10 分）
设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数
Q
Q(
p)
，需求弹性
p
(
0)
，
p
为单
120 p
价（万元）
(1)
求需求函数的表达式
(2)
求
p 100
万元时的边际收益，并说明其经济意义。
【解析】（1）由弹性的计算公式得
p dQ
p
p dQ
可 知
Q dp
Q dp
120 p
分离变量可知
dQ
Q
p 120
dp
考研数学真题及解析
两边同时积分可得
ln Q ln( p 120) C
解得
Q C( p
120)
由最大需求量为 1200 可知
Q(0)
1200
，解得
C 10
故
Q 10( p
120) 1200 10 p
（2）收益
R Qp
(1200 10P)P
边际收益：
dR dR dp
(1200 20 p)(10) 200 p 12000
dQ dp dQ
已知
dR
8000
dQ
p100
经济学意义是需求量每提高 1 件，收益增加 8000 万元.
（17）（本题满分 10 分）
设函数
f
x
t xdt
x
0
,
求
f '
x
，并求
f
x
的最小值。
0
1
2
2
【解析】当
1 x 1
时，
f
x
当
x 1
时，
f
x
x
x
0
2
1
4
3
1
t
2
dt
x
t
2
x
2
dt
3
x x
2
3
x
1
0
2
2
1
x
x 1
4
3
x
3
x
2
1
1 x 0
3
3
则
f
x
4 1
3 2
x x
0 x 1
3 3
x
2
1
x
1
3
1
t
2
dt x
2
3
2x
4x
2
2x
2
4
x
2x
2x
x 1
1 x 0
0 x 1
x 1
考研数学真题及解析
由导数的定义可知，
f '
1
2, f
'
0
0, f '
1
2
2x
2
4x 2x
2
故
f
'
x
4
x 2x
2x
x 1
1 x 0
0
x 1
x 1
由于
f
x
是偶函数，所以只需求它在
0，
上的最小值。
易知
f '
x
0, x
0,1
; f '
x
0, x
1,
;
可知
f
x
的最小值为
f
1
。
（18）（本题满分 10 分）设函数
f
x
连续，且满足
2
3
x
0
f
x t
dt
x t
f
t
dt e
x
1
，求
f
x
0
x
0
x
【解析】令
u x t
，则
x
0
f
x t
dt
f
u
du
f
u
du
x
0
代入方程可得
x
0
f
u
du x
f
t
dt
tf
t
dt
e
x
1
0 0
x x
两边同时求导可得
f
x
f
t
dt e
x
0
x
1
x
0
由于
f
x
连续，可知
f
t
dt
可导，从而
f
x
也可导。
故对上式两边再求导可得
f
'
x
f
x
e
x
在(1)式两边令
x 0
可得
f
0
1
解此微分方程可得
3
x
e
x
f
x
e
2 2
（19）（本题满分 10 分）求 幂级数
n0
n 1
2n 1
的收敛域和和函数。
x
2n2
考研数学真题及解析
【解析】令
S (x)
n0
n 1
2n
1
x
2n2
两边同时求导得
S '(x) 2
n0
x
2n1
2n 1
两边同时求导得
2
S x) 2
x
1
x
2
n0
2n
两边积分可得
1 x
S '(x) ln C
1 x
由
S '(0) 0
可知，
S '(x) ln
两边再积分可知
1 x
1 x
ln(1 x)
ln(1 x)
S(x) (1 x) ln(1 x) (1 x)
ln(1 x)
易知，
S (x)
n0
n 1
2n 1
的收敛半径为
1，
x
2n2
且当
x 1, x 1
时级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-
1,1] 因此，
S(x) (1
x) ln(1 x) (1 x) ln(1 x)
，
x
[-
1,1]
1 1 1 a
0
（20）（本题满分 11
分）设矩阵
A
1 0 a ,
1
，且方程组
Ax
无解，
a 1 1 a 1
2a 2
（Ⅰ）求
a
的值；
（Ⅱ）求方程组
A
Ax A
T T
的通解
【解析】
考研数学真题及解析
1 1 1 a
（Ⅰ）由方程组
Ax
无解，可知
r( A) r( A,
)
，故这里有
A 0
，
A
1 0
a
0 a 0
a 1 1 a 1
或
a 2
。由于当
a 0
时，
r( A) r( A,
)
，而当
a 2
时，
r( A) r(
A,
)
。综上，故
a 0
符合题目。
3 2 2
1
T
T
（Ⅱ）当
a 0
时，
A
A 2 2 2 , A
2
，故
2 2 2
2
3 2 2
1 1 0 0
1
2 0 1 1
2
( A
T
A, A
T
)
2 2 2
，
2 2 2 2
0 0 0
0
0
1
T T
因此，方程组
A
Ax A
的通解为
x k 1 2
,其中
k
为任意实数。
1 0
（21）（本题满分
11 分）
0
1 1
已知矩阵
A
2 3 0
.
0 0 0
（Ⅰ）求
A
；
99
（ Ⅱ）设 3 阶矩阵
B
(
,
,
)
，满足
B
BA
，记
B
2 100
1 2 3
(
,
,
)
，将
,
,
分别表示为
1
2 3 1 2 3
1
,
2
,
3
的线性组合。
【解析】
（Ⅰ）利用相似对角化。
由
E A 0
，可得
A
的特征值为
0,
1,
2
，故
A ~
1 2 3
0
1
2
.
3
当
0
时，由
(0E A)x 0
，解出此时
A
的属于特征值
0
的特征向量为
2
;
1 1 1
2
考研数学真题及解析
1
1
;
当
1
时，由
(E A)x 0
，解出此时
A
的属于特征值
1
的特征向量为
2 2 2
0
1
当
2
时，由
(2E A)x 0
，解出此时
A
的属于特征值
2
的特征向量为
2
.
3
3 3
0
3 1 1
0
可得
A PP
1
，
A
99
P
99
P
1
，
1
设
P (
,
,
)
2 1 2
，由
P
AP 1
1 2 3
2 0 0
2
0 0
1
3 1 1
2
1
对于
P
2 1
2
，利用初等变换，可求出
P
2 1 2
，故
2 0 0
1
1 1
2
0 0
3
1
1
0
99 99 1
A
PP
1
2
1
2
2 0 0
99
2 1
2
1 1
2 3 2 2
1
98
99
99
2 2
1 2
2 2
2
99
2 2
100
100
2
0
0 0
2 2
1 2
1
2
100
（ Ⅱ
）
B
BA B BBA BA BAA BA B
BA
99
， 由 于
B
(
1
,
2
,
3
)
，
98
1 2
99
2 2
99
2 2
，因此，
1
2
100
0 0
B
100
(
,
,
)
，故
(
,
,
)
(
,
,
) A
99
(
,
,
) 2
2
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2
99
2 2
100
3
0
99 100
(2
2
99
)
1
(2 2
100
)
,
)
,
2
3
(2 2
98
)
(2 2
99
)
.
2 1 2 2
(1 2)
1
(1 2
1
（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量
( X
,Y )
在区域
D
x, y
0
x 1, x
y x
上服从均匀分
2
布，令
1, X Y
U
0,
X Y
（I）
写出
( X ,Y )
的概率密度；
（II）
问
U
与
X
是否相互独立？并说明理由；
考研数学真题及解析
（III）
求
Z U X
的分布函数
F (z)
.
【答案】
2
3, 0 x 1, x y
x
（I）
f
x, y
0, 其他
1 1
1
1
P U , X P U P X
U
X
（
II
） 与
不独立，因为
2 2 2 2
；
（
III
）
Z
的分布函数
0, z 0
3
z
2
z
3
, 0 z 1
2
F Z
3
z
3
2
1
2
z 1
2
z
1
,1 z 2
2
2
1, z 2
【解析】（1）区域 D 的面积
s(D)
(
x
x)
1
2
1
0
3
，因为
f (x, y)
服从区域 D
上的均匀分布，所以
3
x
2
y
x
f (x, y)
.
其他
0
（2）X 与 U 不独立.
2 2
2
1
1
1
1
P
U
, P X
2 2
2
2
1 1
1
1
所以
P
U , X
P U P X
,故 X 与 U 不独立。
2 2
2
2
（3）
F (z) P{U X z}
P{U X z U 0}P{U 0} P{U X z U
1}P{U 1}
因为
P
U , X
=P
U =0, X
=P
X Y , X
2
1 1
1
1
1
12
P{U X z,U
0} P{U X z,U 1}
P{U 0} P{U
1}
P{U 0} P{U 1}
P{X z, X Y}
P{1 X z, X Y}
考研数学真题及解析
0,
z1
3
0,
z 0
3
2 3
P{X1z,XY}
2
3
2
又
P{X z, X Y}
2(
z
1) (z1), 1z2
2
z
z , 0 z 1
，
2
1
, z 1
1
2
2
,
z2
3
z
0,
z 0
2
z
3
, 0 z 1
所以
F (z)
2
3
1 3
.
2(z 1)
2
(z 1)
2
, 1 z 2
2 2
1,
z 2
3x
2
（23）设总体
X
的概率密度为
f
x,
3
,0 x
，其中
0，
为未知参数，
X , X
1
0,其他
来自总体
X
的简单随机样本，令
T
max
X
1
, X
2
, X
3
。
（1）
求
T
的概率密度
（2）
当
a
为何值时，
aT
的数学期望为
【解析】（1）根据题意，
X
1
,
X
2
, X
3
独立同分布，
T
的分布函数为
F
T
(t) P{max( X
1
, X
2
, X
3
) t} P{X
1
t,
X
2
t, X
3
t}
P{X
1
t}P{X
2
t}P{X P{X
3
3
t}
1
t}
当
t 0
时，
F
T
(t) 0
；
3
当
0 t
时，
F
t
3x
2
t
9
T
(t)
3
d
0
9
；
当
t 0
时，
F
T
(t) 1
，
所以
9t
8
9
, 0
t
f
T
(t)
。
0,
others
) aET a
9t
8
9
（2）
E(aT
0
t
9
dt
10
a
，
2
, X
3
为
考研数学真题及解析
9
10
E(aT )
a
，即
a
根据题意，
10
9