日照实验高中-法制安全手抄报内容

《高等数学》教案

第一章：函数与极限（18课时）

第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形 ，并会建立简
单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反 函数及隐函数的概念，基本初等函数
的性质及其图形。
一、集合
1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。
}
1)
A
{
a
1
,
a
2
,
a3
,

P}
2)
A{xx的性质
元素与集合的关系：
aA
，
aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N，Z，Q，R，N
+

元素与集合的关系：A、B是两个集合 ，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A
是B的子集，记作
AB
。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作
AB

若作
AB
且
AB
则称A是B的真子集。
全集I：A
i

I（I=1，2，3，……..）。
空集

：

A
。
2、集合的运算
并集
AB
：
AB{x|xA或xB}

交集
AB
：
AB{x|xA且xB}

差集
AB
：
AB{x|xA且xB}

C
补集（余集）
A
：I＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：

交换律：
ABBAABBA

结合律：
(AB)CA(BC)
，
(AB)CA(BC)

分配 律：
(AB)C(AC)(BC)
，
(AB)C(AC)(B C)

对偶律： (
AB)AB(AB)AB

笛卡儿积： A×B
{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域
1）有限区间：开区间
(a,b)
，闭区间

a,b
，半开半闭区间

a,b

cccccc

a,b
。
2）无限区间：（
,a
），

,a
，

a,

，

a,
< br>，

,

。
3）邻域：
U(a,

){xa

xa

}

注：a 邻域的中心，

邻域的半径；去心邻域记为
U(a,

)
。
二、映射
映射概念
定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则
f< br>，使得对X中的每一个元素
x
，
按法则
f
，在Y中有唯一确定 的元素
y
与之对应，则称
f
为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中
y
称为元素
x
的像， 并记作
f(x)
，即
yf(x)
。
注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。
三、函数
1、函数的概念
定义 设数集
DR
，则称映射
f:DR
为定义在D上的函数， 记为
yf(x),xD
。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。
2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。
2） 函数的单调性（单增、单减），在x
1
、x
2
点比较函数值
f(x< br>1
)
与
f(x
2
)
的大小（注：
与区间有关 ）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、
f(x)
与
f(x)
关系 决定)，图形特点 (关于原点、Y轴
对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立：
f(xl)f(x)
)

3、 函数与复合函数
1）反函数：函数
f:Df(D)
是单射，则有逆映射
f
函数的反函数。
函数与反函数的图像关
yx
于对称。
2）复合函数：函数
ug (y)
定义域为D
1
，函数
yf(x)
在D上有定义、且
f(D)D
1
。
则
ug(f(x))gf(x)
为复合函数 。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。
结论：对于分段函数

f（x ）=

1
(y)x
，称此映射
f
1
为
f

f
1
(x)

f
2
(x)
(xa)
(x

a)
若初等数函f
1
（x）和f
2
（x）满足f
1
（a）=f
2
（a），则
f（x）= f
1
[
11
22
（x+a-
(xa)
）]+ f
1
[（x+a+
(xa)
）]- f
1
（a）
22
a
4、初等函数
1）幂函数：
yx

x
ya
2)指数函数：
3)对数函数：
ylog
a
(x)

4)三角函数：ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycot(x)

5)反三 角函数：
yarcsin(x)
，
yarccos(x)

yarctan(x)yarccot(x)

以上五种函数为基本初等函数。
shxe
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
thx
x
chx
shx< br>chxee
x

2
2
，6）双曲函数：，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式：
sh(xy)shxchychxshy
sh(xy) shxchychxshy
ch(xy)chxchyshxshy
ch( xy)chxchyshxshy

7）反双曲函数：

yarshx
yarchx
yarthx

例1 已知分段函数

2x,1x0,

f(x)
1,x0,


x
2
2,0x1.

1
1）求其定义域并作图；2）求函数值
f(
1

2
),f(0),f(
2
).
例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10
u
，u=1+x
2
, y=arctanu
2
, u=tanv, v=a
2
+x
2
.
例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x
2
,（0

x〈

），
y

作业：见课后各章节练习。

第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。
教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。
一、数列
数列就是由数组成的序列。
1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。
一般写成：
a
1
缩写为

u
n


2x1,0x1,

2

2(x2),1x2.
a
2
a
3
a
4

a
n< br>


1


例1 数列

n

是这样一个数列

x
n

，其中
x
n

1
n
，
n1,2,3,4,5

也可写为：
1
1
2
1
3
1
4
1

5

lim
1
0
n
n可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。

1、 限的

N
定义


0NnNx
na

，则称数列

x
n

的极限为
a
，记成
limx
n
a
n

也可等价表述：
1）


0
2）


0
NnN
nN

(x
n
a)


Nx
n
O(a

)
。
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。
二、收敛数列的性质
定理1 如果数列

x
n

收敛，那么它的极限是唯一。
定理2 如果数列

x
n

收敛，那么数列

x
n

一定有界。
定理3 如果
limx
n
a
x 
且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，
x
n
0(x
n
0)
。
例2 证明数列

n
n
的极限是1。
1

例3 作出数列

n(1)
n1
n

图形，讨论其极限值。
作业：见课后各章节练习。

第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的
关系。
教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。
一、极限的定义
1、在
x
0
点的极限
1）
x
0
可在函数 的定义域内，也可不在，不涉及
f
在
x
0
有没有定义，以及函数值< br>f(x
0
)
的大小。只要满足：存在某个

0
使：
(x
0


,x
0
)(x
0
, x
0


)D
。
2）如果自变量
x
趋 于
x
0
时，相应的函数值
f(x)
有一个总趋势——以某个实数A
为极限，
则记为：
xx
0
limf(x)A
。
形式定义为：



0

x(0 xx
0


)
2、
x
的极限
设
yf(x)
f(x)A


x(,)
，如果当时函数值
f(x)
有一个总趋势--该曲线有一 条水
平渐近线
yA
--则称函数在无限远点

有极限。记为：x
在无穷远点

的左右极限：
limf(x)A
。 < br>f()limf(x)
x
，
f()limf(x)
x

关系为：
limf(x)Alimf(x)Alimf(x)
xxx

二、函数极限的性质
1、极限的唯一性
2、函数极限的局部有界性
3、限的局部保号性
4、函数极限与数列极限的关系
例1 讨论函数
y
x
x
在x
0
的极限。
例2 求下面函数极限：
lim
2
n
n
n
21
1
， lim
x
(
1

x1
3
x
3< br>1

)
。
作业：见课后各章节练习。

第四节：无穷小与无穷大
教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。
教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。
一、无穷小定义
定义 对一个数列

x
n

，如果成立如下的命题：
x
n
0


0NnNx
n

则称它为无穷小量，即
lim
x

注：1）

2）


的意义；
x
n

可写成
x
n
0

；

(0,x
n
)

；
3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数

，存在一个号码N，使在这个号码以后的所
有的号码
n
，相应的< br>x
n
与极限0的距离比这个给定的

还小。它是我们在直观上对于一个

数列趋于0的认识。
定理1 在自变量的同一变化过程
xx0
（或
x)
中，函数
f

x

具 有极限A的充
分必要条件是
f(x)A

，其中

是无 穷小。
二、无穷大定义
一个数列

x
n

，如果成立：
x
n< br>
G0NnNx
n
G
那么称它为无穷大量。记成 ：
lim
x
。
limx
n

G0 NnNxG
n
特别地，如果，则称为正无穷大，记成
x
。
特别地，如果
G0NnNx
n
G
，则称为负无 穷大，记成
limx
n

x
。
注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。
三、无穷小和无穷大的关系
1
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果
f(x)
为无穷大，则
f(x)
为无穷小；反之，
1
如果
f(x)
为无穷小，且
f(x)0
则
f(x)
为无穷大。
x
即非零的无穷小量与无 穷大量是倒数关系：当
x
n
0
时：有
lim0lim
1

x
x
n

limlim
x< br>1
0
x
x
n

注意是在自变量的同一个变化过程中。
四、无穷小的性质
设

x
n

和

y
n

是无穷小量于是：
1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：
limx
n
0
x< br>limy
n
0lim(x
n
y
n
)0
xx

2）对于任意常数C，数列

cx
n

也是无穷小量：
limx
n
0lim(cx
n
)0
xx< br>3）

x
n
y
n

也是无穷小量，两个无 穷小量的积是一个无穷小量。

limx
n
0
x 
limy
n
0lim(x
n
y
n
)0
xx

4）
x
n
也是无穷小量：
xx
0

limx
n
0limx
n
0
xx
0

5）无穷小与有界函数的积为无穷小。
五、函数极限的四则运算
1）若函数
f
和
g
在点
x
0
有极限，则
xx
0
lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)
xx
0
xx
0

2）函数
f
在点
x< br>0
有极限，则对任何常数
a
成立
xx
0
lim( af(x))alimf(x)
xx
0

3）若函数
f
和
g
在点
x
0
有极限，则
xx
0
lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)
xx
0
xx
0

，则 4）函数
f
和
g
在点
x
0
有极限，并且
xx
0
limg(x) 

0
limf(x)

f(x)

x

x
0

lim


xx
0

g(x)

limg(x)


xx
0< br>
极限的四则运算成立的条件是若函数
f
和
g
在点
x
0
有极限。
定理3 设函数
yf [g(x)}
是由函数
yf(u)
与
ug(x)
复合而成，f[g(x)]
在点
limg(x)u
0
limf(u)A
x
0
的某去心邻域内有定义，若
xx
0
，
uu
0
，且存在

0
0
，当
x
u(x,

)
00
时，有
g(x)u
0
，则



xx
0
0
limf[g(x)]limf(u) A
uu
0
例1 下面函数在x趋向什么时是无穷小，又当x趋向什么时是无穷大：
2x1,
sinx
1cosx
。
例2 求下面函数极限：


lim
x1
2x3
x
2
5x 4
lim
x3
x3
x
2
9

作业：见课后各章节练习。

第五节：极限存在准则两个重要极限
教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。
教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。
定理1（夹逼定理） 三数列< br>
x
n

、

y
n

和< br>
z
n

，如果从某个号码起成立：
1）
x
n
y
n
z
n
，并且已知

x
n
和

z
n

收敛，
2）
x< br>limx
n
alimz
n
x
，则有结论：
limy
n
a
x

定理2 单调有界数列一定收敛。
单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。
Ⅰ极限
lim
[sinxx] =1
x0
该极限的证明，关键是证不等式:sinx
2).
Y
如图.设单位圆⊙O的渐开线为
T
B


O

H
⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC切⊙Ｏ且交

A C X

.若记∠TOA＝x，并过Ｔ作ＴＨ
及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则
Sinx=TH
=（x）=TB我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”.
因扇形面 积ＯAT＝
1
x的求得，一般是n等分∠ＡＯT成n个等腰△
2
A
i
OA
i-1
(i=1.2,…,n,A=A
0
,T=A
n< br>)，则
11
Sin（xn）=n Sin（xn）
22
11
此时，扇形面积ＯAT=
lim
∑
△A
i
OA
i-1=
∑
Sin（xn）=x
lim
[Sin（xn）（xn）]
n
22
n
1
显然当
lim
[Sin（xn）（xn ）]=1时，扇形面积ＯAT＝x，但令t= x n，则该极限为
n
2
∑△A
i
OA
i-1
=∑
要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。

Ⅱ极限
lim
（1+1n）
n
=
e
n
设A
n
=
（1+1n）
n
，
利用算 术和几何不等式关系，得：
A
n
=
（1+1n）（1+1n ）……（1+1n）･1≦[（n（1+1n）+1）（n+1）]
n+1
即数列{A
n
}单增。
另外，设Ｂ
n
＝n（
n+1）
，利用算术和几何不等式关系，得：
2
n-2
1n
Ｂ
n
＝1- 1（
n+1）
>1- 1
n=[（2･(12)+（n-2））n]

[（12）
･1
]=（14）
则 4

[（
n+1）
n
]= （1+1n）
n

即数列{A
n
}有上界。
于是，极限Ⅱ存在，并记为数e。
例1求下面函数极限：
lim
tanx
arcsinx
1cos x
lim
lim
2
x0
x0
x
，
x< br>x
，
x0

1
1
lim(1)
x
lim(1)
x
x
有界，并求
x
x
的极限。 例2 证明
x
作业：见课后各章节练习。

第六节：无穷小的比较
教学目的与要求：理解无穷小的比较概念。
教学重点（难点）：熟练应用等价无穷小求极限。
定义 若

,

为无穷小，且

0


lim


limc0


lim
K
c0


lim1


l im
则

与

的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k阶、等价（
～

）
1）若

,

为等价无穷 小，则



(

)
。
2）若
～

、

～

且
1
1
lim

1
1
存在，则：

lim< br>

lim

1

1

例1 证明下面各无穷小量之间的关系：
。
xsinx
与x（x
0
+
） tanx- sinx与sinx（x
0
）
例2 求下面函数极限：
tan2x
(1x)1
sinx
lim
lim
lim
3
x0< br>sin5x
，
x0
x3x
，
x0
cosx1
。
作业：见课后各章节练习。

第七节：函数的连续性与间断点
教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点。
教学重点（难点）：判断函数连续。
一、函数在一点的连续性
函数
f在点
x
0
连续，当且仅当该点的函数值
f(x
0
)、左极限
f(x
0
0)
与右极限
1
2
3f(x
0
0)
三者相等：
f(x
0
0)f(x
0
)f(x
0
0)

或者：当且仅当函数
f< br>在点
x
0
有极限且此极限等于该点的函数值。
xx
0
limf(x)f(x
0
)

其形式定义如下：


0

x(xx
0


)f(x)f(x
0
)


函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b］连续时包括端点。
注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)；
2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。
二、间断点
若：
f(x
0
0)f(x
0
)f(x
0
0)
中有某一个等式 不成立，就间断，分为：
1、第一类间断点
f(x
0
0)f(x
0
0)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。
2、第二类间断点
x
0

左极限
f(x0
0)
与右极限
f(x
0
0)
两者之中至少有一个 不存在。
例1 讨论函数在x=0处的连续性：
x,x0,

f(x)


1,x0.
例2 求下面函数的间断点，判断其类型：
。
y(1x)
x
,
y xcos
1
x
作业：见课后各章节练习。

第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性
教学目的与要求：理解连续函数的性质和初等函 数的连续性，并会利用函数的连续性求
函数极限。
教学重点（难点）：函数连续性判定。
一、连续函数的四则运算
1）
xx
0
1
limf(x )f(x
0
)
且
xx
0
limg(x)g(x
0
)
，
lim


f(x)

 g(x)



f(x
0
)

g( x
0
)

xx

0
2）
xx0
limf(x)f(x
0
)

xx
0
且
xx
0
limg(x)g(x
0
)
，
lim

f(x)g(x)

f(x
0
)g(x
0
)
且
xx
0
3）
xx
0
limf(x)f(x
0
)
limg(x)g(x
0
)0< br>，

xx
0
lim
f(x)
f(x
0< br>)

g(x)g(x
0
)

xD
f
是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函
二、反函数连续定理
如果函数
f:yf(x)
数
f
1
1
xf(y)
：
y D
f
也是严格单调增加（减少）并且连续。
注：1）反函数的定义域就是原来的值域。
2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成
yf
1
(x)xD
f
1

三、复合函数的连续性定理：
设函数
f
和
g
满足复合条件

g
D
f
，若函数
g
在点x
0
连续；
g(x
0
)u
0
，又若
f
函数