中国计量学院分数线-行政文员的工作职责

高中数学教案全集
第三章教案090801 戴亨钊 张青春
一、考纲要求：
1. 事件与概率
（1） 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区
别。
（2） 了解两个互斥事件的概率加法公式。
2. 古典概型
（1） 理解古典概型及其概率计算公式。
（2） 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。
3. 随机数与几何概型
（1） 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
（2） 了解几何概型的意义。
二、命题趋势
由于概率统计知识与实际生活密切相关，预计在以后的高考题中将越来越 受重视，除以传统
的选择题，填空题出现外，解答题也会出现。在实际应用于求概率等问题，主要考查学 生的动手能
力，分析能力及对基础知识的运用能力。
高考中本章试题难度不大，但考试 遇到新题时大多数同学觉得很困难，所以，平时应该把常
见的各种题型都练习到，各种类型的解法都掌握 住，考试时以不变应万变。
（1） 以中低难度为主，在复习中主要以基础知识的内容为主，不应做偏题，难题。
（2） 把古典概型和几何概型作为复习的重点。
（3） 应注意培养自身利用概率知识对实际问题进行分析的能力。
三、基础知识，点式突破
知识点1 随机现象
（1） 随机现象
① 必然现象：在一定条件下必然发生的现象。如“地球每天绕太阳转动”为必然现象。
② 随机现象：在 一定条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同。如“某射击运
动员每一次射击命中的环数 ”为随机现象。
（2） 实验及实验结果
为了探索随机现象的规律性，需要对随机现象进行 观察，我们把观察随机现象或为了某种目的
而进行的实验统称为实验。把观察结果或实验结果称为实验结 果。
（3） 随机试验
条件每实现一次，叫做进行一次实验，如果实验结果事先无法确定， 并且可以重复进行，这种
实验就叫做随机实验。如“从盛有3个排球，2个足球的框子里任取一球，取得 排球的事件中，取
出一球（不管是排球还是足球）就是一次实验。若把5个球全部取出，则做了5次试验 。
知识点2 事件与基本事件空间
（1） 必然事件：我们把在条件S下，一定会发的事件，叫做相对于条件S的必然事件。简称
必然事件。
比如，“导体通电时发热”，“抛一石块，下落”等都是必然事件。
（2） 不可能事件：在 条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条S的不可能事件，简称
不可能事件。必然“在标准大气压 下温度低于0冰融化”，在常温常压下，铁融化“等都是不可能
事件。
（3） 确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。
（4） 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件的随机事件，简称随机事件。
比如：“李强射击一次，不中靶”，“掷一枚银币出现反面”都是随机事件。
注意：要搞清楚 随机现象和随机事件之间的关系。随机现象是随机事件产生的原因，随机事件
是随机现象的可能结果，是 随机现象的反映。
（5） 事件及其表示方法：确定事件和随机事件称为事件，一般用大写字母A,B,C表示。
（6） 基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用他们来表示，这样

的事件称为基本事件。
（7） 基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用

表示
知识点3 频率与概率
1.频率与概率
（1） 频数与频率：在相同的条件S下 重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验
中事件A出现的次数
n
A
为事件A出现的频数；称事件A出现的比例
f
n
(A)=
率
（2） 概率及其记法：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率
f
n
(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（3） 频率与概率的区别与联系
① 频率本身是随机的，在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不
同。
② 概率是一个确定的数，与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。
③ 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
2随机事件的概率P(A)的范围
对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1
其中不可能事件的概率是P（A）=0，必然事件的概率是P（A）=1
不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况
知识点4 概率的加法公式
（1） 互斥事件
① 定义：不可能同时发生的两个事件即事件A发生，事件B不发生；事件B发生，事件A< br>不发生叫做互斥事件（或称不相容事件）
② 从集合角度看，记事件A为集合A，事件B为集合B,若事件A与事件B是互斥事件，
则集合A与集合B 交集为空集。
③ 推广：如果事件A
1,
A
2
，

A
n
中任何两个都互斥，就称事件A
1,
A
2
，

A
n
彼此互斥。从
集合角度看n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集 合彼此互斥，
（2） 对立事件
① 定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互 为对立事件，事件A的对立事件
记作
n
A
为事件A出现的概
n
A

② 从集合的角度看，A和
A
所含结果组成的集合是全集中互为补集的 两个集合，这时A和



A
的交集是不可能事件，A和
A
的并集是必然事件，即
AA
=

,
AA

（3） 互斥事件与对立事件的区别与联系
① 两个对立事件一定是互斥事件，反之两个互斥事件不一定是对立事件。
② 两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件
③ 两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。
（4） 事件的并（或和）
① 定义：由事件A和B至少有一个发生（即A发生或B发生或A ,B都发生，称为事件A与
B的并（或和）记作
CAB

② 事件A与事件B的并集等于事件B与事件A的并集，即
AB
=
BA

③ 并事件有三层含义：事件A发生，事件B不发生；事件B发生，事件A不发生；事件A
与事件B都发生。
④ 事件A与B的并集
AB
可推广如下：“
A
1
A2
A
n
”表示这样一个事件：在
同一实验中：
A
1
,A
2
,

,A
n
中至少有一个发生，即表示< br>A
1
A
2
A
n
发生。
（5） 互斥事件的概率加法公式


如果事件A,B互斥，那么
AB
发生（即A，B中至少有一个发生）的概率等于事件A, B分别
发生的概率的和，即P（
AB
）=P(A)+P(B)
① 一般地 ，如果事件
A
1
,A
2
,

,A
n
两两互斥（彼此互斥）那么时事件
“
A
1
A
2
A
n
”发生（是指
A
1
,A
2
,

,A
n
至少有一个发生）的概率，等于这n个事件发生
的概率和，即P(
A< br>1
A
2
A
n
)=
P(A
1
)P(A
2
)P(A
n
)

② 对立事件的概率公式
若事件A与B互为对立事件，则
AB
为必然事件，所以P（
AB
）=1，又
P（
AB
）=P(A)+P(B)，所以P(A)=1- P(B)
[说明] a.公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式。
b.当一事件的概 率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求
概率。
（6）概率的一般加法公式
①交（积）事件
若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B交事件(或
称积事件)，记作
AB
(或AB)
a.用集合形式表示；
b.事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交 事件，即
AB
=
BA

②概率的一般加法公式
设A, B是

的两个事件，则
P(AB)P(A)P(A)P(AB)

知识点5 古典概型
1. 基本事件及其特点
（1） 基本事件的定义
实验结果是有限个，且每个事件都是随机事件的事件，称为基本事件。
注意： ①基本事件是实验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用他们来表示；
②所以的基本事件都有有限个；
③每个基本事件的发生都是等可能的
（2） 基本事件的特点
① 任何两个基本事件是互斥的
② 任何事件都可以表示成基本事件的和
2. 古典概型
（1） 古典概型的定义
我们把具有：①实验中所有可能出现的基 本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相
等。以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简 称古典概型。
（2） 古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：
① 有限性，在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本条件。
② 等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的
[说明] 一个实验是否为古典概型，在于这个 实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等
可能性。并不是所有的实验都是古典概型。
（3） 古典概率模型的概率求法
如果一次实验中的等可能基本事件共有n个，那么每一个等 可能基本事件发生的概率都是
如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，那么事件A发生的概 率为P(A)=
1
，
n
m

n
知识点6 几何概型
（1） 几何概型的概念
事件A理解为区域

的某一子区域A， A的概率只与子区域A的几何度量（长度，面积或体积）
成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条 件的实验称为几何概型。

注意： ①古典概型适用于所有实验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适
用于实验结果是无 穷多的情形。
③ 几何概型的特征：每个实验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区 域
来表示；每次试验结果的各种结果是等可能的
（2） 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)=

A


，其中


表示区域

的几何度量，

A
表
示子区域A的几何度量。
（3） 古典概型与几何概型的区别
古典概型与几 何概型要求基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限
个，几何概型要求事件有 无限多个。
四 例题分析
【例题1 】 （1）单选题是标准化考试中常用的题 型，一般是从A、B、C、D四个选项中选
择一个正确答案，如果考生掌握了考查内容，他可以选择唯一 正确的答案，假设考生不会做，他随
机选择一个答案，问他答对的概率是多少？
（2）国家安 全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，
有10s长 的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该
工作人员声称他 完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错键
使含有犯罪内容的谈话 被部分或全部擦掉的概率有多大？
【分析】（1）中考生随机地选择一个答案是指选择A、B、C、D 的可能性是相等的，且实验的可
能结果只有4；选择A、选择B、选择C、选择D，基本事件共有4，是 有限个，故该实验是古典概
型，基本事件个数为4个，答对只有一种结果，即m=1,n=4，可利用古 典概率公式
m
，求出事件的
n
概率。
（2）中工作 人员在0min到30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，且按
错键使含有犯罪内 容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间长度有关，
故该实验是几何概型。工 作人员在0s-30s内任一时刻按错键，则含有犯罪内容的谈话会被全部擦掉，
若在30s-40s内 任一时刻按错键，则含有犯罪内容的谈话被部分擦掉，所以所求事件占的长度为40s，
即
2< br>
min，而整个长度为30min，可利用几何概型的概率公式P(A)=
A
，求得事件的概率。
3


答对所包含的基本事件的个数
1
==0.25；
4
4
【解析】（1）有古典概型的概率计算公式得：
P(答对)=
（2）设事件A“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A发生就是在0min到
2
min
3
2

时间段内按错键，所以

A
=min，


=30min，P(A)=
A
=
3


2
3
=
1

45
30
1

45
【答】（1）考生答对的概率为0.25 ；(2)按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为
【例题2】（1）向假设的三个相邻的 军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸
中其余两个军火库的概率为0.1，只 要炸中其中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的
概率。
（2）甲乙两人各射击 一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲乙两人至少有
一人命中的概率。
【分析】（1）中投掷的一颗炸弹，只要炸中了其中的一个军火库，其余也要发生爆炸，所以“军火库发生爆炸”这一事件，就是炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件之和，且它们彼此互斥，