十大名车-签证种类

2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设
f(x)lim
(n1)x
, 则
f(x)
的间断点为
x
.
n
nx2
1
3


xt3t1
（2）设函数
y(x)
由参数方程

确定, 则曲线
yy(x)
向上凸的< br>x
取值
3


yt3t1
范围为____..
（3）

1

dx
xx1
2

_____..
zz

______.
xy
（4） 设函数
zz(x,y)
由方程
ze
2x3z
2y
确 定, 则
3
（5）微分方程
(yx
3
)dx2xdy0
满足
y
x1
6
的特解为_______.
5
210


（6）设矩阵
A

120
< br>, 矩阵
B
满足
ABA

2BA

E
, 其中
A

为
A
的伴随矩

001


阵,
E
是单位矩阵, 则
B
______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把
x0
时的无穷小量




0x
costdt
,



2
x
2
0
tantdt
,



x
0
sint
3
dt
排< br>列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
（A）

,

,

.
（B）

,

,

.

（C）

,

,

.
（D）

,

,

.

（8）设
f(x)x(1x)
, 则
（A）
x0
是
f(x)
的极值点, 但
(0,0)
不是曲线
yf(x)
的拐点.
（B）
x0
不是
f(x)
的极值点, 但
(0,0)
是曲线
yf(x)
的拐点.
（C）
x0
是
f(x)
的极值点, 且
(0,0)
是曲线
yf(x)
的拐点.
（D）
x0
不是
f(x)
的极值点,
(0,0)
也不是曲线
yf(x)
的拐点.




（9）
limln
n
(1)(1 )(1)
等于
n
1
n
2
2
n
2
n
n
2
（A）
（C）
2

1
2< br>ln
2
xdx
. （B）
2

lnxdx
.
1
2
2
2

1
ln(1x)dx
. （D）

1
ln
2
(1x)dx



（10）设函数
f(x)
连续, 且
f

(0)0
, 则存在

0
, 使得
（A）
f(x)
在
(0,

)
内单调增加.
（B）
f(x)
在
(

,0)
内单调减小. < br>（C）对任意的
x(0,

)
有
f(x)f(0)
.
（D）对任意的
x(

,0)
有
f(x)f( 0)
.
（11）微分方程
y< br>
yx
2
1sinx
的特解形式可设为
（A）
yax
2
bxcx(AsinxBcosx)
.
（B）
yx(ax
2
bxcAsinxBcosx)
.
（C）
yax
2
bxcAsinx
.
（D）
yax
2
bxcAcosx

（12）设函数
f(u)
连续, 区域
D(x,y)xy2y
, 则
1x
2





22


f(xy)dxdy
等于
D
（A）

1
dx

1x

0
dy

0

2
1
2
f(xy)dy
.
f(xy)dx
. （B）
2
（C）
（D）
2yy
2

0
d


2sin

0
2 sin

0
f(r
2
sin

cos
< br>)dr
.
f(r
2
sin

cos

)rdr


0

d




（13）设
A
是3阶方阵, 将
A
的第1列与第2列交换得
B
, 再把
B
的第2列加到第3
列得
C
, 则满足
AQC
的可逆矩阵
Q
为


010

010


（A）

100

. （B）

101

.

101

001



010

011


（C）

100

. （D）

100

.

011

001


（14）设
A< br>,
B
为满足
AB0
的任意两个非零矩阵, 则必有
（A）
A
的列向量组线性相关,
B
的行向量组线性相关.
（B）
A
的列向量组线性相关,
B
的列向量组线性相关.
（C）
A
的行向量组线性相关,
B
的行向量组线性相关.
（D）
A
的行向量组线性相关,
B
的列向量组线性相关.




三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
1
求极限
lim
3
x0
x



2cosx

x



1
.
3





（16）（本题满分10分）
设函数
f(x)
在（
,
）上有定义, 在区间
[0,2]
上,
f(x)x(x
2
4)
, 若对任意
的
x
都满足
f(x)kf(x2)
, 其中
k
为常数.
(Ⅰ)写出
f(x)
在
[2,0]
上的表达式; (Ⅱ)问
k
为何值时,
f(x)
在
x0
处可导.

（17）（本题满分11分）
设
f(x)

（18）（本题满分12分）

x
x

2
si ntdt
,(Ⅰ)证明
f(x)
是以

为周期的周期函数;(Ⅱ)求
f(x)
的值域.
e
x
e
x
曲线
y 
与直线
x0,xt(t0)
及
y0
围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕
x
2
轴旋转一周得一旋转体, 其体积为
V(t)
, 侧面积为
S(t)
, 在
xt
处的底面积为
F(t)
.

(Ⅰ)求

S(t)
S(t)
的值; (Ⅱ)计算极限
lim
.
t
V(t)
F(t)
22
（19）（本题满分12分）设
eabe
2
, 证明
lnblna
4
(ba)
.
e
2

（20）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞 机尾部张开减速伞,以增
大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为
9000kg
的飞机,着陆时的水平速度为
700kmh
.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞 机的速度成正比(比例系数为
k6.010
6
).问从着陆点算起,飞机滑行的最 长距离是多少?
注
kg
表示千克,
kmh
表示千米小时.

（21）（本题满分10分）设
zf(x
2
y
2,e
xy
)
,其中
f
具有连续二阶偏导数,求
zz 
2
z
.
,,
xyxy

（22）（本题满分9分）
设有齐次线性方程组

(1a)x
1
x
2
x
3
x
4
0,

2x(2a)x2x2x0,

1234


3x3x (3a)x3x0,
234

1


4x
1
4x
2
4x
3
(4a)x
4
0,试问
a
取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

123


设矩阵
143

的特征方程有一个二重根, 求
a
的值, 并讨论
A
是否可相似对角

1a5


化.

2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一. 填空题
（1）0 .
【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不 同的
x
,先用求极限的
方法得出
f(x)
的表达式, 再讨论
f(x)
的间断点.
【详解】显然当
x0
时,
f(x)0
;
1
(1)x
(n1)x
n

x

1
, 当
x0
时,
f(x)limlim
2
n
nx< br>2
1
n
1
xx
2
x
n
< br>0,x0

所以
f(x)


1
,
,x0


x
因为
limf(x)lim
x0
1
f(0)

x0
x
故
x0
为
f(x)
的间断点.
（2）
（，1）（或（-，1]）
.

xx(t)
【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由


yy(t)

d
2
y
d
2
yy

(t)x

(t)x

(t)y< br>
(t)
定义的 求出二阶导数,再由
2
0
确定
x
的取值范围.

23
dx
dx(x
(t))
dy
dy3t
2
3t
2
12
dt
【详解】 ,

2

2
1
2
dx
dx3t3t1t1
dt
d
2
yd

dy< br>
dt

2


14t
1
,

dx
2
dt
dx

dx

t
2
1

3(t2
1)3(t
2
1)
3
d
2
y
 0



t0
. 令
2
dx
3x1

x
(,1]
时，又
xt3t1
单调增, 在
t0
时,
x(,1)
。(

t0
时，
曲线凸.)

（3

2
.
【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.
【详解1】

1

1
.

secttant

xsect

2
dt

2
dt
.
0
secttant
0
2
xx
2
1
d x
dx
xx1
2

【详解2】

x1
t

1
01
t11

1
(
2
)dt

dtarcsint
0

.
0
2
t
1
1t
2
1
t
2
（4）
2
【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.
【详解1】在
ze
2x3z
2y
的两边分别对
x
,
y< br>求偏导,
z
为
x,y
的函数.

zz
e
2x3z
(23)
,
xx

zz
e
2x3z
(3)2
,
yy
z2e
2x3z

从而 ,
x
13e
2x3z

z2


2x3z
y
13e
zz1e
2x3z
所以
322

xy
13e
2x3z
【详解2】令
F(x,y,z)e
则
2x3z
2yz0

FF
F
e
2x3z
2
,
e
2x3z
(3)1

2
,
xz
y
F
2x3z2x3z
ze22e

x< br>


,
F
x(1 3e
2x3z
)13e
2x3z
z
F
z22

y

,
F
y(13e
2x3z
)13e
2x3z
z

< br>
3e
2x3z
zz1
从而
32

2x3z
xy13e
2x3z

13e
【详解3】利用全微分公式,得


2


dze
2x3z
(2dx3dz)2dy


2e
2x3z
dx2dy3e
2x3z
dz


(13e
2x3z
)dz2e
2x 3z
dx2dy

2e
2x3z
2
dxdy

dz 
2x3z2x3z
13e13e
z2e
2x3z
z 2


即 ,
x13e
2x3z
y13e
2x3z
从而
3
zz
2

xy
. （5）
y
1
3
xx
5
【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利 用常数变易法或公式法求出方程的通
解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.
【详解1】原方程变形为
先求齐次方程
dy11
yx
2
,
dx2x2
dy1
y0
的通解:
dx2x

dy1
dx

y2x
1
lnxlnc

ycx

2
积分得
lny
设
yc(x)x
为非齐次方程的通解,代入方程得

c

(x)xc(x)
1
2x

11
c (x)xx
2

2x2
1
3
从而
c

(x)x
2
,
2

5
1
3
1
积分得
c(x)

x
2
dxCx
2
C
,
25
于是非齐次方程的通解为
1
5
1
3

yx(x
2
C)Cxx

55
6
C1
,
5
1
3
故所求通解为
yxx
.
5
dy11
yx
2
, 【详解2】原方程变形为
dx2x2

y
x1
由一阶线性方程通解公式得
11
dx

1


dx


2

ye
2x


xe
2x
dxC



2

1
lnx
2
lnx

1< br>2

1

2
xedxC


< br>
2


e
5

1
3

1

x


x
2
dxC

x

x
2
C



2

5

6
C1
,
5
1
3
从而所求的解为
yxx
.
5

y(1)
（6）
1
9
.
【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.
【详解1】
ABA2BAE






ABA2B

A
,
E
(A2E)BA

E
,


A2EBAE1
,

B
1111
.

2

010
( 1)(1)39
A2EA
2
100A
001

【详解2】由
A

AA
1
,得

ABA

2BA

E





B
AB AA
1
2BAA
1
AA
1

AAB2ABA

A(A2E)BA


1
AA2E
2
A
3
A2EBA


1

9
二. 选择题
（7）

B


【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔 法则实现对变限积分的求导
并结合无穷小代换求解.
【详解】

lim< br>
x0

lim

x0



x
0
x
0
sint
3
dt
2

costdt
1
sinx

lim

x0
3
2
2x

cosx
2

lim

x0
xx
lim0
,

x0
2
2x
3
2
即


o
(

)
.

lim
又
lim
x0

x0


x
2
0

tanx2x2x
2
l imlim0
,
3
x
x0

x0
1
3
1
x
sinx
2


0
sintdt
2
2x
tantdt
即


o
(

)
.

、

, 故选（B）. 从而按要求排列的顺序为

、
（8）

C


【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论
x0
两方
f

(x)
,
f

(x)
的符
号.

【详解】
f(x)


x(1x),1x0
,
0x 1

x(1x),

12x,1x0
,
0x1

12x,
1x0
,
0x1

f

(x)


2,


f(x)


2,
从而
1x0
时,
f(x)
凹,
1x0
时,
f(x)
凸, 于是
(0,0)
为拐点.
又
f(0)0
,
x0、1
时,
f(x)0
, 从而
x0
为极小值点.
所以,
x0
是极值点,
(0,0)
是曲线
yf(x)
的拐点, 故选（C）.
（9）

B


【分析】将原极限变型，使其对应一函数在 一区间上的积分和式。作变换后,从四个选
项中选出正确的.
【详解】
limln
n
(1)(1)(1)

n
2
n
1
n
2
2
n
2
n
n2

limln

(1)(1)

(1)


n
nnn


12n


lim
2

12n

ln(1)ln(1)
(1)



n
n

nnn


lim2
n
i1
ln(1)


nn
i1
n

2

0
ln(1x)dx


1
lntdt

2
1

1xt2

2
故选（B）.
（10）

C
2

1
lnxdx



【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数
f(x)
在
x0
附近的局部性质.
【详解】由导数的定义知

f

(0)lim
x0
f(x)f(0)
0
,
x0
由极限的性质,


0
, 使
x

时, 有

f(x)f(0)
0

x
即

x0
时,
f(x)f(0)
，
0
时,
f(x)f(0)
,


x
故选（C）.
（11）

A


【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.
【详解】对应齐次方程
y

y0
的特征方程为


10
,
特征根为

i
,
对
y

yx
2
1e
0
(x< br>2
1)
而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为


y
1
ax
2
bxc

2
对
y

ysinxI
m
(e
ix
)
, 因
i
为特征根, 从而其特解形式可设为


y
2
x(AsinxBcosx)

从而
y

yx
2
1sinx
的特解形式可设为

yaxbxcx(AsinxBcosx)

（12）

D
2


【分析】将二重积分化为累 次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标
系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次 积分.
【详解】积分区域见图.
在直角坐标系下,

y
21(y1)
2
2

f(xy)dxdy

0
dy

1(y1)
D
f(xy)dx

2

1
1
o
1
x



1
dx

11x
111x
2
2
f(xy)dy

故应排除（A）、（B）.

xrcos

在极坐标系下,

,
yrsin




D< br>f(xy)dxdy

d


0

2si n

0
f(r
2
sin

cos

)rdr
,
故应选（D）.
（13）

D


【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题 中给出的行（列）变换通过
左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.

010

100


【详解】由题意
BA

100

,
CB

011

,

001
001



010

100
< br>011




CA

100

011

A

100
AQ
,

001

001


001




011


从而
Q

100

,故选（D）.

001


（14）

A


【分析】将
A
写成行矩阵, 可讨论
A
列向量组的线性相关性.将
B
写成列矩阵, 可讨论
B
行向量组的线性相关性.
【详解】设
A(a
ij)
lm
,
B(b
ij
)
mn
, 记

A

A
1
A
2
A
m



b
11
b
12
< br>bb
22

A
m


21




b

m1
b
m2

b
n1



b
n2







b
mn


AB0




A
1
A
2



b
11
A
1
b
m1
A
m
b
1n
A
1
b
mn
A
m

0
（1）

由于
B0
, 所以至少有一
b
ij
0
(
1im,1jn
),
从而由（1）知,
b
1j
A
1
b
2j
A
2
b
ij
A
i
b
m1
A< br>m
0
,
于是
A
1
,A
2
,,A
m
线性相关.

B
1


B
2

又记
B

,





B


m

B
2

2
a
m
B
1m

a
11
a
12
a
m1


B
1


a< br>11
B
1
a
1



aa

aaBaB

aB
B
2122m2211222m 2m
2




0
















B




al1
a
l2

a
lm




a
l1
B
1
a
l
B


aB
22lmm


m


则
AB0


由于
A0
,则至少存在一
a
ij
0
(
1il,1jm
),使

a
i1
B
1
a
i2
B
2
a< br>ij
B
j
a
im
B
m
0
,
从而
B
1
,B
2
,,B
m
线性相关,
故应选（A）.
三. 解答题
（15）【分析】此极限属于
0
型 未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.
0
【详解1】 原式
lim
x0
e

2cosx

xln

3

1
x
3


2cosx

ln

3


lim
x0
x
2
ln（2cosx）ln3

x0
x
2
1
（sinx）
2cosx

lim

x0
2x
11sinx1


lim
2
x0
2cosxx6

lim
【详解2】 原式
lim
x0
e

2 cosx

xln

3

1
x
3


2cosx

ln

3< br>

lim
2
x0
x
cosx1
）
3

lim

2
x0
x
cosx11


lim

x0
3x
2
6
ln（1

（16）【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.
【详解】(Ⅰ)当
2x0
,即
0x22
时,

f(x)kf(x2)
k(x2)[(x2)
2
4]kx(x 2)(x4)
.
(Ⅱ)由题设知
f(0)0
.
f(x) f(0)x(x
2
4)

(0)lim


f

lim

4

x0x0
x0x

(0)lim


f

x0
f(x)f(0)kx(x2)(x4)
lim

8k
.
x0
x0x
令
f

(0)f


(0)
, 得
k
即当
k
1
.
2
1
时,
f(x)
在
x0
处可导.
2
（17）【分析】利用变量 代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法
讨论函数的值域.
【详解】 (Ⅰ)
f(x

)
设
tu

, 则有

f(x

)

x
x
3

2
sintdt
,

x
x

2
sin(u

)du

x
x

2
sinuduf(x)
,
故
f(x)
是以

为周期的周期函数.
(Ⅱ)因为
sinx
在
(,)
上连续且周期为

, 故只需在
[0,

]
上讨论其值域. 因为

f

(x)sin(x

2
)sinxcosx sinx
,

令
f

(x)0
, 得
x
1


4
,
x
2

3

, 且
4
3

4
4
5

5


f(

4
)


sitndt
,
2


3

4
f()

3
sintdt

3

sintdt

4
sintdt22
,

4
4
4

又
f(0)

0
2
sintdt1
,
f(
)

3

2

(sint)dt1< br>,

f(x)
的最小值是
22
, 最大值是
2
, 故
f(x)
的值域是
[22,2]
. < br>（18）【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是
t
的函数,然 后计算
它们之间的关系.
【详解】 (Ⅰ)
S(t)

0
t
2

y1y

2
dx

t

e
x
e
x

e
2x
2e
2x
dx

2


1
0
24


e
x
ex


2



dx
,
0
2

t
2

e
x
e
x

2

V(t)


ydx



dx
,
00
2

tt
2


S(t)
2
.
V(t)
2
xt
( Ⅱ)
F(t)

y

e
t
e
t



,

2

t
2
2

e
x
e
x

2



dx
0
2
S(t)


lim

lim
t
F(t)
t
t t
2

ee



2


e
t
e
t

2

2
< br>
lim

ttt
t

t

eeee
2


2

2

2

（19）【分析】文字不等式可以借助于函数不 等式的证明方法来证明,常用函数不等式的
证明方法主要有单调性、极值和最值法等.
【详证1】设

(x)lnx
4
x
, 则
2
e
lnx4


(x)2
2

xe
1lnx



(x)2
2
,
x
2
所以当
xe
时,


(x)0
, 故


(x)
单调减小, 从而当
exe
时,



(x)


(e)
即当
exe
时,

(x)
单调增加.
因此, 当
eabe
时,

(b)

(a)
, 即

lnb
2
2
2
2
44
0
,
e
2
e
2
44
2
blnaa

22
ee
4
22
故
lnblna
2
(ba)
.
e
4
22【详证2】设

(x)lnxlna
2
(xa)
, 则
e
lnx4


(x)2
2

xe
1lnx



(x)2
2
,
x
2

xe
时,


(x)0



(x)
, 从而当
exe
2
时,



(x)


(e)
2
44
< br>2
0
,
2
ee
exe
2
时,

(x)
单调增加.
eabe
2
时,

(x)

(a)0
。令
xb
有

(b)0

即
lnblna

【详证3】证 对函数
lnx
在
[a,b]
上应用拉格朗日定理, 得

lnblna
22
2
22
4
(ba)
.
2
e
2ln


(ba)
,
a

b
.

设

(t)
lnt1lnt
, 则


(t)
,
tt
2
当
te
时,


(t)0
, 所以

(t)
单调减小, < br>从而

(

)

(e
2
)
, 即
lne
2
2


2

2
,

ee
ln

故
lnblna
22
4
(ba)

2
e
（20）【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的
计算,可利 用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.
【详解1】由题设,飞机的质量
m9000kg
,着陆时的水平速度
v
0
700kmh
.从飞机
接触跑道 开始记时,设
t
时刻飞机的滑行距离为
x(t)
,速度为
v(t)< br>.
根据牛顿第二定律,得
dv
kv
.
dt
dvdvdxdv
v
, 又
dtdxdtdx
m

dxdv
,
k
m
积分得
x(t)vC
,
k< br>m
由于
v(0)v
0
,
x(0)0
, 故得
Cv
0
, 从而
k
m

x(t)(v
0
v(t))
.
k

m
当
v(t)0
时,

x (t)
mv
0
9000700
1.05(km)
.
k6.010
6
所以,飞机滑行的最长距离为
1.05km
.
【详解2】根据牛顿第二定律,得
dv
kv
.
dt
dvk
dt
, 所以
vm

m
两边积分得
vCe

k
t
m
,

代入初始条件
v
t0
v
0
, 得
Cv
0
,
k
t
m

v(t)v
0
e
故飞机滑行的最长距离为

x

,



0
k
t< br>mv
0

m
v(t)dte
k

0mv
0
1.05(km)
.
k
【详解3】根据牛顿第二定律,得
d
2
xdx

m
2
k
,
dtdt
d
2
xkdx
0
,
dt
2
mdt
其特征方程为
r
解得
r
1
0
,
r
2

2
k
r0
,
m
k
，
m
k
t
m
故
xC
1
C
2
e
，
dx
由
x(0)0
,
v(0)
dt
t0< br>k
t
kC
2

m
e
m
v0
，得
C
1
C
2

t0
mv< br>0
，
k
k
t
mv
0
x(t)(1 e
m
)
.
k
当
t
时,

x(t)
mv
0
9000700
1.05(km)
.
6
k6.010
所以,飞机滑行的最长距离为
1.05km
.
（21）【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.
【详解】
 z
2xf
1

ye
xy
f
2

,
x


z
2yf
1< br>
xe
xy
f
2

,
y
< br>2
z
xy

(2y)

2x[ff
11

1

2
xe]
xy
xy
e


2
f
xy

y
e
< br>
]
x
x
y
e
xy
[
2
ff
2
y
f
1
(2y)
22
xe