上饶师范学院-预备党员表态

湖南机电职业技术学院学期授课计划
学 期
课 程 名 称
使 用 教 材
名 称 及 版 别
湖南教育出版社第二版

适用专业班级
本课程总课时
本学期总课时 周 课 时
《大学数学应用基础》
20XX年
9 月至 2009 年1 月学年度第 一 学期
高 等 数 学
采用大纲名
称及拟定者
《高等数学》教学大纲 校编
酒管0801、02 电子0801、02 网络0801－03 软件0801、02
48

讲 课
本期前已授课时
实 验 测 验 复 习
0

机 动
40 4 34 2 4
本计划制定教师 谭洁

本计划使用教师 谭洁 田智 关章才 童丽娟
教 研 室 主 任

系 主 任

教 务 处 长

本课程本学期教学目的及要求:
教学目的:通 过本课程的学习使学生掌握高等数学的思想与思维方式,提高理性思
维的能力,全面改善学生的素质,加 强分析问题的能力,应用意识和创新意识的培
养,注重高等数学教学中弘扬人文精神的教化作用,以期在 数学教学中全面体现知
识,能力和素质的统一.
教学要求:对高职学生来说,要掌握相关的高 等数学的理论与知识,根据我校学
生的知识层次和课程设置的要求,在教学中从以下几方面提高学生的素 质与能力,
做到学有所用,学以致用.首先精选教学内容,再精简相关的内容,把总课时控制在
44左右,其次在教法上尽量使用现代教学方式,提高教学质量,培养学生科学的思维
方法和用数学的意 识,了解常见的解题技巧与方法.重点知识掌握函数的极限、函数
的导数与微分,函数的极值和最值的应 用,以及不定积分的初步知识和定积分意义
与运用。

学 期 授 课 计 划

序号 周次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教 学进度表
组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。

7
5
3
2
授 课 内 容 提 要 授课形式作业
§1.1-§1.6函数、函数的特性、反函数、幂函
面授P6:3 P10:4,5
数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函
P12:1
数、复合函数、初等函数
§1.9-§1.10数列的极限、函数的极限
§1.11-§1.12
无穷小与无穷大、极限的运算法则
§1.13极限存在准则，两个重要极限
§1.14函数的连续性
§2.1导数的概念
面授P44:4
面授P49:4,5
面授P59:3
面授P66:6,7
面授P87:4，5
1
4
§2.2-§2.3函数的和、差、积、商的求导法则
面授P92:1单 P95:1 单
复合函数的求导法则
§2.4-2.5隐函数的导数、初等函数的导数
§2.7-§2.8高阶导数、函数的微分
§3.2罗必达法则
§3.3函数单调性的判别法
§3.4函数的极值
§3.5函数的最大值和最小值
§3.6-§3.7
曲线的凹凸与拐点，函数图像的描绘
§4.1不定积分的概念
§4.2不定积分的运算法则与直接积分法
§4.3换元积分法
§4.4分部积分法
复习（一）
复习（二）
面授P101:2
面授P116:3单，4
面授P137:2单
面授P140:2单
面授P145:1单
面授P148:6,7
面授
p155: 1(1)(2);2(1)
面授P176:3
面授P181:1（1）－（8）
面授P189:1（1）－（8）
面授P193:（1）－（8）
面授
面授
6
8
9
10
湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案(一)

备课组长签名： 教师签名：
班 级

日 期
课题：§1.1-§1.6函数、函数的特性、反函数、幂函数、指数函数与对数函数、三角函
数与反 三角函数、复合函数、初等函数
教学目的(知识、技能、态度)：
1、介绍高等数学学习方法，了解与初等数学之间的区别与联系；
2、复习函数概念，认识几个特殊函数，掌握函数的几种特性。
3、复习几个常见函数的，掌握其特性和图像性质。

教学重点：函数的特性
教学难点：函数与反函数的关系
课型：新授课
主要教学方法：启发引导式 讲授法
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
自我介绍，课程介绍与要求，考勤
Ⅱ、新课教学
一、函数定义
设在某一 变化过程中有两个变量x和y，如果当变量x在其变化范围内任
意取定一个数值时，变量y按照一定的法 则总有确定的数值和它对应，则称y
是x函数。记作
yf(x)
。其中x叫自变量， y因变量。

二、函数的几种特性
（1）函数的奇偶性
如果函数f(x )对于定义域内的任何x，恒有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶
教学方法

5’


5’




函数 。例如，
f(x)x
2
,由于f(-x)=f(x)，所以，如果点M(x,f(x ))在函数图
10’
形上，那么它关于y轴的对称点Mˊ（-x,f(x)）也在图形上，因此，偶函数

的图形关于y轴对称。
（2）函数的周期性


对于函数y=f (x)，如果存在不为零的常数T，使关系式
f(xT)f(x)
对
于定义域内任 何x值都成立，则称函数f(x)为周期函数，T叫做f(x)的周期，

一般我们所说的周期是指最小正周期。

10’

例如，sinx，cosx是周期函数，它的周期是2π。
（3）函数的单调性
如果对于区间(a,b)内的任意两点x1和x2，当x1

则称函数f(x)在区间（a,b）内是单调增加的；如果当x1
f( x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间（a,b）内是单调减少的。单调增加的或
单调减少的函 数统称为单调函数。类似地，可以定义无穷区间上的单调函数。
单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上 升的；单调减少函数的图形是沿x
轴正向逐渐下降的。
（4）函数的有界性
设函数 在区间I内有定义（I可以是函数f(x)的整个定义域，也可以只是定
义域的一部分）。如果存在正的 常数M，使得对于区间I内的任何x值，恒有









f(x)M
，则称函数f(x)在区间I内是有界的；如果 这样的M不存在，则
称函数f(x)在I内是无界的。

三、反函数
在自 由落体运动中，我们选定时间t为自变量，距离S为函数，则距离S与t
的函数关系为
S1
2
gt
.我们也可以选取距离S作为自变量，则时间t作函数，
15’
2
这时t与S的函数关系式为
t
1
2
gt
也是< br>t
2
2S
,我们称
t
g
1
2S
是
Sgt
2
的反函数。
2
g


当然
S
2S
的反函数，它们互为反函数。
g

一般地，设给定y是x的函数y=f(x)，如果把y当作自变量，x当作函数，

则 由y=f(x)所确定的函数x=

(y)叫做函数y=f(x)的反函数，而f(x)叫直接

函数。习惯上，我们总是用x表示自变量，y表示因变量。
因此，我们把反函数x =

(y)改写为y=

(x)，称y=

(x)和y=f (x)互为反函
数。
四、幂函数、指数函数、对数函数
幂函数：函数
y x

，其中μ为任意实数，叫幂函数，它的义定域随μ的
不同而不同。但不论μ取什么 值，幂函数在（0，+∞）内总有定义，且图形



10’
< /p>

1
都通过（1，1）。
yx

中，μ=1，2，3， ，-1是最常见的幂函数。有些幂

2
函数具有奇偶性。例如
yx
2
是（-∞，+∞）内的偶函数，而
yx
3
是（-∞，

+∞）内的奇函数。
指数函数：函数
ya
x
（a>0，a≠1） 叫做指数函数，它的定义域是（-∞，+∞）。
因为恒有
a
>0，及
a
=1，所以指数函数的图形总在x轴上方，且通过点（0，
1）。以常数e=2.71828…为底的 指数函数
ye
x
，是科技中常用的指数函数，

关于常数e的意义本章将详细说明。指数函数具有单调性。
例如，
ye
x
在（-∞，+∞）内是单调增加的，而
ye
1
在（-∞，+∞）内是单调减少的。
对数函数：指数函数
ya
的反函数，记作
ylog< br>a
x(a0,a1)，
叫做对数函
x
x0




10’


数，它的定义域是（0，∞），对数函数 的图形，可以从它所对应的指数函数
ya
的图形按反函数的作图规则作出。
xx
工程实际问题中常遇到的以e为底的对数函
ylog
e
叫做自然对数 函数,简记

作y=lnx。

五、三角函数与反三角函数


常用的三角函数有,正弦函数y=sinx(-∞
(-∞x(2n1)

2
的全体实数），余切函数
15’ y=cotx（
xn

的全体实数），其中自变量要用弧度作单位，n为任意整 数。

三角函数都具有周期性，正弦函数和余弦函数是以2π为周期的周期函
数 ；正切和余切函数是以π为周期的周期函数。





sinx1cosx1
正弦函数和余弦函数的函数值介于-1和1之间，即，，
因此，y=sinx和y=cosx在（-∞，+∞）内是有界的，而 y=tgx和y=ctgx分
(

别在
,)
22
与（0，π）内是无界的。
反三角函数是三角函数的反函数，对于上述四种三角函数，其相应的反
函数为反正弦函数 y=arc sinx （-1≤x≤1），反余弦函数 y=arc cosx

（-1≤x≤1），反正切函数 y=arc tanx （-∞≤x≤∞），反余切函数 y=arc
cotx （-∞≤x≤∞）。反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反

函数作图规则作出。

六、复合函数、初等函数


复合函数：如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=

(x )，且

(x)
10’
的函数值的全部或部分在f(u)的定义域内，那么 y通过u的联系也是x的函
数，我们称后一个函数是由函数y=f(u)及u=

(x )复合而成的函数，简称复
合函数，记作y=f[

(x)]，其中u叫做中间变量。
例1设y=sinu,u=x2+1，则y=sin(x2+1)就是x的复合函数。
例2函 数
yargtanx
可以看成是由y=arctanu和
ux
复合而成的 复合函
数。
复合函数不仅可以由两个函数构成，也可以由更多的函数构成。
初等函 数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构
成的并可用一个式子表示的函数，叫 初等函数。


Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P13 第4题 ； P25 第6题
Ⅳ 课堂小结：
回顾几个基本初等函数的定义域、值域、反函数、图像等性质
Ⅴ课堂情况记录及课后分析：


Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（二）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期

课题：1.9数列极限 1.10函数极限
教学目的(知识、技能、态度)：
1、理解数列与函数极限概念；
2、
了解极限性质与存在准则。

教学重点：极限概念的理解，观察法求极限
教学难点：极限思想的进一步形成，无穷小与极限之间的关系
课型：新授课
主要教学方法：类比、学导式教学法、讲授法
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
考勤，检查预习情况
Ⅱ、新课教学
一、数列极限
对于数列

y
n

，如果当n无限增大时，
y
n
无限接近于某个常数A，那么常
数A就 叫做数列

y
n

当
n
时的极限。记作： < br>limy
n
A
或
y
n
A(当n)
其 中
n
叫
y
n
的极限过程。
n
教学方法

5’




10’






可以看出：
lim
111
0
，
lim(2
2
)0
，< br>lim()
n
0
，
lim55
。
nn
n
nn
2
n
一般地，有如下结论：
1
lim
（1）
n

0,(

0)
；
n
n
limq
（2）
n
0,(q1)
；
cc,(c为常数)
。 （3）
lim
n
二、函数的极限
先考察下面两个例子。
例1 设函数
f(x)

1
x1
，当自变量x无限接近于0时，不难看出
3


1
f(x)x1
无限接近于1，如果用记号“→”表示“无限接近”， 上述事< br>3
实可以记作，当
x0
时，
f(x)
1
x1 1
。常数1叫做当
x0
时函数
10’
3

f(x)
1
x1
的极限，
x0
叫做极限过程。
3

例2 设函数
f(x)
1
。如果x>0且无限 增大（记作
x
），可以想见

x
有同样，当x<0而绝对值无限增大（记作
x
）时，也有
两种情况合起来，就是当
x
时，

１．
自变量无限接近于有限数时，函数的极限
对于函数y=f(x)，如果当自变量x无限 接近于x
0
时，函数f(x)无限接近某
个常数A，那么常数A叫做函数f(x)当< br>xx
0
时的极限。记作
xx
0





10’


limf(x)A
或
f(x)A(当xx
0
)
，
其中
xx
0
叫f(x)的极限过程。
关于极限概念，应注意以下几点：
A 所谓“x无限接近于x
0
”是指x与 x
0
差的绝对值（在数轴上来说是距
离）无限减小，至于x以什么方式接近于x
0
，定义中并不要求，x可以从大于
x
0
无限接近于x
0
，也可以从小于x
0
无限接近于x
0
，还可以从两个方向交替地

无限接近于x
0
。
B 所谓“f(x)无限接近于某个常数A”是指
f(x)A
可以任意小。
C 定义中
xx
0
是不包括
xx
0
的，故有
0x x
0
f(x)有没有极限与f(x)在点x
0
是否有定义无关。
D 函数对于不同的极限过程，可以存在也可以不存在极限，例如
ysin(
，




10’

)
的值恒在-1和1之间摆动， 不无限接近于某个
所以当
xx
0
时，

x1
)
，当
x0
时，可证明（性质）
limsinx0

x 0
但当
x1
时，
ysin(

x1



确定的常数，所以
limsinx
不存在。
x1
前面已经指出，极限概念中的
xx
0
，x无限接近于x
0
的方式是任意的。
但有时只能或只需考虑x仅从小于x
0
，即仅 从x
0
的左侧（在数轴上看）
无限接近于x
0
（记作
xx
0
-0）的情形，或x仅从大于x
0
，即仅从x
0
的右侧< br>
无限接近于x
0
（记作
xx
0
+0）的情形。
当
xx
0
-0时，
f(x)A
,A叫做函数f(x)当
xx
0
时的左极限，记作

15’

x x
0
0
limf(x)A或f(x
0
0)A
。






当
xx
0
0
时，
f(x)A
,A叫做函数f(x)当
xx
0
时的右极限，记作
xx
0
0
limf(x)A或f(x
00)A
。
根据上述极限的定义，容易证明。
函数f(x)当
x x
0
时极限存在的必要且充分条件是左极限、右极限各自存在
并且相等。即
f (x
0
0)f(x
0
0)

例3，讨论函数

x,x0;

f(x)

x1,x0

当
x0
时是否存在极限。
解：
limf(x)limx11,limf(x)limx0

x00x00x00x00

10’


由于
x00
limf(x)limf(x)
，
x00






所以
limf(x)
不存在。
x0
２．自变量趋向无穷大时，函数的极限
对于函数y=f(x)，如果当自变量x的绝对值无限增大时， 函数f(x)无限接近
某个常数A，那么常数A叫做函数f(x)当
x
时的极限， 记作
limf(x)A
或
f(x)A(当x)
，
x
其中
x
叫f(x)的极限过程。
很明显，自变量x的绝 对值无限增大包含两种基本形式，即x从某个值开
始取正值无限增大（记作
x
） 和x从某个值开始取负值时其绝对值无限
10’
增大（记作
x
）。
如果当
x
，（
x
）时，函数f(x)无限接近某个常数 A，那么常
数A叫做函数f(x)当
x
，（
x
）时的极 限，记作：
x





10’
limf(x)A,or,f(x)A,(x)

x
（
limf(x)A,or,f(x)A,(x)
）
例如，考察函数
yarctanx
的图象，求出下列极限：
xlimarctanx
，
limarctanx
，
limarctanx
。
xx

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P38:3； P45:6
Ⅳ 课堂小结：
本节通过观察一个数列的变化趋势引入了数列极限及函数极限概念，并
认真地对自变量的不同变化趋势情形，讨论了数列和函数极限的存在条件。
最后介绍了无穷小量和无穷 大量概念，研究了无穷小量的性质、与极限的关
系以及无穷小量与无穷大量之间的关系，内容较多。

Ⅴ课堂情况记录及课后分析：



Ⅵ 下堂课预习要求：






湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（三）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期

课题§1.11-§1.12无穷小与无穷大、极限的运算法则
教学目的(知识、技能、态度)：
理解无穷小量与无穷大量定义，了解它们之间的关系以及与 极限间的关系；熟悉极限的
四则运算法则和复合函数的极限法则；提高理解能力与运算技能。

教学重点：无穷大与无穷小概念，性质；极限的四则运算法则，复合函数的极限求解。
教学难点：无穷大与无穷小的理解与运用，极限运算法则的熟练掌握。
课型：新授课
主要教学方法：启发式教学法；讲授法。
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
考勤，检查预习情况
复习引入：以极限定义及观察法求极限，一般函数的极限的计算有其法则
和技巧吗？
Ⅱ、新课教学
一、无穷小与无穷大
1.无穷小：在研究函数
f(x)
的极限时，常常遇到这样的情况：
当自变 量
xx
0
或
x
时，函数
f(x)
的极限为零 ，即
limf(x)0
xx
0
教学方法


5’






10’
这 时，我们把函数
f(x)
叫做当
xx
0
（或
x
）时的无穷小或无穷小
量。
例1 因为
lim
x0
10
，所以1是当
x
时的无穷小。
x
x



例2 因为
limsinx0
，所以
sinx是当
x0
时的无穷小。
例3 因为
lim(x2)
2< br>0
，所以（x－2）
2
是当
x2
时的无穷小。
x
应该明白，无穷小是一个以零为极限的变量，不能把它与一个很小的数混
淆起来。因为一个很小的数，如10，10等，无论它多么小，总是不变的，
因此它不能以零为极限 。但是零是唯一可以看作无穷小的数。
无穷小的性质：
（1）有限个无穷小的和是无穷小。
（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。
-8-26


10’

（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
由（3）可以直接推得：常数与无穷小的乘积是无穷小。
函数极限与无穷小的关系：


定理1：设函数
f(x)
的极限为
A
（
xx< br>0
或
x
），即
limf(x)A
，则

有
lim[f(x)A]limf(x)limA
=A-A=0
所以 ，f(x)-A是无穷小，记为α(x)，即
f(x)A

(x)
。于是 有
f(x)A

(x)
，其中
lim

(x) 0
。



因此得到：有极限的函数可以表示为它的极限与一个无穷小之和，反之，如

果函数可以表示为常数与一无穷小之和，则该常数就是函数的极限。
2. 无穷大
定义2：如果当
xx
0
（或
x
）时，y=f(x)的对应函数 值的绝对值无



限增大，则应当说函数f(x)当
xx
0
（或
x
）时为无穷大或无穷大量。
这时按极限的定义，函数的极限是 不存在的，但为了便于叙述函数的这一性
态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作
xx
0
10’


limf(x)(或limf(x))
。
x
如果在无穷大的定 义中，对于x
0
邻近的x或
x
相当大的x，对应的函数

值都是正的（或都是负的），则记作
limf(x)(或lim

xx
0
(x)
xx
0
(x)


例如，
lim
111
;limtgx;lim
2
;lim(
2
)
。
x0
x
xZ2x0
x
x0
x
必须注意，∞不是数，不可与很大的数（如10
8
、10
20
等）混为一谈。

3. 无穷大与无穷小的关系
定理2： 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)的绝对值无限增大，

5’
1
那 么就会无限减小而趋于零，反之亦然。所以有：如果f(x)是无穷大，
f(x)

则
11
是无穷小；反之，如果f(x)为无穷小
(f(x)0
，则为无穷大。
5’
f(x)f(x)
4.
无穷小的比较

（1）若
lim

0
，则称α是比β高阶的无穷小，记 作

0(

)
。



，则称α是比β低阶的无穷小。



（2）若
lim

（3）若
lim


 c0
，则称α是比β是同阶无穷小；若C=1，即
lim1
，



15’
则称α与β是等价无穷小，记作α～β。例如
sinx~x(x0)
。

3x
2
2
0
，所以当
x0
时，3x是比x高阶 的无穷小，即例4 因为
lim
x0
x

3x
2
0(x),(x0)
。

1x
2
(1x)(1x)

1x
与
1x
是
lim2
，例5 因为
l im
所以当
x1
时，
x1
1x
x1
1x

等价无穷小，即
1x~1x,(x1)
。
二、极限的运算法则
1.极限的四则运算法则。
2


上节通过观察函数的变化趋势，求出了某些简单函数的极限，本节再给出

极限的运算 法则。为叙述简便起见，在下面的讨论中，记号lim下边不标明
自变量的变化过程，意思是说对
xx
0
或x
,所建立的结论都成立。
设limf(x)=A，limg(x)=B，C是任意常数，n是正整数。
法则Ⅰ
lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)
AB
。
法则 Ⅱ
lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)
AB
特别地，当g(x)=C时，有
lim

cf(x)

Cl imf(x)
。




10’
这就是说，求极限时，常数因子可以提到极限符号外面。又

lim[f(x)]
n
[limf(x)]
n
。
法则Ⅲ
lim
f(x)limf(x)A
(B0)

g(x)limg(x)B

10’

法则Ⅳ如果f(x)≥g(x)，那么A≥B。
必须注意，上述法则成立的前提是参与运算的函数存在极限，否则法则不能

使用。
3x
2
2x6
1sinx
例6 求
lim(3x5x6)
,
lim
,
lim
。 xcosx
,
lim
2

x1
x0
cos x
x
2x1
x
2
2





ua
x1
1x1
例7 求
lim
2
,
lim
。

x1
x1
x0
x
２、复合函数的极限法则
可以证明下述复合函数的极限法则：
定理2 设函数
yf(u)
与函数
u

(x)
满足条件：（１）
limf(u)A
；
（２）当
xx
0
时，

(x)a
，且< br>lim

(x)a
。则复合函数
f[

(x)]< br>当
xx
0

xx
0
时的极限存在，且
l imf[

(x)]f[lim

(x)]A
。
xx
0
xx
0
8’





2’
x2
例8 求
lim

x8
x8
3

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P49:4,5
Ⅳ 课堂小结：
本节介绍了无穷大与无穷小的概念，无穷小的比较，以及它们在求极限

中的应用；介 绍了极限的四则运算法则与复合函数的极限法则，要熟练掌握。
Ⅴ课堂情况记录及课后分析：


Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（四）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题§1.13极限存在准则，两个重要极限

教学目的(知识、技能、态度)：
了解极限存在准则，掌握两个重要极限; 利用法则与重要极限会求某些函数的极限.
提高观察分析能力。
教学重点：利用法则与重要极限求极限。
教学难点：重要极限的认识与应用
课 型：新授课
主要教学方法：引导式教学法；讲授法.
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
考勤，复习回顾:
无穷大与无穷小，极限的四则运算法则。
Ⅱ、新课教学
1. 极限存在准则Ⅰ与重要极限
lim
sinx
1

x0
x
o
教学方法

C

5’

B
x
D
A

准则Ⅰ如果对于x
0
的某邻域内的一切x（可以不包含x
0
），或者对于绝对

值充分大的一切 x，有
g(x)f(x)h(x)
；并且有
limg(x)limh(x)A
，则
当
xx
0
或
x
时，f(x)的极限存在 ，且limf(x)=A。
lim
sinx
1

x0
x

10’

设单位圆O,圆心角AOBx,(0x)
2
， 证明：






作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x,OAB的高为BD,


于是有sinxBD,x弧AB,tanxAC,

sinx
cosx 1,
sinxxtanx,
即
x


上式对于

2
x0也成立.当0x

2
时,
2

x
2
x
2
x
2sin2()
,
0cosx11cosx
22
2

x
2

lim0,
lim(1cosx)0,
x0
2
x0

limcosx1,
又lim11,
lim
x0
x0
x0
sinx
1.
x


15’


注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型的极限。


（2）公式形象的记为：
lim
x0
sin
1





sin3x

x0
sin4x
解略
tan2x
例2．求
x0
x

lim
tan2x sin2x1sin2x1
limlim22
x0x0x0
xxcos2 x2xcos2x
解：
lim
例1． 求
lim




15’

1cosx
.
2
x0
x
例3． 求

lim

sin
2
xx
sin
x
1
2

1
lim(
2
)
2
2sin
2lim
1
2
1
2
x0
x
2
2x0
(
x
)
2
1.
原式lim
2< br>x0
22

22
x
解：
2. 极限的存准则Ⅱ 与重要极限
1
lim(1)
x
e
x
x




首先来定义数列的单调性和数列的有界性。
数列的单调性:


如果对任何正整数n，总有
y
n
 y
n1
，则称数列

y
n

是单调增加的；如果 对
10’
任何自然数n，总有
y
n
y
n1
， 则称数列

y
n

是单调减少的。例如，数列3°，

4°是单调增加的，而数列1°是单调减少的。
数列的有界性:
如果存在正的常数 M，对任何正整数n，总有
y
n
M,
则称数列

y
n

是

有界的；否则，称数列
y
n

是无界的。例如，数列1°，2°，3°都是有界的，
而数列4° 则是无界的。


准则Ⅱ单调有界数列则必存在极限。
1
lim(1)
x
e
x
x


引导学生观察书本22页图表，以及数列的特点,结合存在准则Ⅱ,得出上述
极限。
11
1
注：（1）上式中令
t
，则有
lim(1t)
t
e
即
lim(1x)
x
e

t0x0
x
1
0

10’




用到同底
数的幂的
（2）公式形象记忆为：
lim(1 )e
；
lim(1)e


1
（3）此极限主要解决
1

型幂指函数的极限。
1
lim(1)
x
.
x

例4求
x

lim[(1
x
解：原式

1
x1
11
)]lim.
x
1
x< br>(1)
x
e
x

运算。可
以以提问
的方式回
顾。
3
（1+)
x
例5． 求
lim
x
x
x

3
3

解:原式=
lim


1


e
3

x


x



3

15’




例6. 求
lim

1tanx

x0
cotx

解:设
ttanx
,则当
x0
时
t0
,于是: lim

1tanx

x0
cotx
=
l im

1t

e

t0
1
t


x2

例7. 求
lim


x
x1


< br>3





x2

lim1
解:
lim

=


x


x1

x
x1





x
x1
3
x



3




1





x1




3

x1

3
33
< br>3


lim1e1e
3
=
lim


1

x

x1


x

x1



10’




Ⅲ 作业（课后平行项目）：
面授P59:3
Ⅳ 课堂小结：
本节主要介绍了极限存在准则，同时介绍了两个重 要极限，除上节通过
观察法能求一些简单函数外，现在可以利用它们求一些较为复杂函数的极限，
特别注意重要极限的使用。能分析总结一些求极限的技巧。


Ⅴ课堂情况记录及课后分析：




Ⅵ 下堂课预习要求：






湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（五）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期

课题：§1.14函数的连续性
教学目的(知识、技能、态度)：
理解函数连续性的两个定义，了解间断点的类别,掌握初等 函数在定义区间上的连续性，
了解闭区间上连续函数的性质及应用；提高观察分析能力。

教学重点：初等函数在定义区间上的连续性。
教学难点：连续性与间断点的判别，闭区间上连续函数的性质的理解和应用。
课型：新授课
主要教学方法：数形结合法，分析法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
上节回顾：两个重要极限公式．无穷小的比较；作业讲析
Ⅱ、新课教学
一、 函数的增量
教学方法

2’


在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着

的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量

定义1 如果函数
yf(x)
在
x
0
的某个邻域内有定义，当自变量x
从
x
0
变

到
x
0
x
，函数
yf(x)
相应地从
f(x
0
)
变到f(x
0
x)
，因此函数相应的增
5’



量为：
yf(x
0
x)f(x
0
)
强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。
例1 设
yf(x)3x< br>2
1
，求适合下列条件的自变量的增量x和函数的增量



10’
y
：
（1）
x
由1变化到0.5
（2）
x
由1变到
1x

（3）
x
由
x
0
变到
x
0
x

解略。

二、函数连续性的概念
1. 一点处连续的定义。
定义2 设函数
yf(x)
在点
x
0
的某个邻域有定义,如果当
△
x趋向于零
时，函数y对应的增量
△
y也趋向于零，即：
在点x
0
处连续。
例2 证明函数
yf(x)x
2
2x2
在点
xx
0
处连续。
定义3设函数
称函数
在点x
0
的某个邻域内有定义，如果有< br>在点x
0
处连续，且称x
0
为函数的
那末就称函数


由图形分
析加强学
生对定义
的理解
10’



的

连续点.
由定 义，函数在
yf(x)
点
x
0
连续需同时满足三个条件：
10’

（1） 函数在点
x
0
的一个邻域内有定义，即
f(x
0
)
存在
f(x)limf(x)
（2） limf(x)存在，即左右极限相等
lim

xx
0




15’



xx
0
xx
0
（3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值< br>limf(x)
=
f(x
0
)

xx
0< br>x
2
1
例3讨论函数
f(x)
在
x1
处的连续性。
x1

x1,x1

例4 讨论函数
f(x)

0,x1
在
x1
处的连续性。

x1,x1


x1,x1
例5讨论函数
f(x)

在
x1
处的连续性。
0,x1

2. 区间连续
设函数
即：
设函数即：
在区间(a,b]内有定义，如果左极限
=，那末我们就称函数
存在且等于，


在点b左连续.
存在且等于， 在区间[a,b)内有定义，如果右极限
=，那末我们就称函数
5’

在点a右连续. 一个函数在

开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b )连续，若又在a点右连续，b点左连续，

则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内 连续，则称为连续函数。连续
函数图形是一条连续而不间断的曲线。

三、函数的间断点
分
类
第
一
类
间
断
点
xx
0
xx
0
xx
0



原因 包含情况 类
型
跳
跃
间
断
点




5’






xx
0
limf(x)
,
limf(x)

limf(x)

limf(x)


xx
0
xx
0
xx
0
都存在
limf(x)

limf(x)
=
limf(x)f(x
0
)

可

去
间
断
点
第
二
类
间
断
点
不属于第一类间断
点的
xx
0
limf(x)


无
穷
间
断
点
结合前面的例子分别介绍.例3为无穷间断点,例4为可去间断点,例

5为跳跃间断点
四、 初等函数的连续性
1.连续函数的和、差、积、商的连续性
由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知：




若函数f(x),g(x)在点x
0
处连续,则f(x)g(x),f(x)g( x)在点x
0
处连续
,

2. 复合函数的连续性
设 函数当x→x
0
时的极限存在且等于a，即：
在点u=a连续，那末复合函数

.而函数
5’
当x→x
0
时的极限也存在且

等于.即： 。






注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：
limf

g(x)
f

limg(x)



xx
0

xx
0

所以 ---------初等函数在其定义区间内连续。
例4求
lim
ln

1x

．。
n
x
解：由对数函数的连续性有
原式
limln

1x

n0
1
x
1< br>
ln

lim

1x

x

lne1
．

n0



10’
ln1x
2
例5 求
lim
．
n 
cosx

ln1x
2
解：由于
x0
属于 初等函数
f

x


的定义域之内，故由
f
的连续性

cosx
ln1x
2
f

0
0
． 得
lim
n
cosx










5’





五、 闭区间上连续函数的性质
定理1.4 （最大值和最小值定理） 如果函数
f
在闭区间

a,b

上连续则
它在

a,b

上有最大值和最小值，也就是说存在两个 点
x
1
和
x
2
，使得
f(x
1
)f(x)f(x
2
),x

a,b


m in

f(x)

m
，亦即
f(x
1
) 
xa,b

f(x
2
)max

f(x)

M

x

a,b

若x
0
使
f(x
0
)0
，则称x
0
为函数的零点 推论：如果函数
f
在闭区间

a,b

上连续，则它在

a,b

上有界。
定理1.5（介值定理） 如果函数
f
在闭区间

a,b

上连续，则
f
在

a,b

上能取
到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。



y
M

B
C

yf(x)
a

推论（零点定理） 如果函数
f
在闭区间

a,b

上连续，且
f
在区间

a,b

的两个端点异号：
f(a)*f(b)0
则至少有一个零点

 (a,b)
，使
f(

)0

例6 证明方程
x
3
4x
2
10
在（0，1）内至少有一个实根。
解略
Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P66: 6,7
Ⅳ 课堂小结：








5’


本节主要介绍了函数的连续性，并指出了函数在某点处连续所必须具备

的三个条件及所有初等函数在其定义域内都是连续的。列举了函数三种间断
3’
点类型。详细地介绍了闭区间上连续函数的性质及应用。

Ⅴ课堂情况记录及课后分析：

Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（六）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：
§2.1导数的概念

教学目的(知识、技能、态度)：
理解导数的定义,几何意义;掌握导数的表示方法,由定义 求导的三个步骤,以及可导

与连续的关系. 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：导数的定义与求导数的方法.
教学难点：导数概念的理解和可导与连续之间的关系。
课型：新授课
主要教学方法：讲授法、讨论法、案例教学法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
考勤，检查预习情况。
Ⅱ、新课教学
一、两个引例。
引例1 求变速直线运动的瞬时速度。
瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度。
确定物体在某一 时刻
t
0
处的瞬时速度
v(t
0
)
的方法： 从
t
0
到
t
0
+Δ
t
，这段时间是Δ
t
. 时间Δ
t
足够短，就是Δ
t
无限趋近于
0. 当Δ
t
→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度
瞬时速度
v(t
0
)limvlim
t0
教学方法

2’




10’



s(tt)s(t
0
)
s
lim
0

t0
t
t0
t
引例2 曲线的切线。
如图，设曲线c是函数
yf(x)
的图象，点
P(x
0
,y
0
)
是曲线 c 上一点作
割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线P Q无限地趋近于某一极
限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线



y
y=f(x)
Q

y

P
O

x
M


x
10’

确定曲线c在点
P(x
0
,y
0
)
处的 切线斜率的方法：

因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要

求出切线的斜 率就够了设割线PQ的倾斜角为

，切线PT的倾斜角为

，既

然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切

线PQ的斜率tan

,即
f(x
0
x)f(x)
y

lim
tan

=lim

x0
x
x0
x




二、导数的定义
由于速度问题、切线问题以及其他许多问题(如电流强度、角速度、线密度等

等)均 导致形如
lim
x0
y
的极限,我们撇开这些量的具体意义，抓住他们 在数量

x
关系上的共性，就得出函数的导数概念．
定义2.1 设 函数
yf(x)
在点
x
0
的某个邻域内有定义，当自变量
x
在
x
0
处取得增量
x
（点
x
0
x
仍在该邻域内）时，相当函数
y
取得增量




yf(x
0
x)f(x
0
)
；如果< br>y
与
x
之比当
x0
时的极限
lim
f(x
0
x)f(x
0
)
y
lim
存在 ，则称函数
yf(x)
在点
x
0
处可导，并称

x0
x
x0
x
这个极限为函数
yf(x)
在点< br>x
0
处的导数，


y

|
< br>记作
f(x
0
)
，
xx
0
，
dy
dx
xx
0
，或
df(x)
dx
xx
0
。
f(x
0
x)f(x
0
)
y
lim
即：
f

(x
0
)lim

x0
x
x0
x
10’





函数
f(x)
在点
x
0
处可导有时也 说成
f(x)
在点
x
0
具有导数或导数存在；若极
限
lim
f(x
0
x)f(x
0
)
不存在，则称函数
yf(x)
在点
x
0
处不可导
x
x0< br>注：(1)函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在
(2) 导数
f

(x
0
)lim
x0
f(x
0
x)f(x
0
)
是函数
yf(x)
在点
x
0
的处瞬
x

时变化率，它反映的函数
yf(x)< br>在点
x
0
处变化的快慢程度
(3)左导数:
f

(x
0
)lim

x0



y

x
右导数:
f

< br>(x
0
)lim

x0
y

x

函数
yf(x)
在
x
0
可 导

函数
yf(x)
在
x
0
处的左右导数存在且 相等.

(4)由导数定义，上述两个引例中：
v(t
0
)f< br>
(t
0
);ktan

f

(x0
)

例1 求
y
=
x
2
在点
x
=1处的导数
f

(1)
.
分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δ
y
，再求


y

，
x

最后求
lim
x0
y
.
x
222
5’



y2x(x)< br>2
解：Δ
y
=(1+Δ
x
)－1=2Δ
x
+ (Δ
x
)，=2+Δ
x


xx
lim
x0
y
=
lim
(2+Δ
x
)=2.
f

(1)2

x
x0
2. 导函数(导数):如果函数
yf(x)
在开区 间
(a,b)
内的每点处都有导

数，此时对于每一个
x(a,b )
，都对应着一个确定的导数
f

(x)
，从而构成了

一个新的函数
f

(x)
, 称这个函数
f

(x)
为函数
yf(x)
在开区间内的导函

数，简称导数，也可 记作
y

，即
f

(x)
＝
y

＝
lim
yf(xx)f(x)
lim


 x0
x
x0
x
在定义式中，设
xx
0
x
，则
xxx
0
，当
x
趋近于0时，
x
趋近

于
x
0
，因此，导数的定义式可写成

10’


＝
f(x
0
)
所以函数f

(x
0
)lim
xo
f(x
0
x)f(x
0
)f(x)f(x
0
)
lim

xx
0
xxx
0

xx
0
函数yf(x)
在
x
0
处的导数
y

就是函数yf(x)
在开区间

xx
0
(a,b)(x(a,b))
上导数
f(x)
在
x
0
处的函数值，即
y
yf(x)
在
x
0
处的导数也记作
f

(x
0
)



注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就

是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系

是函数< br>yf(x)
在点
x
0
处的导数就是导函数
f

(x)
在点
x
0
的函数值

可导: 如果函数
yf(x)
在开区间
(a,b)
内每一点都有导数，则称函数

yf(x)
在开区间
(a,b)
内可导




三、求函数导数的一般方法：
（1）求函数的改变量
yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x)

（2）求平均变化率
xx
 y
（3）取极限，得导数
y

＝
f

(x)
lim

x0
x
注意：(Δ
x
)
2
括号别忘了写.






20’




例2已知
yx
2
,求
y
′.
解：略
分析：例1中的一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系。
例3 求函数
f(x)log
a
x(a0,a1)
的导数。
x
解：（1）
ylog
a
(xx)log
a
xlog
a
(1)
；
x
（2）
y1x1 x
log
a
(1)log
a
(1)
；
xxxxx
x
x
y1x

x
x
1x< br>
x
x
limlog
a
(1)limlog
a
(1)
（3)
lim
x0
x
x0
xxx
x0
x
1x
log
a
lim(1)
x0
xx
(log
a
x)


x
x

11
log
a
e

xxlna


11
特别地：当
ae
时，有
(lnx)



xlnax
点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的

基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.

四、 导数的几何意义
由导数的定义可知:函数
线在点
在点处的导数


在几何上表示曲

,其中是切线的

处的切线斜率，即
倾角.如下图：

5’

如果
yf(x)
在点
x
0
可导，则曲线
yf(x)
在点（
x
0
,f(x
0
)
）处的切线方


程为
yf(x
0
)f

(x
0
)(xx
0
)

5’
例2 求曲线
yx
在点（2，8）处的切线方程和法线方程。
解略。

五、 可导与连续的关系
定理2.1 如果函数
y
=
f
(
x
)在点
x
0
处可导，那么函数
y
=
f
(
x
)在点
x
0
处连
续，反之不成立 . 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充
分条件.
设函数
yf(x)
在点
x
可导,即有:
lim
由极限与无穷小的关系得:
y
f

(x)

x0
x
3








10’







y
f

(x)


x
其中

为当
x0
时的无穷小,上式两端同乘以
x
,得
yf

(x)x

x

当
x 0
时
y0
,由连续性的定义可知:
f
(
x
) 在
x
0
处连续.

x x0
连续未必可 导可通过反例说明，如
y
=|
x
|=

在
x
0
=0处

x x0
∵
lim
y
=
lim

(－
x
)=0，
lim
y
=< br>lim
x
=0，∴
lim
y
=0

< br>x0x0
x0x0
x0
∴
y
=|
x
|在
x
=0处连续.
x0
lim
|x||0||x|

1 x0
y
lim

=
lim

x0x0
x
xx

1 x0
∴
y
=|
x
|在
x
0
=0处不可导.

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P87:4，5
Ⅳ 课堂小结：
本节介绍了导数的定义 、几何意义以及可导与连续之间的关系，同时重点
介绍了利用导数定义求函数导数的具体步骤，要求大家 掌握并记住几个基本
初等函数的导数公式。
Ⅴ课堂情况记录及课后分析：


Ⅵ 下堂课预习要求：











3’





湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（七）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§2.2-§2.3函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则
教学目的(知识、技能、态度)：
掌握四则运算求导法则；掌握复合函数求导法则；通过一定数量的求导练习培养运算
能力。

教学重点：利用求导法则求函数的导数。
教学难点：复合函数的求导法则的理解与应用。
课 型：新授课
主要教学方法：讲练结合法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
清查人数，作业讲析， 复习引入
1．导数的定义及求导步骤，几个基本初等函数的求导公式；
2．函数
y3x
2
x2
，
y(1x
2
)
5
等等的导数又如何计算呢？
Ⅱ、新课教学
一、函数和，差的求导法则。
A．设函数u(x)及v(x)在点x 有导数，则函数u(x)±v(x)在点x也有导数，
并且：
(uv)

 u

v

即两个函数的和或差的导数等于它们的导数的和或
差。
即
(uv)

u

v


教学方法



5’





上述法则可以推广到任意有限个可导函数的和或差的情形

B．设函数u(x)及v(x)在点x有导数，则乘积u(x)v(x)在点x也有导数，
且：
10‘
(uv)
'
u
'
vuv
'


即两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第
二个函数的导数乘第一个函数。

(uvw)

[(uv)w]

(uv)

w(uv)w

u

vwuv

wuvw

。

u(x)
在点
x
也有

v(x)
C．设函数
u(x)
及
v(x)
在点
x
有导数，且
v(x)0
，则函数
uu

vuv

导数，且：
()

v
u
2




例1求
y3x
2
x2
的导数。
例2 求
yxsinx
的导数。
例3 求
y
23x
的导数。
2x

例4求
ytgx
的导数。
例5求y=tgx的导数
用类似方法可求得
(ctgx)

csc
2
x
。
例6求y=secx的导数。
用类似方法可求得
(cscx)

cscxtgx
。
练习：P92 1，双

二、复合函数的求导法则
设函数
u(x)
在点x 处有导数
(x)
，函数y=f(u) 在x的对应点u处有
导数
f

(u)
，则复合函数
y

f[(x)]
在点x处也有导数，
且
y

f< br>
(u)

(x)
或:
dydydu


dxdudx
20‘



10’



10‘

即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数

乘上中间变量对自变量的导数。
注：复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的情形。
例7求
y(1x
2
)
5
的导数
例8求
ysin
2
x
的导数
例9求
y(1sin2x)
3
的导数
例10求
ycosx
的导数。
例11求
ylnsinx
的导数
例12求
yln(x




20‘



10’



x
2
1)
的导数
练习：P95 1，双

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P92:1单 P95:1 单
Ⅳ 课堂小结：










本节介绍了导数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则。特别是对于

复合函数的求导法则请一定要按复合步骤一步一步求导并做乘积

Ⅴ课堂情况记录及课后分析：


Ⅵ 下堂课预习要求：



5’
湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（八）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§2.4-2.5隐函数的导数、初等函数的导数
教学目的(知识、技能、态度)：
了解隐函数概念及隐函数的求导法则；熟悉幂指函数的对数 求导法；熟练掌握初等
函数的求导公式和基本公式。

教学重点：隐函数与幂指函数的求导方法；初等函数求导公式。
教学难点：隐函数求导。
课 型：新授课
主要教学方法：引导式教学法；归纳法；讲授法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
复习引入：1．几个基本初等函数的求导公式；2．两个求导法则。
Ⅱ、新课教学
一、隐函数的求导方法
1.隐函数概念
我们过去所遇到的函数中，自变量x和函数 y之间的函数关系通常用
yf(x)
这种明显的表达式给出。这种形式的函数，叫做显函数。
教学方法

5’





如 ：
yx5
，
ye2
，
ysin2x
等。
x

但在方程
2xy10
中，给x一个确定的值，有唯一确定的y值与之对

应，因此y是x的函数。这种函数关系隐含在方程
F(x,y)0
中。我们把有方< br>
程
F(x,y)0
所确定的函数叫做隐函数。
例如，下列方程都给出了一个相应的隐函数：
（１）
x
3
y3
10
；（２）
x
2
y
2
1
；（３）
xysinxy0
。
10’

很明显，有时可以将隐函数化为显函数的形式，如上面的（１）式很容易

化为显函数 ：
y
3
1x
3
。但通常将隐函数化为显函数是比较困难的，如上

面的（３）式就无法将y表示成的显函数。
2. 隐函数的求导方法
'
例1 求由方程
x
3
y
3
10
所 确定的隐函数的导数
y
x
。





解：在方程中，将y看成x的函数，则
y
3
是x的复合函数，因此，利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x求导，得：
(x
3
)
'
x
(y
3
)
'
x
(1)
'
x
0
。

x
2
即：
3x3yy0
从中 解出
y
，得：
y
2
,(y0)
。
y
22'
x
'
x
'
x

10’
注意：上述结果中的y任然是由方程
x
3
y
3
10< br>所确定的隐函数。习
惯上，对隐函数求导，结果允许用带有y的式子表示。
例1表明， 求隐函数的导数时，只需在方程
F(x,y)0
中，将y看成x的


函数，y的表达式看成x的复合函数，利用复合函数的求导法则，方程两端同

''< br>时对x求导，得到一个关于x、y、
y
x
的方程，从中解出
y
x
，即得到所求隐函

数的导数。
'
例2 求由方程
xye
xy
所确定的隐函数的导数
y
x
。 < br>''
解：方程两端对求导，得：
yxy
x
e
xy
(1y
x
)


5’




5’


3
，于是所求切线方程为：

4
ye
xy
yxy
解得：
y
xy


ex
xyx
'
x3
x
2
y
2
3
）处的切线方程
1
在（２，例3 求椭圆
2
169
解 由导数的几何意义知，所 求切线斜率为：
ky
'
椭圆方程两边对x求导，得：
解出
y
'
，得：
y
'

9x
。
16y
x2
yy
'
0
。
89
x2
。
3
3
代入上式，得：
ky
'
将x＝2，y＝
2




x2
y 
33
3(x2)
。即：
3x4y830
。
24
二、幂指函数的求导方法
一般地，幂指函数
yu(x)
v( x)
可以用对数求导法求导，也可将幂指函数写

成
ye
v(x)lnu(x)
，再用复合函数求导法求导。
例4 用对数求导法求幂指函数
yx
x
,x0
的导数。


1
'
lnx1。解 两边取对数，得：
lnyxlnx
。两边对x求导，得：y
x


y

'
整理，得：
y
x
y(lnx1) x
x
(lnx1)
。

20’



例5 求幂指函数
yx
sinx
,x0
的导数。
解
y
'
(x
sinx
)
'
(e
sinx lnx
)
'
e
sinxlnx
(sinxlnx)
'

e
xsinx
[(sinx)
'
lnxsin x(lnx)
'
]

x
sinx
(cosxlnx
sinx
).

x
对数求导法，对由多个因子通过乘、除、乘方或开方所构成的比较复杂的

函数的求导也是很方便的。
例6 求函数
y





10’



(x1)(x2)
,x4
的导数。
(x3)(x4)
1
解 两边取对数，得：
lny[ln(x1) ln(x2)ln(x3)ln(x4)].

2
两边对x求导，得：'
1
'
11111
y().

y2x1x2x3x4
11111
)
即：
yy (
2x1x2x3x4
1(x1)(x2)1111
().

2(x3(x4)x1x2x3x4
三、初等函数的导数
1.导数的基本公式
(c)

0(c为常数）
(x)

ax
x
a
aa1
(a)

alna

xx
11
(lnx)



(e
x
)

e
x
(log)


xlnax




10’
(sinx)

cosx(cosx)

sinx

11
2

(tanx)

secx(cotx) csc
2
x

22
cosxsinx
(secx)

secxtanx(cscx)

cscxcotx

( arcsinx)


(arctanx)


1
1x
2
(arccosx)


1
1x
2< br>



11

(arccotx)

1x
2
1x
2
2．函数的和、差、积、商的求导法则：

（１）
(uv)

u

v


（２）
(uv)

u

vuv



u

vuv


u

（３）



2
v

v




10’



3.复合函数的求导法则：
'''
设
yf(u)而u(x)
，则有：
y
x< br>y
u
u
x
f
'
(u)

'
(x)

应用上面的导数公式和求导的基本法则，可解决初等函数的求导问题。

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P101:2
Ⅳ 课堂小结：


本节介绍了隐函数概念及隐函数的求导法则、幂指函数的对数求导法以及

复习总结了初等函数的求导公式和基本法则。
Ⅴ 课堂情况记录及课后分析：


Ⅵ 下堂课预习要求：


5’



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（九）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§2.7高阶导数；2.8函数的微分
教学目的(知识、技能、态度)：
了解高阶导数概念，会求某些函数的高阶导数；熟悉函数微 分概念，了解其几何意
义；掌握微分的基本公式、微分法则，会利用微分做近似计算。
教学重点：高阶导数的计算与微分运算

教学难点：微分的近似运算
课 型：新授课
主要教学方法：引导式教学法；比较法；讲授法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ组织教学：
复习引入：
１．函数导数概念及基本公式
２．隐函数求导法
Ⅱ新课教学
１、高阶导数概念
我们知道函数的导数仍 然是一个函数，并且仍然可求导。即函数的导数的
导数，称为函数的二阶导数。
一般地，函数
yf(x)
的导数
y

f

(x)
仍 然是
x
的函数，我们把
y

f

(x)
教学方法

5’






d
2
y

2
的导数叫做函数
yf(x)
的二阶导数，记作
y

或
dx
，即
y

(y

)

或

d
2
yd

dy



dx
2
dx

dx

。把
f

(x)
叫做
f(x)
的一阶导 数。同样，我们还可以继续求导，
d
3
yd
4
y
d
n
y
(4)
y


3
y
4
y(n)
n
dxdx
dx
。

得到三阶导数，四阶导数，乃至n阶导数
10’
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
求高阶导数只要反复应用求一阶导数的方法，下面举例说明。
例1 已知
yx e
，求
y

(0)
及
y

(0)< br>。
例2 证明函数
Ssint
满足关系式
S

2
S0
。
22x








dx1d
3
x3(y

)
2
y

y

例3 试从。
导出< br>3

dyy

dy(y

)
5
下面 介绍几个初等函数的n阶导数：
（1）
(e)
x(n)
。（2）
( sinx)
e
（读者自证）
x
(n)

sin(xn )
。
2

(n1)!
(n)
同理有
(cosx )
(n)
cos(xn)
。（3）

ln(1x)

(1)
x1
。
2
(1x)
n

２、函数的微分
导数反映自变 量变化引起函数变化的快慢程度。下面讨论当自变量的增
量给出以后，如何计算函数的增量，并由此引出 微分的概念。
10’

定义函数y=f(x)在点x处的导数与自变量增量的乘积
f

(x)x
，叫做函数

y=f(x)在点x的微分， 记作dy，即
dyf

(x)x
，此时，称f(x)在点x是可
微的.
例1 设
yx
2
，求：
（1）函数在x=3处的微分；
（2）函数当
x3,x0.02
时的微分.
解 函数在任意点x 的微分为
dy(x
2
)

x2xx
.
（1）
dy
x3
2xx
x3
6x

（2）
dy
x3



5’




5’
2xx
x0.02
x3< br>x0.02
0.12

通常把自变量的增量
x
称为自 变量的微分，记作dx，即
dxx
.于是函
数
yf(x)
的微 分又可以记作
dyf

(x)dx
.从而有
dy
f< br>
(x)
.就是说，函数
yf(x)
的微分，
dy
与自变量的微分
dx
之商等于

dx
该函数的导数.因此，导数也叫做微商。


3、微分的几何意 义
设函数
yf(x)
，在曲线上取一点
M(x,y)
，过点M引切 线
MT
，则其斜率
为
tagf

(x)
.
令
x
取增量
x
，于是在曲线上得到另一点
M

(xx,yy)
，由图可知，
MPx,PM

Y
，
另外，在三角形
MPQ
中
PQMPtgaf

(x)xdy
.






这就表明，函数
yf(x)
在
x
点的微分等于点
M(x,y)
的切线
MT
上和
x
对应

的纵坐标的增量这就是函数
yf(x)
在点
x
的微分的几何意义.
４、微分的运算法则微分形式不变性
从函数的微分的表达式
dyf
(x)dx
可以看出，要计算函数的微分，只要计算

函数的导数，再乘以自变量的微分即可.因此基本初等函数的微分公式，可以

由基本初等函数的导数直接写出.这里不一一列举了.此外，求导数的四则运
算法则 ，对求微分成成立，即设
u,v
都是
x
的函数，且都可微，则
20’

d(uv)dudv
；

d()udvvdu,d(Cu)Cau
；


u

vduudv
.
d


2
v

v





这些都很容易证明，对于它们也要求熟练运用.
例2 设
y
sin2x
，求
dy
.
x

xa(sin)

例3 求摆线

在

处的切线的斜率.
2

ya( 1cos)
由此可见，对于函数
yf(u)
来说，不管
u
是自 变量还是中间变量，总有

dyf

(u)du
.这个性质，就叫 做微分形式不变性.利用这一性质，求复合函数

10’
的微分较为方便.
例4 求函数
yarctg
x
的微分
1x
dy
.
dx






例5 方程
xye
x
e
y
0
确定为
y为x
的隐函数.求
５、微分在近似计算中的应用
前面讲过，当自变量的增量很小时，函数的微分可当作函数增量的近似值，
即
（1）
ydy
，
或
（2）
f(x
0
x)f (x
0
)f

(x
0
)x
，
（3）
f(x
0
x)f(x
0
)f

(x
0
)x
，
利用这些近似公式，可求函数增量
y
或函数值
f(x
0
x)
的近似值。
例1 有一直径为10厘米的球，球外表面镀铜，铜的厚底为0.005厘米，求
所用铜的体积的近似值。
例2 求
1.02
的近似值。
11
n
1x1 x1x
x
tgxx
；
e1x
；
ln(1x) x
。
n1x
5

10’



10’

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P116:3单，4




Ⅳ 课堂小结：
本节介绍了高阶导数概念及计算，重点讲了函数微分的概念及其几何意义，

微分的运算法则和在近似计算中的应用。

Ⅴ 课堂情况记录及课后分析：






Ⅵ 下堂课预习要求：






5’


湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（十）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§3.2 罗必达法则
教学目的(知识、技能、态度)：
会用罗比达法则求解一些未定式极限。
教学重点：罗比塔法则的掌握
教学难点：罗比塔法则应用的前提
课 型：新授课

主要教学方法：讲授法、练习法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
复习引入：
之前是如何解决一些不定式的极限求法，举例。

Ⅱ、新课教学
罗必达法则是解决
教学方法

5’




0
、型不定式的极限的一种有效的方法。不定式主要包
0


0
括：、（商的极限）；
0
（积的极限）；

（差的极限）；
0
0
、

0
、0

0

1

（幂指函数的极限）。但应当注意的是 ，并非所有、型的极限都可以

0

用此法则计算。
0
1，及型的极限
0


10’


定理、设函数
f

x

、
g

x

满足：
⑴
limf

x

0
，
limg

x

0
；
xx< br>0
xx
0
ˆ
0
,


，在此邻域 内，
f


x

、
g


x

存在，且⑵存在
x
0
的一个去心邻域
N
< br>x
g


x

0
；
⑶极限lim
f


x

存在或者为

；
g


x





xx
0
则
lim
xx
0
f

x

f


x

lim
。
xx

0
g

x

g

x
当
xx
0
lim
时，有

x
0
，从而
xx
0
f

x

f
< br>x

f

x
0

f




f


x

。
lim limlim
xx

xxx
0
g

x
g

x

0
g


0< br>g


x

g

x

< br>
0


注：如果极限
lim
xx
00
f

(x)
仍然是型的，函数
f

(x)< br>、
F

(x)
满足定理中对
f(x)
、

0
F

(x)
10’
F(x)
的要求，则可以继续利用洛必塔法则，即有

x x
0
lim
f

x

f

(x) f

(x)
......
limlim
g

x

xx
0
F

(x)
xx
0F

(x)


0
a
x
b
x
例1．求极限
lim
。（型）
x0
0
x


5’




5’



例2． 求极限
lim
x1
lnx

1x< br>
2
。（
0
型）
0

注：① 洛必塔法则可以推广到
xx
0
时的型不定式；

0
② 洛必塔法则可以推广到
x
时的及型不定式；
0
0
③ 综上所述，洛必塔法则可以用于讨论及型的不定式。
0

tanx
例3．求极限
lim
。（型）


x
cot2x
2
tanx
解：
lim

x
cot2x
2
0
0


sec2
x1sin
2
2x
limlim

2

2csc
2
2x

2
x
cosx
x
22
14sin2xcos2x
lim2limcos2x2

2
x

2cosxsinx
x
22

注：①
0
及型不定式在使用洛必塔法则后，可能相互转化；
0







②在解题过程中，注意随时化简函数是十分必要的。
例4．求极限
lim
e
x
，。
lim
x< br>x
n
x

lnx

n
x
n< br>使用洛必塔法则应该注意的问题
0
1．只有、型才可以考虑使用洛必塔法则； 0
x
3
3x
2
3x
2
6x6x6limlim1
错误的解法：
lim
2
x0
3xs inx
x0
6xcosx
x0
6sinx
2．应多种求极限 方法综合使用，并注意随时化简；
3．注意洛必塔法则中的条件3，即并非所有的
法则求解。

2、其他类型的未定式极限的求法。
0
、型一定可以用洛必塔

0
20’

0
未定式除型与型外，还有
0
，

，
0
0
，

0
，
1

等类型。我们可以

0
0
通过适当的变 形先将它们化为未定式型或型，然后应用罗必达法则进行

0
计算。
x
n
lnx(n0)
（
0
型） 例5．求
lim

x0






x
2
n
解：
limxlnx

lim

x0x0
0
lnxlnx

lim
1

x0

x
n
x
n

1
x
n
x
limlim0

n1
x0

nx
x0

n

xtanx)
（

型） 例6．求
lim(sec

10’




解略。
例7．求
lim

x
x
（
0
0
型）
x0
解略。
1
例8．求
lim

()
tanx
（

0
型）
x0
x
解略。
注：当式子不再是未定式时则不能在继续使用罗必达法则，否则会出现错误。


Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P137:2单
10’




Ⅳ 课堂小结：
本节课主要介绍了罗必达法则，主要应用求解一些未定式的极限，应用时
10’
注意条件是否满足。

Ⅴ 课堂情况记录及课后分析：



5’

Ⅵ 下堂课预习要求：





湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（十一）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§3.3 函数单调性的判别法
教学 目的(知识、技能、态度)：掌握由导数判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，
掌握利用函数单 调性证明不等式的思维方式；培养学生利用数学概念进行判断推理的能
力，培养学生的数形结合能力。
教学重点：单调性的判别，单调区间的求解。

教学难点：判别方法的理解与熟练运用；利用单调性证明不等式。
课型：新授课
主要教学方法：讲授法，数形结合法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
复习回顾：导数的几何意义；函数单调性的概念与图像特征。
Ⅱ、新课教学
一、函数单调性的判定法
教学方法

5’


如果函数
y

f
(
x
)在[
a

b
]上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条

沿
x
轴正向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是
非正的） 即
y< br>
f
(
x
)0(
y

f
 (
x
)0) 由此可见 函数的单调性与导数的符号
有着密切的关系
反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理1(函数单调性的判定法) 设函数
y

f
(
x)在[
a

b
]上连续 在(
a

b
)内可导

(1)如果在(
a

b
)内
f
(
x
)0 那么函数
y

f
(
x
)在[
a

b
]上单 调增加
(2)如果在(
a

b
)内
f
(
x
)0 那么函数
y

f
(
x
) 在[
a

b
]上单调减少
注 判定法中的闭区间可换成其他各种区间

例1 讨论函数
f(x)

x
2
的单调性
解： 函数的定义域为()
函数的导数为
f

(x)2x

当
x
0时
f

(x)
0 ；当
x0
时
f

(x)0
； 当
x0
时
f

(x)0

根据上述定理，函数的单调性情况可以列成下表，
（表中“

x

”表示单调增加，“
(,0)





5’





5’




”表示单调减少）

(0,)

+
0
0

f

(x)

-

f(x)







5’




例2讨论函数
y
3
x
2
的单调性
解函数的定义域为()
函数的导数为
y


3
2
(
x
0)
3x
函数在
x0
处不可导，当
x
0时 函数的导数不存在
因为
x
0时
y
0 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为
x
0时
y
0 所以函数在[0, )上单调增加

由上述两例可以看出导数为零，或导数不存在的点有可能成为单调区间
的分界点；
如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且

连续 那 么只要用方程
f
(
x
)0的根及导数不存在的点来划分函数
f< br>(
x
)的定
5’
义区间 就能保证
f
(
x
)在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数
f
(
x
)在
每个部分区间上单调

二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单
调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单
调区间.
例2 确定函数
f
(
x
)2
x
3
9
x
2
12
x
3的单调区间
解： 这个函数的定义域为:()
函数的导数为:
f
(
x
)6
x
2
18
x
12  6(
x
1)(
x
2)
导数为零的点有两个
x
1
1、
x
2
2
列表分析









x

( 1]

↗
[1 2]

↘
[2 )

↗


20’

f
(
x
)
f
(
x
)
函数
f
(
x
)在区间(1]和[2)内单调增加 在区间[12]上单调减少
函数
f
(
x
)在区间(1]和[2)内单调增加 在区间[12]上单调减少

例3 求函数
f(x)3(x1)
的单调区间
解：这个函数的定义域为:()且函数在()内连续。
函数的导数为:
f

(x)2(x1)

1
3
2
3




2

3
(x1)
函数在内没有导数为零的点，但在点处导数不存在。把分成两个区间，列

表讨论：

x


f

(x)


f(x)

( 1)
+
↗
1
不存在


(1,)

-
↘








5’

例4 求函数
f(x)xln(1x)
的单调区间。

求函数单调区间的步骤：
（1）求函数的定义域。
（2）求函数的导数，求出使导数为零或导数不存在的点，得到单调区间
的分界点。
（3）讨论导数在各区间内的符号，判断函数在各区间内的单调性。
注：一般地 如果
f
(
x
)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正

（或负）时 那么
f
(
x
)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的。
如讨论函数
y

x
的单调性
解： 函数的定义域为()
函数的导数为
y
3
x
2
 除当
x
0时
y
0外 在其余各点处均有
y
0
因此函数
y

x
在 区间(0]及[0)内都是单调增加的
从而在整个定义域()内是单调增加的
在
x
0处曲线有一水平切线

三、利用单调性证明不等式。
例6证明 当
x
0时
sinxx

证明令
f(x)xsinx
 则
f(0)0

3
3


5’

当
x0
时，有：
f

(x)1cosx 0


因此
f
(
x
)在（0，）上单调增加 且
f
(
x
)在（0，）上是连续的。
10’
于是 ，当
x0
时，有
f(x)f(0)0
，即：
xsinx0

亦即：
sinxx(x0)

练习： P140
Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P140:2单
Ⅳ 课堂小结：



20’

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它

有限或无限区 间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程
实根的个数和证明不等式函数的不可导点 ,也可能是函数的极值点.

Ⅴ课堂情况记录及课后分析：


5’



Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（十二）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§3.4函数的极值
教学目的(知识、技能、态度)：了解极值的含义，掌握函数极值的判别与求解；培养学生
的辩证思维的能力。
教学重点：极值的定义与判别
教学难点：判别方法的理解与熟练运用

课 型：新授课
主要教学方法：结合法，比较法，分析法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
清查人数；
复习回顾：函数单调性的判别方法；单调区间的分界点的可能情况。
Ⅱ、新课教学
一、函数的极值的定义与判定。
定义：设函数
f(x)
在点
x0
的某邻域
U(x
0
)
内有定义，如果对于去心邻域
U (x
0
)
内的任一
x
，有

f(x)
<
f(x
0
)
（或
f(x)
>
f(x
0)
）
那么就称
f(x
0
)
是函数
f(x)< br>的一个极大值（或极小值）．
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
教学方法


5’




10’





y
y
o

二、极值的求法
定理1(必要条件)
x
0
x

o
x
0
x




设f(x)在 点x
0
处具有导数，且在x
0
处取得极值，那末必定f(x
0
)0

'

定义：使导数为零的点(即方程f

(x) 0的实根)叫做函数f(x)的驻点.

注：（1）可导函数的驻点不一定是极值点。 如：函数
yf(x)x
的导数为
f

(x)3x
，
x0
是函数的驻点但不是极值点。
32

(2)在导数不存在的点，函数也可能有极值。
如：函数
yx< br>在
x0
的导数不存在，但在该点有极小值
f(0)0
。
而：函数
f(x)x
在
x0
不可导，但在该点没有极值。
归纳：可能成为极值点的：驻点和不可导的点
定理2（第一充分条件）
设函数
f(x)
在
x
0
处连续，且在
x
0
的某去心邻域
U(x
0
,

)
内可导．
（1）若
x(x
0


,x
0
)时，
f

(x)0
；而
x(x
0
,x0


)
时，
f

(x)0
，则< br>f(x)
在
x
0
处取得极大值；
（2）若
x( x
0


,x
0
)
时，
f
(x)0
；而
x(x
0
,x
0


)
时，
f

(x)0
，则
f(x)
在
x
0
处取得极大值；
（3）若
xU(x
0
,

)
1
3


15’







10’


时，
f

(x)
的符号保持 不变，则
f(x)
在
x
0
处没有极值
y

y

o



x
o
x
0
x
x
0






求函数极值的步骤：
（1） 求函数的定义域。
（2） 求导数
f

(x)

（3） 求
f(x)
的全部驻点或导数不存在的点。
（4） 讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点还是极小值

点
（5） 求各极值点的函数值，得到函数的全部极值。


例1 求函数
f(x)x
3
3x
2
24x20
的极值
10’
解略，图形如下：

M





m







例2 求函数
f(x)(x
2
1)
3
1
的极值。
解：（1）函数的定义域为：
(,)

（2）
f

(x)3(x
2
1)
2
2x6x(x1)
2
(x1)
2

（3）令
f

(x)0得驻点
x
1
1,x
2
0,x
3
1
（4）列表讨论：
x

(,1)

-1
(1,0)

0
0
极小值0
(0,1)

1
0
(1,)



20’
f

(x)

-
f(x)


0

-

+

+



由上表知，函数的极小值为
f(0)0
，驻点-1，1不是极值点
3
2
例3 求函数
f(x)xx
3
的极值。
2








定 理3（第二充分条件）设函数
f(x)
在点
x
0
处具有二阶导数且< br>f(x
0
)0
，
f

(x)0
，那么

（1） 当
f(x
0
)0
时，函数
f (x)
在
x
0
处取得极大值；


（2） 当
f(x
0
)0
时，函数
f(x)
在
x
0
处取得极小值．
例4 求函数
f (x)sinxcosx
在区间

0,2


上的极值 。

Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P145:1单
Ⅳ 课堂小结： < br>极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大
值.驻点和不可导点统称 为临界点.函数的极值必在临界点取得
Ⅴ课堂情况记录及课后分析：




15’






5’


Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（十三）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§3.5 函数的最大值和最小值
教学目的(知识、技能、态度)：
了解闭区间上函数最值的求解；会由实际问题建立数学模型 并求解，启示学生养成细
心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯，提高学生解决实际问题的能力。
教学重点：最值的求解
教学难点：实际问题中最值的求解

课 型：新授课
主要教学方法：分析法，讲授法
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
函数单调性与单调区间的求解步骤。
Ⅱ、新课教学
1、函数的最大值与最小值
教学方法

5’


函数的最值与极值是不同的概念。最值是全局性概念，而极值是局部性

概念，最大值 （或最小值）是函数在所考察的区间上所有函数值中的最大者
（或最小者），而极值只是函数在极值点的 附近某邻域内的最大值或最小值。
设f(x)定义在[a，b]上，如有x
0
[a ，b]使对于所有的x[a，b]，有
f(x
0
)f(x)（或f(x
0
)f(x)），则称f(x
0
)为f(x)在[a，b]上的最大
值（或最 小值）。
5’








闭区间[a，b]上的连续函数一定存在最大值和最小值。
求最值的方法
一般来说 ，求闭区间[a，b]上的连续函数的最大值和最小值，可以将区间端
点的函数值f(a)，f(b)与 开区间(a,b)内使f

(x)0及f

(x)不存在的点的函数
值相比较，其中最大的就是函数在[a，b]上的最大值，最小的就是函数在[a，b]上的
最小值.
注意下面两种特殊情况：
10’







(1)如果函数f(x)在[a，b]上单调，则f(a)、f(b)是最值；

(f

(x)在(a，b)上内不变号，可保证f(x)在[a，b]上单调）


(2)如果[a，b]上的连续函数f(x)在开区间(a，b)内仅有一个极值点x
0
，
若f(x
0
)为极大值，则f(x
0
)为最大值；若f(x0
)为极小值，则f(x
0
)为最小值
很多求最值的实际问题是属于 此种类型，对这种类型的问题，可以用求极值的
方法来解决.但应加以说明清楚.
例1．求 函数
f(x)x3x9x5
在

2,6

上的最 大值和最小值。
32

解：（1）由
f

(x) 3x
2
6x93(x
2
2x3)3(x1)(x3)

得驻点为
x
1
1,x
2
3
，在区间（- 2，6）上没有使导数不存在的点。
（2）求出区间端点及各点驻点的函数值分别为：

10’









f(2)0,f(6)56,f(1)7,f(3)25

（3）比较上述各值的大小，可知函数在区间

2,6

上 的最大值
f(6)56
为，最小
值为
f(3)25

2、最值应用问题举例
例2 将边长为的一块正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然 后将四
边折起做成一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？
解：设小正方形的边长为，则盒底的边长为
因此，方盒的容积为
，
Vx(a2x)
2
求得：
a
x(0,)

2


10’







aa
，x
2
（舍去）

62
aaa
在区间(0,)内仅有一个驻点x
1
，且V

() 4a0，

266
令V

0，得x
1

a
所以函数Vx(a2x)在x
1
处取得极大值，这个极大值就是该函数
6
2
的最大值.由此可知，当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的 16时，
所做成的方盒容积最大.

注意f(x)在一个区间(有限或无限开或 闭)内可导且只有一个驻点x
0
并且
这个驻点x
0
是函数f(x) 的极值点那么当f(x
0
)是极大值时f(x
0
)就是f(x)在该区
间上的最大值当f(x
0
)是极小值时f(x
0
)就是f(x) 在该区间上的最小值
应当指出实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大

值或 最小值而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有
一个驻点x
0< br>那么不必讨论f(x
0
)是否是极值就可以断定f(x
0
)是最大 值或最小值

10’

例3 在一条河的同 旁有甲，乙两城，甲城位于河岸边，乙城离岸40km，
乙城到岸的垂足与甲城相距50km，两城在河 边合建一水厂取水，从水厂到甲


城和乙城的水管费用分别为每公里3万元和5万元，问此水厂应该建在河边

的何处才能使水管费用最少？
解：设水厂离甲城
x
km，水管总费用为
y
万元，则：
y3x540
2
(50x)
2
(0x50)






于是，问题归结为：
求
x< br>为何值时，函数
y
在区间（0，50）内取得最小值，求导，得：
y

3
5(50x)
40(50x)
22




340
2
(50x)
2
5(50x)
40
2
(50x)
2
15’


令
y

0
，解得
x20
。因为在区间（0，50）内函数 只有一个驻点
x20
，
又由问题的实际意义知，函数
y
的最小值在 （0，50）内取得，所以当时，函
数取得最小值，即此水厂应设在河边离甲城20km处，才能使水管 费用最省。

例4 某产品生产
x
单位的总成本为
C(x)
1
3
x5x
2
170x300

12










15’
每单位产品的价格是134元，求使利润最大的产量。
解：生产各单位的利润为：
L(x)R(x)C(x)

1
134x (x
3
5x
2
170x300)

12
1
x
3
5x
2
36x300

12
于是，问题归结为：求为
x
何值时，函数L在区间内取得最大值。
11
L< br>
(x)x
2
10x36(x36)(x4)

44
1
L

(x)x10

2

令
L

(x)0
，解得x
1
36,x
2
4
。
因为
L

(36)80
，所以在
x36
有极大值；
又因为
L

(4)80
，所以在
x4
有极小值。
由于
L(0)300
，且当
x36
时，
L

(x)0
； 即函数单调减少，



< br>因此
L(36)996
是
L(x)
的最大值；所以生产36个单位时 有最大利润996元。


Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P148: 6,7
Ⅳ 课堂小结：
最值问题的求解步骤。
Ⅴ 课堂情况记录及课后分析：





5’


Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（十四）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§3.6-§3.7曲线的凹凸与拐点，函数图像的描绘
教学目的(知识、技能、态度 )：了解函数的凹凸性与拐点，理解并掌握它们的判别与求解；
了解函数曲线的水平渐近线和铅直渐近线 概念与求解，掌握函数图像的描绘步骤。培养学
生分析问题和解决问题的能力。
教学重点：凹凸性的判别与求解，渐近线的求法，函数图像的描绘
教学难点：函数图像的描绘
课 型：新授课

主要教学方法：分析法，综合法。
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ组织教学：
函数最值得求解步骤。
Ⅱ新课教学：
1，函数的凹凸性与拐点
教学方法

5’


曲线凸凹的定义：设曲线弧的方程为
yf(x)
，且曲线上的每一点都有切

线，如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在

该区间内 是凹的，如果该曲线弧位于其上任一点的下方，则称曲线弧在该区
间内是凸的。见下图。


y
yf(x)
B


A
o



a
b
x



y
yf(x)
B



10’
A
o
a
b

x




曲线凹凸的判定

如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶 和二阶导数,若在(a,b)内

(1)f

(x)0,则f(x)在[ a,b]上的图形是凹的;
(2)f

(x)0,则f(x)在[a,b]上的图 形是凸的.
曲线的拐点及其求法
（1）定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
（2）拐点的求法






如果f(x)在(x
0

,x
0


)内存在二阶导数，则点(x
0
,f(x< br>0
))是拐点的必要条件是



f(x
0
) 0
设函数f(x)在x
0
的邻域内二阶可导且f

(x
0
)0,


10’


(1)x
0
两近旁f

(x)变号,点(x
0
,f(x
0
) )即为拐点;

(2)x
0
两近旁f

(x)不变号,点 (x
0
,f(x
0
))不是拐点.
例1. 判定曲线
yx
3
的凹凸性。
例2. 求曲线
yx
4
2x
3
1
的凹凸区间和拐点。
例3 判断曲线
y(2x1)
4
1
是否有拐点。

2，函数的渐近线
例子：当
x
时，曲线
y2





20’
1
无限接近于直线
y2
，因此直线
y2
是曲

x
线的一条渐近线；当
x10
时，曲线
yln(x1)无限接近于直线
x1
，因此直线






x1
是曲线的一条渐近线。
定义：一般地，如果当自变量
x (x,x)
时，函数
f(x)
的极限
为A，即
lim f(x)A
，则直线
yA
叫做函数的水平渐进线。
x

如果当自变量
xx
0
(xx
0
,xx
0)
时，函数
f(x)
的极限为无穷大，即，
xx
0
l imf(x)
，则直线
xx
0
叫做函数的铅直渐进线。

y


o
x

10’







y
o


2x
的渐进线。
2
1x
2x
0
， 解：因为
lim
x
1x
2
x













例1. 求曲线
y
所以，
y0
是曲线的水平渐进线。
x
例2. 求曲线
y
的渐进线。
(x1)(x1)
解：因为
lim
x


x1
(x1)(x1)
x
lim
，
x1< br>(x1)(x1)
所以，
x1和x1
是曲线的铅直渐近线；
又因为
lim
x
0
，
x
(x1)(x1)
所以，
y0
是曲线的水平渐进线。

3．函数图像的描绘。
基本步骤：

1.确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质：如奇偶性、对称性、周期
性等；

2.求出与及与不存在的各点；


10’


3.由2的结果求函数的上升、下降区间及图形的凹凸区间以及各极值点；


4.定出函数的渐近线；

5.描点作图。




例3. 作函数
f(x)3xx
的图像
3

例4. 作函数
ye
x
的图像
2

y
1




1

2
0
1
2
x





10‘




解略。图像如右
例5．作函数
y1
36x
的图象。
2
(x3)
解：（1）函数的定义域为
(,3)(3,)

36(3x)
（2）
y< br>

，令
y

0
，得
x3
< br>3
(x3)
y


72(x6)
，令
y

0
，得
x6

4
(x3)
（3）列表讨论如下：

x

(
,3)

（-3，3） 3 （3，6） 6
(6,)




y


- +
-
0
-
-

-
+
y


y

-
0






极大值4



曲 线







拐
11
3
点


(
6,
)

（4）因为
limf(x)1,limf(x)
，
xx3






10’








所以直线
y1
为水平渐近线，
x3
为铅直渐近线。
（5）计算
x3,6
处的函数值，得
f(3)4,f(6)
从而得到曲 线上两个点为（3，4），（6，
取辅助点（0，1），（-9，-8），（-15，-
并综合 上述讨论作出函数图像
图略。




Ⅲ 作业（课后平行项目）：

Ⅳ 课堂小结：
函数的作图其实是对前面函数单调性，极值，凹凸性，拐点，以及渐近线的
一个归纳综合。
Ⅴ 课堂情况记录及课后分析：

11
，
3
11
）
3
11
），
4

5’

Ⅵ 下堂课预习要求：



湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（十五）


备课组长签名： 教师签名：
班 级
日 期









课题：§4.1不定积分的概念
教学目的(知识、技能、态度)：
了解原函数概念、不定积分的定义及其几何意义；理解不定 积分与微分的关系，了解
不定积分的性质。
教学重点：不定积分的概念与性质，不定积分的几何意义。
教学难点：原函数概念的理解与不定积分的定义。
课 型：新授课
主要教学方法：讲授法、练习法
教学场所、设备要求：

教 学 过 程 设 计
（时间大体分配）

Ⅰ.组织教学：
点名，纪律

Ⅱ、新课教学
一、 引入
已经知道导数的意义与作用，那么与此相反的问题又怎么办呢？
在微分学中我们已经知道，若 物体作直线运动的方程是
S=F
(
t
)，则
教学方法

5’




dS

F
'< br>(t)
就是它的瞬时速度
v(t)
，实际问题中我们也会碰到这样的问题，即< br>dt
已知物体的瞬时速度
vf(t)
，要求物体的运动规律
S=F< br>(
t
)这显然是从函
数的导数反过来要求“原来函数”的问题。
二、新授
１、原函数的概念
定义1已知
f
(x)是定义在某区间 上的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区



10’
间内 的任何一点都有：
F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，
那么 在该区间内我们

称函数
F
(x)为函数f(x)的原函数。
例如 ：d(x
3
)3x
2
dx，则x
3
就是3x
2< br>的原函数；又如d(lnx)
则lnx就是
1
的原函数。

x

1
dx

x

5’
当然，不是任何函数都有原函数，在下一章我们将证明连续函数是有原

函数的。假如
f
(x)有原函数F(x)，那么F(x)+C也是它的原函数，这里C是
任意常数。因此，如 果f(x)是原函数，它就有无穷多个原函数，而且F(x)+C
包含了f(x)的所有原函数。
事实上，设G(x)是它的任一原函数，那么




15’


F

(x)G

(x)f(x)
，
令H(x )G(x)F(x)，则H

(x)G

(x)F

(x)0，

根据微分中值定理的推论，H(x)应该是一个常数C，于是有G(x)= F(x)+ C这
就是说，
f
(
x
)的任何两个原函数仅差一个常数。

定义2函数
f
(x)的全体原函数叫做f(x)的不定积分，记作


f(x)dx
，
量。
如果
F
(x)是f(x)的一个原函数，则由定义有

其中∫叫积分号，f(x)叫做被积函数，f(x) dx叫做被积表达式，x叫做积分变


10’

f(x)dxF(x)c
,
其中
C
是任意常数，叫做积分常数。
例如：

cosxd xsinxC，

dx
arctanxC
。
2
1x




10’
求原函数或不定积分的运算叫做积分法。
例1．求下列不定积分。
（1）

2xdx
（2）

x
2
dx

（3）

sinxdx
（4）

1
dx


2
1x
解：根据不 定积分的定义，只要求出被积函数的一个原函数之后，再加上一


个积分常数C即可。
（1） 被积函数
f(x)2x
，因为
(x
2
)

2x
，
即
x
是
2x< br>的一个原函数，所以：

2xdx
=
xC

（2） 被积函数
f(x)x
2
，因为
(
x
)

x
2
，
3
3
22

10’



x
3
x
3
2
2
即是
x
的一个原函数，所以：

xdx
=+C
33
2、不定积分的几何意义。

从几何角度看，函数
f(x)< br>的一个原函数
yF(x)
的图像叫做函数
f(x)
的

一条积分曲线. 于是
f(x)
的不定积分
yF(x)C
（C为 任意常数）的图像是

由积分曲线
yF(x)
沿y轴上下平移而得到的一族 积分曲线（叫做积分曲线
15’
族）.

y


斜率f(x)

yF(x)c



yF(x)



0
x





3、不定积分的性质。

性质1：设
F(x)
是
f(x)
的一个原函数。

根据不定积分的定义，可以推得下面的关系式：
（1）


f(x )dx

f(x),

或d


f(x)dx< br>
f(x)dx
.





10’
（2）

F

( x)dxF(x)C,或

dF(x)dxF(x)C
.
【例3】写出下列各式的结果：
（1）
[

e
x
sin3xdx]

. （2）

(x
3
tanx)

dx
.
性 质2：


f(x)g(x)

dx

f(x )dx

g(x)dx

性质3：

kf(x)dx k

f(x)dx(k0,k为常数）


Ⅲ 作业（课后平行项目）：
P176－3