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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘
贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签
字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写
的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合 题目要求的。
3i
1．


1i
A．
12i
B．
12i
C．
2i

D．
2i

2
1， 2， 4

，
B x4xm0
，若
AB

1
,则
B
2． 设集合
A

1， 3

B. ．

1， 0

C．

1， 3

A．

1， 5

D．

3．我国古代数学名著《算法统 宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是 ：一座7层塔共挂了381盏灯，
且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何
体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．
90


B．
63


C．
42


D．
36





2x3y30，

5．设
x、y
满足约 束条件

2x3y30，
则
z2xy
的最小值是

y30，


A．
15
B．
9
C．
1

D．
9

6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由 1人完成，则不同
的安排方式共有

A．12种 B．18种 C． 24种
D．36种



理科数学试题 第1页（共4页）
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中
有2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲
的成绩.看后甲对大家说：我还是不知 道我的成绩.根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的
成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．执行右面的程序框图，如果输入的
a1
，则输出的
S

A．2
B．3
C．4
D．5









x
2
y
2
22
9．若双曲线
C:
2

2
1(a 0，b0)
的一条渐近线被圆
(x2)y4
所截得的弦
ab
长为
2
，则
C
的离心率为
A．
2
B．
3
C．
2

D．
23

3
10．已知直三棱柱
ABCA
1< br>B
1
C
1
中，
ABC120

,
AB2
,
BCCC
1
1
, 则异面直
线
AB
1
与
BC
1
所成角的余弦值为
A．
D．
31510
B． C．
255
3

3
2x1
11．若
x2
是函数
f(x)(xax1)e
的极值点，则
f(x)
的极小值为
A．
1
B．
2e
3
C．
5e
3

D．
1

12．已知
ABC
是边长为
2
的等边三角形，
P
为平面
ABC
内一点，则
PA(PBPC)
的
最小值是

34
A．
2
B．

C．


23
D．
1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一批产品的二等品率为
0.02
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
100

次，
X
表示抽到二等品件数，则
DX
.
3

14．函数
f(x)sin
2
x3cosx (x[0， ])
的最大值是 .
42
15．等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a
3
3
，
S
4
10< br>，则
1

.

k1
S
k
16．已知
F
是抛物线
C:y8x
的焦点，
M
是
C
上一点，
FM
的延长线交
y
轴于点
N
.
若
M
为
FN
的中点，则
FN 
.
理科数学试题 第2页（共4页）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
B
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，已知
sin(AC)8s in
2
.
2
(1)求
cosB
；
(2)若ac6
，
ABC
的面积为
2
，求
b
.


18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽
取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其 频率分布直方图如下：













(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记< br>A
表示事件“旧养殖法的箱产量低于
50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估 计
A
的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关；
箱产量<50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
2
n

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确
到）.


附：


n(adbc)
2
2
K
.
(ab)(cd)(ac)(bd)




理科数学试题 第3页（共4页）
19.（12分）
如图，四棱 锥
PABCD
中，侧面
PAD
为等边三角形且垂直于地面
ABCD
，
1
ABBCAD
，
BADABC90
,
E
是
PD
的中点.
2
(1)证明：直线
CE∥平面PAB
；
(2)点
M< br>在棱
PC
上，且直线
BM
与底面
ABCD
所成角为< br>45

，求二面角
MABD
的余弦值.


20.（12分）
x
2
设
O
为坐标原点， 动点
M
在椭圆
C:y
2
1
上，过
M
作
x
轴的垂线，垂足
2
为
N
，点
P
满足NP2NM
.
(1)求点
P
的轨迹方程；
(2)设点
Q
在直线
x3
上，且
OPPQ1
. 证 明：过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的 左焦点
F
.


21.（12分）
2
已知函数
f(x)axaxxlnx
，且
f(x)0
.
(1)求
a
；
(2)证明：
f(x)
存 在唯一的极大值点
x
0
，且
e
2
f(x
0)2
2
.


（二）选考题：共10分。请考生在第22 、23题中任选一题作答。如果多做则按所做
的第一题计分。
22.[选修
44
：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标 系
xOy
中，以坐标原点为极点，
x
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C
1
的极坐标方程为

cos

4< br>.
(1)
M
为曲线
C
1
上的动点，点
P
在线段
OM
上，且满足
OMOP16
，求点
P

的轨迹
C
2
的直角坐标方程；

(2)设点
A
的极坐标为
(2 ， )
，点
B
在曲线
C
2
上，求
OAB
面积的最大值.
3


23.[选修
45
：不等式选讲]（10分）
已知
a0，b0，a
3
b
3
2
.证明：
(1)
(ab)(a
5
b
5
)4
；
(2)
ab2
.



理科数学试题 第4页（共4页）
2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 参考答案



一、选择题




二、填空题
13. 14. 1 15.
16. 6


三、解答题
17.（1）由
AC

B
得
sinB8sin
2


tan
BBB
，即
cos4sin
，
222
2n

n1
B1815
，则有
cosB
.

，得
tanB
241517
（2）由（1 ）可知
sinB
8117
，则
S
ABC
acsinB 2
，得
ac
，
1722
30
ac4
，则
b2
.
17
又
b
2
a
2
c
2
2accosB(ac)
2
2ac

18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为
(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62
，
新养殖法箱产量不低于50kg的频率为
(0.0680.0460.0100.008)50.66
，
而两种箱产量相互独立，则
P(A)0.620.660.4092
.
（2）由频率分布直方图可得列联表



200( 62663438)
2
则
K15.7056.635
，
10010096104
所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（ 3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为
(0.0040.0200.044)50.34 0.5
，
2

旧养殖法
新养殖法
箱产量<50kg
62
34
箱产量≥50kg
38
66
产量 低于55kg的面积为
(0.0040.0200.0440.068)50.680.5
，

0.50.34

所以新养殖法箱产量的中位数估计值为

55052.35
（kg）.
0.34


1
19.（1）取
PA
中点
F
，连结
EF、BF
.因为
E
为
PD
中点，则< br>EF∥AD
.而由题可知
2
1
BC∥AD
，则
EF∥ BC
，即四边形
BCEF
为平行四边形，所以
EC∥FB
.又
2
EC面PAB，FB面PAB
，故
CE∥面PAB
.
（2 ）因为
ABAD
，则以
A
为坐标原点，
AB、AD
所在直 线分别为
x、y
轴建立空
间直角坐标系
Axyz
，如图所示.
1，3)
，
取
AB1
，设
CM

CP(0

1)
则得
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1， 1，0)
，
P(0，
1，3

)
，所以则
CP( 1，0，3)
，
CM(

，0，3

)
，可 得点
M(1

，
BM(

，1，3

)
.
取底面
ABCD
的法向量为
n(0，0，1)
， 则
cosBM，n
3


2
13
2
sin45

，解得


26
2
，1，)
.因为
AB(1
,则
BM(
，0，0)
,设 面
MAB
的法向量为
22
2


x0



mAB0
得

，取
z2
得
m(x，y，z)
，由

26
xyz0


mBM0

2

2
m(0，6，2)
，
则
cosm， n
mn
mn

10
1 0
.故
二面角
MABD
的余弦值为
.
5
5

2
x
2
y
2
20.（1） 设
P(x，y)
，则
M(x，y)
，将点
M
代入
C
中得
1
，所以点
P
的轨迹
2
22
方程 为
x
2
y
2
2
.
（2）由题可知
F (1，0)
，设
Q(3，t)，P(m，n)
，则
OQ(3，t)， PF(1m，n)
，

OP(m，n)， PQ(3m，t n)
.由
OPOQ1
得
3mm
2
tnn2
1
，由
（1）有
m
2
n
2
2
，则有
33mtn0
，所以
OQ PF33mtn0
，即过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的左焦点
F
.

21.（1）< br>f(x)
的定义域为
(0，)
，则
f(x)0
等价于< br>axalnx0
.
1
设
g(x)axa lnx
，则
g

(x)a
.由题可知
a0
，则由
g

(x)0
解得
x
111
x
，所以
g(x)
为
(，)
上的增函数，为
(0，)
上的 减函数.则有
a
aa
1
g
min
(x)g()

a

1alna0
，解得
a1
.
2
（2）由（1）可知
f(x)xxxlnx
，则
f

(x)2x2lnx
.

111
设
h(x)2 x2lnx
，则
h

(x)2
.
由
h(< br>
x)0
解得
x
，所以
h(x)
为
(， )

x22
11
上的增函数，为
(0，)
上的减函数. 又因为
h()ln210，h(1)0
，则
h(x)
在
22
1
(0，)
上存在唯一零点
x
0
使得
2x
0
2lnx
0
0
，即
2x
0
2lnx< br>0
,且
f(x)
为
2
(0，x
0
)
，
(1，
1)
上的减函数，则
f(x)
极大值为
)< br>上的增函数，为
(x
0
，
1
f(x
0
)x
0
(1x
0
)
.
4
1)，x
0e
1
，所以
f(x
0
)f(e
1
) e
2
. 而
e
1
(0，
e
2
 f(x
0
)2
2

综上，.

22.（1）设
P
极坐标为
(

，

)(

0)
，
M
极坐标为
(

1
，

)(

1
0)
.则
OP

，

OM

1

4
.由
O MOP16
得
C
2
的极坐标方程为

4cos

(

0)
.所
cos

以
C
2
的直角坐标方程为
(x2)
2
y
2
4(x0)
.
（2）设
B
极标为
(

2
，

) (

2
0)
，由题可知
OA2，

2
4cos

，则有

S
OAB

1

3
OA

2
sin(

)2sin (2

)23
.
2332
即当

 

12
时，
OAB
面积的最大值为
23
.


556556
23.（1）
(ab)(ab)aababb

3323344
(ab)2abab(ab)

222
4ab(ab)


4

33223
（2）因为
(ab)a3ab3abb


23ab(ab)

3(ab)
2

2(ab)

4
3(ab)
3

2
，
4
3
所以
(ab)8
，解得
ab2
.