艺考成绩-青年节演讲稿

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广 东 培 正 学 院
GUANGDONG PEI ZHENG
COLLEGE

课 程 教 案



课程名称：[Gen221]经济数学.
授课教师： 数学教研室 .
授课班级： 2010级，001班 .
本 专科： 专科 .





0

人文学科与基础教学部 数学 教研室
2012 至 2013 学年第 一 学 期



目录
第一章 函数 ................. .................................................. .................................................. ............... 1
函数的概念 ...................... .................................................. .................................................. .... 2
第一章 函数 ................................ .................................................. .................................................. 6
初等函数 ....................................... .................................................. ......................................... 6
第一章 函数 ....................................... .................................................. ......................................... 10
利息 贴现及常用经济函数 ................................. .................................................. ............... 10
第二章 极限与连续 ................. .................................................. .................................................. . 14
极限的概念 ................................... .................................................. ....................................... 14
第二章 极限与连续 ............................................ .................................................. ........................ 18
两个重要极限 ........... .................................................. .................................................. ......... 18
第二章 极限与连续 ....................... .................................................. ............................................. 22
无穷小与无穷大 ...................................... .................................................. ............................ 22
第二章 极限与连续 .... .................................................. .................................................. .............. 26
函数的连续性 ..................... .................................................. ................................................. 26
第二章 极限与连续 ................................. .................................................. ................................... 30
函数的间断点 .................................................. .................................................. .................... 30
第三章 导数与微分 ............ .................................................. .................................................. ...... 34
导数的概念 .............................. .................................................. ............................................ 34
第三章 导数与微分 .................................... .................................................. ................................ 38
求导四则法则 ... .................................................. .................................................. ................. 38
第三章 导数与微分 ............... .................................................. .................................................. ... 42
复合函数求导法则 .............................. .................................................. ................................ 42
第三章 导数与微分 .................................................. .................................................. .................. 46
常用的求导方法，高阶导数 ........... .................................................. ................................... 46
第三章 导数与微分 ............................................ .................................................. ........................ 50
函数的微分 ............ .................................................. .................................................. ............ 50
1

第四章 导数有应用 ....... .................................................. .................................................. ........... 54
函数的单调性 ........................ .................................................. .............................................. 54
第四章 导数有应用 .................................... .................................................. ................................ 58
函数的极值及其应用 .................................................. .................................................. ........ 58
第四章 导数的应用 ........................ .................................................. ............................................ 62
边际分析及弹性分析 .................................... .................................................. ...................... 62





教 案 案 首
授课时
间
授课地
点
2012年 8 月 31 日 第 1 周 星期 五 第 5，6，7 节
2401 授课学时 3

章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
教学任
知识目标
第一章 函数
函数的概念
能力目标
2

务目标 理解函数的概念，掌握函数的意义、通过对函数的学习，使同学在经济
性质及表示方法 生活中，能够将有关经济模型用函
数解析，便于掌握它们的规律
教学重
点与难
点
重点：概念的理解
难点：学习函数的意义，对函数系统性的理解
教学内
容与
时间安
排
1.简介经济数学的任务及学习方法（20分钟）
2.函数的概念（35分钟）
3函数的性质（50分钟）
4.总结与练习（20分钟）
5.布置作业（5分钟）
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：几何辅助图形
3、是否多媒体 是（ ）否（ √） 课件来源
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
3

过
程

一. 复习导入
复习中学数学知识，介绍经济数学的特点，引入新课题
二. 讲授新内容
课题 函数的概念
1. 函数的概念
常量——只取固定值的量
变量——可取不同值的量
变域——变量的取值范围
定义 设
x
和
y
是两个变量，
D
是一给定的数集，如
果对于任意，变量
y
按照一定法则，总有唯一 确定的数值
与其对应，则称
y
是
x
的函数，记作，数集
D< br>称为这个函
数的定义域，数集称为函数的值域，
x
称为自变量，
y称
为因变量．
当自变量
x
取数值时，因变量
y
按照对 应法则所对应
的数值，称为函数在点处的函数值，记作．
关于函数定义的几点说明：
（1）我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，
对于每一个x值只能对应变量y的一个值. < br>（2）符号“f”的意义表示函数对应法则的符号也
常常用“g”、“F”等表示，这时函数就记 作y=g(x)、y=F(x)
等.
（3）确定函数的两个要素——定义域和对应法则 只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个
函数就相同；如果定义域或对应法则有一个 不相同，那么
这两个函数就不相同
（4）函数定义域的求法
有代数式子与具体问题两种情况，请同学们分别举例说
明。
(最后)老师总结归纳： a.代数式中分母不能为零
b.偶次根式内表达式非负
c.基本初等函数要满足各自的定义要求
4
d.对于实际问题，还应符合实际意 义
配合教师认真回
忆高中数学内
容，特点、学习
方法以及应用，
并让 同学回答学
习体会
对应多个可以
吗？
法则的意义是什
么？
建立函数关系的
意义有哪些？
什么才是真正相
同的函数？
从函数的定义同
学们能看出数学
研究问题的特点
吗？（规律性）
今后常遇到的函数：

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
5

过
（1）分段函数（例如邮政发信，请同学们再举出例子，
并总结特点）
程

对于分段函数，要注意以下几点：
a.分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不
是几个函数．
b.分段函数的定义域是各段定义域的并集．
c.在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段
的表达式
（2）隐函数(同学们举例)
（3）参数方程确定的函数（同学们举例）
(4)反函数
求反函数的步骤是从中解出
x
，得到，再将
x
和
y
互
换即可．
例如求的反函数．解 由得，互换字母
x
，
y
得所求反
函数为．函数对应关系必须一一对应
2.函数的几个性质(奇偶性与周期性因较简单，略去)
（1）函数的单调性
若 对于区间内任意两点，，当时，有，则称在上单调增
加（如图１－４），区间称为单调递增区间；若，则 称在
上单调减少（如图１－５），区间称为单调递减区间．
单调增加与单调减少分别称为递增与递减．单调递增
区间或单调递减区间统称为单调区间．
（2）函数的有界性
若存在正数，使得在区间上，则称在上有界．否则称为无
界．
例如函数在区间内有，所以函数在内是有界的．
同学们总结出求
函数定义域的基
本原则
同学们各举一例
并阐述它们的主
要用途，以及它
们主要的应用途
径
同学们总结：什
么样的函数具有
反函数？

6

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
7

学
3函数的表示
过
常用的函数表示方法有表格法、图像法、解析法．
（1）将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示
程

函数的方法叫表格法，如三角函数表、对数表及许多的财
务报表等．
（2）用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法
叫图像法，它的特点是较直观．
（3）用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系
的方法叫解析法，如，等，它的特点是便于推理与演 算．
三.小结与练习
本次课主要讲述了函数的定义及函数的有关性质，过去同
学们 对函数的了解一是模糊，二是错误的认识的太多，通
过本次课的学习主要是让同学们知道我们为什么研究 函
数，函数对我们生活的帮助作用是什么，它的一些基本性
质是什么？
特别是指数函 数与对数函数在经济中应用非常广泛，如我
们需求函数等。所以同学们要对这四个函数重点掌握。
求函数 的定义域解 应使 即
所以此函数的定义域为D=（2,5].
四.布置作业
课后练习P5 1、3、4
五.教学后记

在经济上常用的
方法是什么？为
什么？（报表实< br>际上就是表格
法，因为解析式
得不到）
便练习便指导

8

教 案 案 首
授课时
间
授课地
点
2012年 9月 7日 第 2周 星期 五第 5，6，7节
2401 授课学时 3

章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第一章 函数
初等函数
能力目标
通过对函数的学习，使同学在经济生活中，能够将有关经济模型用函
数解析，便于掌握它们的规律
教学任
务目标
了解初等函数的内容，以及它们的
用途
教学重
点与难
点
重点：初等函数的特点
难点：初等函数的常用用途
9

教学内
容与
时间安
排
1.复习导入（10分钟）
2.基本初等函数的概念及特点（40分钟）
3复合函数及初等函数（40分钟）
4.总结与练习（25分钟）
5.布置作业（5分钟）
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：几何辅助图形
3、是否多媒体 是（ ）否（ √） 课件来源
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
10

过
程

一．复习导入
复习中学数学知识，学过的基本初等函数，引入新课题
二． 讲授新内容
课题 初等函数
1.基本初等函数
常函数：（
c
为常数）．
幂函数：（为常数）．
指数函数： (，且，
a
为常数) ．
对数函数： (，且，
a
为常数) ．
三角函数：，，，，，
常用幂函数：

指数函数

对数函数
常用对数函数，以10为底
自然对数函数，以无理数e为底
配合教师认真回
忆中学阶段学习
的函数名称和特
点
回答问题：常数
函数的定义域？
图形特点？
幂函数的特点？
变量在什么位
置？
指数函数在经济
上的应用非常广
泛，它与对数函
数有什么关系？
我们经常听说一
些经济问题以指
数规 律增长或降
低

11

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
12

过

程

2.复合函数
定义 设y
是
u
的函数，
u
是
x
的函数，如果的值域< br>或其部分包含于定义域中，则
y
通过中间变量
u
构成
x
的函数，称为
x
的复合函数，记为，其中
x
是自变量，
u
是中间变量．
例1 设，，求，，．
解

复合函数是不是
就是基本初等函
数的简单乘积？
复合关系一般是
嵌套关系，不是
简单的乘积 关系


f(x)

arccosf(x)arccose< br>x


例2 指出下列复合函数的复合过程．
（1） （2）
解 （1）是由，，和复合而成．
（2）是由，，，复合而成，其中是简单函数．
注意：并非任何两个函数都可以复合．例如，和就不
能复合，因为，而的定义域是．
3.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合
运算而得到的，并且 能用一个式子表示的函数，称为初等
函数
13

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
14

学
过
程

例如，，，等都是初等函数．而不满足有限次运算，不
是一 个解析式子表示，因此都不是初等函数．
一般情况下，把基本初等函数经过有限次四则运算所
得到的函数称为简单函数．
在微 积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等
函数或简单函数的形式进行研究，所以应当学会怎样分析
初等函数的结构．
例3 设，试分析它的结构
三.小结与练习
本次课 主要分析了常见的函数类型，同学们对常见的基本
初等函数一定要掌握，特别是复合函数的分解过程要熟 练
掌握应用
将下列各题中的
y
表示成
x
的函数．
1、（1），，；
（2），，；
（3），，．
2、分析下列函数的复合过程．
（1） （2）
（3） （4）
四.布置作业
P12页1、2、3、4
五.教学后记

便练习便指导
谈练习后对这部
分题目的感受
15

教 案 案 首
（总第
3 号）
授课时
间
授课地
点
2012年9月 14 日 第 3 周 星期 五 第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第一章 函数
利息 贴现及常用经济函数
能力目标
通过对经济函数的学 习，使同学在
经济生活中，能够将有关经济模型
用函数解析，便于掌握它们的规律
教学任
务目标
了解常用经济函数的内容，以及它
们的用途
教学重
点与难
点
重点：利息、贴现的算法
难点：经济函数的常用用途
16

教学内
容与
时间安
排
1.复习导入（10分钟）
2.单利、复利与贴现的计算40分钟
3.需求与供给函数的分析40分钟
4.收入、成本与利润的计算30分钟
5.布置作业（5分钟）
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：几何辅助图形
3、是否多媒体 是（ ）否（ √） 课件来源
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
17

提出问题：同学
过
们与银行打交道
复习上次课函数的基本概 念与性质，然后提出银行存钱利
最多是什么？存
程

息问题，成本核算问题等引入新课题
款与取款，存款
中最关心的是什
二．讲授新内容
么？
课题 利息 贴现 经济函数
P为本金，r为年
1.利息、贴现
利率，学生推导：
第一年利息不计
（1）单利计算公式
入本金为单利；
第年末的本利和为
第一年利息计入

本金为复利
R是n年后到期价
（2）复利计算公式：
值，票据现值为

P，同学们能否根
（3）贴现
据复利计算公式
债券或其他票据持有人，为了在票据到期以前获得资金，
推导出来
从票面金额中扣除未到期间的利息后，得到所余金额的现
需求量与价格应
金，就是贴现
该具有怎样的关
（老师总结）
系？

供给量与价格应
2.需求函数与供给函数
该具有怎样的关
（启发大家）想象市场规律下需求量与价格之间存在
系？

什么样的关系，它们是不是函数关系呢？（老师总结）
一． 复习导入
简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量
就是价格的函数．
（启发）供给 ，就是厂方能够为市场提供多少产品，
当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增
加生 产，反之供给量就减少．（老师总结）我们也可
以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为
供给函数
．
讨论一种最简单 的情况，认为需求函数和供给函
数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨
论看可以得 到什么性质．
18

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
19

过

程

表示需求量，表示价格，表示常数．
我们容易理解需求量应随价格的增 加而减少，所以，
当然．而供给量应随着价格的增加而增加，所以，，
因为当价格为零时，不会 有供给量．
从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，
供给函数是一条单调上升的直线．




我们把这两条曲线放在同一个坐标系中， 就会发
现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义
是，在价格为时，产品的需求量与供 给量是相同的，
即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超
过时，供过于求；价格低于 时，供不应求．在经济分
析中，供需平衡点所
思考问
题：在需求
函数的表达
式中，为什
么要有
b>0？
答案因为表达式
中的a取负值，
而在合理的价格
范围内，需求量
应为 正值，所以
有b>0
经济学家怎样作
呢？一般经济学
家是将价格P做
为竖轴，需求量
或供给量做为横
轴，同学们可以
自己画出讨论一
下

20

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
21

学
对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供
给量称为市场均衡数量．
过
3.成本与利润函数
程

成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：C
(
q
)=
c
0
+
C
１
思考 问题:是不
是产量越大利润
越大呢？
便练习便指导
谈练习后对这部
分题目的感受
(
q
)
这就是成本函数． 其中总成本
C
(
q
)是产量
q
的函数，
c
0
与产量无关，变动成本
C
１
(
q
)也是产量
q< br>的函数．
我们在引入平均成本的概念：
这样就得到
R
=
q p
(
q
)
其中
p
(
q
)是 价格与产量之间的函数关系．相应地有平
均收入函数

L
(
q)=
R
(
q
)-
C
(
q
)
相应地有平均利润函数的概念：
（1）
L
(
q
)>0盈利 ，（2）
L
(
q
)<0亏损，（3）
L
(
q
)=0盈
亏平衡
满足
L
(
q
)=0的
q
0
称为盈亏平衡点（又称保本点）．
三.小结与练习
本次课的内容在经济分析中 作用较大，特别是这些基本经
济函数在市场规律中早以得到了验证，作为财会专业的学
生更应该 对这些函数了如之掌
四.布置作业
P14页1、2、3、4
五.教学后记
22

教 案 案 首
授课时
间
授课地
点
2012年 9月 21日 第 4周 星期 五 第5，6，7节
2401 授课学时 3

章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第二章 极限与连续
极限的概念
能力目标
通过对极限的学习，使同学理解在
变化中认识事物的本质是怎样的
一个逼近过程
教学任
务目标
通过对本节的学习，理解极限的概
念，知道极限是怎样一个变化过程
教学重
点与难
点
重点：数列与函数极限的理解
难点：数列与函数极限的理解
23

教学内
容与
时间安
排
1.极限概念的引入20分钟
2.数列的极限40分钟
3.函数的极限40分钟
4.小结与练习25分钟
5.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：几何辅助图形
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
24

提出问题：中学
过
数学中无穷递缩
复习高中数学数列的概念 ，讲述极限产生的历史背景（割
等比数列问题，
程

圆述和庄子语）引入新课题
及庄子天下中提
到的问题（见左
四. 讲授新内容
边）
课题 第一节 极限的概念
学生给出答案
1.引入
提问：如果不唯
【引例1】 书上用圆内接正边形的面积来近似代替该圆的
一，满足极限 的
面积时，得到数列 （多边形的面积数列）
定义吗？
【引例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行< br>有界一定收敛
下去，那么剩下部分的长构成一数列： ，通项为。看其
吗？
变化趋势
这无限逼近过程
2.总结定义：当项数n无限增大时，通项无限接近一常数 ，
能否一个点一点
对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接
的计算呢？
近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列
极限是描述函数
的极限问题
的自变量在某个
3.收敛数列的有关性质：
变化过程中函数
定理1：（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。
的变化趋势，同
定理2. （有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：
一个函数在 自变
对于数列，若正数，对一切，有。
量不同的变化过
注：本定理的逆定理不成立， 即有界未必收敛。例如数列是有
程中，变化趋势
界的（），但数列不收敛。
可能不同，因此，
让同学们举例说明
在讨论函数的极
4.自变量趋向有限值时函数的极限
限时，必须要知
与数列 极限的意义相仿，自变量趋于有限值时的函数极限
道自变量的变化
可理解为：当时，（为某常数 ），即当时，与无限地接近，
过程
三. 复习导入
或说可任意小，
5.左、右极限
25

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
26

过
程

在函数极限的定义中，是既从的左边（即从小于的方
向）趋于，也从的右 边（即从大于的方向）趋于。
但有时只能或需要从的某一侧趋于的极限。如分段函
数及在区间 的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限
的定义
定理
limf(x)Alimf(x)limf(x)A

xx< br>0
xx
0
0xx
0
0
6.自变量趋向无穷大 时函数的极限
limf(x)Alimf(x)limf(x)A

xxx
请同学们模仿上
面函数极限的定
义形式，给出当
时极限定义情况
函数在一点处有
无极限与这一点
的有无定义有关
吗？

若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）
7.函数极限的性质
定理1：（保号性）设，
（i） 若，则，当时，。
（ii） 若，必有。 设
f(x)


1

2x1
x0
x0
，求。
解：显然

因为，所以
三.小结与练习
注：（1）在讨论函数极限时，一定离不开自变量的变化
趋势；
（2）是否存在和在点处有无定义无关；

27

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
28

学
过
程

（3）可以验证，初等函数在其定义域内每点处的极限都
存在，且等于该点的函数值； 先 请同学们练
习，然后再由老
1
x
（4）一般地
lim
a0,a0;lima0;limCC

师讲解
xxx< br>x
xx
0
极限是一种函数的变化趋势，是动态变化过程中考查出来
的 ，而不是一个点一个点的函数值算出来的。
分析函数的变化趋势，并求极限.
（1）；（2）；
（3）；（4）
四.布置作业
随堂作业
1.试用图形说明：不存在.
2.设，求在是的左、右极限，并说明 在点极限是否存
在.
五.教学后记

29

教 案 案 首
授课时
间
授课地
点
2012年 9月 28日 第 5周 星期 五 第5，6，7节
2401 授课学时 3

章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第二章 极限与连续
两个重要极限
能力目标
通过对极限的学习，使同学理解对
数学式子的灵活变换可以解决许
多问题
教学任
务目标
通过对本节的学习，掌握两个重要
极限的计算方法
教学重
点与难
点
重点：两个重要极限的理解
难点：两个重要极限的应用
30

教学内
容与
时间安
排
1.极限运算法则20分钟
2.第一个重要极限30分钟
3.第二个重要极限30分钟
4.小结与练习30分钟
5.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：几何辅助图形
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
31

过
程

五. 复习导入
讨论讨论函数的极限问题 ，如果按照定义将是非常麻烦的
问题，在上一次课中我们也知道了某些函数的极限，能否
利用这 些已知的函数极限来运算出其它函数的极限以及
重要形式的变换来解决相关问题的极限，引入新课题
六. 讲授新内容
课题 两个重要极限
1.极限的四则运算法则
在某个变化过程中，变量分别以为极限，则
提出问题：如果
遇到两个函数和
差乘积商的极限
问题怎么办？

lim(uv)limulimvAB

lim(uv)limulimvAB


注意：（1）法则中所说的某个变化过程中，是指这两
个函数在同一个变化过程中；
（2）所说极限为A和B 是指这两个数确切存在；
（3）商的极限为零不能直接用商的法则。
引理：夹逼准则
如果函数满足下列条件：
（i）当时，有。
（ii）当时，有。
那么当时，的极限存在，且等于。
2.两个重要极限之一
第一个重要极限：
它的形式特点是什么？
32

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
33

过
程

第二个重要极限：
如何正确理解这两种重要极限的形式


如何理解这两种
形式的普遍意
义？

lim

1



0
1


1

lim

1

e






例求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
求极限
sinx
sinx
tanxsinx
cosx
解：
lim

lim
33
x0x0
xx
lim

sin x(1cosx)sinx1
lim
x0x0
x
3
co sxxcosx
2
2sin
2
x
2
x
2
x

sin

1sinx1
2


1< br>
limlimlim

2
x0
x
x0
cosx
x0

x

2


2

34

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
35

学
过
设，求。
lim
x

sinxsin(

x )sint
limlim1
。
x

x
x

t

xt0
t
xx
2
x
11
222

lim(1)lim[(1)
2
] [lim(1)
2
]e

xx
程

x
xx
x
22
案例 P为本金，r为年利率，如果一年计算一次，那么n
年后本利和（复利）为

如果一年计两次息，每次利率为，n年后本利和

如果一年计m次利息如果随时计息，即，则n后本利和是
多少？

由同学们 计算得
出，然后与单利，
复利相比较，看
连续复利比原来
有什么差别？
先请同学们练
习，然后再由老
师讲解
r

要求是
limPlimP1
n

mm

m
mn
Pe
nr

四.小结与练习
从本次课来看，我们主要解决了极限的四则运算法则和两
类形式的极限问题
和类型， 如何正确化成这两种极限形式是非常重要的，需
要一定的技巧，另外要正确理解这两种极限的重要形式
布置作业：随堂练习，计算上述题目
五.教学后记

36

教 案 案 首
（总第
7号）
授课时
间
授课地
点
2012年 9月30日（原10月5日课程） 第6周 星期 日 第5，6，
7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第二章 极限与连续
无穷小与无穷大
能力目标
通过对本节的学习，使同学理解无
限与有限的相对性，学会在无限的
范围考虑问题
教学任
务目标
通过对本节的学习，理解无穷小与
无穷大的概念及它们的关系
教学重
点与难
点
重点：无穷小与无穷大的理解
难点：无穷小性质的利用
37

教学内
容与
时间安
排
1.无穷小的定义20分钟
2.无穷小的性质40分钟
3.无穷大的定义30分钟
4.小结与练习25分钟
5.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
38

过
程

一．复习导入
对于函数极限为零的情况和 无穷大的情况较为特殊，它是
函数变化趋势的特殊情况，单独讨论将出现新的问题，引
入新课题
二.讲授新内容
课题 无穷小及无穷小的比较
1.无穷小量
（1）定义
称当时，为无穷小量，简称无穷小.
无穷小量是一个特殊的变量，是极限为零的变量（是唯
一的无穷小常量）
注：谈无穷小量不能离开自变量的变化趋势；
不能将无穷小量与非常小常数混为一谈；
但零是唯一的无穷小常量（因为零是常量函数，而不管
自变量怎样变化，它的极限都为零） < br>它与有极限变量的关系是：变量
y
以为
A
极限的充分必
要条件 是：
y
可以表示成
A
与一个无穷小量的和，即
提出问题：函数的两种特殊变化
趋势：一种是绝
对值无限变小，
一种是绝对值无
限变大， 它们在
极限中起到了举
足轻重的地位，
分别叫无穷小与
无穷大
说明这个变量在
变化过程中与它
的极限差了个什
么？

limyAyA

(lim

0)

2.无穷小量的有以下性质：
性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量；
性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；
性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量
当时，下列变量中 （ ）是无穷小量.
A）；B）；C）；D）
答案是D

39

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
40

过
程

当时，下列变量中哪些是无穷小量？
x2
x
,2,100000x,xcos
x

10
9
当时，下列变量中是无穷小量的有：
（1）；（2）；（3）
3.无穷大量
在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于
任意给定的正实数的变量称为无穷大量.
定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无
穷大，；反之，若是无穷大，则是无穷小.
4.无穷小的比较
定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，
（ⅰ）若，就说是比高阶的无穷小，记为；
（ⅱ）若，，就说是比低阶的无穷小；
（ⅲ）若，，就说是比同阶的无穷小；
（ⅳ）若，就说与是等价无穷小，记为。

无穷小是非常小
的数吗？能否说
一个函数是无穷
小啊？同学们能
否想 到学习无穷
小有哪些意义？

41

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
42

学
过
三.练习
求
解：因为当时，，所以
程

lim
x0
sin2x2x2
limlim1

22
x0x0
x2xx2xx2
（1）； （2）；
（3）； （4）
四.小结与作业
本次课主要讲述了无穷小与无穷大的定义与性质及它
们之间的关系，可以利用它们求相关函数的极限， 要注
意不能将无穷小理解成很小的数，也不能将无穷大理解
成非常大的数，利用等价无穷小的等 价代换可以简化求
极限的问题
利用无穷小与无穷大的倒数关系解决这样的问题：
当时，若则

等价代换是不是
就是这两个式子
相等啊？
（同学们能否感
悟出）在生活中
我们往往利用无
穷小的特点将一
些问题进行分 割
成非常小的量进
行近似计算，因
为非常小的量误
差很小


0，n
a
0
x
n
a
1
x
n`
...a
n

a
0
lim

,nm

x
bx
n
bx
n`
...b
01n

b
0


,nm布置作业：P27，2、3
五.教学后记

43

教 案 案 首
授课时
间
授课地
点
2012年 10月12日 第7周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3

章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第二章 极限与连续
函数的连续性
能力目标
通过对本节的学习，使同学 理解为
了解决有关实际问题，我们往往将
生活中一些离散的问题变成连续
问题，以便用 数学解析
教学任
务目标
通过对本节的学习，理解函数的连
续性定义，知道连续函数的特点与
性质
教学重
点与难
点
重点：函数连续的定义及判断
难点：函数连续性质的利用
44

教学内
容与
时间安
排
1.函数连续的定义30分钟
2.函数连续的第二定义20分钟
3.连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质40分钟
4.小结与练习30分钟
5.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 活动
学生学习
45

提出问题：函
过
数在一点的
函数的连续性是函数的重要性质 ，是进一步研究函数的微积
连续性，只考
程

分的基础，几何表现为一条连续不断的曲线----引入新课题
虑这一点的
函数值能解
二.讲授新内容
决问题吗？
课题 函数的连续性
有关增量的
1.连续函数的定义1
概念，增量一
先介绍增量 ：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的
定为正的
增量，记为，即；可正、可负、也可为 零，这些取决于与的
吗？
大小。
函数连续的
我们称为自变量在点的增量，记为，即或；相应函数值差，
三个要素
称为函数在点的增量，记为，即，即或，
它说明了在
f(x)f(x
0< br>)f(x
0
x)f(x
0
)0y0
。
自变量的某
一个变化过
设在的某邻域内有定义，若当时，有
程中，函数的
，即，或，就称在点连续。
变化与它的
2.连续函数的定义2
极限值之间
设在的某邻域内有定义，若，就称函数在点处连续
的接近程度
注 1：在点连续，不仅要求在点有意义，

一．复习导入
46

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
47

过
程

存在，而且要，即极限值等于函数值。
若
limf(x)f(x
0
0)f(x)
，就称在点右连续
xx
0


3.左右连续
定理：在点连续在点既左连续，又右连续。
4.区间上连续
如果在区间上的每一点 处都连续，就称在上连续；并称为
上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连
续， 在右端点连续是指左连续
5.(连续函数的四则运算法则)：若均在连续，则及（要求）
都在连续
6. 设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函
数在点处连续。
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的
8.闭区间上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
定义:定义在区间I上，，，有（或）则称是在区间I上的
最大值（或最小值）
（2）介值定理
设在闭区间上连续，且在这个区间的端点取不同的函数值
及，那么对于A和B之间的任意一个数
48

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
49

C，在开区间内至少存在一个点，使。
学
三.小结与练习
理解连续函数的定义及意义，利用函数的连续性可以计
过
算部分函数的极限
问：1）函数在点处连续和该点处的极限有什么联系和区
程

别？
①极限在点处可无定义 如： ②连续在点必有
定义，且。
2）函数在点处有极限，则在这点必连续吗？
不一定，如：在处有极限，但在处无定义，所以
在处不连续。
3）函数在处连续，则在该点处必有极限吗？
是。连续的第二个条件为极限存在。
4）在处有定义，则函数在该点必连续吗？
四.布置作业
第31页2、3
五.教学后记


能否总结出函数
定义、极限、连
续三者之间的联
系？

50

教 案 案 首
授课时
间
授课地
点
2012年 10月19日 第8周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3

章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第二章 极限与连续
函数的间断点
能力目标
通过对本节的学习，使同学 理解为
了解决有关实际问题，我们往往将
生活中一些离散的问题变成连续
问题，以便用 数学解析
教学任
务目标
通过对本节的学习，理解函数间断
点的判断方法
教学重
点与难
点
重点：函数间断点的定义及判断
难点：函数间断点的分类
51

教学内
容与
时间安
排
1.函数间断点的定义40分钟
2.函数间断点的分类45分钟
3.小结与练习30分钟
4.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
52

过
程

一．复习导入
函数的不连续反映在函数图象上有什么特点？----引入
新课题
二.讲授新内容
课题 函数的间断点
定义 如果函数在处不连续，则称点为的一个间断
点．
根据连续的定义，有下列三种情况之一的点即为函数
的间断点：
（1）在点处，无定义；
（2）在点处，的极限不存在；
（3）在点处有定义，且有极限，但．
函数的间断点分为两类，若函数在间断点处的左、右< br>极限都存在，则称为的第一类间断点，其他间断点称为第
二类间断点．
在第一类间断点 中，左、右极限相等的点称为函数的
可去间断点；左、右极限不相等的点称为函数的跳跃间断
点 ．在第二类间断点中，左、右极限至少有一个为无穷大
的点称为函数的无穷间断点．如果在自变量趋于这 点时，
函数的变化趋势是无限地振荡，则称此点为振荡间断点．
例1 求的间断点．
解
提出问题：同学
们能否知道不连
续的图像特点有
哪些类型？
间断点是通过什
么来定义的？这
是理解问题的关
键

l imf(x)lim(x
2
1)1,limf(x)limx0
，左、
x0x0x0x0
右极限存在但不相等．
为的跳跃间断点．
例2 求的间断点．
解 在x=1处无定义，所以x=1是的间断点．
x
2
1
而
limf(x)lim
所以x=1是lim(x1)2
，
x1x1
x1
x1
的可去间 断点．

53

教 案 纸
教
教师活动
学 活动
学生学习
54

过
程

例9 讨论在x=0处间断点的类别．
解
是的无穷间断点．
例10 讨论间断点的类别．
解 在x=0处无定义
是的间断点．
进一步可知，当时，在－1和1之间振荡，所以x=0是
的振荡间断点．
三．小结与练习

函数的间断点及其类型的判定
函数在点间断，是指满足下列三个条件之一．
（1）函数在无定义．
（2）函数在极限不存在．
（3）函数在的极限值不等于函数值．
函数的间断点分类如下
可去间断点
（左、右极限相等）
第一类间断点
（左、右极限存在）
跳跃间断点
（左、右极限不相等）
间断点
无穷间断点< br>第二类间断点
（左、右极限至少一侧不存在）
振荡间断点
（极限不存在，且不是 无穷大）
（极限不存在为无穷大）

55

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
56

学
过
程

求下列函数的间断点并说明类型．
（1）
（4）
四.布置作业
第31页4、5
五.教学后记

（2）
（3）

能否总结出函数
定义、极限、连
续三者之间的联
系？

57

教 案 案 首
（总第
11号）
授课时
间
授课地
点
2012年10月26日 第9周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第三章 导数与微分
导数的概念
能力目标
通过对本节的学习，使同学理 解平
均变化不能解决的问题，而通过导
数即瞬时变化率可以解决
教学任
务目标
通过对本节的学习，理解导数的概
念
教学重
点与难
点
重点：导数的定义
难点：导数定义的理解
58

教学内
容与
时间安
排
1.引例20分钟
2.导数的定义40分钟
3.导数的几何意义30分钟
4.小结与练习25分钟
5.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
59

过
程

一.复习导入
复习中学课程中关于曲线的切线求法。提出问题，引入新
课
二.讲授新内容
课题 导数的概念
（一）引例
1.速度问题：设在直线上运动的一质点的位 置方程为（表
示时刻），又设当为时刻时，位置在处，问：质点在时刻
的瞬时速度是多少？

2.切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，
在某点的切线就是一 直线，它在该点和曲线相切。准确
地说，曲线在其上某点的切线是割线当沿该曲线无限地
接近于 点的极限位置。
回答中学匀速直
线运动规律及切
线的定义
在初等数学中曲
线的切线定义不
准确：只与曲线
有一个交点，大
家举例来说明
思考作答：导数
的实质是什么？
（极限）


（二）导数定义：
设在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量（仍
在该邻域中）时，函数相应地有增量，
60

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
61

若增量比极限：即存在，就称其值为
过
在点的导数，记为，，或。
即，这时，也称在点可导或有导数，或导数存在。
程

1：导数的常见形式还有：
f

(x
0
)lim
x0
f(x
0
x)f(x
0
)；
x
f(x
0
h)f(x
0
)
；
h
f(x
0
)f(x
0
h)

h
f

(x
0
)lim
h0

它反映了什么问
题？
它反映了函数自
变量改变了一个
单位时间函数 改
变了多少，这对
描述许多问题作
用很大，可以说
没有导数就没有
新 的技术革命
f

(x
0
)lim
h0
2：反 映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，
它反映了函数随而变化的快慢程度。
3：这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与
分母，待到后面再讨论。
4 ：若极限即不存在，就称在点不可导。特别地，若，也
可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是 垂直于
轴的直线。
62

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
63

5：区间上可导（导函数）若在开区间内的每一点处均可
学
导，就称 在内可导，且对，均有一导数值，这时就构造了
一新的函数，称之为在内的导函数，记为，或，，等。
过
事实上， 或
为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数
程

一般地说，求导有三步：
（1）给出；算出；求增量
（2）求增量比；求差商
（3）求极限。取极限
3.导数的几何意义
在引例中已经讲到
4.可导与连续的关系
可导必连续，但连续不一定可导
例如，函数在处连续但不可导
三.小结与练习
导数的定义是构造性定义，即可以通过定义求导数，举
例练习，
求函数（为常数）的导数
四.布置作业
P41页1、5
五.教学后记


思考是否任何函
数都用导数的定
义求导，这样做
有什么困难？

64

教 案 案 首
（总第
12号）
授课时
间
授课地
点
2012年11月2日 第10周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第三章 导数与微分
求导四则法则
能力目标
通过对本节的学习，能够运用法则
与公式解决有关实际问题
教学任
务目标
通过对本节的学习，会求函数的导
数
教学重
点与难
点
重点：四则运算法则
难点：法则的运用
65

教学内
容与
时间安
排
1.四则运算法则45分钟
2.讲解例子40分钟
3.练习40分钟
4.布置作业5分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
66

过
程

一.

复习导入
前面我 们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数，
但是对于一些较复杂的函数，按照定义来求它们的导数 往
往很困难，所以在实际计算中，人们多利用导数的基本公
式和求导法则来求已知函数的导数． 本节我们由导数的四
则运算法则，导出基本初等函数的求导公式，，引入新课
二.讲授新内容
课题 四则运算法则
1.函数的和、差、积、商求导法则
定理 若函数与在点
x
处可导，则
（1）函数在点
x
处可导，且； （2）函数在点
x
处可导，且

u(x)v(x)

'
u
'
(x)v(x)u(x)v
'
(x)
；
（3）特别对任意常数
C
，有；
（4）若，函数在点
x
处可导，且

其中法则（1）、（2）可推广到有限个函数的情形，下
面只给出法则（1）的证明．
证 设

lim
导数既然是一
种运算应有它
的运算法 则，这
对于我们解决
导数有帮助作
用
注意观察这四
个法则中哪一
个最麻烦


u(xx) v(xx)(u(x)v(x))

x

u(xx)(u (x)v(xx)v(x)

lim



x 0
xx

u
'
(x)v
'
(x)
x0

则

67

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
68

过
程

2.练习
（1）四则运算法则的应用
例1 求的导数．
解

例2 设，求
解


例3 求的导数．
解
y'2(sinx)'co sx2sinx(cosx)'
22
2

cosxsinx


教师与学生共同
完成左边的任务

2cos2x
例4 已知，
求．解
(x
2
 1)'(sinx1)(x
2
1)(sinx1)'
2x(sinx1) (x1)cosx
2

例5 求的导数．
解
(sin x)'cosx(cosx)'sinxcos
2
xsin
2
x

cos
2
xcos
2
x

1
sec
2
x
2
cosx
例6求的导数．
解

69

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
70

学
过
程


同理可得：
可得法则（4）的推论，当可导，且，．
例7 求的导数．

x1

'
(x1)'(x1)(x1)'(x1)
解
y
'





x1(x1)
2


边讲边练


例8 求的导数．
解
x(cosx)'x'cosx
x
2

xsinxcosx15x
4
tanxxsec
2
x
x
2
15x
4
x'tanxx(tanx)'
三.小结
导数的四则运算 法则一是帮助我们推出了部分求导公式，
二是在遇到函数的四则运算过程中有了依据，初等函数的
求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)四则运算
法则
四.布置作业
P48页2
五.教学后记

71

教 案 案 首
（总第
13号）
授课时
间
授课地
点
2012年11月9日 第11周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第三章 导数与微分
复合函数求导法则
能力目标
通过对本节的学习，能够运用法则
与公式解决有关实际问题
教学任
务目标
通过对本节的学习，会求函数的导
数
教学重
点与难
点
重点：复合函数求导法则
难点：法则的运用
72

1.复合求导法则90分钟
2.练习40分钟
3.布置作业5分钟
教学内
容与
时间安
排
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
73

过
程

一.

复习导入
前面我们根据导数的定义，求出了一 些简单函数的导数，
但是对于一些较复杂的函数，按照定义来求它们的导数往
往很困难，所以在 实际计算中，人们多利用导数的基本公
式和求导法则来求已知函数的导数．本节我们由导数的四
导数既然是一
种运算应有它
的运算法则，这
对于我们解决
导数有帮助作
用
链式法则过程：
则运算法则，导出基本初等函数的求导公式，，引入新课
实际上是对复合
二.讲授新内容
函数进行简化，
化成一个个简单
课题 复合函数求导法则
而不等于，其原因在于是复合函数，关于复合函数求导我
函数
们有如下法则
1.复合函数的求导法则
定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在点也
可 导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复
合函数在点可导，且，或

由定理 知，复合函数的导数等于复合函数对中间变量
的导数乘以中间变量对自变量的导数，该法则可推广到有< br>限次复合函数的求导运算．
若，，，则复合函数的导数为

该法则称为复合 函数的链式法则．因此在计算复合函
数的导数时，其关键是弄清楚复合函数的结构，即它是由
哪 几个基本初等或简单函数复合而成，然后再求导．

74

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
75

过
程

2.练习
复合函数求导运算法则的应用
求下列函数的导数．
（1） （2） （3） （4）
解 （1）函数是由，两个函数复合而成的．
所以
y'y'
u
u'x
7u
6
(2)14(12x)
6

（2）函数是由函数，复合而成．
所以
y'y'
u
u'< br>x
2ucosx2sinxcosxsin2x

与例3求法比较一下，看谁更简单．
对于复合函数的分解比较熟练之后，就不必写出中间变量，可采用下列直接由外及里，逐层处理复合关系的方
式进行求导．
（3）

教师与学生共同
完成左边的任务
1cose
x
x
（4）< br>y'(sine)'(e
x
)'

xx
sinesine

设，求．
解
y'

已知，且可导，求．
解
y
'


f(sin x)

'
f
'
(sinx)(sinx)
'



1


12x


x x
2
1

2x
2
1

1
7 6

教 案 纸

教
教师活动 学生学
习活动
77

学
注意：是对复合函数的自变量x求导，而的含义是将sin

x
看做一个整体中间变量u的导数，它们的含义是不同的．
1
(x
u
)'ux
u
（u为实数）
过
C'0
（C为常数）
1
xlna
程

(a
x
)'a
x
lna
(log
a
x)'
(si nx)'cosx
(tanx)'sec
2
x


边讲边练

(lnx)'
1
x
(e
x
)'e
x
(cosx)'sinx
(cotx)'csc
2
x

三.小结
导数的四则运算法则一是帮助我们推出了部分求导公式， 二是在
遇到函数的四则运算过程中有了依据，初等函数的求导数必须熟
悉(i)基本初等函数的 求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函
数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时， 若对复合函
数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果
四.布置作业
P49页2
五.教学后记

78

教 案 案 首
（总第
14号）
授课时
间
授课地
点
2012年11月16日 第12周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第三章 导数与微分
常用的求导方法，高阶导数
能力目标
通过对本节的学习，练习总结归纳
能力
教学任
务目标
通过对本节的学习，掌握高阶导数
的计算方法
教学重
点与难
点
重点：高阶导数的定义与计算
难点：高阶导数的定义与计算
79

1.常用求导方法 90分钟
2.高阶导数40分钟
3.练习与布置作业20分钟
教学内
容与
时间安
排
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
80

过
程

一. 复习导入
复习上次课内容，注意有些问题用一阶导数得不出它的意
义，引入新课题
七. 讲授新内容
课题 高阶导数
几个常用的求导方法
1．隐函数求导法
前面我们所遇到的函数，如,等，都是由这样的形式
表示的，我们称这样的函数叫做显函数．有些函数的 表达
式却不是这样的，如方程，等，它是由方程所确定的函数，
称之为隐函数．
一般 地，如果在方程中，当x取某区间内任一值时，
相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程
在该区间内确定了一个y是x的隐函数．
有些隐函数容易化成显函数，如化为；有些隐函数则
很难显化，如由所确定的函数．但在实际问题中，有时需
要计算隐函数的导数，因此，我们有必 要找出直接由方程
来求隐函数的导数方法．
求方程确定的隐函数y的导数，只要将方程中的y
看成x的函数，利用复合函数的求导法则，方程两边同时
对x求导，得到一个关于的方程，然后 从中解出 即可．
例15 求由方程所确定的隐函数的导数．
解 方程两端同时对x求导，遇到y要注意y是x的
函数，要用复合函数求导法则，得

举例练习
高阶导数与一阶
导数的计算方法
完全一样，因此
不会有新 的公式
与法则
如何求高阶导数
呢？（就是在原
来基础上一次次
求导）
这是复合函数求
导法则的利用
81

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
82

过
程

从而
对数求导法
对于特殊 类型函数（它既不是指数函数，又不是幂函
数，称为幂指函数）或若干个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数，通常采用对数化成加、减变
成隐函数，然后按隐函数求导法则求函数的 导数，此方法
称为对数求导法．
求函数的导数．
解 将函数两边取对数，得

上式两边同时对x求导得

即
所以
求的导数．
解 两边取对数得

适合求什么样的
函数的导数？

lny
1

ln(x1)ln(x2)ln(x3) ln(x4)


2
上式两边对x求导得
11
1111

y'




y2

x1x2x3x4

所
y'
1(x1)(x2)

1111






2(x3)(x4)

x1x2x3x4

以
在某些问题中，需要对函数多次求导，如路程对时间
连续两次求导便得到加速度．
连续两次以上对某个函数求导数，所得的结果称为这个函
数的高阶导数

83

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
84

高阶导数定义：若函数的导函数在点可导，就称在点的
学
导数为函数在点处的二阶导数，记为，即
，此时，也称函数在点处二阶可导。
过
仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可
定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义 阶导数；
程

，求。
，求各阶导数。
三.小结与练习：
微分尽管与导数联系密切但意义不一样，微分的求法与
导数类似
1、，求。
2、，求。
要注意高阶导数的意义不好理解
四.布置作业
P54页1
五.教学后记



85

教 案 案 首
（总第
15号）
授课时
间
授课地
点
2012年11月23日 第13周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第三章 导数与微分
函数的微分
能力目标
通过对本节的学习，认识到人类认
识问题实际上是从近似到精确的
过程
教学任
务目标
通过对本节的学习，理解微分的意
义
教学重
点与难
点
重点：微分的定义
难点：微分的运用
86

教学内
容与
时间安
排
1.微分的定义 40分钟
2.微分的形式不变性 40分钟
2.微分运算法则30分钟
3.练习与布置作业30分钟
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
87

举例练习
过
叫微商，也就是
复习上导数的定义形式，它的另一种记号意义是什么？
微分的商，这一
程

八. 讲授新内容
次的内容就是微
分
课题 函数的微分及应用
微分就是在近似
1.引例与定义
引入：边长为 的正方形全导法加热，问薄板面积改变了多
计算中用比较好
计算的部分近似
少？
代替函数的增量
解：设此薄片的边长为，面积为A，则A是的函数：。
金属薄 片受温度变化的影响时，边长取得增量，面积A
这种近似代替与
无限逼近的思想
的增量 ，
在实际中经常应
222
即
A

x
0
x

x
0
2x
0
x
x

，分成两
用

部分，第一部分是的线性函数，当 时，第二部分是比高阶的无穷小()，即。如果边长改
变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地 用第一
部分来代替()。
定义：设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得
增量时，如果函数的增量可以表示为

一. 复习导入
其中A是与有关而与无关的常数，是比高阶的无穷小量，
则函数在点处可微，称为微分，即
88

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
89

2.微分与导数的关系
过
定理：函数在点处可微的定义的充分必要条件是函数在点
处可导。
程

可导可微连续极限存在
3.微分的计算
微分的表达式，要计算函数的微分，只要求出导数，
再乘以自变量的微分。
基本初等函数的微分公式。（P89）
（C为常数）； ； ；
； ； ； ；
； ； ； ；
4.微分的几何意义与应用
曲线,点，自变量有微小增量时，得曲
线上另外一点，
。 切线，倾斜角为，
，
，


适合求什么样的
函数的导数？
微分的几何意义
进上步说明了微
分的 应用，就是
是计算函数增量
时用微分来代替
增量简单

QPMQ tan

xf


x
0

即：
dyf


x
0

xf


x
0

dxQP

函数的微分的几何意义：当有增量时，曲线
在点处的切线的纵坐标的增量。
PN QNQPydyo

x

，
越小，越小。

90

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
91

yf(xx)f(x) f'(x)x

(x)

000
学

dyy

同学们能否总结
dyf'(x
0
)x

过
5.高阶导数定义：若函数的导函数在点可导，就称在点的
程

导数为函数在点处的二阶导数，记为，即
，此时，也称函数在点处二阶可导。
仿上 定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定
义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数；
【例1】，求。
【例2】，求各阶导数。
三.小结与练习：
微分尽管与导数联系密切但意义不一样，微分的求法与导
数类似
1、，求。
2、，求。
要注意高阶导数的意义不好理解
四.布置作业
P54页1
五.教学后记

出导数与微分的
区分与联系？
92

教 案 案 首
（总第
16号）
授课时
间
授课地
点
2012年11月30日 第14周 星期五第5，6，7节
2401 授课学时 3
章节（单元、专题）
授课内
容
内 容
知识目标
第四章 导数有应用
函数的单调性
能力目标
通过对本节的学习，认识到学习的
根本目的是学会用工具解决问题
的方法
教学任
务目标
通过对本节的学习，掌握用导数判
断函数单调性的方法
教学重
点与难
点
重点：单调性判断方法
难点：单调性的运用
93

1.单调性的定义30分钟
2.单调性的判断方法40分钟
3.练习与布置作业55分钟
教学内
容与
时间安
排
1、方法：讲授
教学方
法与手
段

2、教具：多媒体辅导教学
3、是否多媒体 是（√）否（） 课件来源 自制
教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
94

过
程

一. 复习导入
复习导数的几何意义 ----切线的斜率 ，引入课题：前面
我们已经介绍了函数单调的概念，然而直接根据定义来判
定函数的单调性，对很多函数来说，一般来说是比较麻烦
的．下面我们利用拉格朗日中值定理，导出一 个根据导数
符号确定函数单调性的简便方法
二．讲授新内容
课题 函数的单调性
1. 从图4-3可以看出：如果函数在某区间上单调增
加（单调减少），则它的图形是随x的 增大而上升（下降）
的曲线，如果所给曲线每一点处都存在非铅直的切线，则
曲线上各点处的切 线斜率非负（非正），即．
反过来，我们能否用导数的符号来判断函数的单调性
呢？有如下定理．
定理 设函数在区间上连续，在内可导．
（1）如果在内，则函数在上单调增加．
（2）如果在内，则函数在上单调减少．
证 ，不妨设，则函数在应用拉格朗日中值定理，得
f(x
2
)f(x
1)f
'
(

)(x
2
x
1
)(x
1


x
2
)


如果在内恒有，必有，又因，则定有．
所以函数在上单调增加．
同理，如果在内，可推出在单调减少．

（图4-3）
95

教 案 纸
教
教师活动
学 动
学生学习活
96

过
2.注意：(1)定理中可换成任意区间，结论仍成立．
(2)有的可导函数在某区间内的个别点处，导
程

数等于零，但不影响定理 判断其单调性．例如，幂函数，
它的导数，当时，，如图4-4所示，在内是单调增加的．
例1 判定函数在上的单调性．
解 因为在上连续，在内可导，且有

所以由定理知，在上单调增加．
有时，函数在其整个定义域内并不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图4-5所示，函数在区间，
上单调增加，而在上单调减少，从图中 看出单调区间的分
界点是函数导数为零的点或不可导的点，即或不存在，这
些点将函数的定义域 分成了若干单调区间
f(x)
y


O
a
x1
x
2
x
3
b
x

由此得到，确定函数单调区间的方法：
（1）指出函数定义域，求出；
（2）求出的点或不存在的点；
（3）这些点把定义域分成若干区间，在这些区间上根据
导数的符号判断其单调性．
例2 讨论函数的单调性．
解 函数的定义域为，
令，得，如表4.1．
97

教 案 纸

教
教师活动 学生学习活
动
98

学
x
表4.1
过
程



解 的定义域为，




+



例3 确定函数的单调区间．
f
'
(x)6x
2
18x126(x1)(x2)
令，得，，这两个点将定义域分成三个区间，，，，列
表讨论如下：
表4.2
x





+ +


三、小结与练习

本次课主要讲述了用导数的方法判断函数的单调性，十
分简单。
1．判断函数在区间内的单调性．
2．判断的单调性．
3．判断函数的单调性．
四、布置作业
习题4.3第4题
五、教学后记
99