广西选调生-你的名字经典台词

数学文化







教 案

第0章 关于“数学文化”课
《数学文化》这门课不是以数学的知 识系统为线索进行教学，而是以比较浅显的知识为载体，讲授数
学的思想、精神、方法，旨在提高大学生 的数学素质、文化素质和思想素质。该课程讲究科学素质教育与
人文素质教育的有机融合。
今 天第一堂课讲序言，介绍数学文化课，主要有5个内容。以及“数学文化”课的开设，“数学文化”
课的 上法，和“数学文化”课的考核与评分。
第三周每堂课安排一位同学演讲，时间大概15-20分钟。
一、“数学文化”一词的使用
“数学文化”一词在世界上出现已经有二三十年了，在中国，比 较早的是1990年北大邓东皋先生的一
本书--《数学文化》里边，还有武汉大学前校长，数学家齐民 有先生。对许多人来说，“数学文化”一词是
陌生的，近年来使用频率才大大增加，说明他是有生命力的 ，说明许多人更愿意从文化角度来关注数学，
更愿意强调数学的文化价值。中华人民共和国教育部200 3年颁布的《普通高中数学课程标准》中，有四个
地方用较大的篇幅谈到“数学文化”，说明这一词已在 官方文件中正式使用。
2002年，北京国际数学家大会期间，陈省身先生为“中国少年数学论坛”活 动题词“数学好玩”，鼓
励青少年喜爱数学、学好数学。
二、什么是“数学文化”？
对这一词的理解，不同的学者从不同的角度有不同的理解。到目前为止还没有哪一位学者给出数学文化这
个词的定义，得到所有人的共识。首先看“文化”。有狭义和广义两种说法。最狭窄的一种就是说文化就是知识，说一个人有文化，就是说他有知识，这是最狭义的，还有好多好多，我就不在这儿列举了，但是各个词典，关于文化这个词的广义的解释，都差不多。文化是人类社会，历史实践过程中所创造的，物质财富和精神财富的积淀，有相对的稳定性，是一种上层建筑，还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系
。
这是文化的广义的解释。“数学文化”也有狭义和广义 两种说法。简单
地说“数学文化”课的宗旨就是要提高学生的数学素养。一个人从小学到大学要学十几年 的数学，但并不
是学的时间越长，而掌握数学的精髓，相反，大多数学生对数学的思想精神了解的比较肤 浅，数学素养较
差，他们认为只要会做题，能应付考试，就可以了。教师在这个教学活动当中，往往先把 自己变成类型题
的，有效解题者和熟练操作工，什么意思呢？就是说，拿到一道题以后，马上能判断这道 题是哪种类型，
然后这种类型，分几步可以解出来，然后就能把这个题完成，再努力把学生也变成这种， 类型题的有效解
题者和熟练操作工，这个对于考试确实是有用的，能提高分，但是对于了解数学的思想， 培养数学的素养，
是有所欠缺的，所以我们大学教师常常会感到，中学输送来的好学生，很会做习题，但 是不大善于学数学，
那么实际上，学生毕业以后走入社会，如果不是在，与数学相关的领域工作，那么学 过的那些数学定理，
公式，解题方法，可能大多用不上，  很快多少年就忘掉了。我们曾经在一个 ，教学研究的项目里边，
做过问卷调查，就是四十岁上下的这些人回答，说我十三年的数学白学了，一大 批人这样回答，说我毕业
以后，我就没用过一个数学定理，一个数学公式，我十三年的数学白学了，可能 他确实没有用过，一个数
学定理 一个数学公式，但是绝不是十三年数学白学了，因为老师在十三年的数 学课当中，除了教给你数学
定理、数学公式以外，还教给了你它背后的数学思想，提高了你的数学素养， 这些数学素养，在你参加工
作以后，无论是有意识的还是无意识的，  一定是用过的，不会是没用 过的，而且数学素养的不同，也
一定对你的工作的效果的不同是有影响的。一位数学教育家说，不管人们 从事什么工作，深深铭刻在头中
的数学的思想精神，数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地 发生作用，使人们终身受益。 
耐人寻味的是，在数学文化这个词被日益广泛地使用的时候，跟它相对应的物理文化 化学文化，生物
文化， 天文文化这样一些词，并没有得到如此广泛地使用，并不是说它没有被使用，而 是没有得到如此广
泛地使用，那么什么原因呢？
 我想， 它的原因是因为，数学的研究 对象，和那些自然科学的研究对象，有本质的区别，每一门不同
的科学，当然都有它不同的研究对象，但 现在说的是本质的区别，其他的自然科学，无论是哪个自然科学，
它的研究对象都是某种物质，某种物质 的运动形态。我们拿物理来举例。力学，电学，光学，热学， 原子

1

物理学，都有具体的物质和物质运动形态作为它的研究对象。化学也是如此。 生物学也是如此。天文学也
是如此。但是如果问你数学呢？数学是以哪种物质？哪种物质运动形态？作为 它的研究对象呢？你怎么回
答？ 很难回答。你说不上是哪种物质， 哪种物质运动形态，作为数学的研究对象。数学的研究对象是， 从
众多的物质和众多的物质运动形态当 中，抽象出来的，是人脑的产物。你说数学研究这圆吧，客观世界里
边有太阳，有月亮， 有车轮，但是 并没有数学里研究的这个圆，数学这个圆是人脑的产物，所以数学的研
究对象是人，跟人相关系的，文化 也是跟人相关系的，所以这个数学文化被广泛使用。我想是有这样的道
理，就是数学的研究对象，和那些 具体的，自然科学的研究对象很不一样，是人脑的产物，所以数学它具
有超越具体科学，和普遍适用的特 征，具有公共基础的地位。特别是不同的，社会现象和自然现象，在某
一方面，可能遵循同样的数学规律 ，所以数学它既用到不同的自然科学里边，也用到不同的社会科学里边。
这个反映出来，社会现象与 自然现象可能在数量关系上有某种共性，所以数学就超越了具体的社会科学和
自然科学，成为联系各种科 学的纽带。所以有许多学者认为，科学不是简单地分成自然科学，社会科学。
这样两大类，而把这个数学 科学也作为一个跟其他的自然科学不是在一个层次上，而是有一种超越的味道。
像钱学森大学者。这是在十几二十年以前，在人民大会堂讲话的时候，就提出过这样的观点。像丁石孙， 我
不知道。原来北大的校长，各位知道不知道这位， 他也有这样类似的观点，当然 这样的观点是逐渐 在得
到学者的共识。像我们上个世纪90年代以后，全国从数学系很多成立了叫数学科学学院。像北大也 是，南
开大学也是，它不叫数学学院，叫数学科学学院。就数学科学这四个字成一个词，这是跟这个有关 系。 
有两句耐人寻味的话：
“一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了 ”。“一个国家科学的进步，可以用它消耗的
数学来度量”。前一句通俗易懂，却颇为深刻。后一句比较 高雅，有非常精彩。可以看做是从口头与书面两
种方式对数学文化的一个定位。
三、数学文化的特征
（1）思维性
数学是研究的任务，主要是应用人类关于现实世 界的空间形式和数量关系的思维成果。因此，思维是数学
的灵魂。数学教学的核心是思维的教学，思维教 学应贯穿于整个教学之中。
（2）数量化
是数学文化区别于其他文化的显著特点之一，也是区分个人是否具有数学素养的标尺之一。
（3）发展性
数学家始终处于“寻求完美—打破完美—寻求新的完美”的循环之中，而每一个 这样的循环，都是不断递
进，拓宽的这样一个过程。大量的新数学分支由此涌现出来并得到应用。由于数 学的不断发展，数学才有
了越来越强大的生命力。
（4）实用性
人人必须，人人必 用的一种工具，学习他是为了利用它。任何领域与数学都有一种我中有你，你中有我的
水乳交融的关系。
（5）育人性
数学培养人们的思维能力，良好的品质和世界观。与人文科学和自然科学相辅相成。
四、数学文化的内涵
数学文化的理性精神—第一次数学危机之后，人们就意识到直观不可靠， 数学的理性精神发展起来。因此
在教学中应培养学生的独立思考、用于批判的精神。
数学文化的人文精神—
数学文化应用性的体现—数学来源于社会生活和生产实际，是从人们生 活、生产过程的经验中抽象概括出
来的一门关于空间形式和数量关系的学科。小到日常生活中的银行存款 、助学贷款、购房分期付款、商品
减价、买彩票、股票，达到火箭发射，宇宙航行等都用到数学。数学中 的每一次重大发现都给人以丰富的
启迪。如非欧几何用于相对论，改变了人们的时空观念。数论用于密码 破译，更使这门古老的数学分支大
放异彩。

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数学文化的相对稳定与延续性--由于数学文化是一个延续的、积极的、不断进步的整体，因而其基本成 分
在某一特定时期具有相对不变性；由于数学有其特殊的价值标准和发展规律，相对于整个文化环境而言 ，
数学的发展具有一定的独立性。战争、灾害因素在某种程度上会影响他的进程，却无法改变他的方向。
数学文化的反思、批判和完善 —三次数学危机每一次都促使对自己进行反思、批判，从而使数学不断完善，
向前跨进了一大步。
数学文化的世界性
五、数学文化的价值


数学是一种精密的思维工具
数学是一种科学的语言—数学是一种符号语言，他可以摆脱自然语 言的多义性。数学语言的简洁
性，有助于思维效率的提高；数学语言也便于量的比较，便于数量分析；数 学语言还可以探讨自
然法则的更深层面，而这是其他语言不可能做到的。所以我们说数学以一种科学的语 言。
数学家 高斯：“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。” 前一句话突出了数学的精密思维，后一
句话强调了数学为其他学科服务。
哲学家康德：“我坚决认为，任何一门自然学科，只有它数学化后，才能称得上是真正的科学。”
马克思：“一种科学只有在成功地运用数学时，才能达到真正完美的地步。”
 数学是理性的艺术
数学与艺术是人类创造的两个截然不同的文化产品。数学中强调逻辑思维，艺术强调形象思维。然而，< br>数学与艺术又有相似之处。五线谱、二维画布上反映三维空间的实体，绘画中的“透视学”，达芬奇：“任
何人的研究，如果没有经过数学的证明，就不可能成为真正的科学。”
近代计算机技术将数学与美术结合起来—简单公式和线条多次迭代得到奇妙的美术作品-- “分形几何”；“计
算机美术”
 数学是人类文化的重要组成部分
六、哈工大 “数学文化”课的开设
1.开课的概况
2.开课的初衷
3.开课的指导思想



的。
4．学生从课程中可能的收获
了解数学的思想；引起对数学的兴趣；学会以数学方式的理性思维观察世界的方法。
5.重视数学素养，提高数学素养
七、“数学文化”课的上法
1．内容和预备知识
与一般数学课的区别---一般的数学课，是以数学的知识系统为线索来组织材料，进行教学。 “数学 文化”
课，则可以从数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想等角度切入，并以它们为线索 来组织
材料，进行教学。
一般的数学课，是以讲授数学的理论知识及其应用为主要目的。 “数学文化”课虽然要以知识为
载体， 却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想为主，以提升学生的数学素养为主。
八、“数学文化”课的考核与评分
1、读书报告
2．上台演讲
数学不仅是一种重要的“工具” ，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；
数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；
数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。
在提高一个人的推理能力、抽象能 力、分析能力和创造能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以替代

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第一章 概述
第一节 数学是什么
一、数学的“定义”
恩格斯：数学是研究（现实世界中）的数量关系与空间形式的一门科学。
1．古今数学家的说法
（美）R·柯朗（《数学是什么》）：“数学，作为人类智慧的一 种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致
的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分 析和推理，共性和个性。”
（法）E·波莱尔： “数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”
（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”， 而最前面的命题p是否对，却无法判断。 因此“数
学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”
2．数学的15个“定义”
1）哲学说
2）符号说—数学是一种高级语言，是符号的世界。
3）科学说—数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”
4）工具说—数学是其他所有知识工具的源泉
5）逻辑说—数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲”。
6）创新说—数学是一种创新，如发现无理数、提出微积分、创立非欧几何。
7）直觉说—数学的基础是人的直觉，数学主要是有那些直觉能力强的人们推进的。
8）集合说—数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。
9）结构说（关系说）--强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，“数学是一种关系学”。
10）模型说—数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的 模
型，欧式几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。
11）活动说—数学是人类最重要的活动之一。
12）精神说—数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。
13）审美说—数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。
14）艺术说—数学是一门艺术。
15）万物皆数说—数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。
哲学说 ---代表人物亚里士多德和欧几里德，亚里士多德曾说：“新的思想家把数学和哲学看做是相同的。”
古希腊的许多数学家同时也是哲学家。
二、数学的特点
 抽象性—是所有各门科学都具有的性质，没有抽象就没有科学。那么为什么把抽象说成是数学的特点
那？
第一， 数学的研究对象本身就是抽象的；
数学不同于物理、化学等学科，这些学科都研究具 体的物质和具体的物质运动形态。例如物理中的电学、
光学、热学等。数学的研究对象是从具体的物质和 物质运动形态中抽象出来的，是人脑的产物。
第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；
第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；
5个苹果，5条鱼、5个人等抽象出5的概念。到越高的层次，抽象的程度也越高。例如从人类生存的
现 实空间抽象出三维欧式空间，进一步抽象出n维线性空间乃至无穷维线性空间。
第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。
举例：哥尼斯堡七桥问题
俄 罗斯的加里宁格勒在18世纪时称为哥尼斯堡。有一条河（普累格尔河）穿过该城。河中心有一座美丽的
小岛。这条河和两条支流把包含岛区在内的全程分为四个区域：岛区（A）,东区（B），南区（C），北区（D ）。
有七座桥横跨这条河及其支流，连接了这四个区域。问题：能不能找到一条路线，使得散步时不重复 地走

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遍这七座桥？
1736年29岁的瑞 士数学家欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文的
开头：讨论长短大 小的几何学分支，一直被人们热心地研究者，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的
分支，一直被人们 热心地研究者，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支，莱布尼兹最先提到他，
称之“位臵的几何 学”。这个几何学分支讨论只与位臵有关的关系，研究位臵的性质。它未考虑长短大小，
也不牵涉量的计 算。但至今未有过令人满意的定义来刻画这门位臵几何学的课题和方法。” 这一数学分支
现代称为“ 拓扑学”。理论上需要解决的问题是：找到“一个图形是一笔画”的充分必要条件，并对一笔画
的图形给 出一笔画的方法。
每个点都是若干条线的端点。图形上的点分成两类。一类是某个点为端点的线有偶数 条，称此点为偶顶点；
另一类以某点为端点的线有奇数条，称为奇顶点。要想不重复第一笔画出某图形， 除去起始点和终止点两
个点外，其余每个点，如果画进去一条线，就一定要画出来一条线，从而都必须是 偶顶点。于是“一笔画”
的必要条件是“图形中奇顶点的个数为0或2”（当起始点和终止点重合时， 奇顶点个数为0）。而七桥问题
中有四个奇顶点，所以，无解。
 精确性
数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。
汉克尔说：“在大多数科 学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建
筑上增添一层新楼。”
一代人要推倒另一代人所修筑的东西 作为对照的三个例子：
① 电子管电路→ 半导体电路→ 集成电路
不是局部的变革，也不是在原来基础上的改进，而是彻底的以旧换新。
② 托勒密地心说→哥白尼日心说→开普勒三定律
③ 高温超导的上界（朱经武） 30ºK→90ºK→120ºK →240ºK
实验超导学家改进理论超导学家提出的理论上界。
数学定理只要是证明无误的，就总是正确的 ，后人对数学的发展，只能是在原有基础上的发展，而不会是
推倒重来。
 应用的广泛性
华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。
例子：①哈雷彗星的发现； ②海王星的发现； ③电磁波的发现。
三、数学与其它领域的联系
1.数学与教育
数学对于受教育者，不仅仅是 学会一门课程、一门知识、更重要的是学习数学的思想、方法、精神；把
数学作为成才的基本素质要求。
1）波利亚：“让我们教猜想吧！”
现在的教学过于形式化，脱离实际，常采用定义、定理 、证明、例题的模式完成教学。教学过程过多的注
意定理证明的细节，而不大注意定理的来由。
波利亚还说：“在数学家证明一个定理之前，必须猜想到这个定理；在他完成证明的细节之前， 必须先
猜想出证明的主导思想。”
事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很大 程度上是让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育
效益。
2）作为数学教授的大学校长：
2.数学与文学
1）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析、 词汇相关程度和句型频谱分析
3.数学与史学
1）史衡学

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数学的介入，使史学的研究成果更加客观、严谨，较多地排除了人为因素。
2）考古对数学史研究的推进
1986年上海陆家咀发现元朝玉挂，谈祥柏教授研究后发 现，它是一个四阶完全幻方。过去以为只有印度
历史上才有这种“完全幻方”。
4.数学与哲学
1）数学中“无限”的概念、“连续”的概念，一经出现，便成了哲学研究的对象。
2）“哲学从一门学科中退出， 意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”
ins:“没有数学， 我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两
者，人们就什么也看不透 。”
3）哲学系的“逻辑学”专业与数学系的“数理逻辑”专业。专业名称、历史渊源、所含内容上 均有较强的联系。
5.数学与经济
1）普遍运用数学，建立经济模型，使得代数学、分析学 、运筹学、概率论和数理统计等大量数学进入经济
科学中，并反过来促进了数学的发展。
2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一半以上。
6.数学与社会学
1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研究模式
2） “社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。”
7.数学与工程技术
1）“1991年的海湾战争就是信息战争、数学战争”
2）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻。
2000年 是联合国宣布 的“世界数学年”，联合国教科文组织指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界
及其发展的一把主要钥匙 。”























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第二节 数学发展简史
——祖冲之
 圆周率上限3.1415927，下限3.1415926
这一精确度800年后才被阿拉伯数学家阿尔.卡西改进。
 球体积的计算公式（出入相补原理、祖氏原理：“幂势即同，则积不容异”）
祖氏原理被西方称为“卡瓦列里原理 1635年意大利数学家，对微积分的建
立具有重要影响。


 南北朝之后，中国数学的发展有所停顿，至宋元时期（公元10世纪—14世
纪）又达到一个新的辉煌。 优秀数学家 杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 “宋
元数学四大家”
朱世杰--《四元玉鉴 》中关于四元高次方程组中的四个未知数，分别用天元、地
元、人元和物元表示，相当于现在教科书中的 x,y,z,w, “天元基金“















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