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关于折纸的小学生数学智力题
折纸为什么要比尺规作图更强?这是一个好问题。查字
典数学网欢迎大家阅读折纸的小学生数学智力题，希望对您
的学习有所帮助。
要解答 为何折纸如此强大，首先我们得解决一个问题：什么
叫折纸。折纸的游戏规则是什么?换句话说，折纸允 许哪些
基本的操作?大家或许会想到一些折纸几何必须遵守的规
则：所有直线都由折痕或者纸张 边缘确定，所有点都由直线
的交点确定，折痕一律是将纸张折叠压平再展开后得到的，
每次折叠 都要求对齐某些已有几何元素(不能凭感觉乱折)，
等等。不过，这些定义都太“空”了，我们需要更加 形式化
的折纸规则。 1991 年， Humiaki Huzita 指出了折纸过程
中的 6 种基本操作(也可以叫做折纸几何的公理)：

1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕

2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去(想象这
张纸是透明的，所有几何对象正反两面都能看见，下同)

3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上
去
4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把
a 折到自身上
5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的
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折痕，把 A 折到 a 上
6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分
别折到 a 、 b 上
容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，
操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于
作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出
已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作
已知线的垂线。真正 强大的则是后面两项操作，它们确定出
来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能
作出来的(有时甚至是作不出来的)。正是这两个操作，让折
纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从 此处开始变得有趣
起来。
更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况
下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

操作 6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，
最多可以有三个解!
一组限定条件能同时产生三个解，这让操作 6 变得无比灵
活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们
能得出操作 6 有三种 解的根本原因：满足要求的折痕是一
个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的
已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个
三次方程!
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让我们来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：

1. 过已知两点作直线
2. 给定圆心和圆周上一点作圆
3. 寻找直线与直线的交点
4. 寻找圆与直线的交点
5. 寻找圆与圆的交点



这五项操作看上去变化多端，但前三项操作都是唯一解，后
两项操作最多也只能产生 两个解。从这个角度来看，尺规作
图最多只能解决二次问题，加减乘除和不断开方就已经是尺
规 作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规
作图更加强大。
正因为如此，一些尺 规作图无法完成的任务，在折纸几何中
却能办到。这就回到了文章开头提到的问题：用折纸法可以
实现作正七边形，而这是无法用尺规作图办到的。

我们有更简单的例子来说明，用折纸法能 完成尺规作图办不
到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之
一，它要求把立方 体的体积扩大到原来的两倍，本质上是求
作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方，因而它无
法完成“倍立方体”的任务。但是，折纸公理 6 相当于解
三次方程，解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。

有意思的是，用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。
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< br>取一张正方形纸片，将它横着划分成三等份(方法有很多，
大家不妨自己想想)。然后，将右边界 中下面那个三等分点
折到正方形内上面那条三等分线上，同时将纸片的右下角顶
点折到正方形的 左边界。那么，纸片的左边界就被分成了
radic;2: 1 两段。
利用勾股定理和相似 三角形建立各线段长度的关系，我们不
难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算，来看看
三次方程是如何产生的。
本文写到这里，大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后
(也就是 2019 年)，事情又有了转折： Koshiro Hatori 发
现， Humiaki Huzita 的 6 个折纸公理并不是完整的。
Koshiro Hatori 给出了折纸的第 7 种操作。从形式上看，
第 7 公理与 已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想
象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前，
大家不妨先自己想想，这个缺失的操作是什么。这段历史背
景无疑让它成为了一个非常有趣的思 考题。
Koshiro Hatori 补充的公理是：


7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线，可以沿着一条垂直于 b 的
折痕，把 A 折到 a 上。
后来，这 7 条公理就合称为了 HuzitaHatori 公理，你可
以在Wikipedia上读到这个条目。在 2019 年的一篇文章中，
Robert J. Lang 对这些公理进行了一番整理和分析，证明
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了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

Robert J. Lang 注意到了，上述 7 项基本操作其实是由一
些更基本的操作要素组合而成的，例如“ 把已知点折到已知
线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些，这些
更加基本的操作要 素其实是对折痕的“限制条件”。在平面
直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不
同的，例如“把已知点折到已知点上”就 同时要求 x1 = x2
并且 y1 = y2，可以建立出两个等量关系，一下子就把折痕
的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出
一个方程，只能确定一个变量(形式上通常表 示为与另一个
变量的关系)，把折痕的活动范围限制在一个维度里。

不难总结出，基本的折叠限制要素共有 5 个：

(1) 把已知点折到已知点上，确定 2 个变量
(2) 把已知点折到已知线上，确定 1 个变量
(3) 把已知线折到已知线上，确定 2 个变量
(4) 把已知线折到自身上，确定 1 个变量
(5) 折痕经过已知点，确定 1 个变量





而折痕本身有 2 个待确定的变量，因此符合要求的折纸操
作只有这么几种： (1) ， (2)+(2) ， (3) ， (4)+(4) ，
(5)+(5) ， (2)+(4) ， (2)+(5) ， (4)+(5) 。但是，这
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里面有一种组合需要排除掉： (4)+(4) 。在绝大多数情况
下， (4)+(4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条
直线不平行，我们无法折叠纸张使得它们都 与自身重合，因
为没有同时垂直于它们的直线。


另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理，既无重合，又无遗
漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。 不过，折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同
时包含多处折叠，折纸公理将会更复杂， 更强大。折纸的极
限究竟在哪里，这无疑是一个非常激动人心的话题。

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