舟山中学-太上感应篇原文

第一周 百分数
1.百分数应用题（一）
1. 某商店同时卖出两件商品， 每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本
20%。问这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本 ？




2. 一桶油，第一次用了全桶的20%， 第二次用了20千克，第三次用了前两次
的和，这时桶里还剩8千克，问这桶油还有多少千克？





3. 甲乙两店都经营同样的某种商品，甲先涨 价10%后又降价10%，乙先涨价15%
后，又降价15%，请问：两位店主谁比较聪明？




4. 某班有学生48名，女生占全班人数的37.5%，后来又转来 了若干名女生。这
是女生人数恰好是全班人数的25,问共转来了多少名女生？






5. 某工厂一车间人数占全厂的25%，二车间人数比一 车间少15，三车间人数
比二车间多310，三车间有156人，求这个工厂全厂共有多少人？






6. 小刚看一本书，第一天看了全 书的16，第二天看了24页，第三天看前两天
看的总数的150%，这时还剩下全书的14没有看。全 书共有多少页？

2.百分数应用题（二）
【题型概述】
商品的打折可以转化成百分数应用题解决，主要的关系式有：定价=成本×（1
＋利润百分数） 利润百分数=（卖价－成本）÷成本×100%
【典型例题】
把一套西装按50%的利润定 价，然后打八八折卖出，可以获得利润480元，
这套西装的成本是多少元？





【举一反三】
1. 把一件女装按40%的利润定价，然后打九折卖出，可以获得利润130元，
这件女装的成本是多少元？





2. 有一批空调，如果按每台20%的利润定 价，然后按八折出售，每台空调反
而亏损128元，这种空调的进货价是多少？






3. 一批新书按定价的20%出售时，仍能获得40%的利润，那么定价时所期
望的利润率是多少？







【拓展提高】 < br>一种自行车，甲商店比乙商店的进货价便宜5%，甲商店按20%的利润定价，
乙商店按15%的 利润定价，结果甲店比乙店便宜3元，乙店的进货价是多少元？

【奥赛训练】
4.一种商品，甲商店比乙商店的进货价便宜10%，甲商店按 30%的利润定价，
乙商店按25%的利润定价，结果甲店比乙店便宜40元，甲店的进货价是多
少元？










5.两家商店购进同一种商品，一店比二店的进货价便宜5%，一店按40%的
利润 定价，二店按25%的利润定价，结果一店比二店贵16元，二店的进货
价是多少元？










6 .有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%
时，这两家商场的利润相 同。那么，原来第一家商场是第二家商场利润的
多少倍？（2005年全国小学数学奥林匹克决赛）

3.银行里的数学
【题型概述】
在银行存款的方式有很多，如活期，整存整取，零存整取等，运用“利润=
本金×利率×时间” 就可以轻松的解决这些问题。
【典型例题】
王华在中国建设银行办理了10000元的定活 两便储蓄，利率按一年定期利
率的60%打折，两年后支取，已知一年定期的利率是2.25%，扣除5 %的利息税，
王华可拿到多少元利息？





【举一反三】
1 . 小虎在中国银行办理30000元的定活两便储蓄，利率按一年定期利 率的60%
打折，三年后支取，已知一年定期存款的年利率是2.25%，扣除5%的利息税，
小虎可拿到多少元利息？







2. 施阿姨在2007年8月1日将积蓄的20000元存入工商银行，办理了定活两便
储蓄 ，利率按一年定期利率的60%打折计算，她于2009年8月1日到银行支取，
已知一年定期的年利率 是2.25%，扣除5%的利息税，施阿姨一共可以拿到多少
元？






3. 大宝在银行办理了5000元的定活两便储蓄，年利率按一年定 期利率的60%打
折，两年后支取；同时小宝也办理了5000元的两年定期储蓄，已知一年定期存款的年利率是2.25%，扣除5%的利息税，大宝和小宝拿到的利息相差多少元？

4.
【拓展提高】
小红的爸爸在两年前把一笔钱存入银行，年利润是2.25%，定期两年，到期
后，扣除5%的 利息税，共取得利息641.25元，小红爸爸存入的本金是多少元？








【奥赛训练】
4. 小霞把一笔钱 存入了银行，年利率是2.25%，定期一年，到期后，扣除5%
的利息税，共取得利息534.375 元，小霞存入的本金是多少元？









5. 丹丹的爸爸为了支援国家建设，购买了一批国债，为期五年，利率是3.7 5%，
已知到期拿到3375元利息，求丹丹爸爸花了多少钱买国债？









6. 王先生因急用钱，将现有的两 种股票售出，甲种股票卖价1200元，盈利
20%；乙种股票恰好也卖了1200元，但亏损20%； 王先生此次交易盈利
还是亏本？多少元？

第二周 百分数的应用
1.浓度问题（一）
【题型概述】
溶液的溶度也是百分数的一种应用，求溶液的浓度，一般用公式：
溶液的浓度=溶质质量×100%
【典型例题】
把20克糖放入80克水中进行溶解，溶解后的糖水浓度是多少？






【举一反三】
1、把50克糖放入200克水中进行溶解，溶解后的糖水浓度是多少？







2、把30克盐放入270克水中进行溶解，溶解后的盐水浓度时多少？







3、小林将50克糖放在250克水中进行溶解 ，后来又加入了100克水，这时糖水
的浓度是多少？







【拓展提高】
将浓度是20%的酒精溶液100克与浓度3 0%的酒精溶液300克混合，混合后的
酒精溶液浓度是多少？

【奥赛训练】
4、将浓度是15%的酒精溶液100克与浓度是24%的酒精 溶液200克混合，混合
后的酒精溶液浓度是多少？











5、浓度10%的酒精溶 液50克，浓度15%的酒精溶液50克与浓度12%的酒精溶
液100克混合，混合后的酒精溶液浓度 是多少？












6、瓶内装满水，倒出全部水的12,然后灌入同样多的酒精，又倒出 全部溶液的
13，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的14，再用酒精灌满，这时的酒
精占全 部溶液的百分之几？（天津市小学六年级数学学科决赛）

2.浓度问题（二）
【题型概述】
有些时候需要把一种浓度的溶液 变成另一种浓度的溶液，如果是变“稀”，
那么就只有加水，如果是变“浓”，则需要加溶质或者蒸发水 ，今天我们就学习
这种类型的浓度问题。

【典型例题】
一种盐水的浓度 是20%，加入800克水后，它的浓度变为12%，这种盐水溶
液原来有多少克？







【举一反三】
1、 一种盐水的浓度是25%，加入800克水后，它的浓度变为20%，这
种盐水溶液原来有多少克？







2、 一种糖水的浓度是10%，加入30克糖后，它的浓度变为15%，这
种糖水溶液原来有多少克？









3、 要配置0.15%的氨水1000千克，需要向多少千克浓度为10%的氨
水中加进多少 千克的水才能配成？

【拓展提高】
有一种浓度为8%的酒精溶液400克，要使酒精溶液的浓度变为12%，该怎
么办？








【奥赛训练】
4.有含盐10%的盐水45千克，要变成含盐15%的盐水需加盐多少千克？







5.有含盐10%的盐水45千克，要变成含盐15%的盐水需要蒸发掉多少千克
水？








6.有甲乙两 个同样的杯子，甲杯子中有半杯清水，乙杯子中盛满了含50%酒
精的溶液，先将乙杯子中酒精溶液的一 半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶
液的一半倒入乙杯，求这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？（ 1991年全国“华
罗庚杯”少年数学邀请赛）

第三周
1.历年潍坊市名校奥数题
1、在3时与4时之间，时针与分针有（ ）次夹角是90°
2、半径为r的圆与边长为r的正方形的面积，（ ）的面积大
1
3、在
17
、
19
、
23
、
43
、
37
、
89
中，最大的是（ ）
123456
4、（1—
2
）×（2－
3
）×（3－
4
）×（4－
5
）×（5－
6
）×（6－
7
）×
789
（7－
8
）×（8－
9
）×（9－
10
）的值是（ ）
2007×（4.4×87－4.3）
5、计算：
4.3×87＋4.4



4551
6、 + + +
7×11×1311×13×1713×17×1917×19×23




515440103
7、比较
7

17

9

124

309
中哪个最大？
8、比较每组中几个分数的大小
151012
①1
23
、1
17
、1
19

7911
②
71
、
91
、
111

19971998
③
1998

1999

11
9、若A=
2007²
B= 比较A与B的大小
—2007+1
2007²—2007×2008＋2007²


2002
10、 不求和，比较2005
2004
+2004
2005
与2006
2004
+2003
2005
的大小


11、
8.77
9.88
已知A=
9.87
×9.86 B= ×8.75 A与B较大的是
8.76
61995
中 ，最小的一个数是
71996
12、

13、 小路买2支铅笔和3块橡皮共用了18元，小思买同样的1支铅笔和2
块橡皮共用去11元，买1支铅笔 是（ ）元？
14、 潍坊创建文明城市，现有小明、小亮、小华到南胡居委会打扫卫生，小< br>明与小亮合作需6小时完成，小亮与小华合作需9小时完成，小明与小华合
作需15小时完成，为 了节约时间，三人决定一块干，你认为他们多少小时能
够完成任务？






15、 建立有主见的、独立的，敢于创新的方法对今后的学习和工作 都有帮助，
拓展视野，增长知识。在小学，同学们已经学习了各种运算，现在给一个新
符号“☉ ”，发挥你的聪明智慧，定义新运算“☉”，对于任何数a和b都有：
a☉b=a×b-(a+b)
(1) 求：3☉5
(2) 如果2☉x=1,求x










16、 实验初中将组织 初一、初二，1180名学生到北岩远古火山口去参加地理
实践活动。共24个班级，每个班级都有2名 教师带队，请你根据以下租车的
单价表设计一种最省钱的租车方案，并计算出租金。
车型 甲 乙 丙 丁
限坐人数人 120 70 60 30
每辆车的租金元 400 240 300 200

17、 幸福小学举行一次数学竞赛，在参赛学生中平均每15人里面有3人获一
等奖，平均每8人里有 人获 二等奖，平均每12人里有4人获三等奖，合计
共有188人获奖。参加这次数学竞赛的学生一共有多少 人？











18、 学校到中百超市购买了4只足球和6只排球，共花去660元。后来中百
超市的足球单价涨了10%，排球单价便宜了15%，这样共需要636元。求原来
足球和排球 的单价各是多少元？











19、 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的比是1:2 :3，某人走
这三段路所用时间的比是4:5:6.已知上坡的速度是每小时3千米，路程全长
是50千米。求此人走完全程用了多少小时？

第四周 复习题
1111
1、计算：
1*2
+
2*3
+
3*4
+.······+
44*45
=
111
2、若
8
=
9
+
N
则N=
3、把10克盐放入100克水中，盐占盐水
4、六年级一班有56名学生，男生29人，女生27人，参加奥数小组的有32人，
参加科技 小组的有28人，两个小组都没有参加的有20人，两个小组都参加
的有 人。
1
5、
7
=0.7142857······小数点后第100位是
6、在3时至4时之间，时针和分针有 次夹角是90°
7、菜地里 葡萄获得丰收，收入全部的38时，装满了4筐还多36千克，取完其
余部分时，又刚好装满了8筐，共 收 千克葡萄
8、把12拆分成两个自然数的和，在求出这两个自然数的积，要使这个积最大，
应该拆分成
9、马家四个儿子决定共同出钱为父母买一台家用电脑，老大出的钱是其他三人
总数的12，老 二出的钱是另外三人出的钱的总数的13，老三出的钱是另外
三个出的钱的总数的14,老四比老三多出 80元，父母喜欢一台4600元的电
脑，问儿子出的钱能满足父母的愿望么？





10、 学校组织了“关爱社会，勇于实践”为主题的卖书活动，科技 类按20%
的利润卖出，卖出价是24元，文学类按10%的亏损卖出，卖出价是27元，
你认 为科技类和文学类两类书的成本谁多？多多少？





11、 一个长方形，长和宽的比是14:5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，
则面积增加182厘米， 那么原来长方形的面积是多少平方厘米？





12、 把一根竹签直插水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒过来直插水底，
这是竹竿湿的 部分比它的12少13厘米，求竹竿全长

第五周 圆柱与圆锥（一）
1、圆柱的表面积（一）
【题型概述】
今天，我们将学习 圆柱体表面积的一些运用，解决这些问题，有时需要结
合实际，明确所求圆柱体的表面积有几个面，有时 需要灵活的利用条件间接得出
所需要的数据进行计算。
【典型例题】
某工厂有一个 烟囱，形状为圆柱体，底面半径是80厘米，高是8米，现在
要将烟囱增高到25米，每增加1平方米需 要费用120元，一共需要多少费用？








【举一反三】
1.一个圆柱体有盖油桶高10分米，它的侧面展开后得 到一个长25.12分米
的长方形，这个油桶共用了多少平方分米的铁皮？








2.一个圆柱体高是80厘米，侧面积是25.12平方分米，它的底面积是多少
平方厘米？









3 .一个圆柱的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面直径是20厘米，这个圆
柱的表面积是多少平方厘米？

【拓展提高】
如图所示，有一块长方形铁皮 ，把其中的阴影部分剪下来，制成一个圆柱
形油桶，求油桶的表面积？


18.84分米


10分米


【奥赛训练】
4.工人师傅将一张铁皮按图2裁剪后，做成一个圆柱形铁皮罐，求这个铁皮
罐的表面积？
8

16.56







5.如图所示，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以
做成一 个圆柱体，这个圆柱体底面半径为10厘米，那么，原来长方形铁皮的面
积是多少平方厘米？

2.圆柱的表面积（二）
【题型概述】
我们知道，把一个圆柱体切成几个圆柱体会 引起表面积的变化，解决这类
问题的关键是仔细观察圆柱体切开以后，增加或减少哪几个面的面积，然后 在计
算。

【典型例题】
一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10 厘米，现在将他截成两个圆
柱体小木块，那么表面积增加多少平方厘米？

【举一反三】
1.一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5厘米，现在将他截成三个圆柱体小木块，那么表面积增加多少平方厘米？







2.一个圆柱体木块，底面直径是10分米，高是7.5米，现在将他截成两个圆
柱体小木块，那么表面积增加多少平方分米？







3.一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将他截成四
个圆柱体小木块，那么，这四个小木块的表面积是多少平方厘米？







【拓展提高】
一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68厘米，这个圆柱体的底
面积是多少？

【奥赛训练】
4.一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱
的底面积？








3.圆柱的表面积（三）
【题型概述】
课上，大家学习了圆柱体表面积的计算方式，
即：圆柱体表面积=底面积×2+侧面积
=πr²×2+2πr×h
=2πr×（r+h）
所以，我们可以发现圆柱体的表面积也可以用底面半径与高的和来计算，同时，
如果把一个圆柱体沿底面直径切成两个半圆柱体，会增加两个长方形的面，每个
面的棉结是底面 直径乘高。下面，我们将运用这些知识解决求圆柱体表面积的相
关问题。

【典型例题】
一个圆柱体的表面积和一个长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积为25.12平方厘米，圆柱体的底面半径是2厘米，圆
柱体的高是多少 ？





【举一反三】
1.一个圆柱体的 表面积和一个长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的
底面周长。已知长方形的面积是12.56平 方厘米，圆柱体的底面半径为0.5厘米，
圆柱体的高是多少？






2.一个圆柱体的表面积和一个长方形的面积相等，长方形的周长等于 圆柱体

的底面周长，已知长方形的面积为131.88平方厘米，圆柱体的高是4厘米， 圆
柱体的底面半径是多少？
1
3.一个圆柱体的表面积是314平方厘米，这个圆柱的底面半径是高的
4
，
这个圆柱体的侧面积是多少？








【拓展提高】
一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增 加9.42平方厘米；
如果沿着底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加100平方厘米，求原来
圆柱体的表面积？







【奥赛训练】
4.一段圆柱体木料，若果截成两个小圆柱体，它的表面积增加6.28平方厘
米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加75平方厘米，求原来
圆柱体的面积？







5.有大、小两种不带盖 的圆柱形水桶，它们的表面积的和是5433平方厘米，
小桶和大桶的用料面积的比是1:2，小桶的底 面周长是62.8分米，大桶的底面周
长是94.2分米，求大、小两个桶的侧面积各是多少？

第六周 圆锥的表面积和体积
【题型概述】
今天，我们讲学习运用圆柱 和圆锥的体积，底面积和高之间的关系解决问题，其中，
我们采用了“特殊值法”， 即假设体积、底面积或高为x 或1，以此来为解决问题提供途
径或方便。
【典型例题】
一个圆锥和圆柱的体积之比为1:2，底面积之比为4:3，圆柱的高为12厘米。求圆锥< br>的高是多少厘米？





【举一反三】
1. 一个圆锥和圆柱的体积之比为3:2，底面积之比为2:3。求圆柱与圆锥的高之比是
多少？







2. 一个圆锥和圆柱的体积之比为 2:3，底面积之比为5:4，圆锥的高为20厘米。求圆
柱的高是多少厘米？







3. 一个圆锥与圆柱的底面积之比为3:2， 体积之比为2:5，如果圆锥与圆柱的高之和
为72厘米。求它们的高各是多少？

【拓展提高】
如图所示：圆锥形容器的容积是16升，容器中已经装有一些水， 水面高度正好是圆
锥高度的一半。容器中装有水多少升？









【奥赛训练】
4. 圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多
少升水？ r









5. 如图所示，酒瓶中装有一些酒，把酒倒进一些锥形的酒杯中，如 果酒杯口的直径
是酒瓶底面直径的一半。那么共能倒几杯？

第七周 比例（一）
1.比例的意义和基本性质（一）
【题型概述】
运用比例的基本性质：内项之积等于外项之积。可以写出很多个比例，其
关键是找 到两个数的积等于另外两个数的积。下面，我们学习这方面的内容。
【典型例题】
把下面的等式改写成比例。
4×15=6×10。
思路点拨 由比例的基本性质，4和15可以作为比例的外项，6和10
作为比例的內项。所以
4∶6=10∶15；
或4∶10=6∶15, 15∶6=10∶4, 15∶10=6∶4。
也可以将6和10作为比例的外项，4和15作为比例的內项，所以
6∶4=15∶10；
或6∶15=4∶10， 10∶4=15∶6， 10∶15=4∶6。
【举一反三】
1. 把下面的等式改写成比例。
0.3×10=6×0.5。


2.在括号里填上适当的数。
0.35∶（）=（）∶10
3. 在括号里填上适当的数。

（）
4
=
5
.
（）

【拓展提高】
从2、3、4、5、6这五个数中挑选四个数组成比例。
思路点拨 我们知道，要使选择 的四个数能组成比例，根据比例的基本性
质，必须这四个数中某两个数的乘积等于另外两个数的乘积，接 下来，就看五个
数中哪四个数满足这个条件。
通过观察，不难发现：2×6=3×4。所以
2∶3 = 4∶6。
当然，大家也可以写成其他形式的比例。
【奥赛训练】
4.从3、4、5、6、7、8这六个数中挑选四个数组成比例。

5.《第五次全国人口普查主要数据公报》显示，祖国大陆31个省、自治区 、
直辖市和现役军人的总人口为126 583万人，其中男性65 355万人，这些人口中，
男性与女性人口的整数比为1000∶（ ）。
2.比例的意义和基本性质（二）
【题型概述】
运用比例的基本性质，我们可 以解决一些复杂的比例问题以及生活中的实
际问题。今天，需要大家灵活运用比例的基本性质。
【典型例题】
在比例“30∶20 = 48∶32”中，从30里减去18，而20、48这两项不变，
要使比例成立，应在32上加上多少？
思路点拨 在比例“30∶20 = 48∶32”中，两个內项没有发生变化，而< br>两个外项都发生了变化，其中一个外项的变化时已知的，另外一个外项32的变
化是未知的，所以 ，我们可以设32上加上的数是x，这样就构成了一个新的比
例：（30－18）∶20＝48∶(32 ＋x)，用解比例的知识可以求出x的值。所以
（30－18）∶20＝48∶(32＋x)，
12∶20＝48∶(32＋x)，
12×（32＋x）＝48×20，
48×20
（32＋x）＝
12
，
32＋x＝80，x＝48。
答：应在32上加上48。
【举一反三】
1.在比例“18∶24＝27∶36”中，从24里减去12，而18、27这两项不变 ，
要使比例成立，应在36上减去多少？







2.在比例“4.5∶6＝5.1∶6.8”中，两个外项不变，內项 6减去0.6，要使比
例成立，另外一个內项5.1应加上多少？







1057751
3.在比例“
21
∶
7
＝
15
∶
10
”中，两个外项不变，內项
7
加上
14
，要使
7
比例成立，另外一个內项
15
应减去多少？

【拓展提高】
31
六（1）班有44人，男生人数的
5
与女生人数的
2
相等。六（1）班男生
与女生各有多少人？
31
思路点拨 根据题意，有“男生人数×
5
＝女生人数×
2
”，有比例的基
本性质，就能得到男生与女生的最简整数比，然后再按比例分配就可以了。
31
男生人数×
5
＝女生人数×
2
，
13
男生人数∶女生人数＝
2
∶
5
＝5∶6。
56
44×
5+6
＝20（人），44× ＝24（人）。
5＋6
答：六（1）班有男生20人、女生24人。

【奥赛训练】
11
4. 如图1所示，阴影部分的面积是甲圆的
8
，是乙圆的
6
。求甲、乙两
个圆的面积比。








5.有两组数，第一组的平均数是13.06，第二组的平均数是10.2，这两 组
数的总的平均数是12.02，那么，第一组数的个数与第二组数的个数的比是多少？
（2002年“我爱数学”少年数
学夏令营）

3.正比例和反比例的应用（一）
【题型概述】
运用正比 例知识，我们还可以解决“归一”类的实际问题，需要注意的是，
大家必须找准对应的量，然后再列成比 例式。下面，我们就开始学习这方面的知
识。
【典型例题】
50克菜花中含维生素44毫克，那么400克菜花中含维生素多少毫克？（用
比例方法解）
思路点拨 这里有两种相关联的量：菜花的重量和维生素的含量。同一
种菜花，每克菜花的维生素含 量一定，所以维生素含量与菜花重量成正比。
解：设维生素含量x毫克。
44∶50＝x∶400
50x＝400×44
x＝352
答：400克菜花中含维生素352毫克。

【举一反三】
1.配置一种清洗水果的溶液，100毫升水中需加入15毫升洗洁液。问用< br>500毫升水配置这样的溶液，需要多少洗洁液？








2.学校分发新作业本，六（5）班45人领了225本练习本，六（ 6）班有
48人，总务处应该给该班发多少本练习本？







3.在同一时刻，树高与影长成正比例。六（3）班同学在 中午量得一根3米
长的竹竿的影长为30厘米，问一棵影长70厘米的树高多少米？

【拓展提高】
加工一种机器零件，3天可以完成120个，照这样计算，再做2天，一共
可以完成多少个？
思路点拨 这里有两种相关联的量：加工零件个数和天数。因为每天加
工零件的个数不变，所以加工 的个数和天数成正比。
解：设一共可以完成x个。
120∶3＝x∶（3＋2），
3x＝120×5，
x＝200。
答：一共可以完成200个。
【奥赛训练】
4.配置一种清洗水果的溶液，50毫升溶液中需加入8毫升洗洁液，如果在
配置这样的溶液300毫升 ，一共需要多少洗洁液？








5.某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣，所用时间之比为1∶2∶3，他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣。那么他做2件上衣、10条裤子、14
件童装，需多少天 ？

4.正比例和反比例的应用（二）
【题型概述】
同样道理 ，我们也可以运用反比例知识解决生活中的实际问题。不过，这
样列出的不是比例式，而是根据“乘积一 定”列出方程，同学们在学习和运用的
时候一定要注意区分到底是正比例还是反比例。
【典型例题】
一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶60千米，6小时到达 ，如果
每小时行驶50千米，几小时到达？
思路点拨 这里有两种相关联的 的量：速度和时间。速度×时间＝路程，
从甲地到乙地的路程不变，所以，速度和时间成反比例。
解：设x小时到达。
50×x＝60×6,
x＝360÷50,
x＝7.2。
答：这辆汽车7.2小时到达目的地。

【举一反三】
1.一个长方形的面积不变，如果它的长为8厘米，那么相对应的宽就是6
厘米，如果长变成1 2厘米，那么相对应的宽是多少厘米？





2.三（2）班同学做纸花，如果每人做十朵，可以分给30个人做，如果
每人做15朵，可以分给 几个人做？







3.同学们 完成口算练习，如果每分钟算10题，需要6分钟，如果每分钟
算12题，需要多少时间？

【拓展提高】
一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶60千米，6小时到达 ；如果
每小时多行驶20千米，那么，少走几小时就能到达目的地？
思路点拨 这里虽然速度和时间成反比例，但所求问题对应的速度并没
有直接告诉我们，所以首先要求出对应的速度 。
解：设少走x小时就能到达目的地。
（60＋20）×（6－x）＝60×6，
480－80x＝360，
x＝1.5。
答：少走1.5小时就能到达目的地。
【奥赛训练】
4.一个平行四边形的面积不变，它的底为9厘米，相对应的高为5.4厘米。
如果它的底增加4.5厘 米，那么对应的高应减少多少厘米？






2
5.购物广场圣诞节酬宾大减价，以原定价格的
3
售出一批服装,已知这些服
3
装的成本是它实际售价的
4
,那么成本与原定价之比是多少?

第八周 比例（二）
1.正比例和反比例的应用（三）
【题型概述】
我们知道，当时间一定，路程和速 度成正比例；当速度一定，路程和时间成
正比例；当路程一定，速度和时间成反比例。这些看似非常简单 的数量关系，却
能够解决很多实际问题，今天，我们将运用这些知识解决与“中点”有关的行程
问题。
【典型例题】
甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是5:7，在距中 点18
千米处相遇。两地相距多少千米？
思路点拨 因为两车同时出发，到相遇时时间一定 ，所以，路程和速度成正
比，即相遇时甲、乙两车行驶的路程比是5:7。然后由“距中点18千米时相 遇”
可以知道，相遇时乙车比甲车多行18×2=36（千米）。所以
7+512
18×2×
7-5
=36×
2
=216（千米）。
答：两地相距216千米。
【举一反三】
1. 两只轮船同 时从甲、乙两港相向开出，客船每小时行49千米，货船的速
6
度是客船的
7
,两只轮船在离甲、乙两港中点6千米处相遇。求甲、乙两港的距
离是多少？






1
2. 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行全程的
4
,货车每
小时行60 千米，相遇时客车和货车所行路程的比是3:2。甲、乙两地相距多少千
米？






3. 甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车行完全程需3 .5小时，乙车每小时
75千米，相遇时甲、乙两车所行路程的比是4:3，这时乙车行了多少千米？

【拓展提高】
甲、乙 两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行100千米，
9
乙车每小时行90千 米。当乙车行至全程的
22
时，甲车距中点还有20千米。A、
B两地相距多少千米？
思路点拨 因为两车行驶的时间 一定，所以，速度与路程成正比例，根据甲、
9
乙两车的速度比，可以知道它们行驶的路程比。 再由乙车行了全程的
22
，可以
1
求出甲车行了全程的几分之几，最后，根据甲车距中点20千米，即与全程的 的
2
差是20千米，可求出A、B两地的距离。
甲、乙两车的速度比： 100:90=10:9；
甲、乙行驶的路程比： 10:9；
9105
甲车行的路程：
22
×
9
=
11

15
20÷（
2
-
11
）=440(千米)。
答：A、B两地相距440千米。

【奥赛训练】
4. 客车和货车分别从甲、乙 两地同时出发，相向而行，客车每小时行90千
7
米，货车每小时行70千米。当货车行至全程 的
10
时，客车距中点还有12千米。
甲、乙两地相距多少千米？







5. 快车与慢车同时从A、B两地 出发，相向而行。行驶一段时间后两车相
1
遇，相遇点到AB中点的路程恰好是AB全长的20
.快车与慢车的速度比是多少？

2.正比例和反比例的应用（四）
【题型概述】
下面，我们将继续学习运用正反比例知识解决“同向”类的行程问题。
【典型例题】
王阿姨开着摩托车、范阿姨开着电瓶车同时从A地开往B地，当王阿姨行
12
至全程的
3
处时，范阿姨行了全程的
9
；当王阿姨到达B地时，范阿姨距B地
还有15千米。求A、B两地之间的距离。
思路点拨 摩托车和电瓶车行驶的时间始终相同，那么两车在相同的时间
内，行驶的路程之比也是不变的，所以，当 摩托车到达B地时，电瓶车和摩托
21
车的路程比为
9
：
3
=2:3，再根据电瓶车距B地还有15千米，可以求出A、B
两地的距离。
212
： =2:3；15÷（1-。
933
）=45（千米）
答：A、B两地之间的距离为45千米。

【举一反三】
1
1. 甲、乙两车同时从A地开往B地，当甲车行至全程的
4
处时，乙车行了
1
全程的
3
；当乙车到达B地时，甲车距B地还有12.5千米。求A、B两地之间
的距离。





1
2. 客车和货车两车同时从甲地开往乙地，当客车行至全程的
2
处时，货车
2
行了全程的
5
；当货车到达乙地时，客车已经超过乙地25千米。求甲、乙两地
之间的距离。






3. A、B两车同时从甲地开往乙地，当A车行至中点时 ，B车行了80千米；

1
当A车到达乙地时，B车距乙地还有全程的
5
.求甲、乙两地的距离。


【拓展提高】
甲、乙两车从相距 240千米的A地去B地，甲车比乙车晚1.2小时出发，
结果两车同时到达，甲、乙两车速度的比是5 :4，甲车每小时行多少千米？
思路点拨 因为两车都是从A地去B地，路程一定，所以，速度和时 间成
反比。由“甲、乙两车速度的比是5:4”可以知道，甲、乙两车所花时间的比是
4
4:5。又因为甲车比乙车少行1.2小时，那么，甲车所行时间为1.2×
5-4
=4.8（小
时）。所以
4
240÷（1.2×
5-4
）=240÷4.8=50（千米时）。
答：甲车每小时行50千米。

【奥赛训练】
4. 甲、乙两车从相距3 24千米的A地去B地，甲车比乙车晚0.8小时出发，
结果两车同时到达，甲、乙两车速度的比是9: 7，乙车每小时行多少千米？








5. 乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速< br>30%，1999年第二次提速25%，2000年第三次提速20%。经过这三次提速后，
从甲 城到乙城乘火车需多少小时？

3.正比例和反比例的应用（五）
【题型概述】
今天，我们学习“相向”类的行程问题。解决这类问题，关键还是要充分运
用路程、速度、时间三者的正 反比例关系。
【典型例题】
甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，3.5小时后相遇，相 遇后甲又行了
2.5小时到达B地，这时乙车离A地80千米。A、B两地相距多少千米？
思路点拨 因为相遇后甲车2.5小时行的路程就是相遇前乙车3.5小时行的
路程，那么， 甲、乙两车行驶的时间比为2.5:3.5=5:7，所以，甲、乙两车的速度
比是7:5.在相同的时 间里，甲、乙两车行驶的路程也是7:5.当甲车行完全程时，
55
乙车才行全程的
7
,离A地80千米就是全程的的（1-
7
）。所以
5
80÷（1-
7
）=280（千米）。
答：A、B两地相距280千米。

【举一反三】
1. 小军和小李分别从A、B两地同时相向而行，10分钟相遇， 相遇后又行8
分钟小李到达A地，这时小军离B地125米。A、B两地相距多少米？









2. 客轮和 货轮分别从甲、乙两港同时相向开出，经过若干小时两船相遇，相
遇后又行了6小时货船到达甲港，这时 客船已过乙港又向前行了甲、乙两港距离
的20%，客船和货船从出发到相遇用了多少小时？

3. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，相遇后，甲车又行5小时 到
达B地，这时乙车离A地还有全长的25%，两车从出发到相遇用了多少小时？

【拓展提高】
小丽和小灵两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，相遇后小丽继续向前经过6.4分钟到达乙地，小灵继续向前经过10分钟到达甲地。那么，两人出
发后多久就相遇了 ？
思路点拨 假设两人相遇在丙处，相遇时间为x分钟，如图1所示：

甲 丙 乙

x分 6.4分
10分 x分

图1
从甲丙段来看，两人所花时间的比为x：10，由路程一定，速度和时间成 反
比，因此，两人的速度比是10：x。
从丙乙段来看，两人所花时间的比为6.4：x，同 样道理，速度的比为x：6.4。
所以10：x=x：6.4，x
2
=64，x=8.
答：两人出发后8分钟就相遇了。
【奥赛训练】
4. 客车和货车分别同时从甲、 乙两地同时出发，相向而行。相遇后，客车
再行3.2小时到达乙地，货车在相遇后又行了5小时到达甲 地。那么，两车经过
几小时相遇了？








5. 一辆汽车从A城市开往B城市，如果把车速提高20%，则可比原定时间提
前1小时到达B城市；如果按原来速度先行驶100千米后，再将速度提高30%，
恰好也能比 原定时间提前1小时到达B城市。A、B两城市之间的路程为多少千
米？

4.正比例和反比例的应用（六）
【题型概述】
今天学习的是“往返” 类的行程问题。解决这类问题，关键要抓住在往返过
程中的不同情况，通过比较，然后运用正反比例知识 加以处理。
【典型例题】
一辆小货车从甲镇开往乙镇，每小时行50千米，返回时每小时行 60千米，
结果返回时比去的时间少10分钟。求甲镇与乙镇之间的距离。
思路点拨 小货 车在甲、乙两镇之间往返行驶，所行的路程一定，因此，速
度和时间成反比例，只要求出速度比，就能得 到时间比，然后再根据时间差是
10分钟，可以先求出时间，最后求出路程。
去世速度:返回速度： 50:60=5:6；去时时间:返回时间=6:5；
5
10÷（1- ）=60(分钟)=1（小时）；50×1=50（千米）。
6
答：甲镇与乙镇之间的距离为50千米。
【举一反三】
1. 有一辆汽 车从A地开往B地，去时速度为每小时40千米，返回时每小时
行50千米，结果返回时比去时少用15 分钟。求A、B两地之间的距离。








2. 小玲从甲地步行去乙地，去时速度为每分钟55米，返回时速度为每分钟
50 米，结果返回时比去时多花1分钟。那么，甲、乙两地之间相距多少米？








3.陈阿姨开着电瓶车从家去红星美凯龙家具城 ，每小时行20千米，回来时
每小时比去时多行20%，她往返一共花了1.1小时。她家离家具城有多 远？

【拓展提高】
从甲地到乙地，前一段是上坡路，后一段是下坡路。一辆汽车从甲地开出往
返于甲、乙两地。已 知上坡每小时行30千米，下坡每小时行40千米，来回一次
共用1.4小时。求甲、乙两地的距离。
思路点拨 如图1所示，我们可以发现，来回一次，汽车上坡的总路程与下
坡的总路程相等， 都是甲、乙两地之间的路程，所以，上坡用的总时间与下坡用
的总时间的比应等于上、下坡速度的反比， 再根据共用1.4小时，可以求上坡或
下坡用的总时间，便可以求出甲、乙两地之间的路程。


甲地 乙地
图1

上坡速度:下坡速度=30:40=3:4；
上坡时间：下坡时间=4:3；
30×（1.4×
4
）=30×0.8=24(千米)。
4+3
答：甲、乙两地的距离为24千米。
【奥赛训练】
4. 从A地到B地，前一段是上坡路， 后一段是下坡路。一辆汽车从A地开
出往返于A、B两地。已知上坡每小时行35千米，下坡每小时行4 2千米，来回
一次共用2.2小时。求A、B两地的距离。








5. 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比 依次是1:2:3，某
人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡是速度为每小时3公里， 路
程全长50公里，问：此人走完全程用了多少时间？

第九周 比例 （三）
1. 正比例和反比例的应用（七）
【提型概述】
这一周我们重点学习运 用正反比例的知识解决工程问题。我们知道，工作总
量一定，工作效率和工作时间成反比。今天，我们就 根据工作总量一定，解决有
关的实际问题。
【典型例题】
“奔腾”汽车美容公司每 天要洗100辆汽车，工作效率提高25%，结果就能
提前1小时完成。这家公司原来每小时能洗多少辆 车？
思路点拨 由于洗车的数量不变，也就是说：工作总量一定，工作效率和工
作时间成反 比例。因此，可以根据计划效率与实际效率的比，得到计划时间与实
际时间的比，然后由计划时间与实际 时间相差1小时，先求出计划时间，在求出
计划的工作效率。所以
计划效率：实际效率= 1：（1+25%）=4:5；
计划时间：实际时间= 5 ：4；
计划时间：1÷（5 - 4）×5 = 5（小时）；
计划效率：100÷5 = 20（辆）。
答：这家公司原来每小时能洗20辆车。
【举一反三】
1. 某台机器要加工18 0个零件，由于技术革新，这台机器的工作效率提高
了20%，结果提前一个小时完成。这台机器原来每 小时加工多少个零件？








2. “彬彬”羽绒服有限公司食堂运来12吨煤，由于每天比原来节约用煤
1
，这样就可以比原计划多烧2天。这个食堂原来每天烧煤多少吨？
11

3. 李师傅要加工60双皮鞋，实际加工时效率提高了15%， 结果提前1.5 小
时完成。李师傅实际每小时加工多少双皮鞋？

【拓展提高】
某建筑工地用土方车清理建筑垃圾，本来准备7.5小时清理完毕，由于实
际每小时比计划多清理5吨， 这批建筑垃圾6小时就清理干净了。这批垃圾有
多少吨？
思路点拨 由于这批垃圾 的总量一定，那么工作效率与工作时间成反比例。
我们可以根据计划时间与实际时间的比，知道计划效率 与实际效率的比。题目
中又告诉大家计划每小时与实际相差5吨，因此，可以先求出工作效率，再求出这批垃圾的总量。
计划时间：实际时间 = 7.5 ：6 = 5 : 4；
计划效率：实际效率 = 4 ：5；
计划效率：5÷（5-4）×4 = 20（吨）；
垃圾总量：20×7.5 = 150（吨）。
答： 这批垃圾有150吨。
【奥赛训练】
4.陈师傅计划6天加工完一批零件，由于每天 比计划多加工12个，结果只
用了5.5天就完成了任务。这批零件共有多少个？









5. 甲、乙 两名计算机文字录入人员要共同录一份15400字的文稿，当甲完
5
成录入任务的
6
，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的文字相等。问：甲
的录入任务是多少? （2005年北京市“迎
春杯”数学邀请赛）

2. 正比例和反比例的应用（八）
【题型概述】
我们知 道，当工作时间一定，工作总量与工作效率成正比例。接下来，我
们就学习如何运用“工作时间一定”解 决问题。
【典型例题】
小李和小张两人共同录入一份文稿，已知两人的效率之比为5 : 6，完成任
务时，小张比小李多录入1100字。这篇文稿有多少字？
思路点拨 我们知道，小李和小张录入的时间相同，因此，工作总量与工
作效率成正比例，也就是说，小李和小张的 工作总量比等于两人的效率比。又因
为小张比小李多录入1100个字，可以求出这篇文稿的文字数量。 所以
1100÷（6-5）×（5+6）= 1100÷1×11=12100（个）
我们也可以这样解答：
651
1100÷（ - ）= 1100÷ =12100（个）
5+65+611
答：这篇文稿有12100个字。
【举一反三】
1. 一车间和二车间共同加工一批服装，完成任务时，一车间比二车间多加< br>工150套服装，已知两个车间的工作效率之比为9:7。这批服装共有多少
套？






2. 客车和货车同时从甲、乙两地相向而行， 相遇时，客车比货车多行22千
米，两车的速度之比为9:8。甲、乙两地相距多少千米？







3. 甲、乙两人共同加工一批零件 ，甲每小时比乙少加工8个，当4.5小时后
完成任务时，乙与甲加工零件的数量之比为12:11。这 批零件有多少个？

【拓展提高】
1
范师傅和徐师傅两人同时加工一批零件，范师傅的任务是徐师傅的
2
，范
师傅每小时 能做15个，徐师傅每小时能做25个，当范师傅完成时徐师傅还剩
67个，徐师傅要加工多少个零件？
思路点拨 由于徐师傅与范师傅工作效率的比是25:15=5:3，所以当范师
5
傅完成时徐师傅加工的零件是范师傅的
3
，又因为徐师傅的任务是范师傅的2
51
倍，所以“67个”就是范师傅的“2 -
3
=
3
”。
1
51
25 : 15 = 5 : 3； 67 ÷（2 -
3
）÷ = 67÷
3
×2 = 402（个）
2
答：徐师傅要加工402个零件。
【奥赛训练】
6
4. 小林和小苏两人生产一批玩具，小林的加工任务是小苏的
7
，小林 、小
苏工作效率的比是5:6。当小林完成任务时，小苏可以超额完成13个，
小林的加工任务 时多少？








5. 新兴化肥厂甲、乙两车间本月计划共生产化肥1500吨，前5天甲、乙两
11
车间个完成本月计划的
4
和
5
，且甲车间比乙车间多生产化肥60吨。求
甲、乙车间本月计划产量的比。 （1999
年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛）

3. 正比例和反比例的应用（九）
【题型概述】
今天，我们将在前两天的基础上继续学习比较复杂的工程问题。
【典型例题】
1
小龙和小马各加工180个零件，小马比小龙早加工1
2
小时，结果两人
同时完工。已知小龙和小马的工作效率比为7:5。小龙每小时加工多少个零件？
思路点拨 由于两人的工作总量相同，工作时间与工作效率成反比例，因
此，小 龙和小马的工作时间之比为5:7。我们不难求出小龙的工作时间，最后
得到小龙的工作效率。
15
1
小龙的工作时间：1
2
÷（7-5）×5 = （小时）；
4
小龙的工作效率：180 ÷
15
= 48（个）。
4
答：小龙每小时加工48个零件。
【举一反三】
1
1. 甲、乙两人各加工672个零件，甲比乙迟加工1 小时，结果两人同
3
时完工。已知甲和乙 的工作效率之比为8:7。甲每小时加工多少个零
件？


1
2. 师徒两人各加工90顶帽子，师傅比徒弟晚加工 2
2
小时，结果两人
同时完工。 已知师傅和徒弟的工作效率之比为9:7。徒弟每小时加工多
少顶帽子？






1
3. 母女两人各加工100个包子，母亲比女儿晚加工
2
小时，结果两人同
时完工。已 知母亲和女儿的工作效率比为5:4。女儿每小时比母亲少加
工多少个包子？

【拓展提高】
甲、 乙两人共同完成一项工作，甲先干1.2小时，然后乙再加入，完成任
4
务时，甲完成这项工作 的
7
。已知甲、乙两人的工作效率比为5:4，那么，甲
独立完成这项工作需要多少小时？
思路点拨 因为甲、乙两人的工作效率之比外5:4，那么，在相同的时间内
5
甲的工作量是乙的
4
，也就是说在乙工作的这段时间内，甲完成这项工作的
4515415
（1 -
7
）×
4
=
28
，因此，甲先干1.2 小时完成了工作总量的
7
-
28
=
1
28
。所以，我们可以求出甲单独干完这项工作的时间。
4451
1.2÷[
7
-（1 -
7
）×
4
] = 1.2 ÷
28
= 33.6（小时）
答：甲一个人完成这项工作需要33.6小时。
【奥赛训练】
4. 两个工程 队合作完成一项工程，甲工程队先干2天，然后乙工程队再
5
加入，完成任务时，甲工程队完成 这项工程的
8
，已知甲、乙两个工程队的
工作效率比为3:2，那么，甲工程队单独完成这项工程需要多少天？








5. 师傅和徒弟两人共同完成一项工作，师傅先干4小时，然后徒弟在加
7
入，完成任务时， 师傅完成这项工作的
9
。已知师傅、徒弟两个人的工作效
率比为3:2，那么，徒弟做了多少小时？
（2001年江苏省海门市小学数学竞赛）

4. 正比例和反比例的应用（十）
【题型概述】
有的盈亏问题也可以用正比例和反比例的知识进行解决。今天，我们就学
习这种类型的问题。

【典型例题】
李师傅要加工一批零件，如果每小时加工45个，可以比计划 提前1小时
完成；如果每小时加工50个，则可以比计划提前1.8小时完成。这批零件多少
个 ？
思路点拨 根据题意，加工的零件总数相同，因此，每小时加工的个数
和加工的时间成反比例。由工作效率之比便可以知道工作时间之比，在结合时
间差，得到加工的时间，最 后求出零件的总数。
两种不同做法的工作效率比 = 45:50 = 9:10；
两种不同做法的时间比为 10：9；
第一种做法的时间为
（1.8 - 1）÷（10 - 9）×10 = 8（小时）
零件的总数为 45×8 = 360（个）。
答：这批零件有360个。

【举一反三】
1．张师傅要加工一批零件，如果每小时加工50个，可以比计划 提前1
小时完成；如果每小时加工80个，则可以比计划提前2.5小时完成。这批零件
多少个 ？







2. 甲 、乙两位师傅要加工一批零件，如果每小时加工40个，比计划推后2
小时完成；如果每小时加工35个 ，比计划推后3小时完成。这批零件多少个？







3．某服装厂接到一份订单，需要加工一批衬衫，如果每天加工90件 ，比

计划推后1天完成；如果每小时加工35个，则比计划提前3天完成。这批衬衫有多少件？


【拓展提高】
1
某机床厂加工一批零件，如果每个零件的用料节约
5
，则可以节约75
1
千克材料；如果想多加工
4
的零件，每个零件的用料必须节约0.3千克。那么，
原计划加工多少零件？
1
思路点拨 由“每个零件的用料节约
5
，则可以节约75千克材料”，可
11
以知道有原材料75÷
5
= 375（千克）；由“如果想多加工
4
的零件，每个零件
的用料必须节约0.3千 克”，可以知道每个零件的用料与零件的个数成反比例，
这样便可以求出每个零件的用料，最后得到计划 加工的零件数量。所以
1
材料重量：75÷
5
= 375（千克）；
1
计划零件数：时机零件数 = 1： （1 +
4
）= 4 : 5；
计划每个零件用料：0.3÷（5 - 4）×5 = 1.5（千克）；
计划加工的零件个数：375÷1.5 = 250（个）。
答：原计划加工250个零件。
【奥赛训练】
1
4. 某机床厂加工一批零件，如果每个零件的用料节约
4
，则可以节约
1
30千克材料；如果想多加工
5
的零件，每个零件的用料必须节约0.2千克。那
么，原计划加工多少个零件？


1
5. 桌上放着一些糖，其中水果糖占
3
。后来又往桌上放了39块水果糖，
6块奶糖。这时水果糖占总数的60%，现在桌上共有多少块糖？
（1995年“我爱数学”少年数学夏令营）

第十周 数学广角
1、抽屉原理（一）
【题型概述】
如果 把n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么，至少有一个抽屉中有2件
或2件以上的东西。这个道理 我们都能够想得通，它称为抽屉原理原则一。今天，
我们就来学习原则一的运用。

【典型试题】
六年级有32名学生是在1月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是
同一天，为什么？
思路点拨：因为1月份有31天，可以看做31个抽屉，把32名学生看做
32个苹果。根据抽屉原理原 则一，至少有一个抽屉里放2个苹果，也就是说至
少有2名学生的生日是同一天。

【举一反三】
1、育才小学六（1）班54名学生是同一年（该年有365天）出 生的，能否
说明至少有2人是在同一个星期过生日的？








2、有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，混合后 放在一个布袋内，一次至少
摸出几个才能保证有2个同色的？








3、任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。这是为什么？

【拓展提高】
在长度为2米的线段上任意画11个点，至少有两个点之间的距离不大于
20厘米。为什么？
思路点拨： 我们不妨把2米长的绳子平均分成10段，每段长20厘米。把
每一段看做一个抽屉，共1 0个抽屉；将11个点放入10个抽屉中，至少有1个
抽屉中放了2个点。那么，根据抽屉原理，在同一 个抽屉（同一段）中，这两个
点之间的距离一定不大于这段的长度20厘米。

【奥赛训练】
4、在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之
间的距离小于10米。








5、一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌
有相同的点数？

2、抽屉原理（二）
【题型概述】
如果把m×n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉，那么一定有一 个抽屉里至少
有m+1件东西。这就是我们今天学习的抽屉原理原则二。
【典型例题】
某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具共122件，把这些玩具全部分给
小朋友 ，是否会有小朋友得到4件或是4件以上的玩具？
思路点拨：将40名小朋友看成40个 抽屉，122=3×40+2，由抽屉原理原
则二知，至少会有一个小朋友得到3+1=4件，或4件以 上的玩具。
【举一反三】
1、实验小学今年新入学的一年级新生中，有237人 是同一年出生的。这些
新生中，至少有多少人是同一年的同一个月出生的？







2、有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个 ，混合后放在一个不透明的
布袋里。那么，一次至少摸出多少个，才能保证有7个小球的颜色是相同的？







3、幼儿园大班有35个 小朋友，现在将78件玩具分给小朋友，是否有小朋
友会得到3件或3件以上的玩具？







【拓展提高】
正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），那么正方体一定
有三个面颜色相同，这是为什 么呢？

思路点拨 把红色和蓝色两种颜色的油漆看成两个抽屉，正方体共 有6个
面，6=2×2+2，由抽屉原理原则二知，至少有三个面涂上相同的颜色。


【奥赛训练】
4、某旅行团共有60人，随意游览甲、乙、丙三个景点。至少有多少人游
览的地方完全相同？


5、用数字1、2、3、4、5、6填满一个6×6的方格表，如图2 所示，每个
小方格只能填其中一个数字。将每个2×2正方格内的四个数字的和称为这个2
×2 正方格的“标示数”。问能否给出一种填法，使任意两个“标示数”均不相
同？如果能，请举出一例；如 果不能，请说明理由。






图2
3、节约资源
【题型概述】
“节约资源”对于我们来说不是一个陌生的话题，今 天，我们讲的就是爱
护环境，节约资源。通过学习，大家会了解人与环境的关系，人的生存必须依赖环境，更加珍惜身边的有限资源。

【典型例题】
读一读下面的数据：
地球表面积：地面占25%；水面占75%.
地球水资源总量：海水占97.3%；淡水占2.7%.
淡水总量：冰雪占75%；可使用淡水占25%.
可使用淡水：地下水占97%；河水湖水占1.9%；生物圈中含水0.9%；大气
含水0.2%.
读完以后，你觉得地球上的水多不多？从这些数据中，你感受到了什么？
思路点拨：地球上的水确实有很多，但是，能够供起我们人类使用的淡水
很少很少，河水湖水更是少之又 少。因此，我们要从小做起，爱惜每一滴水，珍
惜有限的可使用淡水资源，尽量想办法循环使用水，节约 用水。

【举一反三】
1、地球上河水湖水占地球水资源总量的百分之几？

2、如果用10升水代表地球水资源总量，可使用淡水有多少升？
3、据联合国最新公布的 世界人口状况报告，1999年10月12日0点2分，
世界人口达到60亿，按每分钟新增人口177 人计算，到哪一年的哪一月的几日
几分，世界人口将达到61亿？






【拓展提高】
据科学家研究，100平方米森林 每天吸收的二氧化碳等于10个人每天呼出
的二氧化碳；1公顷森林每天释放0.73吨的氧气，等于1 000人每天呼吸所需要
的氧气。多少公顷的森林可供10000人100天呼吸所需，并同时可将他们 这100
天所呼出的二氧化碳完全吸收？
思路点拨：1公顷=10000平方米， 1公顷森林每天可吸收1000人每天呼出
的二氧化碳，并且每天释放的氧气可供1000人每天呼吸， 所以1000公顷森林可
供10000人呼吸100天。

【奥赛训练】
4、一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入500立方厘米空气。问：
他在一昼夜里吸入多少立方 米空气？










5、假设地球上每年新生成的资源的量是一定的。据测算，地球上的全部资
源可供110亿人口生活90年而耗尽，或者可供90亿人口生活210年而耗尽。世
界总人口必须控 制在多少以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下
去？

第十一周 数与代数（一）
1. 因数、倍数、质数和合数
【题型概述】
关于因数、倍数、 质数和合数，在以前的学习中我们曾经讲过很多内容，这里概
念多、方法多、结论多。今天帮大家提纲挈 领地复习一下。
【典型例题】
有一块木料，长3.2米，宽1.44米，高0.48米。现 在将这块木料锯成体积相等
而且是最大的正方体，共可以锯成多少块？
思路点拨 要将这块 木料锯成体积相等而且是最大的正方体，这个正方体的棱长
一定是木料的长、宽、高的最大公因数。所以
（320,144,48）= 16
320×144×48÷（16×16×16）
20 9 3
=
=540（块）
答：总共可以锯成540块。
【举一反三】
1. 六（1）班的学生人数在40～ 50人之间，如果分成每8人一组，那么有一
个小组多5人；如果分成每12人一个小组，那么有3个小 组少1个人。求
学生人数。










2. 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，已知其中一个数是90，另
一个数是多少？






3. 四位数 7a4b 是18的倍数，要使这个四位数尽可能地小，a和b是什么数
字？

【拓展提高】
有一种最简单真分数，它们的分子与分母 的乘积都是420.如果把所有
这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？
思路点拨 我们先把420分解质因数：420=2×2×3×5×7.
为了保证分子与 分母互质（互质指分子与分母除了1以外没有别的公因
数），相同的质因数要么都在分母，并且分子应该 小与分母，把分子从小到大
排列是1，3,4,5,7,12,15，20.
分子再大就要超过分母了，它们对应的分数是

， ， ， ， ， ， ，
4252821
所以，从小到大排列第三个是
4
。
105
【奥赛训练】
4.四个连续自然数的乘积是11880，求这四个自然数。









5. 如果一个质数分别加上2、8、14、26以后，得到的和都是质数。那么，
原来的质数是多少？ （2000年《小
学生数学报》数学邀请赛）

2. 小数简便计算
【题型概述】
我 们知道，灵活地运用运算律可以使整数、小数和分数等一些计算变得
简便。接下来，我们将把小数的简便 计算复习一下。
【典型例题】
计算：2.19+6.48+0.51—1.38—5.48—0.62。
思路点拨 通过观察，例题可以根据运算定律进行简便计算。
2.19+6.48+0.51—1.38—5.48—0.62
= （2.19+0.51）+（6.48—5.48）—（1.38+0.62）
= 2.7+1—2
= 1.7
【举一反三】
1. 计算：14.38+5.395—3.18—5.305





2. 计算：2.5×1.25×5×64






3. 计算：2.1+2.3+2.5+2.7+„+5.7+5.9






【拓展提高】
计算： 41.2×8.1+11×9.25+537×0.19
思路点拨 我们可以通过移动小数点的位置，灵活使用乘法分配率使计
算简便。
41.2×8.1+11×9.25+537×0.19
= 412×0.81+537×0.19+11×9.25
= 412×0.81+（412+125）×0.19+11×9.25
= 412×0.81+412×0.19+125×0.19+11×（8+1.25）

= 412+125×0.19+11×8+11×1.25
= （412+88）+125×0.19+0.11×125
= 500+37.5
= 537.5
【奥赛训练】
4．计算：3.7×59+37×6.4—3.7×23









312
5.计算：（0.34×2400×0.25+3×7 +26.25÷ ）÷
4313






3. 分数巧算
【题型概述】
在分数的巧算中，我们必须掌握一些技巧，其中最重要的莫过于“裂项
法”。今 天，我们将复习这方面的内容。
【典型例题】
1111111
计算：
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
128

11
思路点拨 我们可以先加上
128
，使计算简便，最后减去
128
。
1111111

2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
128

111111111
=
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
128
+
128
—
128

11111111
=
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
64
—
128

1111111
=
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
32
—
128

„„
1
= 1—
128

127
=
128



【举一反三】
11111111
1．计算：
2
+
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
128
+
256









111111
2．计算：
2
—
3
+
4
—
5
+
6
—
12









1111111
3. 计算：
2
—
4
—
8
—
16
—
32
—
64
—
128








【拓展提高】
11111
计算：
42
+
56
+
72
+
90
+
110

1
思路点拨 因为
42
=
1111111111
原式= （
6
—
7
）+（
7
—
8
）+（
8
—
9
）+（
9
—
10
）+（
10
—
11
）
1111111111
=
6
—
7
+
7
—
8
+
8
—
9
+
9
—
10
+
10
—
11

11
=
6
—
11

5
=
66


【奥赛训练】
11111
4. 计算：
10*12
+
12*14
+
14*16
+
16*18
+
18*20







11111
5. 计算：
1*4
+
4*7
+
7*10
+
10*13
+......+
97*100










4. 分数应用题
【题型概述】
分数应用题一直是小学阶段的“重头戏”，在前面的学习过程中我们已经
见识过了很多的类型，解决分数 应用题最关键的是找“单位1”、找对应关系。
下面再稍加温习。
【典型例题】
1
耕地承包户王大爷家的仓库里有一批化肥，第一天用去总重量的
5
，第二
8
天用去2吨，还剩下总量的
15
.这批化肥原有多少吨？
1
思路点拨 我们把化肥的总量看作单位“1”，由“第一天用去总重量的
5
”
8
和“还剩下总量的
15
”，可以知道第二天用去几分之几。所以
4
181
2÷（1—
5
—
15
）= 2÷ = 7
2
（吨）
15
【举一反三】

1
1. 有一批儿童读物，第一天卖出1800本，第二天比第一天多卖出
9
，
3
还剩下总本数的
7
在第三天全部卖完。这批儿童读物一共多少本？


2. 修路队修一条公路，已经修了全长的40%，正好比没修的少1500米，
这条公路多少米？







3. 有两个粮食仓库，甲库比乙库 少存12吨，如果甲库再给乙库4吨，这
3
时甲库所存的粮食等于乙库的
7
。两个仓库各存多少粮？






第十二周 数与代数（二）
1.式与方程（一）
【题型概述】
“式与方程”是数与代数中的 重要内容，我们要能够用字母表示数或关系、
运用等式的性质解方程以及列方程解复杂的应用题。今天， 我们就一起来复习这
方面的内容。
【典型例题】
解方程：8.3x+2.7x-x-7=15。
思路点拨 我们可以直接运用等式的性质解方程。因此
解：8.3x+2.7x-x-7=15，
10x=22，
x=2.2。
【举一反三】
1. 解方程：8x+8.4=21.6+6.5x。




2. 解方程：8x-3(x-5)=6x+(x-1)。

3. 解方程：45÷x-45÷3x=3。


【拓展提高】
范阿姨骑电瓶车要在规定的时间把信件送到某地。若每小时走15千米可以
早到24分，若每小时走12 千米就要迟到15分。原来规定的时间是多少？她去
某地的路程是多少？
思路点拨 解法 1：设原来规定的时间为x小时，24分=0.4小时，15分=0.25
小时，则15×(x-0.4 )与12×(x+0.25)都表示从出发地点到某地的路程，因此，路程
相等，可以列出方程。所以
解法1：设原来规定的时间为x小时。
15×(x-0.4)=12×(x+0.25)，
x=3，
15×(3-0.4)=39（千米）。
解法2：设从出发 地到某地的路程为x千米，那么（x÷15+0.4）小时与（x
÷12-0.25）小时都表示规定的 时间，因此，时间相等，可以列出方程。
x÷15+0.4=x÷12-0.25，
x=39，
39÷15+0.4=3（小时）。
答：原来规定的时间是3小时，出发点到某地的路程是39千米。
【奥赛训练】
4. 小芳和小玲两家住在同一个院子里，一天，她们吃完早饭同时离家去上学，
小芳每分钟走 90米，小玲每分钟走60米。小芳走在学校门口时突然发现忘记带
语文课文。于是，小芳立即沿原路回 家去取，行至180米处与小玲相遇。她们家
离学校有多远？






5. 甲、乙、丙三种练习薄的价格分别是7角、3角、2角。三种练 习薄一共
买了47本，付了21.2元，买乙种练习薄的本数是丙种练习薄的2倍。三种练习
薄 各买了多少本？

2. 式与方程（二）
【题型概述】
下面，我们在昨天学习的基础上继续列方程解稍复杂的应用题。
【典型例题】
幸福外国语学校今年招生的录取人数是报考人数的20%，录取的男生占招生
5
总数的 。如果从男生中拨出25个名额给女生，男生还比女生多2人。今年报
9
考外国语学校的有多少 人？
思路点拨 根据题意，我们可以发现这样一个关系式：
男生录取人数—女生录取人数=25×2+2。
所以，我们可以列方程解决。
解：设录取的人数为x人。
55

9
x-(1-
9
)x=25×2+2，x=468，
468÷20%=2340（人）。
答：今年报考外国语学校的有2340人。

【举一反三】
5
1. 有两筐苹果，第一筐的个数是第二筐的
6
，如果第一筐增加5个，那么，
7
第一筐的个数是第二筐的
8
，原来两筐各有多少个苹果？




2. 实验小学六年级学生 上学期体育锻炼的达标率为83%，本学期新达标的
1
学生有48人，现在未达标的人数占总人 数的
20
。那么，还有多少个学生未达标？






3. “胜利”运输公司运输一批货物。第一天运了全部货物的45%，第二天< br>10
运了剩下货物的
11
,第二天比第一天多运45吨。那么，这批货物共有多少吨？

【拓展提高】
兄弟两人的岁数加起来是25岁，记得有一年 ，哥哥的岁数是弟弟今年的岁
数时，哥哥的岁数正好是弟弟的岁数的2倍。那么，哥哥、弟弟今年各是多 少岁？
思路点拨 这道题适合用方程解答，我们用兄弟两人的年龄差不变建立等
量关系。
解：设弟弟今年的岁数是x岁，那么哥哥今年的岁数是（25-x）岁。曾有一
x
年哥 哥的岁数是x，那么这年弟弟的岁数是
2
。所以
x
（25-x）-x=x-
2
,x=10,
25-x=25-10=15(岁)。
答：哥哥今年15岁，弟弟今年10岁。

【奥赛训练】
1
4. 一个蓄水池有满满的一池水，白天用去了其中的
5
，傍晚又用去了10升，
晚上用去 剩下水的15%，最后剩下的水比半池多13.1升。那么，这个蓄水池盛
满水有多少升？









5. 一只船 向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小
时减少10海里，到达后所用的全部 时间与原速度每小时减少4海里航行全程所
用的时间相等。求原来的速度。

3.比和比例（一）
【题型概述】
今 天，我们复习比和比例应用题。如果在应用题中碰到“比”，一般都将“比”
转化为分数，然后用分数应 用题的解决方法来处理。

【典型例题】
1
A、B两桶汽油共重100千克，若把A桶中汽油的
6
倒入B桶，则两桶油的
重量比是11:9。A，B两桶汽油原来各重多少千克？
1
思路点拨 如果“把A桶中汽油的
6
倒入B桶”，两桶汽油的总重量 没有
变，还是100千克。因此，可以按比例分配，先求出现在A桶汽油的重量：
111
100×
11+9
=55(千克)。A桶倒出
6
汽油后是55千克，即55千克的汽油占原来A
15
桶汽油的1-
6
=
6
，这样可以倒推出A桶原有汽油的重量。
11
100×
11+9
=55(千克)；
1
55÷（1-
6
）=66（千克），100-66=34（千克）。
答：A桶原有汽油66千克，B桶原有汽油34千克。

【举一反三】
32
1. 甲、乙两个书架共有书102本，甲书架本数的
4
正好等于乙书架本数的
3
,
两个书架各有多少本？






2. 同学们做口算练习，如果每分钟算12题，需要5分钟，如果每分钟少算
2题，需要多少时间？

3.为鼓 励创新，公司决定拿出100000元重奖3位技术创新的技术员，已知
甲技术员与乙技术员所得的奖金 数额比是3:2，丙技术员的奖金数额比乙技术员
多2000元。3位技术员各得奖金多少元？
【拓展提高】
671
朝阳幼儿园男生人数的
11
等于女生人数的
13
,男生人数的
7
比女生人数的
1
6
少4人。这所幼儿园共有多少个小朋友？
67
思路点拨 根据题意，我们知道：男生人数的 =女生人数的 。
1113
1113
即男生人数：女生人数=
6
:
7
=77:78。所以
11
4÷（78×
6
- 77×
7
）=4÷2=2（人）；
（77+78）×2=310（人）。
答：这所幼儿园共有310个小朋友。
【奥赛训练】
1
4. 水池中有一些金鱼，其中红金鱼占总数的
4
,花金鱼与红金鱼的比是4:5，
其中是33条黑金鱼。水池中一共有多少条金鱼？







5. 某电视机厂所属的两个分厂共 同组装一批彩电，在同样多的天数中装完，
甲分厂与乙分厂组装的数量比是5:2，乙分厂每天装400 台。如果给甲分厂单独
组装，需2个星期装完。这批彩电共有多少台？

4.比和比例（二）
【题型概述】
接下来，我们在昨天学习的基础上解决稍复杂的比和比例应用题。根据题目的意思，我们可以逐步分析、表示，列算式或方程。

【典型例题】
1
雅仪服饰有限公司有两个车间共720名员工，如果第一车间调出
5
给第二车
1
间后，因工作需要，第二车间又调出
4
给第一车间，这时两个车间的人数比是
1:1。两个车间原来各有多少人？
思路点拨 我 们可以列方程解答。假设第一车间有x人，那么第二车间有
11
（720-x）人；由“第一车 间调出
5
给第二车间”，那么第一车间有（1-
5
）x人，
11
第二车间有[（720-x）+
5
x]人；由“第二车间又调出
4
给第一车间”，这时，第
11111
一车间有（1-
5
）x+
4
[（720-x）+
5
x]人，第二车间有（1-
4
）×[（720-x）+
5

x]人。所以
解：设第一车间原来有x人。
11111
（1-
5
）x+
4
[（720-x）+
5
x]=（1-
4
）×[（720-x）+
5
x]，
x=300，
720-300=420（名）。
答：两个车间原来各有300名和420名员工。

【举一反三】
4
1. 哥哥和弟弟两个人零花钱的比是
3
,如果哥哥给弟弟8元钱，那么哥哥和
弟弟两人零花钱的比是4:5。两人原来共有多少元钱？







2.某次会议，第一天参 加会议的男代表比女代表多500人，第二天男代表减

1
少了5%，女代表增加 了
40
，第二天共有712名代表出席了会议。那么，第一天
参加会议的有多少人？



1
3. 某私立小学中年级人数占全校人数的35%，高年级人数比中年级人数少
7
，
1
低年级人数比高年级人数多
6
，低年级有154人。这所小学一共有多少名学生？







【拓展提高】
陈师傅加工一批零件，如果每天加工36个 ，则若干天可以完成。当加工
2
了
5
时，工作效率提高40%，结果提前20天完成。那么，这批零件共有多少个？









【奥赛训练】
4. 把一批零件按3:1分给甲乙两人加工，甲乙工作效率的比为5:3，合作5小
2
时后，共完成 这批零件的
3
，这时甲还有400个零件未加工。这批零件共有多少
个？

第十三周 概率与统计
1、 概率与统计（一）
【题型概述】
今天，我们复习简单的统计和概率，它需要大家细心，通过计算得出可能
性是多少？
【典型例题】
甲、乙、丙三个小伙伴玩电子射击游戏，他们分别射击100次，甲 射击中
目标80次，乙射击目标83次，丙射中目标78次，求三个人命中目标的概率。
思路点拨 我们先分别计算：
48339
800÷100=
5
，83÷100=
100
，78÷100=
50
.
48339
所以，甲、乙、丙三个人命中目标的概率分别为
5
，
100
，
50
。
【举一反三】
1、如图所示，转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。


11
2、某商场进行抽奖活动，要求一等奖的中奖率的
8
，二等奖的中奖率是
4
.请在
下面的转盘的一等奖的区域涂上红色，二等奖的区域涂上绿色。

3、玲玲的 班上有54个同学，要派12人参加学校运动会方队排练，问：玲玲参
加的可能性有多大？

【拓展提高】
小明参加射击比赛，他射了十发，中靶情况如图所示，小明射中靶子的概
率是多少？如果让他再射二十发 ，情况会怎么样？
思路点拨 小明射了10发，由图可知中靶8发，所以小明的中靶的概率是
80%。如果让他再射20发的话，结果是不一定的，也许一发未中，也许发发命
中，也许中一发或两 发……









【奥赛训练】
5
4、某类灯泡的使用时数在1000小时以上的概率是
7
，试求两个灯泡都使用1000
小时以上的概率。








5、布袋中有大小一样的红球10个，蓝球8个。现在从中 摸出一个球，这个球是
红球的概率是多少？如果从中摸出两个球，这两个球都是红球的概率是多
少？

2.概率与统计（二）
【题型概述】
今天，我们复习游戏的公平性和复杂的可能性问题，解决这些问题 需要我
们充分考虑某件事情出现的概率，从而作出正确的判断。

【典型例题】
舅舅从外地买回两个玩具，小红和小芳都争着要其中那两个红色的玩具，
舅舅说 ：“别争了，还是投骰子来决定吧，我掷一枚骰子，若出现的点数不大于
3，就归小红，若出现的点数大 于3，就归小芳。”你认为舅舅这样的做法公平吗？
思路点拨 我们知道，掷一枚均 匀的骰子可能出现1，2，3，4，5，6
点，有6种等可能情况。若出现的点数不大于3，即出现的点 数的是1，2，3，
31
有3种情况；若出现的点数4，5，6，也有3种情况，所以，两者的 概率都是
6
=
2
。
也就是说舅舅的做法是公平的。
【举一反三】
1、小明和小红做游戏，游戏规则：从一副扑克牌中任意抽出1张，抽到红心算小明赢，抽到梅花算小红赢，请问这个游戏规则公平吗？如果从两
幅扑克牌中抽呢？






2、数学活动课上，琳琳和菲菲做了个大转盘， 上面均匀分为5块，标有数
字1~5.准备玩转盘游戏。琳琳说：“两人轮流转转盘一次（当指针停在边
界线上时重转一次），然后各自记住指针所指区域内的数，将得到的两个
数相加算出和。如果和 为偶数，则我获胜；如果和为奇数，则你获胜。”
这个游戏公平吗？







3、如果把第2题中的游戏规则改成：指针所指区域内两个 数之和大于6，琳
琳胜；小于6，菲菲胜。公平不公平？

【拓展提高】
小张、小王 、小李三人相约到野外爬山，中途休息时，他们将遮阳帽摘下
混在一起，休息完毕，各人随意取一顶帽子 戴上。那么，每人戴的都不是自己的
帽子的概率有多大？
思路点拨 我们可以 用列表法列举他们“取帽戴上”的所有可能情况，然
后根据各人戴的都不是自己的帽子有几种情况，就能 求出概率。用A,B,C分别表
示小张、小王、小李的帽子，则他们“取帽戴上”有6种可能情况，如图 所示，
其中，4，5两种情况中各人戴的都不是自己的帽子，所以，每人戴的都不是自
21己的帽子的概率是
6
=
3
.
小小小
张 王 李
1 A B C
2 A C B
3 B A C
4 B C A
5 C A B
6 C B A
【奥赛训练】
4、甲、乙、 丙三人做传球游戏，开始时，球在甲的手中。每次传球，持球
的人可能将球随意地传给其他两人中的一人 。问：传球4次后，球又回到甲手中
的概率。








2
5、假设某型号高射炮的每一门炮（发射一发）击中飞机的概率为
5
，现 在
若干门炮同时发射（每炮射一发），问欲以95%的把握击中来犯的一架敌机
至少需要布置多 少架高射炮？

3、找规律
【题型概述】
对于“找规律”的内容，我们已经 见识了不少，它需要同学们用敏锐的
双眼，通过操作、举例、观察、发现等环节揭开问题本质的面纱，接 下来，
我们将重温这些方法，体验探索和发现的乐趣。
【典型例题】
把自然是1，2，3，4，···，2010，如下表排成5列，那么“2010”在
第几列？
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13 14
18 17 16 15
··· ···
思路点拨 我们把每9个看作一组，然后通过计算判断2010在第几列。
2010÷9=223······3
所以，“2010”在第3列。
【举一反三】
1、7×7×7×···×7（90个7）所得积的个位数字是多少？


2、一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，
每一个数都是前两个数 的和，也就是：
1，1，2，3，5，8，13，21，···
这串数字的前100个数中有多少个偶数？

3.、有一排算式：1+1，2+3， 3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，2+19···那
么，（ ）+（ ）=1994？

【拓展提高】
1
有甲、乙两个同样的容器，甲中有500克水，乙是空的。第一次将甲的
2
倒入
111
乙中；第二次将乙的
3
倒入甲中；第三次将甲的
4
倒入乙中；第四次将乙的
5
倒
1
入甲中；第五次将甲的
6
倒入乙中···
（1） 在下面的表格中填出前5次倒水的结果。
甲 乙
原来 500 0

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次










1
（2） 根据上面的规律，当第17次将甲的
18
倒入乙中后，甲中还有多少克
水？
1
（3） 根据上面的规律，当第24次将乙的
25
倒入甲中后，乙中还有多少水？
思路点拨（1）在下面的表格中分别填出前5次倒水的结果：
甲 乙
原来 500 0
第一次 250 250
第二次
1000500

33

第三次 250 250
第四次 300 200
第五次 250 250
（2）从表格中可以发现，倒奇数次时，甲、乙两个容器中的水都是 250克。
1
所以，第17次将甲的
18
倒入乙中后，甲中还有250克水。
1
（3）根据上面的规律，第23次将甲的
24
倒入乙中后，两个容器中的水都是
11
250克。所以第24次将乙的
25
倒入甲中后，乙中还有250×（1—
25
）=240
（克）水。
【奥赛训练】、
11
4、一根铁丝，第一次剪去它的
2
，第二次剪去剩下的
3
，第三次剪去剩下
11
的
4
，第四次剪去剩下的
5
···剪了99次以后，剩下的铁丝是原来的
几分之几？







5、已知平面上 画5个圆最多可以把平面分成22个部分，如果再画一条直线，
最多可以把平面分成多少个部分？

第十四周 解决实际问题
1、最优化问题
【题型概述】
做一件事情，如果能够 合理安排，就可以节约时间和金钱，这正是华罗庚
爷爷倡导的“最优化思想”。今天我们将研究这种问题 。

【典型例题】
甲地有89吨货物需运到乙地，大卡车的载重量 是7吨，小卡车的载重量
是4吨。大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升。那么，运完这些货
物最少耗油多少升？

思路点拨 由于大卡车载重7吨，运一趟货用汽油14升， 即平均运1吨货
9
用2升汽油；小卡车载重4吨，运一趟货用9升汽油，则平均运1吨货耗油 升。
4
因此，大卡车比小卡车耗油量少，应尽量用大卡车运。
89=7×12+5， 如果全用大卡车运，需跑13趟，耗油为13×14=182（升）；
如果用大卡车运12趟，还剩5吨 ，还要小卡车运2趟，但这样运汽油就多耗了；
如果大卡车运11趟，则剩下12吨，正好让小卡车运3 趟，这样安排运货所用的
汽油最少。
14×11+9×3=181（升）
答：最少耗油181升。

【举一反三】
1、在一条公路上，每个100 千米有一个仓库，共有五个仓库，一号仓库存
有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有2 5吨货物，其
余两个仓库是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果
每吨货物运 输1千米需要5元运费，那么，最少要花多少运费才能按要
求运完？







2、在一条高速公路上每隔50千米有一所管理站，一号管 理站有1人，二
号管理站有2人，四号管理站有4人，三号管理站实行无人管理。现在

< br>要把所有的管理员集中到一起开会，请问在几号管理站集中，他们所走
的路程最少？最少是多少千 米？




3、小李，小许，小肖，小伟四人分别拿着三个，一 个，二个，四个热水瓶
去打水，现在只有一个水龙头可以使用，应该如何安排这4个人的打水
顺 序，使他们总的打水时间最少（注满一瓶水要1分钟）？






【拓展提高】
北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲 、乙、丙三个工厂
中去，其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨，两个仓库与各工厂之间的距离如图所示（单位：千米）已知运输每吨货物1公里的费用是
1元，那么将货物按 要求运入各工厂的最小费用是多少元？
思路点拨 观察图可以发现，甲仓库中的货物应尽量从南库调入。
南仓库运25吨货物到甲工厂，费用是1×8×25=200（元）
北仓库运3吨货物到甲工 厂，费用是1×10×3=30（元）；运12吨货物到乙工厂，
费用是
1×6×12=72（元）运20吨货物到丙工厂，费用是1×12×20=240（元）
200+30+72+240=542（元）
所以，最少的费用是542元。
北仓库

10 6 12

甲 乙 丙

8 5 16


南仓库



【奥赛训练】
4、 少先队员参加植树活动，每人植树2棵，如果一个人挖一棵树坑需要25
分钟，运树苗一趟（最多可运4 棵，）需要20分钟，提一桶水（可浇4
棵树）需要10分钟，载好一棵树需要10分钟，现在以两个人 为一个小
组进行合作，完成植树任务所需要的最短时间是多少分钟？

5、如图所 示，图中数字为各线段所表示的路程长度，公司调动20辆卡车把
60车建筑垃圾从A地运到垃圾储存地 B，还要把40车红砖从C地运到建筑工地
D处，问如何调动最省汽油？
360 D
C
240 90
A
B 300



2、离散最值
【题型概述】
数学中的很多问题都要求“最多”或“最少 ”，我们一般称之为“离散最值”
问题。这类问题分布在很多领域，因此，解决的办法也就层出不穷，下 面，我们
举出几个例题供同学们学习。
【典型例题】
a+b
设a和b是1~100中的两个不同自然数，那么，
a-b
的最大可能值是多少？
a+b
思路点拨 要使
a-b
尽量大，那么，a—b应尽量小 ，即取a—b=1；a+b应
a+b100+99
尽量大，因此，a=100,b=99.
a-b
=
100-99
=199.
a+b
所以
a-b
的最大可能值是199.
【举一反三】
1、一排有50个座 位，其中有的座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在
何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少 人就座？







51
2、甲、乙两个自然数，如果甲数的
6
恰好是乙数的
4
，那么，甲乙两数和
的最小值是多少？

3、编号为1到10的十个果盘里，每盘都盛有 水果，共盛放100个，其中第
一盘里有16个，并且编号相邻的三个果盘中水果数的和都相等，那么。 第8
盘中水果最多可能是多少个？







【拓展提高】
实验小学的大礼堂里共有座位24排，没排有30个座位 ，全校有650
个同学到礼堂里观看文艺晚会，那么至少有多少排的座位上坐的学生人数同
样多 ？
思路点拨： 我们从“极端”情况开始考虑，假设24排座位上坐的学生
人数是不同的，那么只能坐
（7+30）×24÷2=444（人）
假设只有2排座位上坐的学生人数相同，那么最多可以坐
（19+30）×12÷2×2=588（人）
假设只有3排座位上坐的学生人数相同，那么最多可以坐
（23+30）×8÷2×3=636（人）
而全校共有学生650人，因此，肯定还有650—6 36=14（人）要坐在这
24排中的某些排的座位上，所以，至少有4排座位上的学生人数同样多。
【奥赛训练】
4、有一类自然数，从第三个数字开始，每个 数字都恰好是它前面两
个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等，这类数中最大的自然数 是多
少？









5、某一次数学测验之后，班上25位学生都看了一眼老师的成绩表，每一位学生都留意到有5个甲等成绩，没有一个学生看到全部成绩，也没有一个学生

看到 他或她自己的成绩，问：最少有几位学生获得甲等成绩？





3、画图与染色
【题型概述】
有些数学问题看似情况复杂混乱或根本无 法列式计算，使人无从下手，碰
到类似的题目，不妨画一画图，说不定会使你茅塞顿开，豁然开朗，好， 开始我
们今天的学习吧！
【典型例题】
小明，大宝两名运动员在长是3 0米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每
秒1米，大宝的速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池 的两端出发，来回
共游了5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次?
思路点拨 如图所示，我们分别画一条水平直线表示时间，画一条竖直直
线表示距离，游30米的距离 小明需要30÷1=30（秒），大宝需要30×100÷60=50
（秒）。小明从一端出发，到第3 0秒时游到另一端，到第60秒时又游回出发
点···把小明在0秒，30秒，60秒，90秒，120 秒，150秒的位置用实线连起
来，就得到小明的游泳路线，用同样的方法可以画出运动员大宝的游泳路 线，即
图中的虚线。

30米



0 30 50 60 90 100 120 150 秒
从图中可以看到，在前150秒里，两个运动员的游泳路线共有5个交点，说明他
们一共相遇了5次，在第150秒时两名运动员的位置与一开始相类似（位置相反），
5分钟共 有300秒，后150秒也应该相遇了5次，所以在5分钟内他们共相遇了
10次。

【举一反三】
1、容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中纯酒精含量为 25%，
再加入一杯纯酒精，容器中纯酒精含量40%，原来容器中有几杯酒精？浓度为多
少？







2、甲、乙两个工 程队合作修筑一段公路，甲先单独施工4天，完成这段公路

1
的
3 。后来乙队加入，两队共同施工3天，完成了这段公路修筑任务，如果乙队
每天修筑75米，这段 公路全长为多少米？



3、甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学 参加数学兴趣小组，甲班参加数
1
学兴趣小组的人数恰好是乙班没有参加人数的
3 ，乙班参加数学兴趣小组的人数
1
是甲板没有参加人数的
4
，甲班没有 参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之
几？



【拓展提高】
黄金珠宝行作业发生盗窃，警察对六名嫌疑犯进行了审讯。
猴子一脸无辜地说：“是狐狸和狗熊一起干的，不关我的是。”
小猪说：“我敢肯定小偷是黄鼠狼和兔子。”
“是兔子和狐狸偷了珠宝”黄鼠狼连忙申辩。
狗熊说：“是猴子和狐狸”
而狐狸却说：“是黄鼠狼和小猪偷的。”自始至终只有兔子一句话也没讲。
通过分析鉴定，黑猫警长已 经掌握了确凿的信息，这六个人中恰好有两个人是小
偷，其中只有一人的回答全是谎话，而其余四人的回 答都有一名是小偷。小偷到
底是哪两个人呢？

思路点拨： 如图所示，首先，我 们用一个店表示一个嫌疑犯，一条线段表示一
句话（例如：代表狐狸与狗熊的两个点连成的线段表示猴子 说的话）。因为有一
个嫌疑犯讲的全是谎话，所以，只有一条线段的两个端点代表的两个人均不是小偷，其余四条线段的只有一个端点表示了小偷，又因为只有两个小偷，因此，有
两个点共四次被作为 端点来表示小偷，而且这两个点不可能是同一条线段的端点
（否则就意味着有一个人说的全是真话）由此 可以知道：小偷只能是狐狸和小猪。

【奥赛训练】
4、如图所示，某个 展览会有25个展室，相邻两个展室都有门相通，有个小朋友
从A室开始，打算依次而又不重复地走过每 一个展室，最后回到A室，那么，
这个小朋友的打算能够实现吗？










A

5、用若干个形如图 所示的纸片，盖住一个尺寸为6×12的矩形（允许纸片伸出
矩形之外），至少需要多少张这样的纸片？

4、体育活动中的推理
【题型概述】
同学们在平时的学习过 程中经常会碰到一些体育活动中的推理问题，解决
这种问题的关键是熟悉比赛的规则，根据已知条件展开 合理的推理，通过调整和
试验得出最后的比赛情况。

【典型例题】
A、 B、C、D、E五位运动员参加乒乓球循环赛，每盘比赛规定胜者得2分，
负者得0分，已知比赛结果如 下：
（1）A与B并列第一名
(2 )C是第三名
（3）D与E并列第四名
求C的得分。
思路点拨 我们知道既然是循环赛，每人都要赛4场，共有10场比赛，比
赛总分为
2×10=20分， 如果A与B并列第一，他们不可能都是全胜，这样不符合题
意，因此，他们最多只能得2×3=6分。而 20—6—6=8分，假设第3名C得4
分，D和E各得2分，也就是在D和E进行的四场比赛中他们各 胜1场负3场，
符合要求。
所以 C得4分。
【举一反三】
1 、A、B、C、D、E五人参加围棋赛，四位观战者预测了结果，甲说：“E第
三，A第四”乙说：“A 第三，B第一。”丙说：“B第四，E第二”丁说：“D第
一，C第三。”实际结果是每人只猜对了一个 ，参赛5人也没有并列名次。那么
谁得第一？谁得第二？谁的第三？

第十五周 综合训练
1.整体法
【整体法】
有些问题，如果从局部入手，很难 解决，若从全局着眼，全面、系统地分
析和思考问题，抓住问题整体结构的特殊性，洞察整体与局部的关 系，就能化难
为易，使问题得以很快解决。这种解决问题的思考方法就是“整体法”。
【典型例题】
11
一杯牛奶，灵灵第一次喝了
2
，用水加满，第二次喝了
3
，再用水加满，
1
第三次喝了
6
，再次用水加满后全部喝完，那么，灵灵喝的牛奶和水哪个多？
思路点拨 我们可以从 “整体”来考虑，原来有1杯牛奶，经过3次加满
水和4次喝，最后都喝光了，因此，共喝了1杯牛奶； 而喝的水，只要把3次加
进去的水加起来就行了。
111

2
+
3
+
6
=1
答：灵灵喝的牛奶和水一样多。
【举一反三】
1.有两个杯子，第一个杯子中有100毫升 红墨水，第二杯中有100毫升蓝
墨水。先从第一杯中倒10毫升红墨水给第二杯，再从第二杯中倒回1 0毫升给第
一杯，这样反复做3次。问：第一杯中含有的红墨水多还是第二杯中含有的蓝墨
水多 ？






2.有两个烧杯，第一个杯中有 30毫升纯酒精，第二杯中有30毫升的蒸馏
水。用一根吸管，先从第一杯中吸1毫升纯酒精滴入第二杯 中，搅拌均匀，再从
第二杯中吸1毫升混合液滴入第一杯中。这样反复进行10次，最后两个杯子中，< br>是第一杯中的水多还是第二杯中的纯酒精多？

3.阿米巴（在显微镜下才能看见的一种单细胞生物，也称为变形虫）的繁< br>殖方式是分裂。它的个数成倍地增长：一变二、二变四、四变八........每三分钟分
裂一 次。
如果在一个瓶中放1个阿米巴，那么，1小时后瓶子里充满了阿米巴。如
果开 始时，在瓶子里放2个阿米巴，那么，多少分钟后瓶子里充满了阿米巴？

【拓展提高】
有一个正方体木块，棱长1.5米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又锯
成4长条 ，每条又锯成5小块，这样就得到大大小小的一堆长方体木块。这些长
方体木块的表面积之和是多少平方 米？
思路点拨 我们知道，每锯1刀就增加两个正方形的面。现在共锯了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9（刀），那么，共增加9×2=18（个）面，加上原来的6个
面， 共有18+6=24（个）面。所以
1.5×1.5×24=54（平方米）。
答：这些长方体木块的表面积之和是54平方米。

【奥赛训练】
4.两艘轮船同时从甲、乙两个码头出发相向而行，第一次相遇时离甲码头
58千 米，相遇后继续前进，到达对方码头后都立即返回，第二次相遇时，离甲
地25千米。求甲、乙两码头之 间的距离。










5.A、B两地相距144千米，小李、小张骑车从A地，小王骑车从B地同
时出发 相向而行，小李、小张和小王的骑车速度分别是每小时17千米、12.5千
米和14.5千米。问经过 几小时后，小李正好在小张和小王相距的正中处？
（2004年《小学生数学报》
挑战赛）

2.对应法
【题型概述】
一般地，如果两类对象 彼此有一对一的关系，那么我们可以通过对一类较
易计数的对象计数，而得出具有相同数目的另一类难以 计数的对象的个数。这就
是对应法或配对法。对应法在生活中有着广泛的应用，在数学研究中也有着突出
的地位。
【典型例题】
16个乒乓球运动员参加单打比赛，采用淘汰赛的方法决出冠军，那么，一
共要比赛多少场？
思路点拨 我们可以按如图1所示的方法进行淘汰赛，最后决出冠军。




由于第一轮分成8组对阵，第二轮由第一轮的8名胜者分成4组对阵，第
三轮有第二轮的4名胜者分成2组对阵，第四轮由第三轮的2名胜者进行决赛，
一共赛了8+4+2+1 =15（场）。
接下来我们运用对应的方法解决这个问题。因为淘汰赛的规则是每比一场< br>必须有一名队员被淘汰，这样每比一场就与淘汰的一名队员建立了一种对应关
系，也就是说淘汰了 多少名运动员就比赛了多少场。16个运动员决出冠军需要
淘汰15名运动员，所以，一共要比赛15场 。
【举一反三】
1.如果允许你把各次得到的木块任意的叠起来锯，一个边长为3厘米的立
方分体至少要锯几次才能得到27个边长为1厘米的小正方体？






2.在8×8的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图2所示，
问有多少种不同的剪法？

3.由三个小正方形拼成一个“L”形，如图3所示，问8×8的棋盘上有多
少个与它一样的“L”形？


【拓展提高】
10块相同的巧克力，小华每天至少吃一块，直至吃完。问有多少种不同的
吃巧克力的方法？
思路点拨 我们不妨把10块相同的巧克力排成一行，如果第一天吃2块，
第二天吃1块，第三天吃 3块……..这种吃巧克力的方案可以表示成下图。也就
是在第2块的后面画一条竖线，再在这条竖线的 后面的第1块之后（即第3块后
面）又画一条竖线…….



这 样吃巧克力的方法就变成了在10块巧克力之间的9个空隙内添加竖线的
方法，每个空隙里可以加1跟竖 线，也可以不加。也就是说每个空隙都有两个处
理方法。所以
2×2×···×2=2
9
=512（种）
所以，共有512种不同的吃巧克力的方法。









【奥赛训练】
4.求1,2,3,4„„，9998,9999中所有数码的和。









5.10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。请问：一
共有多少种不同的方法？ （1994年浙江省“缙
云杯”小学数学竞赛）

3.枚举法
【题型概述】
将问题所 有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合
适就保留，不合适就丢弃。这种归纳方法 叫做枚举法。
【典型例题】
小华和小伟玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一 起掷出。若两枚骰子的
点数和为7，则小华赢；若点数和为8，则小伟赢。试判断他们两人谁获胜的可< br>能性大。
思路点拨 我们可以把他们掷骰子的情况一一列举，再比较。
出现7的情况共有6种，它们是：
1+6， 2+5， 3+4， 4+3， 5+2， 6+1。
出现8的情况共有5种，它们是：
2+6， 3+5， 4+4， 5+3， 6+2。
所以，小华获胜的可能性大。
【举一反三】
1.一个小于400的三位数，它是完全平方数；它的前面两个数字组成的
两位 数还是完全平方数；其中个位数也是一个完全平方数，那么这个三位数是多
少？








2.用1、3、4、5 、7、8、9组成没有重复数字的四位数，得到的数从小到
大排成一列。第119个数是多少？









3.有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少

种不同的展开 图？（对称的算一种）





【拓展提高】
数学课上，王老师拿出1厘米、2厘米、3厘米、„„、7厘米长的小棒各
一根，要 求大家从中取出3根小棒拼成一个三角形。那么，一共有多少种不同的
拼法？
思路点拨 我们可以从简单的开始列举。
（1）如果其中最小边是1厘米，其他两条边的长度之差 一定要小于1厘米，
但无论取哪两根小棒都不可能使它们的长度之差小于1厘米。
（2）如果 其中最小边是2厘米，那么，另外两条边的长度之差只能是1厘米，
共有4种不同的取法：3、4（即三 角形的三条边分别是2厘米、3厘米、4厘米），
4、5， 5、6， 6、7。
（3 ）如果其中最小边是3厘米，那么，另外两条边的长度之差只能是1或2
厘米，两条边长度相差1厘米的 共有3种不同的取法：4、5， 5、6， 6、7；另
外两条边长度相差2厘米的共有2种不同的取法：4、6， 5、7。
（ 4）如果其中最小边是4厘米，那么，另外两条边的长度之差只能是1、2
或3厘米，两条边相差1厘米 的共有2种不同的取法：5、6， 6、7；另外两条
边长度相差2厘米的有1种取法：5、7；另外两条边长度相差3厘米的无法取。 < br>（5）如果其中最小边是5厘米，那么，另外两条边的长度之差只能是1、2、
3或4厘米，只有 1种取法：6、7
所以，通过分析可以知道最多有4＋3+2+2+1+1=13种不同的拼法。
【奥赛训练】
4. 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。







5. 有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8 、9、10和11厘米的细木
条，它们的数量足够多，从中适当选取3根作为三条边，可围成一个三角形 。如
果规定其中一条边长度为11厘米，你能围出多少个不同的三角形？
（1993年全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）

4. 反证法
【题型概述】
反证法是对一个命题的结论作出相反的假设 ，然后从假设出发，运用合理
的推理，推导出矛盾，这样就否定了原来的假设，从而得出原命题正确的结 论。
在我们解题的过程中，若碰到直接证明不易下手，而反面情况比较直接、简单时，
可尝试反 证法，其关键是推导出矛盾。
【典型例题】
某个国家共有四种不同面额的货币： 1元、10元、100元、1000元。请问：
能否用50万张货币刚好组成100万元？
思路点拨 我们假设可以用50万张货币刚好组成100万元，其中A张1
元、B张10元、C张10 0元、D张1000元。于是可以列出这样的两道方程：
A+10B+100C+1000D= 1 000 000,
A+B+C+D=500 000,
两道方程相减得：9B+99C+999D=500 000，即9（B+11C+111D）= 500 000，
显然等式的左边是9的倍数，而右边却不 可能是9的倍数，左右两边不可能相等，
出现了矛盾，这说明开始的假设是错误的，所以，不能用50万 张货币组成100
万元。
【举一反三】
1. 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到45045？








2. 是否存在这样的三位数abc,它等于下面三个两位数的和：ab、bc、ac？








3. 能否在十行十列的方格表的每 个空格中分别填上1、2、3，这三个数中
的一个，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字和 互不相

同？





假期专题
专题一
【题型概述】
在前面讲还原问题和推理问题时，我们就曾使 用过列表法，对于一些计算简单，但
需要重复计算的问题，使用列表法，表达简单，不易出错，有些问题 的条件不断变化，不便
于统一列式计算，也适合用列表法，还有的问题无法列式计算，只能列表推演，总 之，列表
法可以解决很多复杂而有趣的问题。
【典型例题】
一个运 动队进行翻山训练，往返于一座山两侧山脚下的A、B两地。从A地出发，
到山顶路长3000米，上山 每分钟行75米，下山每分钟行100米，用42分钟到达B地，如
果上、下山的速度不变，那么从A地 到B地，再从B地到A地，需要多少时间？
思路点拨： 这是一道简单的题目，只需利 用时间、路程、速度的关系，就可以得到
结果，因为从A地到B地，要先上山再下山，从B地返回A地， 又要先上山再下山，中间
经过四次变化，为了减少计算错误，可以利用列表法。
根据时间、流程、速度的关系，从上到下，由已知的两个求出另一个，边计算边填表。

A
顶
顶
B
路程米
3000
100×42
100×42
3000
速度（米分）
75
100
75
100
时间分
40
42
56
30
B 顶
顶A
从上表中可以得到往返一次所需的总时间是：
40+42+56+30=168（分）=2（小时）48（分）

【举一反三】
1、 小明骑自行车从A地到B地去送信，先走了一段上坡路，用了14分钟，又走了
一段30 00米长的平路，最后下坡用了11分40秒，已知小明骑车上坡、走平路、
下坡时的速度分别是2.5 米秒、4米秒、6米秒，求小明从A地到B地，再返回
A地所用的时间。

2、 一只大桶装了10升水，另外有恰好能装 3升和7升水的桶各一只，怎样才能只利
用这三只桶把这10升水平均分两份？



3、 北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛，即每个队都
与其他各队赛一场，请将下面的比赛日程表补全：
第一天
上海—山东
北京—（ ）
第二天
天津—江苏
北京—（ ）
第三天
山东—广东
北京—（ ）
第四天
上海—天津
北京—（ ）
第五天
（ ）—（ ）
北京—（ ）
（ ）—（ ） （ ）—（ ） （ ）—（ ） （ ）—（ ） （ ）—（ ）

【拓展提高】
有100个人，第一位带了3元9角钱，以后每位都比前一位多带1 角钱，每人
把自己的钱全部用来买练习本，练习本有每本8角与每本5角的两种，如果每人尽可
能买每本5角的，那么这100人共买了多少本每本8角的练习本？
思路点拨 因为每人 带的钱数不同，所以不可能同意列式计算，可以采用列表
法，然后从表中发现规律，填表计算时注意，一 要尽量多买每本5角的，二要把钱用
完，由于44角比39角多5角，所以可多买一本5角的，而8角一 本的购买数量相同，
类似的，45角比40角多5角等等，由此看出，所买每本8角的本数随钱数增加呈 周
期规律，一个周期内有五个数：3,0,2,4,1（本）。所以，100个人共买每本8角的
（3+0+2+4+1）×（100÷5）=200（本）。
钱数角
39 40
8
0
41
5
2
42
2
4
43
7
1
44
4
3
45
9
0
···
···
···
5角的本数
3
8角的本数
3
【奥数训练】
4、甲、乙二人进行骑车比赛，第1 分钟内甲的速度是6.6米秒，乙的速度是2.9
米秒，以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的2倍， 乙总是前一分钟的3倍，问：
出发后多长时间乙追上甲？








5、某寺庙中有老和尚、大和尚、小和尚三人，一天寺庙的 菜园子要浇水，但寺庙
的水缸中一滴水也没有，没办法，只好大家一起动手。现在由大和尚与小和尚去山 中
的小溪中担水，而老和尚用水缸里的水去浇菜园，已知大和尚每次挑60千克水，来
回一次需 7分钟，小和尚每次挑20千克水，来回一次需5分钟，老和尚每次挑50千
克水，浇一次菜需3分钟， 但老和尚要等到水缸中已足够他挑一担时才开始工作，若
水缸中的水少于50千克那就等到够挑一担，如 果大、小和尚同行开始挑水，那么25

分钟后水缸中有多少千克水（装水和倒水的时间不 计）？


专题（二）
【题型概述】
在分数的计算 和圆的面积计算中，我们曾经学过“整体代换”的方法，例如：计算一
个圆的面积，将圆周率乘半径的平 方即可，但是，有的时候我们不知道这个圆的半径是多少，
只告诉你r²=8，这时就可以直接用3.1 4乘8求得圆的面积，今天，我们学习“整体代换”
法在求圆柱体表面积或体积时的应用。
【典型例题】
如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为6.28立方厘米的圆柱 ，纸盒的
容积有多大？
思路点拨 我们不妨设圆柱的底面半径为r，则正方体的棱长为2r 。圆柱的体积是πr²
×2r=2πr³=6.28，即r³=1，所以，（2r）³=8r³=8×1 =8（立方厘米）。
答：正方体纸盒的容积是8立方厘米。
【举一反三】
1、把 一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体
的表面积。






2、将一个正方体木块切成一个最大 的圆柱体，这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原
来正方体的体积有多大？







3、如图所示：一个圆柱体的侧面展 开图为正方形，已知它的一个底面面积是10平方厘米，
求这个圆柱体的表面积。

【拓展提高】
把一个横截面是正方形的长方体木料校监成一个最大的圆 柱体，圆柱体的表面积为
32.97平方厘米，底面直径与高的比是1：3，原来长方体的表面积是多少 ？
思路点拨 我们不妨设底面直径为d，高为3d，那么圆柱体的表面积为
（错误!）²×3.14×2+d×3.14×3d。即
（错误!）²×3.14×2+d×3.14×3d=32.97，
1.57d²+9.42d²=32.97,
10.99d²=32.97，
d²=3.
所以，长方体的表面积为
d²×2+d×3d×4=14d²=14×3=42（平方厘米）
答：长方体的表面积为42平方厘米。
【奥赛训练】
4、已知一个圆柱的底面半径 等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的棱长，这个
正方体的底面积是25平方分米，求这个圆 柱的表面积。







5、如图 所示，在长为20厘米的圆筒形管子的横截面上，量出的最长线段为10厘米，管子
的体积是多少？

专题（三）
【题型概述】
我们知道，酒瓶或饮料瓶的瓶颈处一般 都不是规则的圆柱体，如果要求体积等问题，这
是该怎么办呢？把一根圆柱体钢材等物体放入一个长方体 或圆柱体的容器内，要求水面的高
度，必须先判断物体是否全部浸没，通过今天的学习，大家就会明白了 。
【典型例题】
如图所示，有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是500毫 升，现在瓶中
装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分高度为5厘米，瓶内现有饮料
多少毫升？
思路点拨 比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变， 所以空
余部分的体积应该相同，将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料的容积应当
204
等于底面积不变，高为20+5=25（厘米）的圆柱形的体积，饮料占容积的 = ,所以，瓶
255
4
内饮料有500× =400（毫升）
5
【举一反三】
1、某种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是2升，现在 瓶中有一些饮料，正
放时饮料高度为10厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米，如图所示，瓶内现在有 饮料多
少升？









2、如图所示，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，瓶中酒深10厘米，把酒瓶 塞
紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米，你能算出酒瓶的容积是多少毫升？







3、如图所示，某种酒瓶的瓶身呈圆柱形（不包 括瓶颈），瓶身内直径为8厘米，现在瓶中装

有一些酒，正放时酒的高度是12厘米，倒 放时空余部分的高度是3厘米，求这个酒瓶的容
积？




【拓展提高】
在一个底面积是15平方厘米的玻璃瓶装入高3厘米的水，现把一个底面半径是 1厘米，
高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米？（π取3）
思路点拨 首先我们要考虑圆柱形铁块放入玻璃杯中，是全部放入呢？还是部分放入
呢? < br>假设圆柱形铁块全部放入水中，它所排开水的体积是πr²×5即3×1×1×5=15（立方
厘 米），要使水面升高2厘米，铁块必须排开（15—1×1×1×3）×2=24（立方厘米）的水，
从 两个数据中可以看出，圆柱形铁块不可能全部放入水中。
铁块不全部放入水中，这样玻璃杯内水所覆盖 的底面积是15—1×1×1×3=12（平方厘
3
米），而水的体积没有变化还是15×3= 45（立方厘米）。铁块放入水中后，水面高45÷12=3
4
3
(厘米)，比原来高了 厘米。
4










【奥赛训练】
4、如图所示，有一个高8厘米，容积是50毫升的圆柱形容器A，里面装满了水，现在
把长16厘米的 圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢
出，当把B从A中拿出来后，A 中的水高度为6厘米，求圆柱B的体积。








5、一个盛有谁的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米 ，现在将一
个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少？

专题（四）
【题型概述】
下面，我们将综合运用前面的相关知识解决问题。需要大家注意比较和 区分，领会知识
之间的相互通融性、一致性。
【典型例题】
已知一个圆锥的底面半 径和高都等于一个正方体的棱长，这个正方体的体积是216立
方分米。求这个圆锥的体积。
思路点拨 不妨设圆柱的底面半径为r，则正方体的体积为r
3
=216。那么，圆锥的体积
111
为 ×π×r
2
×r= ×3.14×r
3
= ×3.14×216＝226.08（立方分米）
333

答：这个圆锥的体积为226.08立方分米。
【举一反三】
1.一个圆 柱体比一个圆锥体的体积大1200立方厘米，圆柱体的底面积是400平方厘米，
比圆锥体的底面积小 100平方厘米，圆柱体的高是18厘米，则圆锥体的高是多少厘米？









2.一个圆柱体，底面积是5 平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是6
立方分米。求这个圆柱体的高。









3.两 个正方体的体积之差是1200立方厘米，如果以每个正方体的一面为底，加工成最大
的圆锥，加工成的 两个圆锥的体积之差是多少立方厘米

【拓展提高】
一个边长是20厘米的正方体玻璃缸中装着水 ，水中浸没了一个底面直径为12厘米、
高为5厘米的铁质圆锥体和一个底面直径为8厘米、高为5厘米 的铁质圆柱体。当圆锥体、
圆柱体都从桶中取出后，桶内水将下降多少厘米？
思路点拨 我们知道，铁质圆锥体、圆柱体浸没于水中，都排开一定体积的水，它们的
体积和就等于总 排开水的体积。
铁质圆锥体的体积与铁质圆柱体的体积和为
1128
×3.14×（ ）
2
×5+3.14×（ ）
2
×5

322
1
＝ ×3.14×6
2
×5+3.14×16×5
3
＝188.4+251.2
＝439.6（立方厘米）
439.6÷（20×20）＝1.099（厘米）
答：桶内水将下降1.099厘米。
【奥赛训练】
4.如图1所示，一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高4厘米，玻璃杯 的底面直径是12
厘米，在这个玻璃杯中放进底面直径是8厘米的圆柱形铁块后，水面没有淹没铁块。这 时水
面有多高？











5.一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量 边长是14厘米，水的高度是8厘米。
1
把一个铁制实心圆锥直立在容器里以后，水的度上升到 12厘米，正好是圆锥高的 .圆锥的
2
底面积是多少？

（2002年开平市小学六年级数学竞赛）

专题（五）
【题型概述】
今天，我们将在前面学习的基础上综合运用正反比例知识解决问题。 处理这些问题，
需要大家熟练地运用正、比例知识，灵活地列示计算。
【典型例题】
1
小明读一本300页的故事书，前2天读了全书的 ，照这样计算，读完全还要多少天？
3
思路点拨 这是一道带有分数的比例应用 题，我们既可以根据具体的页数列出比例式，
也可以根据相对应的分数列比例式。
解：设读完全书还需要x天。
11
∶2＝（1－ ）∶x，
33
12
x＝ ×2，
33
x＝4。
答：读完全书还需要4天。
【举一反三】
2
1.一辆汽车从A地开往300千米外的B地，前2小时已经行了全程的 ，照这样计算，
5
行完全程还需要几小时？








2.工厂接到生产2000个零件的生产任务， 前3天完成了总任务的45％，剩下的任务还
需要多少天完成？

1
3. 小明计划在6天内读完一本240页的故事书，实际每天多读了原计划的 ，实际多
5
少天就能读完？



【拓展提高】
加工一批零件，甲独做要12小时，乙独做需要8小时。如果甲、乙合作，完工时甲比
乙少做140个 ，这批零件共有多少个？
思路点拨 根据已知条件，可以先求出甲、乙两人的工作效率之比，又因为 合做这批
零件的时间一定，甲、乙的工作总量之比就等于工作效率之比，所以，不难求出这批零件的数量。

11
∶ ＝2∶3
128
3+2
140× ＝700（个）
3-2
答：这批零件共有700个。
【奥赛训练】
4. 加工一批零件，王师傅独做要15小时，李师傅独做要25小时。如果两位师傅合作，< br>完工时王师傅比李师傅多做108个，这批零件共有多少个？










5. 某商品按原定价出售 ，每件利润为成本的25％，后来按原定价的90％出售，获得利
润却比原来增加了25％。那么降价后 销售量是原价销售量的多少倍？
（2004年香港圣公会小学数学奥林匹克）

专题（六）
【题型概述】
通过前几天的学习，对于应用正反比例知识解决各种行程类的实际问题 应该有了初步的
了解。今天，我们将在此基础上继续学习比较复杂的行程问题。

【典型例题】
客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，相遇时客车与货车所行的路程比是5∶ 4，相
遇后货车每小时比相遇前每小时多走36千米。客车仍按原速度前进，结果两车同时到达对
方的出发点。已知客车一共行了3.6小时，那么，甲、乙两地相距多少千米？
思路点拨 我们知 道，从两车相遇到同时到达对方的出发站，货车和客车所行的路程
比为5∶4，因为时间相同，路程与速 度成正比例，因此，相遇后货车和客车的速度比为5∶
54
4，即相遇后货车速度是客车速度的 。又因为相遇前货车速度是客车速度的 ，速度差36
45
54
千米就相当于客车速度的（ - ），不难求出客车的速度，也就可以求出两地之间的距离。
45
549
36÷（ - ）×3.6＝36÷ ×3.6＝288（千米）
4520
答：甲、乙两地相距288千米。

【举一反三】
1.客车和货车同时从 甲、乙两地相向开出，相遇时客车与货车所行的路程比是6∶5，相
遇后货车每小时比相遇前每小时多走 33千米。客车仍按原速度前进，结果两车同时到达对
方的出发点。已知客车一共行了4.2小时，那么 ，甲、乙两地相距多少千米？








2. 甲车和乙车同时从A、B两地相向开出，相遇时甲车与乙车所行的路程比是4∶3，< br>相遇后乙车每小时比相遇前每小时多走42千米。甲车仍按原速度前进，结果两车同时到达
对方的 出发点。那么，相遇前乙车的速度是多少？

3. 轿车和大客车分别从杭州和南京两个城市相向开出 ，相遇时轿车和大客车所行的路
程比为11∶10，相遇后大客车每小时比相遇前每小时多行21千米。 轿车仍按原速度前进，
结果两车同时到达南京和杭州。已知轿车一共行了3.2小时，那么，相遇时轿车 行了多少千
米？
【拓展提高】
李叔叔开车从合肥去武汉，如果每小时比原来多行20千米，那么所用的时间是原来的
5
；如 果每小时少行20千米，那么所花的时间要比原来多1小时。那么，合肥与武汉相距
6
多少千米 ？
5
思路点拨 “如果每小时比原来多行20千米，那么所用的时间是原来的 ”，即现在
6
所需的时间和原来所需的时间比为5∶6。因为路程一定，速度和时间成反比例，所以，现< br>6
在的速度和原来的速度比为6∶5，原来的速度为20÷（ -1）=100（千米／时）；当 汽车每
5
小时比原来少行20千米，这时的速度和原来的速度比为（100-20）∶100= 4∶5，现在的时
间与原来的时间比为5∶4，我们可以先求原来所需的时间，再求合肥和武汉的距离。 所以
6
20÷（ -1）=100（千米）
5
（100-20）∶100=4∶5
5
1÷（ -1）=4（小时）
4
100×4=400（千米）
答：合肥与武汉相距400千米。


【奥赛训练】
4. 小王开车从甲地去乙地，如果每小时比原来少行20千米，那么所用的时间是原来的
5
；如果 每小时比原来多行20千米，那么所用的时间比原来少1.2小时。甲、两地相距多
4
少千米？









5. 甲、两地相距35千米，小张和小李都要从甲地到乙地，他们只有一辆单车，小张先
步行 ，小李先骑车，同时从甲地出发，小李骑车到甲、乙之间的丙地，再步行往乙地，小张
步行到丙地，再骑 车到乙地，他们两人同时到达乙地，小张步行速度是每小时5千米，小李

步行速度是每小 时4千米，两人的骑车速度都是每小时20千米，那么两人走完全程用了多
少小时？
（2002年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛）



专题七
【题型概述】

今天，我们运用正比例和反比例的知识解决更加复杂的工程问题。

【典型例题】

3
徒弟和师傅两人同时加工一批皮鞋，徒弟的工作量是师傅的 ,徒弟每小时加工 100
4
双，师傅每小时加工120双，当徒弟完成任务时，师傅还剩100双。这批皮鞋加工 任务共有
多少双？

思路点拨 徒弟和师傅的工作时间相同，因此，徒弟完成加工任务时，师傅的加工量
12064
是徒弟的 = .而师傅的任务是徒弟的 ,这样就可以知道“100双”的对应分率，求出徒
10053
弟的任务，再求出这批皮鞋加工任务共有多少双。
157
464
100÷（ － ）×（1＋ ）＝100× × ＝1750（双）
353
23
答：这批皮鞋加工任务共有1750双。

【举一反三】
4
1.甲、乙两人同时加工一批汽车零件，甲的任务是乙的任务的 ,甲每天加工60个，
5
乙每 天加工65个，当甲完成时，乙还剩96个.这批汽车零件有多少个。





3
2.师徒两人同时加工一批裤子，师傅的任务是徒弟的 ,师傅每天加工10条，徒弟每
2
天加工5条，当师傅完成时徒弟还剩20条未加工.师徒两人 一共要加工多少条裤子？

5
3.甲、乙两人同时加工一批零件，甲的任务是乙的任务的 ，甲每天加工80个，乙每
6
天加工90个，当甲完成时，乙还剩6个.乙要加工多少个零件？




【拓展提高】

1
一项工程，甲工程队先做3天，然后与乙工程队合做9天，这样完成了整项工程的 ,
3
甲工程队与乙工程队的工作效率比为3:4. 如果这项工程全部由乙对干，需要多少天才能完
成？

思路点拨 由“甲工程队 与乙工程队的工作效率比为3:4”可以知道，完成同样的工
作量，甲工程队与乙工程队所需要的时间比 为4:3. 因此，甲干3＋9＝12（天）的工作量，
3
如果给乙干，只需要12× ＝9（天）就能完成. 所以，我们不难求出如果这项工程全部由
4
乙工程队干，需要多少天才能完成.

311
[(3＋9)× ＋9]÷ ＝18÷ ＝54(天)
433
答：乙工程队单独干需要54天才能完成.

【奥赛训练】

4.一项工程，甲工程队先做2天，然后与乙工程队合做8天，这样完成了整项工程的
2
,甲工程队与乙工程队的工作效率比为4:5. 如果这项工程全部由乙工程队干，需要多少
3
天才能完成？







5.某工地用三种型号的卡车运送土方.已知甲、乙、丙三 种卡车载重量之比为10:7:6，
速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三 种卡车的辆数之比为10:5:7. 工程开
始时，乙、丙两种车全部投入运输，但是甲种车只有一半 投入，直到10天后，另一半甲种
车才投入使用，一共干了25天完成任务. 那么，甲种车完成的工作量与工作总量之比是多
少？

专题八
【题型概述】

我们已经见识了很多有关比和比例的应用题，下 面我们将学习其他一些类型的问题.
这些问题在解决的时候最好列方程， 方程可以清晰地反映条件所表达的关系.

【典型例题】

某工厂学徒中男工占80%，师傅中男工占90%，师徒加起来男工占82%. 那么，师与
徒的人数之比为多少？
思路点拨 我们不妨列方程解答，用“男工数不变”建立等量关系.
解：设师傅有x人，学徒有y人.
90%x＋80%y＝82%(x＋y)
90%x＋80%y＝82%x＋82%y
8%x＝2%y
因为8%x＝2%y，所以x:y＝2%: 8%＝1:4
即师傅与徒弟的人数之比为1:4.

【举一反三】

1. 某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩分别是75.5
分、81分.问这 个班男、女生人数比是多少？






2. 有两组数，第一组的平均数是13.06，第二组的平均数是10.2，这两组数总的平均数是
12.0 2，那么，第一组数的个数与第二组数的个数比是多少？






3.硬糖每千克5.1元，软糖每千克8.9元，要求混合后的糖价为每千克5.4元，硬、 软两种

糖应取怎样的重量比才合适？






【拓展提高】
幼儿园大班和中班共有32个男生，18个女 生.已知大班中男生的数与女生数的比为5:3，
中班中男生数与女生数的比为2:1. 那么，大班的女生有多少人？
思路点拨 我们可以列方程解答. 解：设大班有女生x人，则中班的女生（18－x）
人. 根据“大班中男生人数＋中班男生人数＝32”得

52
x× ＋（18－x）× ＝32
31
5
x＋36－2x＝32
3
1
x＝4
3
x＝12
答：大班的女生有12人.

【奥赛训练】

4.某校毕业生共分为9个班，每个班人数相等.已知一班的男生比二、三班两个班的女生总数多1人；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1人.
那么，该 校毕业生中男、女生人数的比是多少？










5.利群小学报名参加合唱团的男生与女生人数之比是1: 2，录取的男生与女生人数之比
是3:8，未录取的男生与女生人数之比是5:2，有14人未录取，一 共录取多少人？

专题九
【题型概述】

我们已经学过“定义新运算”，今天重点将关于分数的定义新运算.因此，情况变复杂
了，大家要看清楚，有的时候还需要我们从条件中找出规律.

【典型例题】

AB
定义计算：A◎B＝ ＋ ,A、B是两个非零自然数.求（5◎3）－（3◎5）的值.
BA
思路点拨 根据新的定义，我们只要把数值代入算式中就行了
5335
（5◎3）－（3◎5）＝（ ＋ ）－（ ＋ ）＝0
3553

【举一反三】

1111
1.运算“￥”定义为：A￥B＝( × )÷( ÷ ). 求3￥5.
ABAB








ab1
2.规定：a☆b＝ － ，则5☆2－ ＝?
ba10

3.定义：a※b＝4b－






【拓展提高】

a＋b
.求3※（4※6）.
2
111
规定A＝(A－1)×A×(A＋1)，A是大于1的自然数，而且已知 － ＝ x ,
99100100
求x.
思路点拨 根据新定义，99＝98×9 9×100,100＝99×100×101，那么，方程可以写
成

111100
或者把方程 － ＝ x两边同时乘以100，得 －1＝x，即
9910010099

99×100×101
x＝ －1
98×99×100
101
＝ －1
98
3
＝
98

【奥赛训练】

2 2
4.设f(x) ＝x－3, g(x) ＝x ＋2x－7.求f[g(3)].








112
5.规定运算：a※b＝ ＋ . 若2※1＝ ，则2004※2005＝？
ab(a＋1)(b＋x)3




11x
－ ＝ ，不难算出x的值.
98×99×100 99×100×101 99×100×101