土木工程大学排名-献给老师的诗歌

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网
课 题：
算术平均数与几何平均数（1）
教学目的：
1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理
2理解这个定 理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当
这两个数相等
3．通 过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的
能力，培养学生的创新精 神，进一步加强学生的实践能力
教学重点：均值定理证明
教学难点：等号成立条件
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1
．
同向不等式：两个不等号方向 相同的不等式，例如：
a>b，c>d，
是同向不等式 异
向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：
a>b，c是异向不等式
2
．
不等式的性质：
定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)
即：a>b

b
a>b
定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c

a>c
定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．
即a>b

a+c>b+c
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d


a+c>b+d．
定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；
如果a>b，且c<0，那么ac推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)
推论2
若
ab0,则a
n
b
n
(nN且n1)

定理5 若
ab0,则
n
a
二、讲解新课：
1．重要不等式：
如果
a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取号)

证明：
ab2ab(ab)

当
ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,

所以，
(ab)0
，即
(ab)2ab.

由上面的结论，我们又可得到
2
22
22
n
b(nN且n1)

22
222
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2．定理：如果a,b是正数，那么
ab
2
ab(当且仅当a b时取号).

证明：∵
(a)
2
(b)
2
2ab,

ab2ab
，
即
ab
2
ab

ab
显然，当且仅当
ab时,
说明：ⅰ）我们称
ab
2
a b
2
为a,b
的算术平均数，称
ab为a,b
的几何平均数，因而 ，此
定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ⅱ）
a
2
b
2
2ab和
ab
2
ab
成立的条件 是不同的：前者只要求a,b都是实数，
D
ab
A
而后者要求a,b都是正数
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件
a
C
b
3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”
以长为a+ b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C
，
使AC=a,CB=b
B
D'< br>过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么
CD
这个圆的半径为
ab
2
2
CACB
，即
CD
ab
2

ab

，显然，它不小于CD，即
ab
，其中当且仅当点C与
圆心重 合；即a=b时，等号成立
三、讲解范例：
例1 已知x,y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值
2P;

（ 2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值
证明：因为x,y都是正数，所以 < br>（1）积xy为定值P时，有
xy
2
xy
2

 xy

1
4
S.

2
P

xy2P

上式当
xy
时，取“=”号，因此，当
xy
时，和
xy
有最小值
2P

（2）和x+y为定值S时，有
xy
S
2
,

xy
1
4
S

2
上式当x=y时取“=”号， 因此，当x=y时，积xy有最大值
S
4
1
2

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
ⅲ）等号成立条件必须存在
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例2 已知：（
a
＋< br>b
）（
x
＋
y
）＞2（
ay
＋
bx
），求证：
xy
ab

ab
xy
2
分析：本题结论中，注意
xy
ab
与
ab
x y
互为倒数，它们的积为1，可利用公式
a
＋
b
≥2
xy
ab
ab
，但要注意条件
a
、
b
为正数故此题应 从已知条件出发，经过变形，说明
与
ab
xy
为正数开始证题
证明：∵（
a
＋
b
）（
x
＋
y
）＞2（< br>ay
＋
bx
）
∴
ax
＋
ay
＋< br>bx
＋
by
＞2
ay
＋2
bx

∴
ax
－
ay
＋
by
－
bx
＞0
∴（
ax
－
bx
）－（
ay
－
by
）＞0
∴（
a
－
b
）（
x
－
y
）＞0，即
a
－
b
与
x
－
y
同号
∴
xy
ab
与
ab
xy
均为正数
∴
xy
ab

ab
xy
xy
ab< br>ab
xy
2
xy
ab

ab
x y
＝2
(当且仅当

ab
xy
时取“＝”号)
∴
xy
ab

≥2
点评：我们在运用重要不等式a
＋
b
≥2
ab
时，只要求
a
、
b< br>为实数就可以了而运用定
22
理：“
ab
2
ab
”时，必须使
a
、
b
满足同为正数本题通过对已知条件变形(恰当地因
式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断
的方法
四、课堂练习：
xy
ab
与
ab
xy
是正还是负，是我们今后解题中常用
1已知< br>a
、
b
、
c
都是正数，求证（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥８
abc

分析：对于此类题目，选择定理：
果
ab
2< br>ab
（
a
＞0，
b
＞0）灵活变形，可求得结
答案 ：∵
a
，
b
，
c
都是正数
∴
a
＋
b
≥2
ab
＞0；
b
＋
c
≥2
bc
＞0；
c
＋
a
≥2
ac
＞0
∴（< br>a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥2
ab
·2
bc
·2
ac
＝８< br>abc

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即（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥８
abc

2已知
x、
y
都是正数，求证：(1)
y
x

x
y≥2；
(2)（
x
＋
y
）（
x
2
＋
y
2
）（
x
3
＋
y
3
）≥８x
3
y
3

分析：在运用定理：
ab
2ab
时，注意条件
a
、
b
均为正数，结合不等式的性质(把< br>握好每条性质成立的条件)，进行变形
答案：∵
x
，
y
都是 正数，∴
x
y
x
y
＞0，
y
x
＞0，x
2
＞0，
y
2
＞0，
x
3
＞0，< br>y
3
＞0
(1)
x
y

y
x2
x
y

y
x
＝2即

y
x
≥2
(2)
x
＋
y
≥2
xy
＞0；< br>x
＋
y
≥2
x
2
y
2
＞0；
x
＋
y
≥2
2233
xy
＞0
xy
＝８
xy

33
33
33
∴（
x
＋
y
）（
x
2
＋
y
2
）（< br>x
3
＋
y
3
）≥2
xy
·2
x2
y
2
·2
即（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）≥８
xy

223333
3求证：（
ab
2
）≤
2
ab< br>2
22

分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：
a
2< br>＋
b
2
≥2
ab
，恰当变形，是证明本题的关
键 < br>答案：∵
a
2
＋
b
2
≥2
ab
，∴ 2（
a
2
＋
b
2
）≥
a
2
＋b
2
＋2
ab
＝（
a
＋
b
）
2

∴2（
a
2
＋
b
2
）≥（
a
＋
b
）
2

不等式两边同除以4，得
ab2
22
≥（
ab
2
），即（
2
ab
2
）≤
2
ab
2
22

ab
2
五、小结 ：本节课，我们学习了重要不等式
a
2
＋
b
2
≥2
ab
；两正数
a
、
b
的算术平均数（
几何平均数（
ab
）及它们的关系（
ab
2
），
≥
ab
）它们成立的条件不同，前者只要求
a
、
b< br>都是实数，而后者要求
a
、
b
都是正数它们既是不等式变形的基本工具 ，又是求函数最值
的重要工具
六、课后作业：
(1)“
a
＋b
≥2
ab
”是“
a
∈R
＋
，
b∈R
＋
”的(B )
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件
(2)设
b
＞
a
＞0，且
a＋
b
＝1，则此四个数
A
b
B
a
＋
b
1
2
，2
ab
，
a
＋
b
，
b
中最大的是(A )
1
2
22
22
Ｃ2
ab
D
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(3)设
a
，
b
∈R，且
a
≠
b
，
a
＋
b
＝2，则必有( B )
A1≤
ab
≤
ab
2
22
B
ab
＜1＜
ab
2
22
C
ab
＜
ab
2
22
＜1 D
ab
2
22
＜
ab
＜1
(4)已知
a
，
b
∈R
＋
且
a
＋
b
＝4，则下 列各式恒成立的是(B )
A
1
ab

1
2
B
1
a

1
b
≥1 Ｃ
ab
≥2 D
1
ab
22

1
4

(5)若
a
＞
b
＞0，则下面不等式正确的是( C ) A
C
2ab
ab
2ab


ab
2
ab
B
ab
2
ab
2

2ab
ab
2ab
ab
ab

ab
2ab
ab
D
ab

(6 )若
a
，
b
∈R且
a
≠
b
，在下列式子中 ，恒成立的个数为（D ）
①
a
2
＋3
ab
＞2
b
2
②
a
５
＋
b
５
＞
a
3
b
2
＋
a
2
b
3
③
a
2
＋
b
2
≥2（
a
－
b
－1） ④
A4 B3
a
b

b
a
＞2
Ｃ2 D1
(7)设
a
，
b
，
c
是区间(0，1)内的 三个互不相等的实数且
p
＝log
c
ab
2
，
q
＝
log
c
alog
2
c
b
，
r
＝
1
2
log
ab
c
2
，则
p
，
q
，
r
的大小关系是(C )
A
p
＞
q
＞
r
B
p
＜
q
＜
r
C
r
＜
P
＜
q
D
p
＜
r
＜
q

(8)已知
x
＞
y
＞0，
xy
＝1，求证：
xy
xy
2
22
≥2
2

证明：∵
x
＞
y
＞0，
xy
＝1 ∴
x y
xy
2

(xy)2xy
xy
xy
xy
22
2
(xy)
2
xy

≥2
(xy)
2
xy
＝2
2
，即≥2
2

(9)已知
a
＞2，求证：log
a
（
a
－1）·log
a
（
a
＋1）＜1
证明：∵
a
＞2 ∴log
a
(
a
－1)＞0, log
a
(
a
＋1)＞0,log
a
(
a
－1)≠log
a
(
a
＋1)
∴log
a
（a
－1）·log
a
（
a
＋1）＜［
＝［
1< br>2
log
a
(a1)log
a
(a1)
2］
2

log
a
（
a
2
－1））2
＜（
1
2
log
a
a
2
）
2
＝1
即log
a
（
a
－1）·log
a
（
a
＋1）＜1
(10)已知
a
，
b
∈R，证 明：log
2
（2
a
＋2
b
）≥
证明：∵
a
，
b
∈R
ab
ab2
2

∴l og
2
（2＋2）≥log
2
（2
22
）＝log
2
（2·2
ab
ab
2
）＝1＋
ab
2

6

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＝
ab2
2
,即log
2
（2＋2）≥
＋
ab
ab2
2

(11)若
a
，
b
，
c
∈R，且
a
＋
b
＋
c
＝1 ，
求证：
1
ab

1
bc

1ca

9
2

证明：∵
a
，
b，
c
∈R
＋
，且
a
＋
b
＋
c
＝1
∴2＝（
a
＋
b
）＋（
b
＋
c
）＋（
c
＋
a
）
∴［（
a
＋
b
）＋（
b
＋
c
）＋（
c
＋
a
）］·（
1
1
ab

1
bc

1ca
）
≥3·
(ab)(bc)(ca)
×3·
3< br>1
ab
1
bc
2
abbcca

1

1
＝９
故

1
ca

9
2

(12 )已知方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0有一根
x
1
＞0，求证：方程
cx
2
＋
bx
＋
a
＝ 0必有一根
x
2
，使得
x
1
＋
x
2
≥2
证明：∵方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有一根
x
1
＞0
∴
ax
1
＋
bx< br>1
＋
c
＝0,∴
a
＋
2
b
x
1

c
x
2
1
＝0
∴
c
（< br>1
x
1
）
2
＋
b
·
1
x< br>1
＋
a
＝0(方程
cx
2
＋
bx
＋
a
＝0必有一根
1
x
1
＞0)
∴
x1
＋
x
2
＝
x
1
＋
1
x1
≥2
故方程
cx
2
＋
bx
＋
a< br>＝0必有一根
x
2
，使得
x
1
＋
x
2
≥2
七、板书设计（略）
八、课后记：


6