图形图像制作-感悟青春

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课题
课时数
1.1 等腰三角形的性质和判定
第1课时 总 16 课时
时间：
9月1日
1、经历探索——发现——猜想——证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步文字 命题
的证明方法、基本步骤和书写格式。
教学目标
2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。
3、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。
教学重点
教学难点
等腰三角形的性质与判定定理的证明
证明过程的书写格式
教学过程
知
识
回
1、什么叫证明？什么叫定理？
2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？
3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实？此外，还有什么
二次备课

顾
被看作是基本事实？

情
景
创
设
2、你能画出它的顶角平分线吗？等腰三角形有哪些性质？
3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）
4、这些性质都是真命题吗？能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

1、合作与讨论：说明你所画的三角形是等腰三角形。证明：等腰三角形
的两个底角相等。
2、思考与讨论：说明你所画的是顶角的平分线。
怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相
1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）你能用刻度尺华画一个等腰三角形吗？


探
重合。
索
活
动 < br>定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，
（简称：“三线合一”）
4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？
5、思考与探索
3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。
定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”）

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如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？
要求：（1）写出它的逆命题：_______________________。

（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三 角形的判定定理：如果一个三
角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边” ）。

已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.
例
题
讲
解
求证：AB=AC
分析：要证AB=AC，只需证∠B=∠C，由已知
∠EAD=∠DAC，只需证∠EAD=∠B，∠DAC=∠C。
在例题中，如果AB=AC ，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？如果结论
成立，你能证明吗？你还能得出其他结论吗？
B
A
E
D
C
随
堂
练
习
1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为________。
2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为__________。
3、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个_______。
4、如果等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角_____。
5、在△ABC中，∠A＝40°，当∠B等于多少度数时，△ABC是等腰三角形？
1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。
2、要等腰三角形中，底边上的中线， 底边上的高，顶角的平分线是常用的辅助线，能过
画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。
小结思考
3、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边 形、
矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质
和 判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。

作业布置

课题
1、等腰三角形的定义 证明1…… 练习……
2、等腰三角形的性质 证明2…… …………
3、等腰三角形的判定 证明3…… …………

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课题
课时数
1.2 直角三角形全等的判定（1）
第2课时 总 16 课时
时间：
9月2日
1、能证明直角三角形全等的“HL”判定定理，进一步理解证明的必要性。
教学目标
2、利用直角三角形全等的“HL”定理解决有关的计算和证明问题。
3、初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题。
教学重点
教学难点
能证明直角三角形全等的“HL”判定定理；
发展演绎推理的能力
教学过程
情境
1、直角三角形全等的条件有哪些？
二次备课

创设
2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？
证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ 简写为
“HL” ）
问题一：你能从基本的事实出发，证明斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等吗？
问题二：证明这个结论你有没有困难？说说你准备如何解决这个问
探索
题？
活动
问题三：如果用“把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼
合”的方法 来证明“HL”定理，那么：
⑴如何拼合？
⑵可以拼合成一个什么图形？为什么可以拼合成一个等腰三角形？
⑶说说你的证明思路。
例1、如图：如果∠BAC= 30°，那么BC =
结论吗？

A

A
1
AB，你能证明这个
2
例题
教学



B
C
D
E
B
F
D
C

例 2、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别是E、F，DE＝D F. 求证：AB=AC

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1.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶ 7, 则点D到AB的距离为( )
A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm
2．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三 边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条
线交点． （ ）
（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）边的垂直平分线
3．如图，在 △ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝
随堂
练 习
DF. 求证：AB=AC
A




D
F
C
C
A
E B
4．已知：如图，AC平分∠BA D，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE
E
B
F
D
C
1
2
B
D
A
与DF相等吗？
5 ．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.求证:BD=
1< br>AB

4
1、图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）”和 “拼（把两个直角
三角形拼成一个等腰三角形）”两种方法体现了同一种思想——转化思想，即可把待证 的
小结思考
问题转化为可证的问题；
2、本节课我们证明了一般三角形所不具有的 直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角
三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例子吗 ？
作业布置

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课题
课时数
1.2 直角三角形全等的判定（2）
第3课时 总 16 课时
时间：
9月3日
1、学会对角平分线性质定理与判定定理的证明，进一步发展推理证明的意识和能力
教学目标
2、初步掌握用角平分线性质定理与判定定理解决有关问题
3、结合具体问题，提高将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力
教学重点
教学难点
从简单的数学例子中体会反证法的含义
逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力
教学过程
情
境
创
设
证明：角平分线上的点到角的两边的距离相等
1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离
相等“吗？
2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？
证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个
角的平分线上
问题一、“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题
二次备课
①引导学生通 过“角是轴
对称图形，角平分线所在的直
线是它的对称轴，折叠得到的
折痕（垂线段） 重合来说明
②不断感受合情推理道贺演
绎推理都是人们正确认识事
物的重要途径，并 且这也是每
个学生都能参与的学习活动。
探
是什么？
索
问题二、你人为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？
活
注意：关 注学生能否与角平分线的性质定理有区别的画出图形，
③会构造一个命题的逆命题，
动
并根据图形写出已知和求证。
问题三：如果某点到角的两边的距离不相等，那么这个点会在这
个角的平分线上吗？为什么？
例1 “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不
在这个角的平分线上。”你 认为这个结论正确吗？如果正确，你能证
④引导学生进一步认识图形
的我位置关系与数量关系之
间的内在联系，为问题三的思
也是获得数学结论的一个途
径
例
题
教
学
明它吗？
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点
A
的直线，BD⊥
考做铺垫
DE于D，CE⊥DE于E．
初步渗透反证法
A
（1）若BC在DE的同侧（如图（1））且AD=CE，说明：BA⊥AC．



B
C
D
A
E

B
E
C
D

学习必备 欢迎下载 （2）若BC在DE的两侧（如图（2））其他条件不变，问AB与
AC仍垂直吗？若是请予证明， 若不是请说明理由．
例3 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交与点O。点O到
△ ABC各边的距离相等吗？点O在∠C的平分线上吗？
定理：三角形的3条角平分线交于一点。

A
O
E
B
D
C
1、如图在△ABC中， ∠C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求∠B的度数。



A
A
A
C
D
E
B

D
E
C
E
B
随
堂
练
习


B
M
C
D
3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠B CE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
4、如图所示， △ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。求证：MD=ME。
6 、如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=900，AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，
(1)求：如果CD＝4cm，AC的长。
(2)求证:AB＝AC＋CD。
1、本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形有位置关系
与数量关系 的内在联系。你能说明这种内在的联系吗？
小结思考
2、你认为“在一个三角形中，如果两 个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。”
这个结论成立吗？如果成文，你能证明吗？
作业布置

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课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）
第4课时 总 16 课时
1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论
时间：
9月4日
教学目标
2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明
3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力
教学重点
教学难点
平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性
分析 综合 思考的方法
教学过程
根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，
请分别从边、角、对角线等方面进行回忆：
二次备课
情
境
创
设
平行四边形_______________ 矩形___________________
菱形_____________________ 正方形_________________
从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与
区别吗？
B'
A
B
C
A'
C'
如图
ABAB,BCBC ,CACA
，图中有______个平行四边形。
''''''
1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？
2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?
3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。
已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
探
索
求证：AO=CO，BO=DO

思考与表达
怎样想 怎样写
活

要证AO=CO，BO=DO
动

只需证△AOB≌△COD
只需证AB=CD

只需证△ABC≌△CDA
A
1
4
O
3
B
2
C
D

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行
四边形对角相等”，这样我 们可得平行四边形的三条性质定理：
平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形对角线互相平分。

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例1 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”
分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写 出已知、求
例
题
教
学
证，最后根据已知条件写出证明过程。
例2 已知：如图，
□
ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。求证：BE=DF

分析：可根据证明△ABE≌△CDF得到结论。
若将例2中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=
是否还能得到同样的结论？
1．
□
ABCD的周长为50cm，且AB: BC = 3:2，则AB=______cm，BC=______cm.；
2．已知
□
ABCD中，AB=8，BC=10，∠B=45°,
□
ABCD的面积为_________.
3.在
ABC
中,
A B=AC
=5,
D
是
BC
上的点,
DE
∥
AB
交
AC
于点
E
,
DF
∥
AC
交
AB
于点
F
,那么四边形
AFDE
的周长是 （ ）
11
AD，CF=BC”，
33
随
堂
练
习
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠D AB＝120°，
∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（ ）
（A）1 （B）1.2 （C）
3
（D）1.5
2
5.平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O，已知AB=8， BC=6，△AOB的周长为18，求
△AOD的周长。
6.已知：如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.
求证：BE=DF.

B
E
C
A
F
D1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
小结思考
2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。
3、平行线之间的距离处处相等。
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课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）

第5课时 总 16 课时
1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别
2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理
时间：
9月5日
教学目标
3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明
4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进
一步发 展推理论证的能力

教学重点
教学难点
矩形的本质属性
矩形性质定理的综合应用
教学过程
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。结合
二次备课

情境
下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？
创设
你能证明这些性质吗？
问题一 观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形 ，你
有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地
发现和获得新的数学 结论，不断地积累数学活动的经验）
问题二 证明：矩形的4个角都是直角。
矩形的对角线相等。

探索
问题三 你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？
A
活动
说说你的证明思路。
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°.
1
求证：边AB上的中线等于
2
AB.
问题四 你对上面的 结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断
B
D
C
学会思考和猜想：由结 论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是
否正确。不断发展学生数学思考的能力）

例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，

A
O
D
例题
教学
且AC=2AB.
求证：AOB是等边三角形
分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合
B< br>C

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“AC=2AB”即可证得。
本 题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个
矩形的哪些结论？

3、已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足，∠DAE∶∠EAB=2∶1，求∠CAE的度 数。



E
B
C
A
O
D
（1） （2） （3）
4、如图2，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
随堂
（A）98 （B）196 （C）280 （D）284
练习
5、如图3，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都 相等），
则剩余实验田的面积为___ _____．
6.已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．



从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们
小结思考 < br>分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我
们又利用矩 形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。
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课题
课时数
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）
第6课时 总 16 课时
时间：
9月6日
1、会归纳菱形的特性并进行证明，能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明
教学目标
2、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的
必要性
教学重点
教学难点
菱形的性质定理证明
性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化
教学过程
1．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的 虚线剪下，打开，你
发现这是一个什么样的图形? ()
2．探索。
请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。
(1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。
二次备课
①学生通过自己的操
作、观察、猜想 ，完全
可以得出菱形的特征，
这对学生来说是富有
意义的活动，学生对此
也很 感兴趣。
②从边、对角线入手。
③可以指名学生到讲
情境
问题：你怎样发现的?又是怎样验证的?
创设
3．概括。
特征1：菱形的四条边都相等。
特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
台上讲解一下他的结
4．请你折—折，观察并填空。
(1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_______。
(2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______。
问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你
有何发现？
问题二 证明：菱形的4条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
果。
④引导学生剖析矩形
与菱形的区别。
①引导学生不断地学
会 从多个角度观察、认
识图形，主动地发现和
获得新的数学结论，不
断地积累数学活动的
经验
探索
分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，
活动
再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。
问题三 已知菱形的 两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关
这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24） 你认为菱形的面
积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线
的计算它 的面积？

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由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。
例1 如图3个全等的菱形构 成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、
H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两
点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的
距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？


A
A
E
F

例题
教学

B
D
M
B
O
D
C
G
H
C分析：可将问题归结到菱形ABCD中研究，求出BD的长即可。可根据
菱形的对角线互相垂直平分 利用勾股定理求出BD。
例2 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上任一点，DF交
AC于点E。 求证：∠AFD=∠CBE
分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”
即可得证。
1 、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，如果EF=2，那
么ABCD的周长是（ D ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，•菱形的边长 是
C
B
G
A
E
D
随堂
________c m．
练习
3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm． 4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm ，BD=______cm．
5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12c m，则∠ABD的度数为_____，•∠DAB的
度数为______；对角线BD=_______ ，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．
菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转
小结思考
化为等腰三角形或直角三角形问题。
作业布置

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教学笔记


课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）
第7课时 总 16 课时
1、会归纳正方形的特性并进行证明
2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明
时间：
9月7日
教学目标
3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在 解决
问题中的作用
4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系
教学重点
经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力
教学难点
有条理地、清晰地阐述自己的观点
教学过程
情境
矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是
二次备课

创设
什么图形？它又有什么特殊性质呢？
1、正方形的定义
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（正方形是在什么前提下定义的？包括哪两层意思？）
探索
活动
2、正方形的性质
正方形是
平行四边形、矩形、菱形这些图形
性质的综合， 因此正方
形有以下性质
正方形性质定理1：正方形的对边平行，四条边相等，四个角都是直角。
正方形性质定理2： 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一
条对角线平分一组对角。

例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰
直角三角形。
A
D
O (A')
F
D'


例题
例2 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于
B
E
B'
C
教学
点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，
C'
D
O (A')
A’D’交CD于点F，E是BC的中点。
（1）求证：F是CD的中点
A
F
B
B'
E
C< br>D'
C'

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（2）若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？
由（1）、（2） 可以得到什么结论？（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋
转并与正方形ABCD分别交BC、CD于 点E、F，总有OE=OF，BE=CF，
EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形A BCD面积的四
分之一等等）

1、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A
1
、A
2
、…、A
n
分别是正方形的
中 心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
1
2
n
2
A．cm B．cm
44
1
n
n1
2 2
C．cmD．
()
cm
4
4
3、已知正方形ABCD。
A
2

A
1

A
3

A
4

（第18题）
随堂
练习

（1）如图1，E是AD上一点，过B E上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求
证：BE＝GH；
（2）如图2 ，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，
交AB、CD于 点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过 点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对
的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一 种情形如图3所示，过正方形
ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线 分别交于点E、F，n与AB、
DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

（1）正方形的性质：
小结思考
（2）本节课我们把探索和解决问题的思路、 方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的
情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种 重要的思想方法。

作业布置

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课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）
第8课时 总 16 课时
时间：
9月10日
1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法
教学目标
2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明
3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程

教学重点
教学难点
平行四边形判定定理的证明，反证法
用反证法证明
教学过程
回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下
表：
二次备课
情
境
创
条 件

四边形ABCD，对角线
结 论

四边形ABCD是平
行四边形
设
AC、BD相交于点O



问题一 你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的
吗？
探
证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
索
分析：先根据命题 画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平
活
行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形 全等，得到两组内错角

动
相等，由平行线证出平行四边形。
问题二 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

学习必备 欢迎下载
问题三 你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四
边形”这个结论正确吗？为什么？
问题四 你认为“在四边形ABCD中，如果OA=OC，OB≠OD，那
么四边形ABC D不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？
假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发 推导出与条件矛
盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。

例1 、已知：如图，在
□
ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，
CF⊥ BD，垂足分别为E、F。 求证：四边形AECF是平行四边形。
分析：由垂直可证一组对边平行， 再利用全等证这组对边相等；或由平
例
题
教
行四边形对角线互相平分知OA= OC，再证OE=OF即可；或由垂直证
一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。
例2、如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上
A
G
B
F
E
O
C
D
E
B
O
C
A

F
D
学

的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，
连结AC交BD于O，连结OF.求证：AB=2OF.
说明 能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解
决，这样更简便.
1、如图，AD ∥BC，AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，图中有哪些四边形是平行四边
AE
H
F
C
D
形？说说你的理由。
随
堂
练
2、“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么两条边所对的角
也不相等”这个命题正确吗？如果正确证明你的结论。
B
G
6、如图，在< br>□
ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF =CB．
习

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉 已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?
若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由．



1.从边与边的关系:
一组对边平行且相等的


的四边形是平行四边形

两组对 边分别相等

两组对边分别平行
小结思考

2.从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.从对角线的相互关系: 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

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课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（6）
第9课时 总 16 课时
1、会证明矩形的判定定理
时间：
9月11日
教学目标
2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明
3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
教学重点
教学难点
矩形判定定理的证明
矩形判定定理的应用
教学过程
情境
具备什么条件的平行四边形是矩形？具备什么条件的四边形是矩
二次备课



创设
形？同学之间进行交流。
问题一 如图，在
□
ABCD中，AC=BD，由此你可得到什么？
问题二 如图，要证
□
ABCD是矩形，需证什么？为什么？
探索
根据矩形的定义， 只要证
□
ABCD的一个角是直角；或证∠ABO+∠

A
O
D
活动
CBO=90°；或证∠ABC=∠DCB.
由问题二可得出多种证明思路。
问题三 说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。

例1 见课本
例2 已知：如图，
□
ABCD的四个内角平分线相交于点E、F、G、H。
A
G
H
E
F
B
C
例题
教学

求证：EG=FH
D

C
例3 已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD
B
交于O，△AOB是等边三角形，AB
相

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＝4cm，求这个平行四边形的面积（如图4－38）。
分析解题思路：
A
O
C
D
（1）先判定平行四边形ABCD为矩形。
（2）求出Rt△ABC的直角边BC的长。
B
（3）计算S＝AB×BC

1.如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO 至点D，使BO=DO，连结AD，CD，•则四边形
ABCD是矩形吗？请说明理由．



2．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四 边形．求证：四边形
ABCD是矩形．
练习
3．如图，在平行四边形ABCD中， E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB
的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证
明你的结论．
2．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）
（A）梯形 （B）矩形 （C）正方形 （D）不是平行四边形
（1）具有平行四边形的所有性质。
（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。
（3）矩形的判定方法1、2都是有两个条件：
小结思考
①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等。
判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角。
进行推理论证常常需要从两个方向思 考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知
条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”这样有利于探索 并获得证明的思路。
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课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）
第10课时 总 16 课时
1、会证明菱形的判定定理
时间：
9月12日
教学目标
2、能运用菱形的判定定理进行计算与证明
3、能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
教学重点
教学难点
菱形判定定理的证明
菱形判定定理的应用
教学过程
情境
具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形
二次备课

创设
是菱形？同学之间进行交流。

探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。
问题一 如图，在
□
ABCD中，对角线AC、BD相
于点O，
且AC⊥BD，由此你可证得什么？
B
O
D
A
交
问题二 如图，要证平行四边形ABCD是菱形，
探索
需证什么？为什么？
C
活动
问题三 说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”
的思路。
思考与探索 你能用直尺和圆规作一个菱形？并说明作图
的理由。
作法一：可利用“四边相等的四边形是菱形”来作，先作一个

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角，再在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长， 再分别以两个
截点为圆心，菱形的边长为半径画弧，两弧相交于一点，这点即为
菱形的第四个顶 点；
作法二：可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作，
可先作出两条互 相垂直平分的线段，再将两条线段的四个端点顺次
连结起来，即作出了一个菱形。
例1、 已 知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，
点E、F分别在AC、AD上，且AE =AB，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形。

A
例题
教学



B
D
F
E

C
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°，∠BAC=60°，DE•垂直平
分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的 延长线上，且AF=CE．求
证：四边形ACEF为菱形．

1、已知：如图，在
□
ABCD中，对角线BD平分∠ABC。 求证：四边形ABCD是菱形。


AD
A

B
C
E
B
D
G
C

2、已知：如 图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且AE=AC，EG∥BC，EG交AD
练习
于点G。 求证：四边形EDCG是菱形。
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90° ，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，•直线DE⊥BC于D，交
AB于E，CF∥AB交直线D F于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
3、、已知：如图，AD是△ ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，
B
DC
E
F
A
DF∥AB交AC于点F，请判断四边形AEDF的形状，并说明理由。

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小结思考
作业布置
板书设计
1、将一张长方形纸片既快又准确地剪出一个菱形，说说你剪纸的依据。
2、用直尺和圆规作一个菱形，说说你作图的理由。


教学笔记


课题
课时数
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（8）
第11课时 总 16 课时
时间：
9月13日
1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理
2、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明
教学目标
3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
4、在探究与证明正 方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提高
分析问题与解决问题的能力
教学重点
教学难点
正方形判定的应用
通过引导合情推理和演绎推理，提高逻辑思维水平
教学过程
引入
新课
正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，那么什么样的矩形是正
方形？什么样的菱形是正方形？
为了活跃学生思维，可以提出以下问题：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？
二次备课

探索
活动
④四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
判定方法
（1）矩形、菱形法：先 判定四边形是矩形，再判定这个矩形
是菱形（一组邻边相等的矩形）；或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形（有一个角是直角的菱形）。

学习必备 欢迎下载
（2）定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边
形是正方形，这是直接 利用定义来判定的。
如何用直尺和圆规作正方形？如何把长方形纸片通过折纸，
剪出一个正方形纸片？







例3 已知：如图，E、F、G、H分别是正方形各边的中点，
AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A’、B’、C’、D’。
求证：四边形是正方形。
分析：如右图，正方形ABCD中，点F、G分别是BC、CD
E
B'
B
F
C
A
A'
H
D
D'C'
G
例题
教学
的中点，AF、BG相交于点P，AF与BG互相垂直吗？若将点F、
G分别是BC、CD的中点改为BF=CG，是否有同样的结论？
同上，本例可考虑证“有一组邻边相等的矩形是正方形”。
（是否还有其他证明方法？与同学交流）
若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上 ，且
AE=BF=CG=DH，则四边形A’B’C’D’还是正方形吗？证明你的结
论。


1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正 方
形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．
C
2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF
是垂足。求 证：四边形DECF是正方形。
E
A
⊥BC，E、F
F
随堂
例3、如图，在Rt△ABC与 Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，
D
B
练习
AD=BC,AC,BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA 交DA
的延长线于点F,AE,BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；
（不添加任何辅助线）
（2）证明四边形AHBG是菱形；
Ｆ
Ｄ
Ｇ
Ａ
Ｈ
24题
Ｅ
Ｂ
Ｃ

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（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC 的边长
之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
1、特殊的图形具有一般图形的性质和它的特殊性质。
小结思考
2、一个图形的形状越特殊，它的判定需要的条件就越多。
3、判定一个四边形是正方形的思考方法有哪些？
作业布置

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课题
课时数
1.4 等腰梯形的性质和判定
第12课时 总 16 课时
1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
时间：
9月14日
教学目标
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明 的必要性、感受合情推理和
演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
教学重点
等腰梯形的性质和判定。
教学难点
解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．
教学过程
情
境
创
设
一、引人新课：
我们曾用等腰三角形剪出了等 腰梯形（如
图），并探索得到等腰梯形的性质和判定。
现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论 。

D
B
E
C
A
二次备课

探
索
活
动
1、_____________________的图形叫做等腰梯形?
2、____________相等的_______________叫做等腰梯形;
3、 根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,
还要具备_____相等;

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二、等腰梯形的判定：
1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
2、定理的证明：
已知：
求证：
三、等腰梯形的性质：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。

A
D
B
C
例1、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交
于点O，E是B C边上的一个动点（点E不于B、C两点重合），EF∥BD交
AC于点F。EG∥AC交BD于点G。
例
题
教
学
（1）、求证：四边形EFOG的周长等于2OB；
（2）、请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为
另一 种四边形，其他条件不变，使得
结论“四边形EFOG的周长等于
2OB”仍成立，并将改编后 的题目画
出图形，写出已知、求证，不必证明。

B
A
D

O
G
E
F
C

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1、 用一块面积为450c㎡的等腰梯形彩纸做风筝,为了牢固起见,用竹条做梯形的对角线,对角< br>线恰好互相垂直,那么至少需要竹条_______㎝.
2、 如图,在等腰梯形ABCD中, E为CD的中点,EF⊥AB于F,如果AB=6,EF=5,求梯形ABCD的面
积.
A
F
D
E
C
0
随
堂
练
习


B
3、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90，A B=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，
过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4㎝。
（1）、求证：四边形ABFE是等腰梯形；
E
D
C
F
（2）、求AB的长。

A
B
小结思考
作业布置
研究四边形问题，常常把它转化成研究三 角形的问题，这就把一个有待解决
的新问题转化为我们会解的问题。

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课题
课时数
1.5中位线——三角形中位线定理
第13课时 总 16 课时
1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理；
2．能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算，进一步提高学生的计算能
时间：
9月17日
教学目标
力；
3．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；

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4．通过一题多解，培养学生对数学的兴趣。
教学重点
三角形中位线的概论与三角形中位线性质。
教学难点
三角形中位线定理的证明。
教学过程
课本以引导学生回忆探索三角形中位线与第三边的位置关系和数
二次备课
情境
量关系的过程{将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分合成一
创设
个平行四边形}为情景。
问题一 如图，DE是△ABC的中位线，如
何把△ADE与四边形DBCE拼成平行四边
形？
A
B
D E
C
A

借助拼图的实践，实 际教学中学生可能采用
的方法有：（1）延长DE到点F，使EF=DE，连接CF；
（2）过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F。
问题二 说说你的证明思路。
探索
问题三 你有其他方法证明三角形中位线定理吗？
活动
结论：1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线．
2、三角形中位线性质
三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半．
这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线 ．可以引导学
生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分
析问题和解 决问题的能力．但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，
要选用比较简捷的方法证明．
例2 已知：如图，在梯
形ABCD中，AD
∥BC，E、F是
E
B
F
G
A D

例题
教学
AB、CD的中点。
求证：EF∥BC，
EF=

C
1
（BC+AD）
2
由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底， 并且等于

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两底和的一半.
1、如图；三角形三条中位线组成的图形与原三角形有怎样的大小关系（面积和周长）？ 说
说你的理由。已知:三角形三边长分别为6,8,10,则由它的三条中位线构成的三角形的面积为
( )，周长为( ) 。
2、已知：在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点。
求证：⊿EFG是等腰三角形。
A
A
E
D

随堂
练习


B
D
F
F
EC
B
G
C
3、在⊿ABC中，∠BAC=900，延长BA到点D，使A D=12AB，E、F分别是BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE
（2）过点A作AGBC，与DF相交于点G，
求证AG=DG
B
EA
D
G
F
C
1．三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区 别．
小结思考
2．三角形中位线定理及证明思路．
作业布置

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课题
课时数
1.5中位线——梯形的中位线
第14课时 总 16 课时
1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理；
2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”；
时间：
9月18日
教学目标
3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算 能
力和分析能力；

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4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；
5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣。
教学重点
梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．
教学难点
梯形中位线定理的证明．
教学过程
顺次连接四边形各边的中点,会得到什么图形？
二次备课
情境
猜一猜，分别依次平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形
创设

各边的中点，又会得到什么样的图形呢？证明你的结论。

问题一 从上面，由连 接任意四边形各边中点到连接各种特殊四边
形各边中点，所得到的图形形状的猜想和证明中，你有什么发 现？
上面一系列的证明都是通过作原四边形的对角线，利用三角形中
位线定理和平行四边形的 判定来证明的，教学中学生可能会发现：依
次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形的 两条
对角线的位置和数量关系有关。
问题二 “如果依次连接一个四边形各边的中点得到菱 形，那么原来
的四边形一定是矩形”这个命题正确吗？为什么？
探索
活动
通过问题一的探索，对这个问题学生就可能关注到“原来的四边
形的对角线有大小关系”，并作反例来说 明这个问题中的命题是假命
题。
问题三 如何证明“依次连接对角线相等的四边形各边的中点，得
到的四边形是菱形”？
问题四 猜一猜：
如果原来的四边形的对角线互相行政，那么依次连接的各边中点
得到怎样的四边形？
如果原来的四边形的对角线互相行政且相等，那么依次连接的各
边中点得到怎样的四边形？
例题：如图所示，有一块四边形的地

例题
教学
ABCD，测得
，顶点

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B
、
C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.
例2 已 知：如图所示，在四边形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
BC
、
CD
、
DA
的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

随堂
练习

（1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？
（2）梯形中位线有什么性质？
（3）梯形中位线定理的特点是什么？
（4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？

小结思考
作业布置

板书设计

教学笔记










课题
课时数
教学目标

小结与复习
第15、16课时 总 16 课时
时间：
9月21、22日

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教学重点
教学难点


教学过程
情
境
创
设
探
索
活
动
例
题
教
学
随
堂
练
习
小结思考
作业布置
板书设计
教学笔记






二次备课

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