医学信息学-三年级下册期末试卷

平面向量及其线性运算


教学内容：
平面向量及其线性运算（2课时）
教学目标：
理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义，掌握平面向量的线性
运算（向量加法、减法、数乘）的性质及其几何意义，理解平面向量共线的条件
和平面向量的基本定理．
教学重点：
平面向量的线性运算．
教学难点：
用基底表示平面内的向量．
教学用具：
三角板
教学设计：
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量；向量的基本要素：大小和方向.
（2）向量的表示：
①几何表示法；用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的
方向表示向量的方向；②字母表示：
a
或
AB
.
(3) 向量的长度（模）：即向量的大小，记作
|a|
或
|AB|
.
(4) 特殊的向量：零向量：
a0|a|0
；单位向量：
a
为单位向量

|a|1
.
(5) 相等的向量：大小相等，方向相同的向量.
(6) 相反向量：
ab

ba

ab0
.
(7) 平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行(共线)向量，记作
a
∥
b
.
2. 向量的线性运算
运算 运算法则 运算性质
向量加法
ab
是一个向量，
平行四边形法则
三角形法则
ABBCAC

abba

(ab)ca(bc)

OBOAAB

aba(b)

ABBA

向量减法
ab
是一个向量，
三角形法则

a
是一个向量,
满足
|

a||

||a|
，
数乘向量

0
时,

a与a
同向；

0
时,

a与a
异向；

0
时,

a0
.
3.重要定理、公式

(

a)(

)a

(



)a

a

a


(ab)

a

b

（1）平面 向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内两个不共线的 向量，那么，对于这个平
面内任一向量
a
，有且仅有一对实数

1
，

2
，使
a

1
e
1


2
e
2
. 其中不共线的向量
e
1
，
e
2

称为基底. （2）向量共线定理：向量
b
与向量
a
共线的充要条件是有且仅有一个实 数

，使得
b

a
，
即
a
∥
b

b

a(a0)
.
二、典型例示

例1 判断下列命题是否正确：
① 零向量没有方向；② 两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③ 单位向量都相等；④ 在平行四边形
ABCD
中，一定有
ABDC
；
⑤ 若
ab
，
bc
，则
ac
；⑥ 若
a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
；
⑦
ab
的充要条件是
|a||b|
且
a
∥
b
；⑧ 向量
AB
就是有向线段
AB
；
⑨若
AB
∥
CD
，则直线
AB
∥直线
CD
；⑩ 两相等向量若共起点，则终点也相同.
解：只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确，是因为有向线段仅仅是向量的直观体
现，我们可以用有向线段
AB
来表 示向量
AB
，但向量
AB
可以用不同的有向线段表示，只要
这些有向线段的长度相等方向相同即可，因此向量与有向线段是有区别的.
注：正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提．
例2 （1）化简下列各式：①
ABBCCA
；②
(ABCD)BC
； < br>③
(ADMB)(BCCM)
；④
OAOCCD
；⑤MB(ADAM)
.
（2）若
B
是
AC
的中点，则
AB

AC
，
AB

CA
，
AC

BA
.
注：正确运用向量的运算法则和运算律进行化简，尤其要注意差向量起点和终点的选择．
例3 已知
AD
22
AB
，
AEAC
，则
DE
等于（ ）
33
122
1
A.
CB
B.
CB
C.
CB
D.
CB

333
3
注：逆用向量的运算法则，体现逆向思维.
例4 设
ABa
，
BCb
，
CAc
，判断下 列命题的真假：（1）若
abc0
，则
三个向量可构成
ABC；（2）若三个向量可构成
ABC
，则
abc0
；并由此回答下 列
问题：若命题甲为
abc0
，命题乙为三个向量可构成
ABC< br>，则命题甲是命题乙的什
么条件？
注：注意向量运算的几何意义，体现数形结合思想.
例5如图，梯形
ABCD
中，
AB
∥
CD
且
AB2CD
，
M
，
N
分别是
CD
和
AB
的中
点，设
AB a
，
ADb
，试用
a
，
b
表示
BC和
MN
.
N
DC
1
解：
BCBAAD DCABADAB

2
11
ADABba
； < br>A
M
22
1111
MNMAADDNBAADDCAD ABba
.
2244
B
注：关键在于确定一条从所求向量起点到终点 的路径，然后再借助于向量的运算逐步转
化成用基底表示．
三、课堂练习
1．已 知
AD,BE
分别是
ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
ADa,BEb
,则
BC
为（ ）
42242222
ab
B.
ab
C.
ab
D.
ab

33333333
2．已知
ABa,BCb,CAc
,则
abc0
是
A, B,C
三点构成三角形的 （ ）
A.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D，则
ABBCCDDA
.
4. 化简：
（1）
ABBCCD
_____________；

（2）
ABADDC
______________；
（3）
(ABCD)(ACBD)
______________.
5. 判断下列命题是否正确
（1）若
ab
，则
ab
.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若
ABDC
，则
ABCD
是平行四边形.
（4）若
ABCD
是平行四边形，则
ABDC
.
（5）若
ab,bc
，则
ac
.
（6）若
ab,bc
，则
ac
.
6. 若
|a |3
，
|b|5
，
b
与
a
的方向相反，则a

b
.
四、课堂小结
五、课外作业
1．下面给出四个命题：①对于实数m和向量
a,b
，恒有
mabma mb

②对于实数m、n和向量
a
，恒有

mn
amana

③若
mamb(mR,m0),则ab

④若
mana(a0)
，则m=n 其中正确的命题个数是
A. 1 B. 2 C. 3


（
D. 4
） 
2．在平行四边形
ABCD
中，若
ABADABAD
，则必有 ( )
A.
AD0
B.
AB0或AD0
C.
ABCD
是矩形 D.
ABCD
是正方形
3．下列命题中，正确的是（ ）
A.若
ab
，则
ab
B. 若
ab
，则
ab
C. 若
ab
，则
ab
D. 若
a1
，则
a1

4. 下列说法中错误的是（ ）
A. 向量
AB
的长度与向量
BA
的长度相等
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
5．
D,E,F
分 别是
ABC
的边
BC,CA,AB
的中点，且
BCa,CAb ,
给出下列命题
①
ADab
②
BEab
③
CFab
④
ADBECF0

其中正确的序号是_________。
6．若
2(xa)(bc3x) b0
，则
x
__________。
7. 两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是______。
8. 如图，
OADB
是以向量
OAa,OBb
为边的平行四边 形，又
BMBC,CNCD
，试
用
a,b
表示
OM,O N,MN
。
9. 已知
O
是
ABC
内的一点，若
OAOBOC0
，
求证：
O
是
ABC
的重心.
10. 在水流速度为
43kmh
的河中，如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12
kmh
，求
船的航行速度与方向。

1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
3