廊坊市职业技术学院-倡议书范文

正弦函数和余弦函数的图像与性质
课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质(1)
一、教材地位和作用
本节课的内容 是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期（试用本）中第六章
《三角函数》第一节。三角函数是 把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来，是刻
画生活中周期现象问题的典型的函数模型，在高 中数学知识体系中占有十分重要的地位。本
节课作为《三角函数》开篇的第一课时，主要解决了正弦、余 弦函数的定义和其图像的画法
问题，为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。
二、教学目标分析
教学目标:
1．掌握正弦函数和余弦函数的概念。
2 ．学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在

0,2

上的图像的方法； 并正确运用五
点法作出正弦函数在

0,2

上的大致图像。
3．利用诱导公式，通过图像平移作出余弦函数的图像。
4．进一步形成数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点:
重点：五点法作出正弦函数在

0,2

上的大致图像；通过图像 平移作出余弦函数的图
像。
难点：利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在

0,2

上的图像。
三、教学问题诊断
高一学生对函数概念的理解本身 就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理
解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章 节中，学生已经学习了画函数图像的一些
方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图 像平移翻折等方法作出其图
像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：
1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。
2．利用单位圆的正弦线作出正弦函数在

0,2

上的图像。
3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。
4．按照正弦函数的作图方法，学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。

四、教学特色
1．引例的设计意图
学生在物理学中已学习过圆周运动， 创设摩天轮情境更能贴近学生实际，在解决这一问
题的过程中，学生经历了运用数学模型来刻画周期现象 的整个过程，既体会到三角函数的本
质又调动了学生学习积极性。另外，从实际问题中抽象出的单位圆进 行研究，起到了承上启
下的作用，既复习了三角比的内容，又为正弦函数作图时所用到的正弦线打下伏笔 。
2．处理一般方法与特殊方法的关系
（1）在讲到作正弦函数的图像时，突出函数作图的 一般方法（列表求值）与三角函数特
殊作图方法（利用单位圆中的三角函数线）相结合，从代数和几何的 角度实现描点。
（2）在学生掌握了正弦曲线的形状后，利用连续函数的特点，抓住一个周期内五个关 键
点的位置进行五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊，用特殊体现一般的辩证关系。
3．以问题驱动方式贯穿整节课
以问题调动学生思维，以问题带动课堂教学。充分体现了教师 主导作用，学生自主探究
的教学方法。主要问题例举如下：
其一：正弦函数的概念
引例解决后：得
hsint(t≥0)
，教师提问：“这是否为函数关系式？”
〖说明〗启发学生从函数定义去思考。
当学生肯定了引例中
hsint(t≥0)
是函数关系式后，教师再问：“如果把
t
改为
x
，
把
h
改为
y
，将定义域范围变为R，那么还是函数吗？”
〖说明〗这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。
其二：作正弦函数的图像
在开始引入正弦函数作图时，教师提问：“如何作出正弦函数
ysinx
的图像？”
〖说明〗让学生回忆对于函数作图的一般方法。
在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法 之后，教师再问：“那么，是否还有其他
作图的方法？能不能不算出正弦值？三角比中的正弦三角比是否 有其几何意义呢？”
〖说明〗体现一般与特殊的关系，代数与几何的两个不同的角度思考问题。 在引出利用单位圆的正弦线作图之后，教师再问：“在作图中，我们是否直接作出整
个定义域上正弦 函数的图像？”
〖说明〗目的是为了简化作图，同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的数学模

型。
在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状 ，也发现这是个连续的函数图像之后，教
师再问：“那么，当作图的精确度要求不太高的时候，我们是否 可以通过确定一些关键点的
位置来快速的作出正弦函数的大致图像？请再来观察一下刚才在
< br>0,2

上作的图像，其中
有哪几个关键点？并请说出它们的坐标。”
〖说明〗解决问题要抓住事物的主要矛盾，这也是为了简化作图。
其三：作余弦函数的图像
在掌握了正弦函数的作图方法后，教师提问：“如何作出
ycosx,xR
图像？ ”，
学生思考后教师再问：“正余弦之间关系密切，那么能不能利用正弦函数的图像通过图形变
换，来作出余弦函数的图像呢？”
〖说明〗引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里 ，学生们可以畅所
欲言，想出各种解决方法，也是学生综合能力地体现。
4．计算机辅助教学与教师板书示范相结合
本节课的重、难点是作函数的图像。因此，在教学 中借助几何画板制作的动态作图演
示，具有非常形象的效果。通过课件的动态表现，使抽象的问题具体化 、形象化，有利于学
生的理解和认知。
数学课的教学离不开黑板上的规范板演，通过黑板的例 题示范，弥补了课件演示一闪
即过的不足，加深学生对正弦函数的印象，特别是五点确定以后，如何用光 滑的曲线描点，
在描点中应该注意图像递增递减的趋势，以求实现多媒体和传统黑板教学两者的相互结合 ，
互为补充，发挥彼此最大优势。
五、预期效果分析
在本堂课的教学中，以问题驱 动为主，师生共同进行分析探究。着重体现了学生的独
立思考，小组讨论和亲手体验作图的整个过程。教 师通过提问、课件动态展示、黑板规范板
书、学生练习点评等等多种教学形式，组织学生积极参与课堂活 动，将教与学有效地结合起
来。从思维深度上和动手实践上，充分激发了学生的学习和钻研兴趣，调动了 学习热情。

附：简案
教学
教学过程
环节
师生活动

引例：如图，质点
P
在圆周上
创 设作逆时针的匀速圆周运动。设半径
O
P
A
教师引导学生
平台
共同分析。
情景
r
为1个单位长，角速度ω=1弧度
引入分钟， 当时刻
t0
时，
P
在
A
处，
概念
求经 过
t
（
t≥0
）分钟后，
P
到平台所在平面的相对高度h
与
t
的关系式。
1．正弦、余弦函数的定义
正弦函数
ysinx,xR
。
余弦函数
ycosx,xR
。
2．正弦、余弦函数的图像
（1）正弦函数的图像
思考：如何作出正弦函数
ysinx
的图像？
讲授
新课
探究
方法
探究：借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在

0,2

上的
图像，再作出正弦函数在R上的图像。
（2）五点法
思考：是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函
数在

0,2

上的大致图像？
教师引导学生
共同探究。

0,0

,




3

,1

,

,0

,

, 1

,

2,0



2

2

（3）余弦函数的图像
探究：如何作出余弦函数
ycosx,xR
图像？
例题：作出函数ysinx1,x

0,2

上的大致图像。
教师与学生共
例题
示范
练习
巩固
练习：作出函数
y2sinx,x

0,2

上的大致图像。
同完成例题，
并纠正常见错
误，学生通过
练习加以巩
固。

课堂
小结
提炼
精华
课后
作业


小结：知识点、思想方法。 学生小结，教
师总结。
作业：书本P83 练习6.1(1)

正、余弦函数图像的教学设计
本节内容是在初中函数图像及高中数学必修1中初等基本函数< br>之后的又一函数类型，是三角函数的起始课，在整个知识系统中起着
承上启下的作用。
学情分析：
学生已具有从函数图像着手研究函数的意识和用描点法、关键点
法作函数 图像的能力。因此，本节课我们从描点法探究锐角函数图像
着手，用几何法（利用正弦函数线）完善正弦 函数（x为实数）的图
像，最后用关键点法（五点法）及图像的平移变换来提高学生作有关
正弦 函数图像的能力。
教学目标：
知识与技能
1.能借助正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式
画出余弦函数的图像；
2.弄清正弦、余弦函数的图像之间的关系；记住正弦、余弦函数
图像的特征；
3.会用五点画正弦、余弦函数的图像；
4.通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学 生的数学能力。
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
利 用三角函数线，作正弦函数的图像；让学生通过类比，联系正
弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的 图像；能学以致用，尝试
用五点作图法作余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的
性 质。
情感、态度与价值观
1.通过作正弦函数和余弦函数图像，培养学生认真负责，一丝不
苟的学习精神；
2 .会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽
象到具体思想，使学生理解动与静的辩证 关系.，激发学生的学习积
极性；
3.培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身 探索成
功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问
题的有效途经；培 养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研
精神。

4.通过对函数图像的欣赏，增强学生欣赏数学美的意识。
教学准备：多媒体课件、圆规、波动演示仪、
教学重点：正、余弦函数图像
教学难 点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的
点，正余弦函数图像间的关系。
教学方法：启发与探究相结合
教学过程：
一、课题引语：（用幻灯片展示）
一个学生在数学本上这样写道：
老师，你总说数学好玩、数学好美、数学好有用。可我 总觉得
她繁琐、枯燥、甚至可恶。就画函数图像来说吧，你总说它美丽，可
我总觉得它们是一条 条光滑的泥鳅、我就是抓也抓不着…
师：看了这段话，我沉思良久，自责自己没能很好的激发同学们
学习数学的兴趣，只顾自己对数学感受，而忽视了你们对数学的感受。
今天，我想和同学们一起 走近数学，寻找函数图像之美。我们都希望
看到一条波澜起伏、周而复始、连绵不断的优美曲线。
二、活动：鼓励学生试着画出符合条件的图像（如：心电图，波动路
线等）。
三、活动探究
师：初中所学以及我们刚学的三类（指数函数、对数函数、幂函
数） 函数的图像都不符合这种要求。曾记否，初中所学的哪一类函数，
我们还未曾研究过它的图像？（锐角三 角函数）
活动一、请同学们作锐角正弦函数的图像
（根据特殊角的三角函数，极其连续性单调性及其作用。）
活动二、请同学们作y=sinx，x∈［0，2π］的图像
（之后，教师用flash课件演示图像的活动过程）
活动 三、请同学们作y=sinx，x∈［2π，4π］的图像
活动四、请同学们作y=sinx，x∈［-2π，0］的图像
活动五、请同学们作y=sinx，x∈ R的图像
活动六、引导学生欣赏y=sinx，x∈ R的图像（y=sinx的图像叫
做正弦曲线）
让学生切身体会到其波澜起伏、连绵不断、特别优美（轴对称、
中心对称）的特点。
（教师用物理器材演示正弦曲线的动中有静之美，这种美在蛇舞

中的应用）
思考1：如何作正弦函数图像？（作函数图像的基本方法：关键
点法）。
练习: 用五点法作下列函数的简图
1、 y=1+sinx x∈［0，2π］
2、 y=sin(x+


) x∈［0，2π］
2
(学生作图后，教师引导用平移变换作图)
思考2：如何作函数y=cosx的图像？
活动7、请同学们观察正、余弦函数图像的异同（鼓励学生用自
己的语言表达）
欣赏：用函数作图器在同一直角坐标系上作正、余弦函数图像让
学生欣赏（像DNA链条）
练习：作函数y=-cosx x∈［0，2π］ 的图像
师：艾滨浩斯的遗忘曲线揭示 了人类的遗忘规律。正、余弦函数
图像揭示的是人类或自然界的何种规律？日后，我们将继续探索。（设
置教学悬念）
四、学习小结
请学生谈谈本节课的收获。
五、作业
分别用五点法和平移变换作下列函数的图像
1、 y=1-sinx ， x∈［-2π，2π］
2、 y=cos(x+π) ， x∈［-π，3π］







活
活 动 内 容
请同学们作锐角正弦函数y=sinx, x∈［0，
0

］的图像
2

x
动

一


6



4



3



2
y

活

动

二
请同学们作y=sinx，x∈［0，2π］的图像
x 0
2

12
3

12

4
< br>12
6

12
8

12
9

12
10

12



14

12
15

12
16

12
18

12
20

12
21

12
22
12
2


y 0
1
2


2

2

3
2

3
2

2

2

1
2


1
2


2
2


3
2


3
2


2
2


1
2
1


0

1

0


y


0 x

活

动

三
请同学们作y=sinx，x∈［2π，4π］的图像

y


0 x
请同学们作y=sinx，x∈［-2π，0］的图像
y


动


0 x

四


活

活
请同学们作y=sinx，x∈ R的图像
y


动


0 x
五

练


习


一
用五点法作下列函数的简图：
1、y=1+sinx x∈［0，2π］
y

x
y
0


2




3

2

2





0 x

x
2、y=sin(x+

) x∈［0，2π］
2
y 0 1 0 -1 0
y


0
x
练

习

二







作





业


作函数y=-cosx x∈［0，2π］ 的图像
y

0 x
分别用五点法和平移变换作下列函数的图像
3、y=1-sinx x∈［0，2π］
y

0 x

4、y=cos(x+π) ， x∈［-π，3π］
y

0 x

本节课收获
y=sinx y=cosx
定 义 域
最 大 值
最 小 值
值 域
奇 偶 性
单调区间
对 称 轴
对称中心

六、课后反思：

2009年4月10日上午，我在高一（1）班上了一节《正弦函数 、
余弦函数的图象》公开课。在这之前，我先后在校内公开课初、复赛
中讲解了《几何概型》、 《同角三角函数关系（1）》两个课题。在
此过程中，通过数学组的集体评课，我获益匪浅，清楚了自己 的优、
劣势以及改进方向。比如，对学情的把握，师生的互动，对细节方面
的处理，过渡性语言 的设计，等等。总体而言，这是两节令我满意的
课，在课堂教学有效性方面对我的启迪很大，为我参加区 公开课比赛
奠定了基础。
然而，这次区公开课的准备过程并没有我想象的那样顺利。首先，
三角函数这部分内容知识点较为琐碎，对学生的要求较高，而我们的
学情是学生基础差，底子薄 ，理解、计算能力不强；其次，涉及到作
图问题，我们的学生动手能力和积极性都很差。这两方面都给我 教学
环节的设计和教学语言的组织带来了困难。如何提升他们的学习兴
趣，科学有效地引导他们 ，使他们“听得懂，学得会”，是我面临的
最大问题。
为了上好这节课，我在集体备课时进 行说课，请大家批评指正，
并在我的另一个班级先试讲再与老师们充分交流，最后确定了这堂公
开课的主线：充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好
讲解的顺序（包括推导步骤和图象、 简图的画法安排），通过一定的
训练使学生正确了解有关概念和图象特点。
自我感觉这节课的亮点有以下几个方面：

1、 整堂课的教学设计体现了充分备学生的特点。根据我校平行班
学生数学基础比较薄弱的实际情况，对偏难 繁杂的内容大胆地删减，
如：利用正弦线作图的方法，将函数性质留待下节课讲解等等，使得
教 学难度适中，真正做到了因材施教。
2、数学总是要在游戏中学习的，本课采用计算机绘图来增加学 生
的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣。在这四十分钟里，我先后采
用让学生在电子白版上作 图、利用计算机技术绘图、学生上台板演及
用投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段，使学生积极 而充分
地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念。
3、在处理教材上，我先让学生在函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象
上直接找和读关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合特 殊角
的三角函数值、诱导公式及简单的图象变换等旧知，让学生来探索余
弦曲线及其作图方法。 这种由特殊到一般，由结论到实例的直线型思
维模式，一反数学的严格推理论证模式，由浅入深，使我们 的学生在
思维上易于理解与接受。
4、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学；普通话标 准，教态
自然大方，有较好的教学基本功。
尽管公开课上得比较顺利，但并没有达到最好的 效果，主要存在
以下几个方面的不足，需要我认真反思，并在今后不断努力改进：
1、在重 点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。
比如开头讲函数y=sinx,x∈[0,2π ]的图象时，给学生寻找关键点的
时间不够长；应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程，而且< /p>

可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的
理解更为深刻。
2、时间安排上不够精当。在“师生探索”中给学生作正弦曲线的
时间过长，而“学生活动”中给学生 作余弦曲线的时间又相对显得短
了点。应当反过来，这样学生才能有充分的独立思考时间；同时也可避免“变式练习”讲解时间不够和拖堂两分钟的遗憾。
好在我从之前的试讲中汲取教训，考虑到 每个班接受能力不同，
实际情况可能有变，老师讲多讲少必须根据课堂情况随机应变。所以
我补 充了一道变式题：“用五点法作y=2cosx的简图”备用。虽然这
节课没用上，但也可作为一道不错 的思考题，给学生留下了回味的空
间。
3、教学语言还需要不断锤炼。数学这一门严谨的学 科决定了老师
的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着
潜移默化的影 响。比如，我在描述直角坐标系的作法时，说：“作
[0,2π]区间上的图象时，x轴左边可取短一点 ，右边可取长一点”。
规范的语言应当是：“x轴负半轴画短一点，x轴正半轴画长一点”。
在 校级比赛时也出现过类似问题，我当时曾把“区间长度”说成“横
坐标长度”。这些细节方面都需要严格 把关，平时要反复琢磨。因为
说到底，教师是要靠语言艺术去感染学生的。
4、板书需要提 高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，
摆在学生面前的板书也是重要的一环。优秀的教师，粉 笔字潇洒大方，
作图时一气呵成，让学生赏心悦目，叹为观止。而我虽然经过半年多

的锻炼，板书设计上工整了许多，但字体不够美观，作图时擦擦改改，
因此这方面还需多下功夫去练习。
教育人生的精彩源于课堂，新课改也对教师提出了越来越高的要< br>求。面对过去自己经历过的刻板、死气、严肃的灌输式教育法，现在
更提倡多给学生一点爱，让学 生积极地参与到课堂活动中来；同时老
师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，体现良好的示范作 用。
作为一名教龄不足一年的年轻教师，我肩负着崇高的使命。必须不断
学习，不断改进和超越 自己，才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这
段时间的公开课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台 ，我会以
此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，争取早日脱胎换骨，
成为一名成熟并 且优秀的数学教师！

正弦、余弦函数的性质---周期性
一、教材分析
1、教材的地位和作用
对三角函数又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，
是研究三角函 数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步
培养学生的数形结合能力、 推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这
些认识迁移到后续的知识学习中去，为以 后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既
是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起 着承前启后的作用．
2、教学重点和难点
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．
难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．
二、目标分析
学情分析：
学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上
已经具备了一定 的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、
特殊到一般等数学思想．
本课的教学目标：
(一)知识与技能
1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．
2．会求一些简单三角函数的周期.
(二)过程与方法
从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景 的分析与
y
=sin
x
图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结 合方法研究正弦函数
y
=sin
x
的周期性，通过类比研究余弦函数y=co sx的周期性．
(三)情感、态度与价值观
让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理 性的思维过程，体会数形结合思想；让学
生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力 ．
三、教法分析
1.教学方法:引导发现法、探索讨论法

为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生, 为了立足于学生思维发展,着
力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为 了激发学生学习的
积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过 程．

2.学法指导: 问题探究法
根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学 习方式”理念，教材内容的特点以及学生
的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法．

3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．

四、教学过程
教学程序 教学内容

创
设
问
题
情
境


复
习
回
顾





引导学生回顾：
1．诱导公式（一）
2．正弦线
3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）
由动画演示观察可得：
正弦函数图象具有周而复始的变化规律
问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来
表达？




引导学生回顾旧知为新课做
准备.
通过动画演示让学生直观感
知周而复始的变化规律．


学生举例

生活中有哪些周而复始现象 ？
从实际问题引入，使学生了
解数学来源于生活．
问题的提出为学生的思
维提供强大动力，激发学生的探
究欲望.

设计意图

构
建
周
期
函
数
定
义










教学程序
正弦函数
y
=sin
x
图象
y
y



2

0
O

2
2

5

2
3

x



通过对正弦函数
y
=sin
x
图< br>象观察、分析，结合诱导公式，
由生活中的周期现象到数学中
的周期现象，由具体到抽象 ，构
观察正弦函数
y
=sin
x
图象特征可知：
在区间

0,2


、

2

,4

、

4

,6


…内 重复．
由三角函数图象和诱导公式可得：sin(2π+x)=sinx,
问: 对于si n(2π+x)=sinx,若记f(x)=sinx,则对于任意建出周期函数的定义，这样设计
x∈ R,都有f( )=f( )
若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)

周期函数及周期的定义
周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如
主要是立 足于从学生的最近思
维区入手，着力于知识建构，培
养学生观察、分析和抽象概括能
力 ,并进一步渗透数形结合思想
方法.
果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，
都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，
非零常数T叫做这个函数的周期．


教学内容


设计意图

正弦函数的周
期和最小正周
期的定义.






理
解
周
期
函
数
定
义


函数
y
=sin
x
的周期：
2

、
4

、
6

、… …
2kπ(k∈Z且k≠0).
最小正周期的概念.
对于一个函数
f( x)
，如果它所有的周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数叫
f(x)
的最小正周期.
上面的函数
y
=sin
x
的最小正周期为
2

.

让学生理解最小正周期的
定义，培养学生的数形结合能
力．


判断题：
1．因为
sin(



)sin< br>
,所以

是
ysinx
的周期.
424
2
2.周期函数的周期唯一.
3.函数f(x)=5是周期函数.
（分四人一组进行讨论,再由学生发表看法）
体会：
1. 周期的定义是对定义域 中的每一个
x
值来说的，只有
个别的
x
值满足：
f(xT )f(x)
，不能说
T
是
yf(x)
的周期．
2.周期函数的周期不唯一．
3.周期函数不一定存在最小正周期．
说明：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.


设计判断题让 学生去讨论
主要是为了帮助学生正确理解
周期函数概念，防止学生以偏概
全，让学生学 会怎样学习概念；
培养学生透过现象看本质的能
力，使学生养成细致、全面地考
虑问题 的思维品质．
让学生在自主探索、自由想
象和充分交流的过程中，不断完
善自己的认 知结构，充分感受成
功与失败的情感体验．

探
究
余
弦
函
数
的
周
期



教学程序


应

用



问题：
余 弦函数
y
=cos
x
是周期函数吗？即能否找到非零常数T，
使co s(T+
x
)= cos
x
成立？若是，请找出它的周期，若不
是，请说明理由．




通过对定义的理解、余弦函
数图象，类比正弦函数，可以得
到余 弦函数是周期函数，这样使
学生加深对定义的理解，培养学
生类比思想和数形结合能力．



教学内容

设计意图

例1．求下列函数的最小正周期T.
（1）
f(x)3sinx
，
xR
；
（2）
f(x)sin2x
，
xR
；
（3）
f(x)2sin(x



设计例1使学生加 深对定
义的理解，培养学生的数形结合
1
2

4
)
，
xR
；
能力．


方法：①函数图象观察得到周期 ②周期函数定义

课
1.等式
sin(30
0
120
0
)sin300
是否成立?如果这个等
式成立,能否说
堂
反
馈
的一个周期？
2.求下列函数的周期:


通过课堂反馈能准确、及时
120
是正弦函数
ysinx
< br>0
地了解学生对本节课的掌握情
况,做到及时反馈、评价,及时查
漏补缺,达到 堂堂清.







(1)ycos4x,xR
1
(2)ycosx,xR

2

回
顾
反
思


1.周期函数、周期概念．
2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2
π.
3.周期的求法： ①图象法 ②定义法
4.探索问题的思想方法



引导学生对所学知识进行
小结,有利于学生对已有的知识
结构进行编码处理 ,加强记忆．




课
外
作
业
与
课
外
思
课外作业：
求下列函数的周期：
(1)
y3sin



课外作业的布置是为了进
一步巩固课堂所学知识；
课外思考题的布置是让学
生把课堂探索拓展到课外探索，
进一步激发学生探究欲望，进一
步培养学生创造性思维．
(3)
ycos(2x)
3

课外思考：
x

，
xR
；(2)
ysin(x)
，
xR
；
4
10
1


,
xR
(4)，xR

y3sin(x)
24
1.求函数
f(x)As in(

x

)
和
f(x)Acos(
x

)
（其中
A,

,

为常数， 且
A0,

0
）的周期．

2.求下列函数的周期：

考
（1）
y|sinx|
，
xR
；（2）
y|cos2x|
，
xR



附：板书设计

课题：正弦、余弦函数的周期性
1． 周期函数定义 3. 例1 版演及学生演示区
2． 正弦函数y=sinx的周期为
2


余弦函数y=cosx的周期为
2

.
为了使学生全
面系统地了解本节
内容的知识结构,
达到突出重点,简
洁明 了的目的.

五.评价分析:
1．个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“ 正弦函数图象的周而复始变化实际
上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然 借助了几何画板来
帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的 训
练以后要加强.
2．部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强
辅导．
3．学生运用定义求函数周期掌握得不是很好. 上黑板板演的学生都出现了不同程度
的错误.在以后的教学中还需进一步加强．

设计意图

《从位移、速度、力到向量》教学设计说明

本节课的内容是北师大版数学必修4， 第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、
速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。

一、 教材内容分析
向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代 数、几何与三角函数的桥
梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有 着极其丰富
的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理< br>背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经
过研究 ，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理
学科及实际生活中的 问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局” 的作用。本节内容，重要的不是向量
的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学 新对象的方法和基本思
路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、 教学目标分析
根据以上的分析，本节课的教学目标定位：
1）、知识目标
⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；
⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；
⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2）、能力目标
⑴培养用联系的观点 ，类比的方法研究向量；
⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；
3）、情感目标
⑴运用实例，激发爱国热情；
⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；
⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。
重难点：

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；
难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

三、教学诊断分析
本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。
为 了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已
有经验中，与本 课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、
单位长度、0和1的特殊性 、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展
概括活动的过程，引导他们经历从具体事 例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得
向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合 ，类比直线的基本关系认识向量的基
本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停 留在某个具体的概念学
习上。这也是本堂课的核心目标。
由于数学概念的高度抽象性，学生往 往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水
平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参 与概念本质特征的概括活动，确保学
生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。
本课的 教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这
个概念，怎样定义这个概 念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏
观上为学生勾勒研究框架和总体思路， 使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课
的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给 出向量的定义、讨论向量的表示、定义
特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关 概念的学习过程中，应强
调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如 其分地“以
问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主< br>动思维的结果。
本课中出现的特殊向量——零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上 ”花太
多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的
表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在
于运算一样 ，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向
量平行没有多少意义，也 不必耗费过多时间。

四、本课教学特点及预期效果分析

在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的
已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相
等、单位长 度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个
能让学生开展概括活动的 过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比
数的概念获得向量概念的定义及表示， 类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系
认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数 学概念的基本思路，而不是停留在某个
具体的概念学习上。
在向量的几何表示中，我让学生大 胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补
充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程 全体同学热情参与，自我教育，互帮
互学，课堂气氛生动活泼。
当同学们能将向量正确的几何 表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不
一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得 单位向量的引入也就顺理成章了。
为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本课设计了 “传花游戏”，
通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念 的
本质特征，将课堂气氛推向一个新的高潮。
在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象， 我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌，
再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。
本节课是 从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，
创建了一个以全班学生共同参 与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参
与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、 水到渠成的完成本节内容的学习。整节课，我留
给学生充足的时间，让学生参与概念本质特征的概括活动 过程，从而达到培养学生创新精神
和实践能力的最终目的！

《向量的加法》教学设计说明


《向量的加法》是人教版高一下第五章 第二节第一课时《向量的加法》。下面，我从三个方
面来对本节课的设计进行说明：
1. 教材分析
教材的地位和作用
向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何 、三角的一种工具，其
工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它在学 生已学物
理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––画图求和法，是一
种全 新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是学习
向量的减法、数乘 以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运
算（如函数、映射、变换、矩阵 的运算等等）创造了条件，因此我认为，向量的加法在这里
起着承上启下的作用。
教学目标
根据学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位，依据新课程标准的具体要求，我
从三方面 确定本节课的教学目标:
（1）知识与技能方面：使是学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌 握向量的加法
定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法
的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢高于探索勇于创新的良好习惯，以及善于用数
学方 法解决实际问题的能力
（2）能力目标
在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探 究和应用过程，体会数形结合、分类
讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强 学生的数学应用意识和
创新意识。
（3）情感目标
注重培养学生积极参与、大胆探 索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学
习数学的信心。
教学重点和难点

重点：向量加法的两个法则及其应用；
难点：对向量加法定义的理解。
突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透 数形结合的思想，使学生从感
性认识升华到理性认识。
2. 学情分析
本节内容总 体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大。学生在高一学习物理中的位移和
力等知识时，已初步了解 了矢量的合成，认识了矢量与标量的区别，在生活中对位移与路程
也有了一定的体验，这为学生学习向量 知识提供了实际背景。所以对数学中向量与数量的概
念是比较容易理解接受的．并能够从物理的力和位移 的合成中去感受向量的加法的含义，总
结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则．通过与数的加法的 类比，学生也能够较容易
的猜想出向量加法的交换律与结合律．
学生在学习过程中会遇到的困难
由于学生对向量的理解还处于初级阶段，会有部分学生忽略零 向量与数零的区别，以及
向量的表示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平 ，表现在平
移向量时，不能够根据情况灵活地选择起点，特别是共线反向向量在求和向量的时候会遇到< br>问题。对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往不
能在同 一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化
简过程中，对交换律 、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．我会在
在课堂教学过程中给学生以适时的 点拨与提醒．
教法特点：
1. 内容重组
教学的过程，不能只是对教材上知识点 和结论的简单罗列与再现，而应是对教材知识的重
组，是一个再加工，再创造的过程，是把已经浓缩为结 论的这一本来富有生命力的知识的
形成过程重新演绎的过程，因此在本节课中，我对教材的知识进行了重 组，根据学生在已
有的平行四边形法则求合力的知识基础上，引出不共线的两个向量用平行四边形求和向
量，再让学生自己发现，对于共线向量，平行四边形法则不适用，则要用三角形法则。
2.不断探究
让学生随意画出两个向量，长度和方向由学生自己确定，然后用平行四边形法则 求和向
量，此时我发现在这个过程中，有的同学画成不共起点、不平行；共起点、不平行；同向；
反向几种情况，此时的情况刚好是我想要的。让同学们自己去黑板上展示怎样用平行四边形

法则去求它们的和向量。在此过程中，同学们不仅自己能总结出平行四边形法则 的特点，还
发现：对于共线向量，此法则已经不适用了，顺势引出向量加法的定义：三角形法则。 引导学生发现平行四边形法则与三角形法则在作图时的区别，通过动画演示：两者在
求和的本质上是 相同的，当向量不共线时，两种法则都适用，同时在动画演示平行四边形变
三角形的过程中，让学生发现 向量加法的运算律
3.大胆创新
本节课最大的亮点就是实现让学生大胆创新。在给学生的巩 固练习中，学生很顺利地完成
向量加法的运算，我通过引导让学生发现，任何一个向量都可以拆成多个向 量的和向量。
以此激发学生的好奇心与求知欲。这是一个逆向思维的训练过程，并且这种思维在立体几< br>何里面得到加强，为学生学习以后的知识奠定了基础。
总体来说，本课围绕学生的发展 进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究
贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启 发下发现当前所面临的问题，成为探究活
动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的 成长发展的全过程，使他们
在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程 中培养健康向
上的情感、态度和价值观．
通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定 任意两个向量求和的基本方法，能
够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交 换律和结合律解决向
量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题

平面向量的坐标运算 说课提纲
一、教材分析：
向量是现代数学中重要基本概念之一，是研究数学的重要工具，它与三角函数、复数、
平面几何 、解析几何等数学内容有着密切的联系，在物理上的应用犹为显著。本节内容《平
面向量的坐标运算》又 是典型的数型结合，它是用代数的方法解决几何问题。实现的是由图
形向数的转化。引入向量坐标后，向 量加减法、实数与向量的乘法、向量的数量积都可以通
过向量的坐标运算得以解决。它将数与型紧密结合 起来，这样很多几何问题可转化为学生熟
知的数量的运算，从而使几何问题的研究插上了代数的翅膀，解 决问题更便捷，刻划问题更
深刻，教师要用向量的坐标表示的优越性，调动学生学习积极性。
本节在本章的地位：本章平面向量的第一大部分——向量及运算，按向量的表示来分，
可分为两部分：（ 一）向量的几何表示（有向线段），（二）向量及运算的代数表示（坐标）。
本节主要内容：平面向量 的坐标表示和运算，重点是平面向量的坐标运算，难点是平
面向量的坐标表示的理解。
二、教学目标的确定
根据《大纲》要求，和本节所处的地位，我认为通过本节课学习，应使学生达到：
1、进一步 理解数型结合思想，体会用数量来表示图形。从而使学生对坐标系和映射概
念以及有向线段的理解更深刻 。
2、理解向量的坐标表示，使学生对上一节中介绍的平面向量的基本定理的理解更透彻、
更 具体、更形象。从而培养学生应用数学理论的意识。
3、掌握向量的坐标运算，使学生体会坐标表示的 优越性、调动学生学习的积极性，从
中体会数学的内在美，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能 力。
4、引导学生学会联想、对比、归纳、总结等数学研究的思想方法。
5、通过适当设疑，自学指导对学生进行主动探索学习精神的培养。
三、教学方法和教学手段的使用：
根据本节课内容的特殊性和学生的实际水平，我采用的是“ 自学指导法”，其主导思
想是以启发式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启 发指导下，
让学生自己去学习、分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得< br>知识又发展智能的目的。“自学指导法”是认知性学习与研究性学习的整合。这也积极的投
身到我 校开展的“三元教学法”的探索之中。

为什么要采用这种 方法呢？①这种方法属于启发式教学，有利于学生知识的获得和能
力发展。②这种方法即体现了教师的主 导作用和学生的主体地位，它符合内因是变化的根据，
外因通过内因而起作用的哲学原理。③这种方法也 符合教学论中的传授知识与培养能力相结
合的原则。
教学手段：多媒体计算机
通过 计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样
做，可以使学生饶有兴趣 地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受
性原则。
四、关于学法的指导：
通过多年的教学实践，我深深体会到，必须在给学生传授知识的同时教 给他们好的学
习方法，就是说让他们“会学习”。
通过本节课的教学使学生“学会设疑、学会 发现、学会尝试、学会联想、学会总结”。
学习有得必有疑，只有产生疑问，学习才有动力，本节课共提 出三个问题；通过对它们的解
决和处理，从中培养了学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力。
提出问题后，鼓励学生通过分析、探索，尝试解决问题的方法，通过自己亲自尝试，
学生的思维 能力得到了培养，本节主要表现在“概念让学生自己去总结、规律让学生自己去
探索、题目让学生自己去 解决”。当然在教学过程中学生还潜移默化地学到了“发现法”、
“模仿法”、“归纳法”等学习方法。
五、教学程序设计：
1、问题的提出：
教师首先引导学生回顾前面所学的内容，然 后引出问题。问题的设计具有诱惑性和鼓
动性以调动学生的兴趣，这样引入符合教学论中的激发性原则
2、自学指导：
首先提出本节要解决的问题。教师组织学生自学，并巡回视察，根据情况给予 指导，
这样设置的目的，主要通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解向量坐标表示的概念，
掌握坐标运算的方法。使学生打下的基础更扎实，这样即符合教学论中的巩固性原则，也符
合素质教育 理论面向全体的要求。
3、方法讲解：
虽然平面向量的内容本身并不是很难，它可以把以前 的数学思想方法平行迁移过来，但
是部分学生处理的并不一定很好，少部分学困生理解起来还可能有一定 困难，因而在自学后，

教师应对开始所提问题给予解决，部 分内容应给予适当讲解。这样符合教育理论中因材施教
分层次教学的原则。帮助这部分学生从感性上到理 性上加深理解。这也符合人们认识事物的
一般规律。
4、例题与练习的处理：
通过 对例题的处理（主要由学生完成），根据学生回答教师给予修正，从而得出一个
规范肯定的解答，这样安 排符合教学论中的巩固性原则，练习是在例题基础上的进一步加深，
由学习较好的学生完成，为学生进一 步学习做了铺垫，符合教学论中的循序渐进和量力性原
则。
5、归纳总结
完成了本 节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，目的是让学生在
头脑中更深刻更清晰地留下思 维的痕迹，在此基础上，归纳出本节的主要内容和数学思想方
法。同时师生共同总结，容易调动学生的学 习积极性和主动参与意识，符合教学论中的激发
性原则。
6、作业布置
通过本节课 的教学内容，布置相应的作业，通过作业反馈本节课知识掌握的效果，以
便下节课查漏补缺，这符合教学 论中的程序原则和反馈原则。作业中还布置了少量选做题，
供学生选做，这符合分层次教学的原则。

平面向量数量积的物理背景及其含义

说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。
下面，我从背景分析、 教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计
及教学评价设计六个方面对本节课的思考进 行说明。

一、 背景分析
1、学习任务分析
平面向量的数量积是继向 量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重
要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛 。本节内容教材共安排两课时，其中第一课
时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运 算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概 念，在
此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽
象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运
算律的基础。同 时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几
何与三角的最佳结合点，不仅应 用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数
量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本 节课教学的重点。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系， 掌握了向量的概念及其线性运
算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先 由特殊模型（主
要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和
运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学
生对数 量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，
两个有形有数的向量 经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一
方面，由于受实数乘法运算的影响， 也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质
和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概 念。

二、 教学目标设计
《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条：
（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
从以上 的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破
这一难点，首先无论是在概 念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要
作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和 运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解
概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无 论是数量积的性质还是运算律，
都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽 象概括能力、推
理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。
综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，
并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和 发展过程
的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

创设问

题情景

回顾向量的线的线性


回顾向量线性运算的研究方法

物理背景功

抽象概念

定义义分


几何意义


物理意义< br>

证明性质

探究运算律
探究运算律


证明运算律

应用概念 例题与练习

小结提升

即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基
础上研究数 量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概
念，加深 印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。

四、 教学媒体设计
和“大纲”教材相比，“课标”教材在本节课的内容安排上，虽然将向量的夹角在“平
面向量 基本定理”一节提前做了介绍，但却将原来分两节课完成的内容合并成一节，相比较
而言本节课的教学任 务加重了许多。为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，
考虑到本节课的实际特点，在教 学媒体的使用上，我的设想主要有以下两点：
1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相 关内容的呈现方式，以此来节
约课时，增加课堂容量。
2、设计科学合理的板书（见下），一 方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使
学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。


平面向量数量积的物理背景及其含义


一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高

1、 概念： 例1：

2、 概念强调 （1）记法 例2：


（2）“规定” 三、数量积的运算律 例3：

3、几何意义：

五、 教学过程设计
课标指出：数学教学过 程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动
的过程，是师生共同发展的过程。为有序、 有效地进行教学，本节课我主要安排以下六个活
动：

活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数量积这一
探究性质


探究性质

重要概 念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计
以下几个问题：
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运
算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W= 。
F
（2） 请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F（力）是 量，
S（位移）是 量，
α
S
α是 。

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数
量积运算又 有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础 上明了本节课的研究方法和顺
序，为教学活动指明方向。
问题3的设计意图在于使学生了解数 量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积
绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现 实意义的，从而产生了进一步研究
这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二：探究数量积的概念
1、概念的抽象
在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 ?如果我们将公式中的力与位移推广到
一般向量，其结果又该如何表述？
学生通过思考不难回 答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小
及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上 已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，
我进一步明晰数量积的概念。
2、概念的明晰
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为

，我们把数量 ︱
a
︱·︱
b
︱cos

叫做
a
与
b
的数量积（或内积），记作：
a
·
b
，即：
a
·
b
= ︱
a
︱·︱
b
︱cos


在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5
问题5：向量的数量积运 算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有
哪些？并完成下表：

=90°

角

的范围 0°≤

<90° 0°<

≤180°

a
·
b
的符号


通过此环节不仅使学 生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且
认识到向量的夹角是决定数量积结果的重 要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律
做好铺垫。
3、探究数量积的几何意义 < br>这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只介绍了向量投影的定义，
直到讲完例 1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我觉得这样安
排似乎不太自然，还不如 在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调
整。为此，我首先给出给出向量投影的 概念，然后提出问题5。

如图，我们把│
b│cos

（│
a
│cos

）
叫做向量< br>b
在
a
方向上（
a
在
b
方向上）的投影，
记做：OB
1
=│
b
│cos



问题6：数量积的几何意义是什么？
这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念 ，从中体会数量积与向量投
影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。
4、研究数量积的物理意义
数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后 ，学生就会明白功的
数学本质就是力与位移的数量积 。为此，我设计以下问题 一方面使学生尝试计算 数量积，
另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
问题7：
（1） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：
①、在水平面上位移为10米；
②、竖直下降10米；
③、竖直向上提升10米；
④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
分别求重力做的功。

活动三：探究数量积的运算性质
1、性质的发现
教材中关于数量积的三条性质是以 探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，
在完成上述练习后，我不失时机地提出问题8：
（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较︱
a
·
b
︱与︱
a
︱×︱
b
︱的大小，你有 什么结论？
在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证
明，完成探究活动。
2、明晰数量积的性质

数量积的性质




设
a
和
b
都是非零向量，则
数量积的性质


1、
a
⊥
b

a

·
b
=0


2、当
a
与
b
同向时，︱
a
·
b
︱=︱
a
︱︱
b︱；当
a
与
b
反向时，


︱
a
·
b
︱= -︱
a
︱︱
b
︱， 特别地，
a
·
a
=︱
a
︱
2
或︱
a
︱=
a

a




3、︱
a
·
b
︱≤︱
a
︱×︱
b
︱

3、性质的证明

这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才 是学习活动的主体，让学生
成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情 ，不仅使
学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。

活动四：探究数量积的运算律
1、运算律的发现
关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9
问题9：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。
学生可能会提出以下猜测： ①
a
·
b
=
b
·
a

②（
a
·
b
）
c
=
a
(
b
·
c
)
③（
a
+
b
）·
c
=
a
·
c

+
b

·
c

猜测①的正确性是显而易见的。
关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。
这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：
2、明晰数量积的运算律

数量积的运算律


已知向量
a
、
b
、
c
和实数λ，则：


（1）
a
·
b
=
b
·
a
（2）（λ
a
）·
b
=λ（
a
·
b
)=< br>
a
·（λ
b
）


（3）（
a
+
b
）·
c
=
a
·
c

+
b

·
c




3、证明运算律
学生独立证明运算律（2）
我把运算运算律（2）的证明交给学生完成，在 证明时，学生可能只考虑到λ>0
的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：
当λ<0 时，向量
a
与λ
a
，
b
与λ
b
的方向 的 关系如何？此时，向量λ
a
与
b
及
a
与λ
b
的夹角与向量
a
与
b
的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共
同完成，我想 这也是教材的本意。

在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上 进行猜想
归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，
同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

活动五：应用与提高
例1、（师生共同完成）已知︱
a
︱=6，︱
b
︱=4,
a
与
b
的夹角为60°，求
（
a
+2
b

）·（
a
-3
b
），并思考此运算过程类似于哪种运算？
例2、（学生独立完成）对任意向量
a
，
b
是否有以下结论： < br>（1）(
a
+
b
)=
a
+2
a
·< br>b
+
b

222
（2）(
a
+
b
)·(
a
-
b
)=

a
—
b
< br>22
例3、（师生共同完成）已知︱
a
︱=3，︱
b
︱=4, 且
a
与
b
不共线，
k
为何值时，
向量
a
+k
b
与
a
-k
b
互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选 择了其中的三道，并对例1和例3
增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时， 我重点从对运
算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问
题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜
测提出例2给出的 两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面
培养了学生通过类比这一思维模式达到 创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固
性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个 向量的垂直，是平面向量
数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积
解决有关问题，再安排如下练习：
1、 下列两个命题正确吗？为什么？
①、若
a
≠0，则对任一非零向量
b
，有
a
·
b
≠0．
②、若
a
≠0，
a
·
b
＝
a·
c
，则
b
＝
c
．
2、已知△ABC中，
AB
=
a
,
AC
=
b
，当
a
·
b

<0或
a
·
b
＝0时，试判断△ABC
的形状。
安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这
一重要运算，
通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。
活动六：小结提升与作业布置
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过
程中，渗透了哪些数学思想？
4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认
识，同时也为下
一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业：
1、课本P
121
习题2.4A组1、2、3。
2、拓展与提高：
已知
a
与
b
都是非零向量，且
a
+3
b

与7
a
-5
b
垂直，
a
-4
b
与 7
a
-2
b
垂直
求
a
与
b
的夹角。

在这个环节中，我首先考虑 检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，
因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继 续加深对数量积概念的理解
和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不 同的
发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

六、教学评价设计
评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更 能
反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视
结果，也 要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要
通过以下几种方式进行：
1、 通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，
并对其进行定

性的评价。
2、在学生讨论、交流、协作时，教 师通过观察，就个别或整体参与活动的态度
和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。
3、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。
4、 通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

以上是我对本节课的一些思考，不妥之处，敬请各位专家批评指正。谢谢！

《同角三角函数的基本关系》教学设计说明
一、教学目标
1.知识与技能目标
（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握同角三 角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的
其他三角函数值.
2.过程与方法目标
（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解 决三角函数的思维
能力；
（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个 角的三角函数值，求这
个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新 题目化归
到已经掌握的知识点上；
（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.
3.情感、态度、价值观目标
通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测 、检验等合情推理方法，
提高学生运算能力和逻辑推理能力.

二、教材分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书 数学必修4》第1.2.2节，课型为新授课，
所 用的教材为人民教育出版社A版，课时安排为1课时，所用教具主要为多媒体、实物投
影仪.
本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的
定义、符号表示及 定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识
的延续，同时为后续进行三角函 数相关内容打下重要基础。因此本节内容具有承前启后的作
用.另外，本节内容是三角函数部分的重要内 容，是三角计算的基础.

三、学情分析
本节课的教学对象是高一学生，时间为高 一下学期.学生的数学基础较好，对学习有着
较浓的学习兴趣.经过长时间的探究性学习和合作性学习的 训练，思维比较活跃，平时教学

中勇于发表个人观点，课堂讨论气氛较好.

四、本节课教学的重、难点
教学重点：公式
sin
2
cos
2
1
和
s in
tan
的推导及其应用
cos
教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用

五、教法特点及预期效果分析
教学模式以启发、诱导发现教学为主.本节教学从抛出问题，引 发学生思考，探究知识
开始，到公式在使用时应该注意的问题，再到例题的多种不同解法，直至最后的小 结归纳的
过程，均由学生通过独立思考和讨论共同完成，真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中，教师的作用是把握教学重难点、教学流程，对学生探究的结果进行归纳总结，对学
生不同的 解法进行提炼，帮助学生理清思维“脉络”.
本节课要求学生多看、多体会、多讨论，学生是演员，是 参与者，学生应该有一定兴趣.
但另一方面，因为让学生说得较多，对口头表达能力有一定欠缺的同学可 能形成一定的心理
压力.因此，有可能形成课堂气氛不够活跃的情况。本节课采取了循序渐进的推进方式 ，且
教学难度不大，对于绝大多数同学应该能较顺利地接受.

六、教学过程中可能存在的困难
（1）本节课开头出现的引例是想让学生探究“两个公式”但 由于学生思考问题角度的
差异，学生可能用其他方法解题，绕过“探究”.
（2）本节课练习 和例题两个小题均可能出现“一题多解”，展示不同的解法，课堂教
学时间可能不够，不展示又觉得失去 对学生认可、让更多学生体会别人不同思路的机会很可
惜.最终形成两难的二选一的境地.
（ 3）“两个公式”探究后辅以及时练习，学生可以及时体会“同角”的重要，但其他
应该注意的事项，学 生独立分析时可能有不到位、不全面的情况.
（4）教师要抓住学生的不同解法及时提炼出其中蕴含的 数学思想和方法，对教师反应
要求较高.

七、教学流程

（一） 提问引入
1、 提出问题：已知
sin


3
，求
cos

、
tan

的值.
5
2、 在解题过程中，让学生自己探索同角的三角函数关系.

（二）探究新知
1． 探究对同角三角函数基本关系
（1） 根据学生探究出的结 果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是
“
sin
2
a”，而不是：“
sina
2
”，进而得到符号表达式：
sin
2

cos
2

1
；开方计算
时，注意“分类” 的思想在象限角正负号问题处理时的应用
.
（2） 探究正弦、余弦和正切函数三者的关系：
sin

tan

. < br>cos

以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让 学生
体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系.
为了让学生及时 熟悉公式，同时为后续学生归纳“同角”作铺垫，要求学生完成以下的
课堂练习：
（1） < br>sin
2
30

cos
2
30


_______________；
（2）
sin
2
(x

4
)cos
2
(x

4
)
________________；
sin45
（3）
cos45
＝_______________
（4）
sin
2
30

cos
2
45


．
（3） 学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：
①注意 “同角”指相同的角，例如：
sin
2
30

cos
2< br>45

1
、
sin
2
2

co s
2
2

1
、
sin
2

2< br>cos
2

2
1
；
sin
tan 
cos
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
中
cos

0
，且
tan

需有意义等.

（三）架构迁移

（1）探究上述两个关系式的等价变形式
教师点明：由等价变形式
sin
2

1cos
2

已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式 cos
2

1sin
2

已知余弦值可以求正弦值 ，学生可能得到:
sin

1cos
2

的结
论，此时，应该向学生说明：
cos

、
sin

的符号 受所在象限的限制，不是无条件的，不

a

同于“由
x
2
1
可以推出
x1
”这种情形，此情况类似于“
|a|


a

(a0)
(a0)
”而不
是“< br>|a|a
”. 等价变形式
sin

tan

cos

可以将分式可以化为整式

例1 已知锐角

满 足
tan

3
,求（1）
sin

4cos< br>
；（2）
sin
2

2sin

cos

.
5sin

2cos

让学生探究第一小 题的解法，注意
sin

、
cos

、
tan
之间的关系的应用，学生的
解题方法可能有很多种，注意每种解法后对数学思想方法的归 纳.然后让学生尝试解决第二
小题.第二小题较第一小题难度有所增加，可以让学生采取合作学习的办法 ，分小组讨论，
探究其解题方法.再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处.体会类比、化归思想，化未知 为已
知.

例2 化简
(1tan

)cos

.
本例在时间允许的情况下进行，否则放到下节课解决.
若时间允许，则进行强化练习：

练习1：已知
cos


套.
练习2:已知
sin

5cos

，求

（四）反思升华：
22
4
，且

为第三象限角，求
sin

、
tan

的值.该题与引例配
5
si n

cos

的值.该题与例2配套.
sin

2cos

由学生自己反思：“本节课你有些什么收获？”让学生自己
总结本节课 所学内容，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理

本节课的小节。
（五）布置作业：课本P21 A组第10、11、12题；B组第3题

七、板书设计
同角的三角函数的基本关系
例1：
例3：
sin
2

cos
2

1
sin

tan
< br>cos

及其变形式
例2：