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第一单元 圆
圆概念总结
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心
一般用字母O表示。 它到圆上任意一点的距离都相等．
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字 母r表示。把
圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：d＝２r r ＝
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的 长方形的长相当于圆周长的一半，
用字母（

r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（ r）表示，因为长方形的
面积=长×宽，所以圆的面积=

r×r。圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ²。
14．圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ² 或者S=

（d

2）² 或者S=

（C




2）
²
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17．一个环形，外圆的 半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=

R²－

ｒ²
或 S=

（R²－ｒ²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
19．半圆的周长 等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别
在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有 直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝

d

2＋d 或 Ｃ＝

r＋2r
圆周长的一半=

r
1
2
d
用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2
9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些， 这个比值是一个固定的数。我们把圆的周
长和直径的比值叫做圆周率，用字母

表示。 圆周率是一个无限不循环小数。在
计算时，取


3.14。世界上第一个把 圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11．圆的周长公式：C=

d 或C=2

r
圆周长=

×直径 圆周长=

×半径×2
12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。


2 20．半圆面积＝圆的面积

2 公式为：Ｓ＝

ｒ²
21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍
数。而面 积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩
大１６倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的 半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，
精选

而面积比是 ４：９。
圆周长和直径的比是

：1，比值是


圆周长和半径的比是2

：1，比值是2


23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２

ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加

ａ厘米。
24．在同一圆 中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几
分之几；所对的弧就占圆周长的几分之 几．
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小
1．百 分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数
也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而 在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分
可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于10 0。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再
把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（二）百分数应用题
百分数应用题（一）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来
水的体积增加百分之 几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已
经知道 是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分
5÷单位1水的45就等于 增加百分之几。
精选

26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式： S=
圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）
n
（n为扇形的


ｒ²
360
27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图 形能够完全重合，
这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28． 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。
第二单元 百分数应用题
（一）百分数的基本概念

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘 米，冰的体积比原来水的体
积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分 ÷单位1，先确定单位1是水，已
经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位 1水的45
就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为 50立方厘米，冰的体积比
原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几= 增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不
知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米 ”知道水是少的，冰
是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最
后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”
等。

百分数应用题（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例如1、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有
多少名学生 ？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
精选
算式：80×（1+25%）
2、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少
名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）

百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的20%，第一天比
第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看2 0页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一
天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式：第一天—第二天=20页
方法1：解：设这本书一共有X页。
由“第 一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示
为25%X，由“第二天看 了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用
X可以表示为20%X.依据等量关系式“第 一天—第二天=20页”可以列方程为：
25%X—20%X=20
方法2：“第一天比第二 天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要
求单位1只要用20页除以20页的对于分率 。
列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第 二天看了全书的20%，两天共看
了20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。
方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。

方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了20页”可以 知道20页是第一天和第二天的和，要求单
位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天 看了全书的20%，还剩20页，
这本书一共有多少页？
等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
列方程为：X—25%X—20%X=20
算术法：20÷（1- 25%X- 20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20
页，这本 书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）利息的计算
1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3．200 8年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利
息不纳税。2008年10 月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算
利息税。
4．利率：利息与本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7．本息：本金与利息的总和叫做本息。
8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
精选
9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行， 整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期
时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期
时，李 老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=233.2元。
第三章 图形的变换
1、 图形变换的三种方法：
第一种平移：要说明向什么方向（上、下、左、右）平移几个。
第二 种旋转：要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度、180度、
270度）
第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。
2、比赛场次、握手次数的计算
第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。有多少个人进行握
手。
第二步：计算比赛场次、握手次数。如果是5人，从1加到4，如果是6人，从1
加到5，如果是8人， 从1加到7，如果是100人，从1加到99.
2、 计算起跑线。
假如：第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米
那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2

第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度1.2米+跑道宽度
= 36+1.2+1.2+1.2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽 度+跑道宽度
=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的 算法：第一步：先算出要跑几圈。第二步：
计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步：有两个道 的圆周长相减，就
得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数×要跑的圈
数.

第四单元 比的认识
（一）比的基本概念
1． 两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2． 比值通常用分数、小数和整数表示。
3． 比的后项不能为0。
4． 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
5． 根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值
相当于分数的值。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），
比值不变。
（二）求比值
1、求比值：用比的前项除以比的后项
（三）化简比
1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。
（四）比的应用
精选
1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比 ，求这两
个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？
题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量
是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多
少人？
题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个
数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：
5，男女生 各有多少人？全班共有多少人？
7、要求量=已知量×
要求量份数

已知量份数
7、比在几何里的运用：

（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。

长=周长÷2×
a
b
宽=周长÷2× 面积＝长×宽
ab
ab
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ： ｂ：ｃ。求长、宽、高、
体积
长=周长÷４×
a
abc
宽=周长÷４×
b
abc

高=周长÷４×
c
abc
体积＝长×宽×高
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
１８０×
a
abc
１８０×
b
abc
１８０×
c
abc

（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×
a
abc
周长×
b
abc
周长×
c
abc










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