西安职业技术学院地址-天津大学招生网

九江学院理学院 《数学分析》教案
《数学分析Ⅰ》教案
（首页）
适用班级： 课时90分钟
课
题
教学目的要求：

§1 函数极限的概念


编
号
14

掌握
x
；
x
；
x
xx
0
；
xx

0
；
xx
0
函数极限的分
析定义，能够 用分析定义证明和计算函数的极限．

重点•难点：

重点：函数极限的分析定义
难点：分析定义证明

实施步骤方法 教 学 内 容 提 要


一、组织上课
1、
数列极限回忆


二、导入新课
2、
x
时函数的极限定义及几点注记

讲授
3、
利用
limf(x)
＝Ａ的定义验证极限等式举例


x
“讲授法”
4、
xx
0
时函数的极限的



定义及几点说明


“举例法”
5、
例4


“提问法”
6、
单侧极限



“比较法”



三、课后总结

四、课后任务



时间

5


25


15



20


15


10







第 1 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案
板 书 设 计
极限通俗定义



x
一、
x
时函数的极限
(四) 利用
limf(x)
＝
(一)引言
(二)
x
时函数极限
的定义
(三) 几点注记

Ａ的定义验证极限等式
举例
例1 证明
lim
1
0

x
x
例2 证明
1）
limarctgx
x

2

二、
xx
0
时函数的极限
；
(一) 引言
(二)
xx
0
(xx
0
)
时
函数极限的
< br>

定义
(三) 函数极限的



定
义的几点说明

例 4 证明：
1）
limsinxsinx
0
；
xx
0
2）
limarctgx
x

2
2）
l imcos
xx
0
xcosx
0


三、单侧极限
单侧极限的定义
函数极限
limf(x)
与
xx
0





xx
0< br>
limf(x),lim

f(x)
的关
xx
0
系


课外作业

P39： 1(1)(5)、2、6(3)
（课堂教学效果记录在首页背面）
后附讲稿（或讲授提纲）共 6 页
第 2 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案
第三章 函数极限

在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二
部分是“ 函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限
的特例，
a< br>n
f(n)
。
通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变 量的变化趋势的”或说：“极
限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如， 数列

a
n

这种变
量即是研究当
n
时，

a
n

的变化趋势.
我们知道，从函数角度看， 数列

a
n

可视为一种特殊的函数
f
，其定义域 为
N

，值域
是

a
n

，即< br>f:N

R(na
n
)
; 或
f(n)a
n
,nN

或
f(n)a
n
.
研究 数列

a
n

的极限，即是研究当自变量
n
时，函数
f(n)
变化趋势.
此处函数
f(n)
的自变量n只能取 正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即
n
.但是，如果代之正整数变量n而考 虑一般的变量为
xR
，那么情况又如何呢？具
体地说，此时自变量x可能的变化趋势 是否了仅限于
x
一种呢？
类似于数列，可考虑自变量
x
时，
f(x)
的变化趋势；除此而外，也可考虑自变
量
x
时 ，
f(x)
的变化趋势；还可考虑自变量
x
时，
f(x)
的变化趋势；还可考
虑自变量
xa
时，
f(x)
的变化趋势,

.
由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变 化.但
同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运
算、证明方法上都类似于数列的极限.
下面，我们就依次讨论这些极限.

§1 函数极限的概念
一、
x
时函数的极限
(一)引言
设函数 定义在
[a,)
上，类似于数列情形，我们研究当自变量
x
时，对 应的函
数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有
的函数都具此性质.
第 3 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案
例如
f(x)
1
,x
无限增大时，
f(x)
无限地接近于0；
g(x)arctgx,x
无限增大时，
x
f(x)
无限地接近于

；
h(x)x,x
无限增大 时，
f(x)
与任何数都不能无限地接近.正因为
2
如此，所以才有必要考虑
x
时，
f(x)
的变化趋势.我们把象
f(x)
，< br>g(x)
这样当
x
时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“ 当
x
时有极限Ａ”.
问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当
x
时函数极限的精确定义如下.
(二)
x
时函数极限的定义
定义1 设
f
为定义在
[a, )
上的函数，Ａ为实数.若对任给的

0
，存在正数Ｍ
(a )
，使得当
xM
时有
|f(x)A|

, 则称函数
f
当
x
时以Ａ为极限.记作
x
limf(x)A
或
f(x)A(x)
.
(三) 几点注记
1、 定义1中作用

与数列极限中

作用相同，衡量
f(x)
与Ａ的接近程度，正数Ｍ的
作用与数列极限定义中Ｎ相类似， 表明
x
充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大
的所有实数
x
，而不 仅仅是正整数n.
2、
limf(x)A
的邻域描述：

,U(),
当
xU()
时，
f(x)U(A;

).

x
3、
limf(x)A
的几何意义：对< br>

，就有
yA

和
yA

两条直线，形成以
x
Ａ为中心线，以
2

为宽的带形区域. “当
xM
时有
|f(x)A|

”表示：在直线
x M
的右方，曲线
yf(x)
全部落在这个带形区域内.
如果
< br>给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线
xM
一般往右移；但无论带形区
域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线
yf(x)
在
xM
的右边的全部落在 这个更窄的带形
区域内.
4、现记
f
为定义在
U()
或
U()
上的函数，当
x
或
x
时，若函数值< br>f(x)
能无限地接近于常数Ａ，则称
f
当
x
或
x
时时以Ａ为极限，分别记作，

limf(x)A
或
f(x)A(x)
，
x
第 4 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案

limf(x)A
或
f(x)A(x)
.
x
这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：
x
li mf(x)A


0,M0,
当
xM
时，< br>|f(x)A|

，
limf(x)A


0,M0,
当
|x|M
时，
|f(x)A|

.
x
5、推论 设
f(x)
为定义在
U()
上的函数，则
limf(x)A

limf(x)limf(x)A
.
xxx
(四) 利用
limf(x)
＝Ａ的定义验证极限等式举例
x
例1 证明
lim
1
0
.
x
x
1
证 任给

0
，取
M

，则当
xM
时有
1
111
lim0
。
0

所以
x
x
xxM
例2 证明 1）
limarctgx 
x

2
；2）
limarctgx
x
2
.
证 任给

0
，由于
arct anx


等价于









（1）
2


2
arctanx



2
，而此不等式的左半部分对任何
x
都成立，所以只要考察
其右半部分
x
的变化范围。为此，先限制



2
，则有




xtan




tan





2

2

故对任给的正数









，只须取
Mta n




，则当
xM
时便有（1）式成立。

2

2

这就证明了1）。类似地可证2）。
注 从而当
x
时
arctanx
不存在极限。
二、
xx
0
时函数的极限
第 5 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案
(一) 引言
先看下面几个例子：
例1
f(x)1(x0)
.（
f(x)
是定义在
U
0
(0)
上的函数，当
x0
时，f(x)1
）.
x
2
4
例2
f(x)
.（
f(x)
是定义在
U
0
(2)
上的函数，当
x2
时，
f(x)4
）.
x2
例3
f(x)< br>1
.（
f(x)
是定义在
U
0
(0)
上的函 数，当
x0
时，
f(x)?
）.
x
由上述例子可见， 对有些函数，当
xx
0
(xx
0
)
时，对应的函数值< br>f(x)
能趋于某个
定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当
x x
0
(xx
0
)
时，
f(x)
的变化
趋势.
我们称上述的第一类函数
f(x)
为当
xx
0
时 以Ａ为极限，记作
limf(x)A
.
xx
0
和数列极限的描 述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何
给出这类函数极限的精确定义呢 ？
作如下分析：
“当自变量
x
越来越接近于
x
0
时，函数值
f(x)
越来越接近于一个定数Ａ”

只要
x
充
分接近
x
0
，函数值
f(x)
和Ａ的相差就会相当小
欲使
|f(x)A|
相当小，只要
x
充分接近
|< br>
.此即
|

时，都有
|f(x)A
x
0
就可以了.即对


0,

0
，当
0|xx
0

xx
0
limfx()A
.
(二)
xx
0
(xx
0
)
时函数极限的


定义
0
定义2 设函数
f(x)
在点
x
0
的某个空心邻域
U

x
0
;



内有定义，Ａ为定数，若对任
给的


0 ,

(


)0
，使得当
0|xx0
|

时有
|f(x)A|

，则称函数
f
当
x
趋
于
x
0
时以Ａ为极限（或称Ａ为xx
0
时
f(x)
的极限），记作
limf(x)A
或
xx
0
（
f(x)A(xx
0
)
.
(三) 函数极限的



定义的几点说明
1、
|f(x)A|

是结论，
0|xx
0
|
< br>是条件，即由
0|xx
0
|

推出.
第 6 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案
2、

是表示函数
f(x)
与Ａ的接近程度的.为了说明函数
f(x )
在
xx
0
的过程中，能
够任意地接近于Ａ，

必须是任意的.这即

的第一个特性——任意性，即

是变量；但

一
经给定之后，暂时就把

看作是不变的了.以便通过

寻 找

，使得当
0|xx
0
|

时
| f(x)A|

成立.这即

的第二特性——暂时固定性.即在寻找
的过程中

是常量；另
外，若

是任意正数，则
2
,

2
,

,
均为任意正数， 均可扮演

的角色.也即

的第三个特
性——多值性；（
| f(x)A|

|f(x)A|

）
3、
< br>是表示
x
与
x
0
的接近程度，它相当于数列极限的

N
定义中的Ｎ.它的第一个特
性是相应性.即对给定的

0，都有一个

与之对应，所以

是依赖于

而适当选取 的，为
此记之为

(x
0
;

)
；一般说 来，

越小，

越小.但是，定义中是要求由
0|xx
0
|

推出
|f(x)A|

即可，故若

满足此要求，则

,
等等比

还小的正数均可满足要求， 因此
23

不是唯一的.这即

的第二个特性——多值性.
4、在定义中，只要求函数
f
在
x
0
的某空心邻域内有定义，而一 般不要求
f
在
x
0
处的
函数值是否存在，或者取什么样的值 .这是因为，对于函数极限我们所研究的是当
x
趋于
x
0
的
过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑
f
在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“
0|xx
0
|
”.
5、定 义中的不等式
0|xx
0
|

xU
0
( x
0
,

)
；
|f(x)A|

 f(x)U(A;

)
.从而定义2



0 ,

0
，当
xU
0
(x
0
,

)
0
时，都有
f(x)U(A;

)


0,

0
，使得
fU(x
0
,

)U(A;

)
.

6、



定义的几何意义.
例 4 证明：1）
limsinxsinx
0
； 2）
limcos
xx
0
xx
0
xcosx
0

证 先建立一个不等式：当
0x

2
时有
sinxxtanx
（1）
第 7 页 共 8 页

九江学院理学院 《数学分析》教案
事实上，在单位圆内，当
0x

2
时，显然有
S
ΔOCD
S
扇形OAD
S
ΔOAB
，
即
111
sinxxtanx
，由此立得（1）式。
22 2
又当
x

2
时有
sinx1x
，故对一切
x0
都有
sinxx
；当
x0
时，由
sin

x

x
得
sinxx
。综上，我们 又得到不等式
|sinx|x
，
xR
（2）
其中等号仅当
x0
时成立。现证1）。由（2）式得
sinxsinx
0
2cos
xx
0
xx
0
sinxx< br>0
。
22
对任给的

0
，只要取


，则当
0xx
0


时，就有
sinxsinx
0


。
所以
limsinxsinx
0
。
xx
0
三、单侧极限
有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不 同，如何讨论这类函数在上述各点
处的极限呢？
单侧极限的定义
0
定义3 设函数
f
在
U

Ａ为定数.若对任给的


0,

(


)0
，
(x
0< br>;


)
内有定义，
使得当
x
0
 xx
0


时有
|f(x)A|

, 则称 数Ａ为函数
f
当
x
趋于
x
0
时的右极限，记
作
xx
0
lim

f(x)A
或
f(x) A(xx
0

)
或
f(x
0
0)A
.
xx
0
0
类似可给出左极限定义（
U

( x
0
;

)
，
x
0


xx
0
，
lim

f(x)A
或
f(x) A(xx
0

)
或
f(x
0
0)A
）.
注 右极限与左极限统称为单侧极限.
函数极限
limf(x)
与
lim

f(x),lim

f(x)
的关系
xx
0
xx
0
xx
0
定理3.1
limf(x)Alim

f(x)lim

f(x)A
.
xx
0
xx
0
xx
0
第 8 页 共 8 页