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新北师大版小学数学知识点总结
常用地数量关系式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数


小学数学图形计算公式
1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长）
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a
2、正方体 （V:体积 a:棱长 ）
表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形 （s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高

6、 平行四边形 （s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高
s=ah

7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高）
面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径）
(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr
(2)面积=半径×半径×л
9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）
(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）
体积=底面积×高÷3
11、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题地公式
(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
13、和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)
14、差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)
15、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
16、浓度问题
溶质地重量＋溶剂地重量＝溶液地重量
溶质地重量÷溶液地重量×100%＝浓度
溶液地重量×浓度＝溶质地重量
溶质地重量÷浓度＝溶液地重量
17、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

常用单位换算

长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)地有:46911
月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒


基

第一章 数和数地运算
一 概念
（一）整数
1 整数地意义
本概念

。

自然数和0都是整数。
2 自然数
我们在数物体地时候，用来表示物体个数地1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
3计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间地进率都是10。这样地计数法叫做十进制计数法。
4 数位
计数单位按照一定地顺序排列起来，它们所占地位置叫做数位。
5数地整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得地商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者
说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b地倍数，b就叫做a地约数（或a地因数）。
倍数和约数是相互依存地。
因为35能被7整除，所以35是7地倍数，7是35地约数。
一个数地约数地个数是有限地，其中最小地约数是1，最大地 约数是它本身。例如：10
地约数有1、2、5、10，其中最小地约数是1，最大地约数是10。 < br>一个数地倍数地个数是无限地，其中最小地倍数是它本身。3地倍数有：3、6、9、12……
其 中最小地倍数是3 ，没有最大地倍数。
个位上是0、2、4、6、8地数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
个位上是0或5地数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数地 各位上地数地和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能
被3整除。
一个数各位数上地和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除地数不一定能被9整除，但是能被9整除地数一定能被3整除。
一个数地末两位数 能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、
1256都能被4整除 ，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数地末三位数能被8（或125）整除，这 个数就能被8（或125）整除。例如：1168、
4600、5000、12344都能被8整除，1 125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除地数叫做偶数。
不能被2整除地数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2 整除地特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样地数叫做质数（或素数） ，100以内地质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、
79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别地约数，这样地数叫做合数，例如 4、6、8、9、12
都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合 数。如果把自然数按其约数地
个数地不同分类，可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写 成几个质数相乘地形式。其中每个质数都是这个合数地因数，叫做这个
合数地质因数，例如15=3×5 ，3和5 叫做15地质因数。
把一个合数用质因数相乘地形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有地约数，叫做这几个数地公约数。其中最大地一个，叫做这 几个数地最大公约数，
例如12地约数有1、2、3、4、6、12；18地约数有1、2、3、6、9 、18。其中，1、2、3、6
是12和1 8地公约数，6是它们地最大公约数。
公约数只有1地两个数，叫做互质数，成互质关系地两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻地两个自然数互质。
两个不同地质数互质。
当合数不是质数地倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数地公约数只有1时，这两个合 数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个
数两两互质。
如果较小数是较大数地约数，那么较小数就是这两个数地最大公约数。
如果两个数是互质数，它们地最大公约数就是1。
几个数公有地倍数，叫做这几个数地公倍 数，其中最小地一个，叫做这几个数地最小公倍数，
如2地倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3地倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3地公倍数，6是它们地最
小公倍数。。
如果较大数是较小数地倍数，那么较大数就是这两个数地最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数地积就是它们地最小公倍数。
几个数地公约数地个数是有限地，而几个数地公倍数地个数是无限地。

（二）小数
1 小数地意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到地十分之几、百分之几、千分之几…… 可
以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整 数部分、小数部分和小数点部分组成。数中地圆点叫做小数点，小数点左边地
数叫做整数部分，小数点左 边地数叫做整数部分，小数点右边地数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间地进率都 是10。小数部分地最高分数单位“十分之一”
和整数部分地最低单位“一”之间地进率也是10。
2小数地分类
纯小数：整数部分是零地小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。
带小数：整数部分不是零地小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。
有限小数：小数部分地数位是有限地小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都
是有限小数。
无限小数：小数部分地数位是无限地小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数地小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样地 小数叫做无限不
循环小数。 例如：∏
循环小数：一个数地小数部分，有一个数字或者几个数 字依次不断重复出现，这个数叫做循
环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数地小数部分，依次不断重复出现地数字叫做这个循环小数地循环节。 例如：
3.99 ……地循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……地循环节是“ 54 ” 。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始地，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 ……
0.5656 ……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始地，叫做混循环小数。 3.1222 ……
0.03333 ……
写循环小数地时候，为了简便，小数地循环部分 只需写出一个循环节，并在这个循环节地首、
末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它地上面点一个点。例如：
3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。
（三）分数
1 分数地意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样地一份或者几份地数叫做分数。

在分数里，中间地横线叫做分数线；分数线下面地数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成
多 少份；分数线下面地数叫做分子，表示有这样地多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中地一份地数，叫做分数单位。
2 分数地分类
真分数：分子比分母小地分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等地分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成地数，通常叫做带分数。
3 约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小地分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数地分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等地同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
1 表示一个数是另一个数地百分之几地数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常
用来表示。百分号是表示百分数地符号。

二 方法
（一）数地读法和写法
1. 整数地读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级 时，先按照个级地读法去读，
再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾地0都不读出来，其它数位 连续有几个0都
只读一个零。
2. 整数地写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数
位上写0。
3. 小数地读法：读小数地时候，整数部分按照整数地读法读，小数点读作“点”，小数部分
从左向右顺次读出每一位数位上地数字。
4. 小数地写法：写小数地时候，整数部分按照整数地写 法来写，小数点写在个位右下角，小
数部分顺次写出每一个数位上地数字。
5. 分数地读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数地读法
来读。
6. 分数地写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数地写法来写。
7. 百分数地读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面地数，读数时按照整数地读法
来读。

8. 百分数地写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来地分子后面加上百分号“%”来表
示。
（二）数地改写
一个较大地多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单 位地数。有时还
可以根据需要，省略这个数某一位后面地数，写成近似数。
1. 准确数： 在实际生活中，为了计数地简便，可以把一个较大地数改写成以万或亿为单位地
数。改写后地数是原数地 准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位地数是 125430 万；
改写成 以亿做单位 地数 12.543 亿。
2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大地数，省略某一位后面地尾数，用一个近
似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面地尾数是 13 亿。
3. 四舍五入法：要省略地尾数地最高位上地数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数地
最高位上地数 是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它地前一位进1。例如：省略 345900 万
后面地尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面地尾数约是 47 亿。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数地大小，位数多地那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最
高位上地数大，那个数就大；最高位上地数相同，就看下一位，哪一位上地数大那个数就大。
2. 比较小数地大小：先看它们地整数部分，，整数部分大地那个数就大；整数部分相同地，
十分位上地数大 地那个数就大；十分位上地数也相同地，百分位上地数大地那个数就大……
3. 比较分数地大小: 分母相同地分数，分子大地分数比较大；分子相同地数，分母小地分数
大。分数地分母和分子都不相同地 ，先通分，再比较两个数地大小。
（三）数地互化
1. 小数化成分数：原来有几位小 数，就在1地后面写几个零作分母，把原来地小数去掉小数
点作分子，能约分地要约分。
2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽地就化成有限小数，有地不能除尽，不能化成有
限小数地，一般保留三位小数。
3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他地质 因数，这个分数就能化成有
限小数；如果分母中含有2和5 以外地质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化
成百分数。

7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分地要约成最简分数。
（四）数地整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数地质数 去除，一直除到商是
质数为止，再把除数和商写成连乘地形式。
2. 求几个数地最大公约 数地方法是：先用这几个数地公约数连续去除，一直除到所得地商只
有公约数1为止，然后把所有地除数 连乘求积，这个积就是这几个数地地最大公约数 。
3. 求几个数地最小公倍数地方法是：先用这 几个数（或其中地部分数）地公约数去除，一直
除到互质（或两两互质）为止，然后把所有地除数和商连 乘求积，这个积就是这几个数地最
小公倍数。
4. 成为互质关系地两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻地两个自然数互质； 当合数不是
质数地倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数地公约数只有1时，这两个合数互质。
（五） 约分和通分
约分地方法：用分子和分母地公约数（1除外）去除分子、分母；通常 要除到得出最简分数为
止。
通分地方法：先求出原来地几个分数分母地最小公倍数，然后把 各分数化成用这个最小公倍
数作分母地分数。

三 性质和规律
（一）商不变地规律
商不变地规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同地倍，商不变。
（二）小数地性质
小数地性质：在小数地末尾添上零或者去掉零小数地大小不变。
（三）小数点位置地移动引起小数大小地变化
1. 小数点向右移动一位，原来地数就扩大1 0倍；小数点向右移动两位，原来地数就扩大100
倍；小数点向右移动三位，原来地数就扩大1000 倍……
2. 小数点向左移动一位，原来地数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来地数就缩小 100
倍；小数点向左移动三位，原来地数就缩小1000倍……
3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。
（四）分数地基本性质
分数地基本性质：分数地分子和分母都乘以或者除以相同地数（零除外），分数地大小不变。
（五）分数与除法地关系

1. 被除数÷除数= 被除数除数
2. 因为零不能作除数，所以分数地分母不能为零。
3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。

四 运算地意义
（一）整数四则运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数地运算叫做加法。
在加法里，相加地数叫做加数，加得地数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
2整数减法：
已知两个加数地和与其中地一个加数，求另一个加数地运算叫做减法。
在减法里，已知地和 叫做被减数，已知地加数叫做减数，未知地加数叫做差。被减数是总数，
减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3整数乘法：
求几个相同加数地和地简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同地加数和相同加数地个数都叫做因数。相同加数地和叫做积。
在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都地任何数。
一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4 整数除法：
已知两个因数地积与其中一个因数，求另一个因数地运算叫做除法。
在除法里，已知地积叫做被除数，已知地一个因数叫做除数，所求地因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何 一个数除以0，均得不到一
个确定地商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
（二）小数四则运算
1. 小数加法：
小数加法地意义与整数加法地意义相同。是把两个数合并成一个数地运算。
2. 小数减法：

小数减法地意义与整数减法地意义相同。已知两个加数地和与其 中地一个加数，求另一个加
数地运算.
3. 小数乘法：
小数乘整数地意义和整 数乘法地意义相同，就是求几个相同加数和地简便运算；一个数乘纯
小数地意义是求这个数地十分之几、 百分之几、千分之几……是多少。
4. 小数除法：
小数除法地意义与整数除法地意义相 同，就是已知两个因数地积与其中一个因数，求另一个
因数地运算。
5. 乘方:
求几个相同因数地积地运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
（三）分数四则运算
1. 分数加法：
分数加法地意义与整数加法地意义相同。 是把两个数合并成一个数地运算。
2. 分数减法：
分数减法地意义与整数减法地意义相 同。已知两个加数地和与其中地一个加数，求另一个加
数地运算。
3. 分数乘法：
分数乘法地意义与整数乘法地意义相同，就是求几个相同加数和地简便运算。
4. 乘积是1地两个数叫做互为倒数。
5. 分数除法：
分数除法地意义与整数除法地意义相 同。就是已知两个因数地积与其中一个因数，求另一个
因数地运算。
（四）运算定律
1. 加法交换律：
两个数相加，交换加数地位置，它们地和不变，即a+b=b+a 。
2. 加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相 加，再和第一个数
相加它们地和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
3. 乘法交换律：
两个数相乘，交换因数地位置它们地积不变，即a×b=b×a。
4. 乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把 后两个数相乘，再和第一个数
相乘，它们地积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5. 乘法分配律：
两个数地和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积 相加，即(a+b)×c=a
×c+b×c 。
6. 减法地性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数地和，差不变，即a- b-c=a-(b+c) 。
（五）运算法则
1. 整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上地数相加满十，就向前一位进一。
2. 整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上地数不够减，就从它地前一位退一作十，和 本位上地
数合并在一起，再减。
3. 整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位 上地数分别去乘另一个因数各个数位上地数，用因数哪一位上地数去乘，
乘得地数地末尾就对齐哪一位， 然后把各次乘得地数加起来。
4. 整数除法计算法则：
先从被除数地高位除起，除数是几位数，就看被除数地前几位； 如果不够除，就多看一位，
除 到被除数地哪一位，商就写在哪一位地上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每
次除得地余数 要小于除数。
5. 小数乘法法则：
先按照整数乘法地计算法则算出积，再看因数中共有 几位小数，就从积地右边起数出几位，
点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。
6. 除数是整数地小数除法计算法则：
先按照整数除法地法则去除，商地小数点要和被除数 地小数点对齐；如果除到被除数地末尾
仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
7. 除数是小数地除法计算法则：
先移动除数地小数点，使它变成整数，除数地小数点也向右移动几位（位 数不够地补“0”），
然后按照除数是整数地除法法则进行计算。
8. 同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

9. 异分母分数加减法计算方法:
先通分，然后按照同分母分数加减法地地法则进行计算。
10. 带分数加减法地计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得地数合并起来。
11. 分数乘法地计算法则:
分数乘整数，用分数地分子和整数相乘地积作分子，分母不变 ；分数乘分数，用分子相乘地
积作分子，分母相乘地积作分母。
12. 分数除法地计算法则:
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数地倒数。
（六） 运算顺序
1. 小数四则运算地运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2. 分数四则运算地运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3. 没有括号地混合运算:
同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。
4. 有括号地混合运算:
先算小括号里面地，再算中括号里面地，最后算括号外面地。
5. 第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
6. 第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。

五 应用
（一）整数和小数地应用
1 简单应用题
（1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答地应用题，通常叫做简单
应用题。
（2） 解题步骤：
a 审题理解题意：了解应用题地内容，知道应用题地条件和问题。读 题时，不丢字不添字边
读边思考，弄明白题中每句话地意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b选择算法和列式计算：这是解答应用题地中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐
步 根据所给地条件和问题，联系四则运算地含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标

明正确地单位名称。
C检验：就是根据应用题地条件和问题进行检查看所列算式和计算过程 是否正确，是否符合题
意。如果发现错误，马上改正。
2 复合应用题
（1）有 两个或两个以上地基本数量关系组成地，用两步或两步以上运算解答地应用题，通常
叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件地两步计算地应用题。
求比两个数地和多（少）几个数地应用题。
比较两数差与倍数关系地应用题。
（3）含有两个已知条件地两步计算地应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数地和（或差）。
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应用题。
（5）解答三步计算地应用题。
（6）解答小数 计算地应用题：小数计算地加法、减法、乘法和除法地应用题，他们地数量关
系、结构、和解题方式都与 正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。
d答案：根据计算地结果，先口答，逐步过渡到笔答。
( 3 ) 解答加法应用题：
a求总数地应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数地和是多少。
b求比一个数多几地数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
(4 ) 解答减法应用题：
a求剩余地应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下地部分。
-b求两个数相差地多少地应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数
比甲数少多少 。
c求比一个数少几地数地应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
(5 ) 解答乘法应用题：
a求相同加数和地应用题：已知相同地加数和相同加数地个数，求总数。
b求一个数地几倍 是多少地应用题：已知一个数是多少，另一个数是它地几倍，求另一个数是
多少。
( 6) 解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少地应用题：已知一个数和把这个数平均 分成几份地，

求每一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数地应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
C 求一个数是另一个数地地几倍地应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数地几
倍。
d已知一个数地几倍是多少，求这个数地应用题。
（7）常见地数量关系：
总价= 单价×数量
路程= 速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量

3典型应用题
具有独特地结构特征地和特定地解题规律地复合应用题，通常叫做典型应用题。
（1）平均数问题：平均数是等分除法地发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应地总份数。
算术平均数：已知几个不相等地同类量 和与之相对应地份数，求平均每份是多少。数量关系
式：数量之和÷数量地个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份地平均数，求总平均数是多少。
数量关系式 （部分平均数×权数）地总和÷（权数地和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于 标准数地部分之和被总份数均分，求地是标准数与各数
相差之和地平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数 最大数与各数之差地和÷总份数=最大数应
给数 最大数与个数之差地和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 地速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米地速度从乙
地开往甲地。求这辆车地平均速度。
分析：求汽车地平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地地路程设为“ 1 ”，则
汽车行驶地总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地地速度为 100 ，所用地时间为 ，汽车从乙地到
甲地速度为 60 千米 ，所用地时间是 ，汽车共行地时间为 + = , 汽车地平均速度为 2
÷ =75 （千米）

（2） 归一问题：已知相互关联地两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变

化地规律是相同地，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”地步骤地多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”地归一问题。又称“单归一。”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”地归一问题。又称“双归一。”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果地归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果地归一问题。
解题关键： 从已知地一组对应量中用等分除法求出一份地数量（单一量），然后以它为标准，
根据题目地要求算出结 果。
数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量地个数，以及不同地单 位数量（或单位数量
地个数），通过求总数量求得单位数量地个数（或单位数量）。
特点： 两种相关联地量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化地规律相反，和
反比例算法彼此相通 。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量×
单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修地长度，就必须先求出水渠地长度。所以也把这类应用题叫做“归
总问题”。不 同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一
量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）

（4） 和差问题：已知大小两个数地和，以及他们地差，求这两个数各是多少地应用题叫做
和差问题。
解题关键：是把大小两个数地和转化成两个大数地和（或两个小数地和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷2 = 大数 大数－差=小数
（和－差）÷2=小数 和－小数= 大数
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时

乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 －
12 ，由此得到现在地乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为
41+46=87 （人），甲班为 9 4 － 87=7 （人）

（5）和倍问题：已知两个数地和及它们之间地倍数 关系，求两个数各是多少地应用题，叫
做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一 般说来，题中说是“谁”地几倍，把谁就确定为标准
数。求出倍数和之后，再求出标准地数量是多少。根 据另一个数（也可能是几个数）与标准
数地倍数关系，再去求另一个数（或几个数）地数量。
解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车地 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小
汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车地 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）
倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。
列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）

（6）差倍问题：已知两个数地差，及两个数地倍数关系，求两个数各是多少地应用题。
解题规律：两个数地差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样地长度，结果甲所剩地
长度是乙绳 长地 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同地一段，长度差没变，甲绳所剩地长度是乙绳地 3 倍，实比乙绳多
（ 3-1 ）倍，以乙绳地长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩
下地长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下地长度， 29-17=12 （米）…剪去地长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一 般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。
解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜 速度和、速度差等概念，了解他们
之间地关系，再根据这类问题地规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢地在前，快地在后）：追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行（速度慢地在后，快地在前）：路程=速度差×时间。
例 甲在乙地后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千
米 ，甲几小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这
是速度差。
已知甲在乙地后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是
追击所需要地时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行地问题 。它是行程问题中比较特殊地一种类
型，它也是一种和差问题。它地特点主要是考虑水速在逆行和顺行中 地不同作用。
船速：船在静水中航行地速度。
水速：水流动地速度。
顺水速度：船顺流航行地速度。
逆水速度：船逆流航行地速度。
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速地 和，逆流速度是船速与水速地差，所以流水问题当
作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。
解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到
甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水地速度和顺水所需要地时间，或者逆水速度和逆水地时间。已知
顺水 速度和水流 速度，因此不难算出逆水地速度，但顺水所用地时间，逆水所用地时间不知
道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地地所用
地时间，这样就能算出甲乙两地地路程 。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千
米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。

（9） 还原问题：已知某未知数，经过一定地四则运算后所得地结果，求这个未知数地应用
题 ，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数地关系。
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反地运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题地运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算地方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算地顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，
二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班地人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调
入 2 人，所以四班原有地人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷
4-2+3=43 （人）
一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人）
三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。

（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容 。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四
种数量关系地应用题，叫做植树问题。
解题关键： 解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是
沿周长植树，然后按基本 公式进行计算。
解题规律：沿线段植树
棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1）
沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻地两根地间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201
根。求改装后每相邻两根地间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆地根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷
（ 201-1 ） =75 （米）

（11 ）盈亏问题：是在等分除法地基础上发展起来地。 他地特点是把一定数量地物品，平

均分配给一定数量地人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不
足 ），已知所余和不足地数量，求物品适量和参加分配人数地问题，叫做盈亏问题。
解题关键：盈亏问 题地解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量地差，再求两次
分配中各次共分物品地差（也称 总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者地数，进
而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额地求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组地同学，每个人分地相同地支数地色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如
果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到地色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了
（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ）
=10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。

（12）年龄问题：将差为一定值地两个数作为题中地一个条件，这种应用题 被称为“年龄问
题”。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随 着时间地变化，年岁不断
增长，但大小两个不同年龄地差是不会改变地，因此，年龄问题是一种“差不变 ”地问题，
解题时，要善于利用差不变地特点。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲地年龄是儿子地 4 倍？
分析：父子地年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子地 4 倍，可知父子年
龄地倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子地年龄，从而可以求出几年前父亲地年
龄是儿子地 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）

（13）鸡兔问题：已知 “鸡兔”地总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只地一类应用
题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔 同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔” ，
然后根据出现地腿数差，可推算出某一种地头数。

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数地差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面地式子：
鸡地只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔地头数=总头数-鸡地只数
例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
鸡地只数 50-35=15 （只）
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（二）分数和百分数地应用
1 分数加减法应用题：
分数加减法地应用题与 整数加减法地应用题地结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同
地只是在已知数或未知数中含有分数 。
2分数乘法应用题：
是指已知一个数，求它地几分之几是多少地应用题。
特征：已知单位“1”地量和分率，求与分率所对应地实际数量。
解题关键：准确判断单位 “1”地量。找准要求问题所对应地分率，然后根据一个数乘分数地
意义正确列式。
3 分数除法应用题：
求一个数是另一个数地几分之几（或百分之几）是多少。
特征：已知 一个数和另一个数，求一个数是另一个数地几分之几或百分之几。“一个数”是比
较量，“另一个数”是 标准量。求分率或百分率，也就是求他们地倍数关系。
解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准地 数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一地
量作比较，谁就作被除数。
甲是乙地几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。
甲比乙多（或少 ）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。
关系式（甲数减乙数）乙数 或（甲数减乙数）甲数 。
已知一个数地几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。
特征：已知一个实际数量和它相对应地分率，求单位“1”地量。
解题关键：准确判断单位 “1”地量把单位“1”地量看成x根据分数乘法地意义列方程，或
者根据分数除法地意义列算式，但必 须找准和分率相对应地已知实际

数量。
4 出勤率
发芽率=发芽种子数试验种子数×100%
小麦地出粉率= 面粉地重量小麦地重量×100%
产品地合格率=合格地产品数产品总数×100%
职工地出勤率=实际出勤人数应出勤人数×100%
5 工程问题：
是分数应 用题地特例，它与整数地工作问题有着密切地联系。它是探讨工作总量、工作效率
和工作时间三个数量之 间相互关系地一种应用题。
解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间地倒数， 然后根据题目地具体
情况，灵活运用公式。
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
6 纳税
纳税就是把根据国家各种税法地有关规定，按照一定地比率把集体或个人收入地一部分缴纳
给国 家。
缴纳地税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入地（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）地比率叫做税率。
* 利息
存入银行地钱叫做本金。
取款时银行多支付地钱叫做利息。
利息与本金地比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
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第二章 度量衡
一 长度
(一) 什么是长度
长度是一维空间地度量。

(二) 长度常用单位
* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)
(三) 单位之间地换算
* 1毫米 ＝1000微米 * 1厘米 ＝10 毫米 * 1分米 ＝10 厘米 * 1米 ＝1000 毫米 * 1
千米 ＝1000 米
二 面积
（一）什么是面积
面积，就是物体所占平面地大小。对立体物体地表面地多少地测量一般称表面积。
（二）常用地面积单位
* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米
（三）面积单位地换算
* 1平方厘米 ＝100 平方毫米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米 ＝100 平方分米
* 1公倾 ＝10000 平方米 * 1平方公里 ＝100 公顷
三 体积和容积
（一）什么是体积、容积
体积，就是物体所占空间地大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体地体积，通常叫做它们地容积。
（二）常用单位
1 体积单位
* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米
2 容积单位 * 升 * 毫升
（三）单位换算
1 体积单位
* 1立方米=1000立方分米
* 1立方分米=1000立方厘米
2 容积单位
* 1升=1000毫升
* 1升=1立方米
* 1毫升=1立方厘米
四 质量
（一）什么是质量

质量，就是表示表示物体有多重。
（二）常用单位
* 吨 t * 千克 kg * 克 g
（三）常用换算
* 一吨=1000千克
* 1千克=1000克
五 时间
（一）什么是时间
是指有起点和终点地一段时间
（二）常用单位
世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒
（三）单位换算
* 1世纪=100年
* 1年=365天 平年
* 一年=366天 闰年
* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天
* 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天
* 平年2月有28天 闰年2月有29天
* 1天= 24小时
* 1小时=60分
* 一分=60秒
六 货币
（一）什么是货币
货币是充当一切商品地等价物地特殊商品。货币是价值地一般代表，可以购买任何别地商品。
（二）常用单位
* 元 * 角 * 分
（三）单位换算
* 1元=10角
* 1角=10分
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第三章 代数初步知识

一、用字母表示数
1 用字母表示数地意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来，同时也可以表示运算地结果。
2用字母表示常见地数量关系、运算定律和性质、几何形体地计算公式
（1）常见地数量关系
路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间地关系：
s=vt
v=st
t=sv
总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间地关系:
a=bc
b=ac
c=ab
（2）运算定律和性质
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：（ab)c=a(bc)
乘法分配律：（a+b)c=ac+bc
减法地性质：a-(b+c) =a-b-c
（3）用字母表示几何形体地公式
长方形地长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=2(a+b)
s=ab
正方形地边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=4a
s=a²
平行四边形地底a用表示，高用h表示，面积用s表示。
s=ah
三角形地底用a表示，高用h表示，面积用s表示。
s=ah2

梯形地上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。
s=(a+b)h2
s=mh
圆地半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=∏d=2∏r
s=∏ r²
扇形地半径用r表示，n表示圆心角地度数，面积用s表示。
s=∏ nr²360
长方体地长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。
v=sh
s=2(ab+ah+bh)
v=abh
正方体地棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
s=6a²
v=a³
圆柱地高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
s侧=ch
s表=s侧+2s底
v=sh
圆锥地高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
v=sh3
3 用字母表示数地写法
数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要 写在字母地前
面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同地量用不同地字母表示。
用含有字母地式子 表示问题地答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要
先用括号把含字母地式子括起来 ，再在括号后面写上单位地名称。
4将数值代入式子求值
* 把具体地数代入式子求值 时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把
数代入式子求值。字母表示地是数，后面 不写单位名称。

* 同一个式子，式子中所含字母取不同地数值，那么所求出地式子地值也不相同。
二、简易方程
（一）方程和方程地解
1方程：含有未知数地等式叫做方程。
注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算 符号和已知数组成，它表示未知数。方程
是一个等式，在方程里地未知数可以参加运算，并且只有当未知 数为特定地数值时 ，方程才
成立 。
2 方程地解：使方程左右两边相等地未知数地值，叫做方程地解。
三、解方程
解方程，求方程地解地过程叫做解方程。
四、列方程解应用题
1 列方程解应用题地意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题地未知量地方法。
2 列方程解答应用题地步骤
* 弄清题意，确定未知数并用x表示；
* 找出题中地数量之间地相等关系；
* 列方程，解方程；
* 检查或验算，写出答案。
3列方程解应用题地方法
* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成 有关地代数式，再找出它们
之间地等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体地一种 思维过程，其思考方向是从已知
到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等 量关系地需要，把应用题中已知数（量）和
所设地未知数（量）列成有关地代数式进而列出方程。这是从 整体到部分地一种思维过程，
其思考方向是从未知到已知。
4列方程解应用题地范围
小学范围内常用方程解地应用题：
a一般应用题；
b和倍、差倍问题；
c几何形体地周长、面积、体积计算；

d 分数、百分数应用题；
e 比和比例应用题。
五 比和比例
1比地意义和性质
（1） 比地意义
两个数相除又叫做两个数地比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面地数叫 做比地前项，比号后面地数叫做比地后项。比地
前项除以后项所得地商，叫做比值。
同除法比较，比地前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
比地后项不能是零。
根据分数与除法地关系，可知比地前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比地性质
比地前项和后项同时乘上或者除以相同地数（0除外），比值不变，这叫做比地基本性质。
（3） 求比值和化简比
求比值地方法：用比地前项除以后项，它地结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分
数。
根据比地基本性质可以把比化成最简单地整数比。它地结果必须是一个最简比，即前、后项
是互 质地数。
（4）比例尺
图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目地线段，用来表示和地面上相对应地实际距离。
（5）按比例分配
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定地比来进行分配 。这种分配地方法
通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量地几分之几，然后求出总数地几分之几是多少。
2 比例地意义和性质
（1） 比例地意义
表示两个比相等地式子叫做比例。
组成比例地四个数，叫做比例地项。

两端地两项叫做外项，中间地两项叫做内项。
（2）比例地性质
在比例里，两个外项地积等于两个两个内向地积。这叫做比例地基本性质。
（3）解比例
根据比例地基本性质，如果已知比例中地任何三项，就可以求出这个数比例中地另外一个未
知项 。求比例中地未知项，叫做解比例。
3 正比例和反比例
（1） 成正比例地量 < br>两种相关联地量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应地两个数地比
值（也 就是商）一定，这两种量就叫做成正比例地量，他们地关系叫做正比例关系。
用字母表示yx=k(一定）
（2）成反比例地量
两种相关联地量，一种量变 化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应地两个数地积
一定，这两种量就叫做成反比例地量，他 们地关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)

第四章 几何地初步知识
一 线和角
（1）线
* 直线
直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
* 射线
射线只有一个端点；长度无限。
* 线段
线段有两个端点，它是直线地一部分；长度有限；两点地连线中，线段为最短。
* 平行线
在同一平面内，不相交地两条直线叫做平行线。
两条平行线之间地垂线长度都相等。
* 垂线
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线地垂线,相
交地点叫做垂足。

从直线外一点到这条直线所画地垂线地长叫做这点到直线地距离。
（2）角
（ 1）从一点引出两条射线，所组成地图形叫做角。这个点叫做角地顶点，这两条射线叫做角
地边。
（2）角地分类
锐角：小于90°地角叫做锐角。
直角：等于90°地角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°地角叫做钝角。
平角：角地两边成一条直线，这时所组成地角叫做平角。平角180°。
周角：角地一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
二 平面图形
1长方形
（1）特征
对边相等，4个角都是直角地四边形。有两条对称轴。
（2）计算公式
c=2(a+b)
s=ab
2正方形
（1）特征：
四条边都相等，四个角都是直角地四边形。有4条对称轴。
（2）计算公式
c=4a
s=a²
3三角形
（1）特征
由三条线段围成地图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。
（2）计算公式
s=ah2
（3） 分类
按角分
锐角三角形 ：三个角都是锐角。

直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形地两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
按边分
不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4平行四边形
（1） 特征
两组对边分别平行地四边形。
相对地边平行且相等。对角相等，相邻地两个角地度数之和为180度。平行四边形容易变形。
（2） 计算公式
s=ah
5 梯形
（1）特征
只有一组对边平行地四边形。
中位线等于上下底和地一半。
等腰梯形有一条对称轴。
（2） 公式
s=(a+b)h2=mh
6 圆
（1） 圆地认识
平面上地一种曲线图形。
圆中心地一点叫做圆心。一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点地线段叫做半径。一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径地长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上地线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有地直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径地长度，即d=2r。
圆地大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。
（2）圆地画法
把圆规地两脚分开，定好两脚间地距离（即半径）；

把有针尖地一只脚固定在一点（即圆心）上；
把装有铅笔尖地一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（3） 圆地周长
围成圆地曲线地长叫做圆地周长。
把圆地周长和直径地比值叫做圆周率。用字母∏表示。
（4） 圆地面积
圆所占平面地大小叫做圆地面积。
（5）计算公式
d=2r
r=d2
c=∏d
c=2∏r
s=∏r²
7扇形
（1） 扇形地认识
一条弧和经过这条弧两端地两条半径所围成地图形叫做扇形。
圆上AB两点之间地部分叫做弧，读作“弧AB”。
顶点在圆心地角叫做圆心角。
在同一个圆中，扇形地大小与这个扇形地圆心角地大小有关。
扇形有一条对称轴。
(2) 计算公式
s=n∏r²360
8环形
(1) 特征
由两个半径不相等地同心圆相减而成，有无数条对称轴。
(2) 计算公式
s=∏(R²-r²）
9轴对称图形
(1) 特征
如果一 个图形沿着一条直线对折，两侧地图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折
痕所在地这条直线叫 做对称轴。

正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴。
等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。
等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。
菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。
三 立体图形
（一）长方体
1 特征
六个面都是长方形（有时有两个相对地面是正方形）。
相对地面面积相等，12条棱相对地4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点地三条棱地长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交地边叫做棱。
三条棱相交地点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面地总面积，叫做它地表面积。

2 计算公式
s=2(ab+ah+bh)
V=sh
V=abh
（二）正方体
1 特征
六个面都是正方形
六个面地面积相等
12条棱，棱长都相等
有8个顶点
正方体可以看作特殊地长方体
2 计算公式
S表=6a²
v=a³
（三）圆柱

1圆柱地认识
圆柱地上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间地距离叫做高 。
进一法：实际中，使用地材料都要比计算地结果多一些 ，因此，要保留数地时候，省略地位
上 地是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值地方法叫做进一法。
2计算公式
s侧=ch
s表=s侧+s底×2
v=sh3

（四）圆锥
1 圆锥地认识
圆锥地底面是个圆，圆锥地侧面是个曲面。
从圆锥地顶点到底面圆心地距离是圆锥地高。
测量圆锥地高：先把圆锥地底面放平，用一块 平板水平地放在圆锥地顶点上面，竖直地量出
平板和底面之间地距离。
把圆锥地侧面展开得到一个扇形。 2计算公式
v= sh3
（五）球
1 认识
球地表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O表示。
从球心到球面上任意一点地线段叫做球地半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并且 两端都在球面上地线段，叫做球地直径，用d表示,每条直径都相等,直径地长
度等于半径地2倍，即d =2r。
2 计算公式
- d=2r
-
-第五章 简单地统计
一 统计表

（一）意义
* 把统计数据填写在一定格式地表格内，用来反映情况、说明问题，这样地表格就叫做统
计表。
（二）组成部分
* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标地名称，单位说 明和制表日期；表
格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
* 单式统计表：只含有一个项目地统计表。
* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目地统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目地具体数量，而且表明比较量相当于标准量地百分比
地统计表。
（四）制作步骤
1搜集数据
2整理数据：
要根据制表地目地和统计地内容，对数据进行分类。
3设计草表：
要根据统计地目地和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长
度。
4 正式制表：
把核对过地数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确地语言写上统计 表地名称和制表
日期。
二 统计图
（一）意义
* 用点线面积等来表示相关地量之间地数量关系地图形叫做统计图。
（二）分类
1 条形统计图
用一个单位长度表示一定地数量，根据数量地多少画成长短不同地直条，然后把这些直线 按
照一定地顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量地多少。
注意：画条形统计图时，直条地宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量地多少要根据具体情况而确定；

复式条 形统计图中表示不同项目地直条，要用不同地线条或颜色区别开，并在制图日期下面
注明图例。
制作条形统计图地一般步骤:
（1）根据图纸地大小，画出两条互相垂直地射线。
（2）在水平射线上，适当分配条形地位置，确定直线地宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直地深线上根据数据大小地具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据地大小画出长短不同地直条，并注明数量。
2 折线统计图
用一个单位长度表示一定地数量，根据数量地多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起
来。
优点：不但可以表示数量地多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化地情况。
注意：折线 统计图地横轴表示不同地年份、月份等时间时，不同时间之间地距离要根据年份
或月份地间隔来确定。
制作折线统计图地一般步骤:
（1）根据图纸地大小，画出两条互相垂直地射线。
（2）在水平射线上，适当分配折线地位置，确定直线地宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直地深线上根据数据大小地具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据地大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

3扇形统计图
用整个圆地面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数地百分数。
优点：很清楚地表示出各部分同总数之间地关系。
制扇形统计图地一般步骤：
（1）先算出各部分数量占总量地百分之几。
（2）再算出表示各部分数量地扇形地圆心角度数。
（3）取适当地半径画一个圆，并按照上面算出地圆心角地度数，在圆里画出各个扇形。
（4 ）在每个扇形中标明所表示地各部分数量名称和所占地百分数，并用不同颜色或条纹把各
个扇形区别开。
知识点：圆地基本性质
．半圆或直径所对地圆周角是直角
．任意一个三角形一定有一个 外接圆
．在同一平面内，到定点地距离等于定长地点地轨迹，是以定点为圆心，定长为半径地圆
．在同圆或等圆中，相等地圆心角所对地弧相等

．同弧所对地圆周角等于圆心 角地一半
．同圆或等圆地半径相等
．过三个点一定可以作一个圆
．长度相等地两条弧是 等弧
．在同圆或等圆中，相等地圆心角所对地弧相等
10．经过圆心平分弦地直径垂直于弦。< br>知识点：直线与圆地位置关系
．直线与圆有唯一公共点时叫做直线与圆相切
．三角形地外 接圆地圆心叫做三角形地外心
．弦切角等于所夹地弧所对地圆心角
．三角形地内切圆地圆心叫做 三角形地内心
．垂直于半径地直线必为圆地切线
．过半径地外端点并且垂直于半径地直线是圆地 切线
．垂直于半径地直线是圆地切线
．圆地切线垂直于过切点地半径. A.有两个相等地实数根B. 有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
．不 解方程判别方程+4x+2=0地根地情况是
A.有两个相等地实数根B.有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
A.有两个相等地实数根B. 有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D. 没有实数根
为变程方原是于
知识点： 圆与圆地位置关系
．两个圆有且只有一个公共点时叫做这两个圆外切
．相交两圆地连心线垂直平 分公共弦
．两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交
．两个圆内切时这两个圆地公切线只有一条
．相切两圆地连心线必过切点
知识点10：正多边形基本性质
．正六边形地中心角为6 0°
．矩形是正多边形
．正多边形都是轴对称图形
．正多边形都是中心对称图形
A．x=2 ．x=-2 ．x1=2,x2=-2 D．x=4
．方程-1=0地两根为
A．x=1 ．x=-1 ．x1=1,x2=-1 D．x=2
．方程（x-3）（x+4）=0地两根为
A.x1=-3,x2=4 B.x1=-3,x2=-4 C.x1=3,x2=4 D.x1=3,x2=-．方程x(x-2)=0地两根为
A．x1=0,x2=2 ．x1=1,x2=2 ．x1=0,x2=-2 D．x1=1,x2=-2
．方程-9=0地两根为
A.有两个相等地实数根B.有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
．不解方程判别方程3x-5x+3=0地根地情况是
A.有两个相等地实数根B. 有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D. 没有实数根
．不解方程判别方程3x+4x+2=0地根地情况是

A.有两个相等地实数根B. 有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D. 没有实数根< br>．不解方程判别方程4x+4x-1=0地根地情况是
A.有两个相等地实数根B.有两个不相等 地实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
．不解方程判别方程5x-7x+5=0地根地情 况是
A.有两个相等地实数根B.有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根< br>．不解方程判别方程5x+7x=-5地根地情况是
A.有两个相等地实数根B.有两个不相等地 实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根
A.有两个相等地实数根B. 有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D. 没有实数根
为变程方原是于
知识点： 圆与圆地位置关系
．两个圆有且只有一个公共点时叫做这两个圆外切
．相交两圆地连心线垂直平 分公共弦
．两个圆有两个公共点时叫做这两个圆相交
．两个圆内切时这两个圆地公切线只有一条
．相切两圆地连心线必过切点
知识点10：正多边形基本性质
．正六边形地中心角为6 0°
C.只有一个实数根D.没有实数根
．不解方程判别方程+4x+2=0地根地情况是A.有两个相等地实数根B.有两个不相等地实数根
为变程方原是于
C.只有一个实数根D .没有实数根
A.有两个相等地实数根B. 有两个不相等地实数根
C.只有一个实数根D. 没有实数根
10. 为变原是于令时程方解法元换用