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第一单
圆概念总结
元 圆
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用
字母O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一 般用字母r表示。把圆规两
脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：d＝２r r ＝d
2
1
用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2
9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些， 这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直
径的比值叫做圆周率，用字母

表示。 圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取


3.14。世界上第一个把圆周率算 出来的人是我国的数学家祖冲之。
11．圆的周长公式：C=

d 或C=2

r
圆周长=

×直径 圆周长=

×半径×2
12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字
母（

r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，
所以圆的面积 =

r×r。圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ2。
14．圆的面积公式：Ｓ＝

ｒ2 或者S=

（d

2）2 或者S=

（C




2）2
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17．一个环形，外圆的 半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=

R2－

ｒ2 或 S=


（R2－ｒ2）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
1 9．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，
半圆有直径，而圆 周长的一半没有直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝

d

2＋d 或 Ｃ＝

r＋2r
圆周长的一半=

r
20．半圆面积＝圆的面积

2 公式为：Ｓ＝

ｒ2

2
21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多 少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而
面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６
倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的 半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积
比是４：９。
圆周长和直径的比是

：1，比值是


圆周长和半径的比是2

：1，比值是2


23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２

ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加

ａ厘米。
24．在同一圆 中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；
所对的弧就占圆周长的几分之 几．
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小

26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式： S=
n


ｒ2 （n为扇形的圆心角度
360
数，r为扇形所在圆的半径）
27．轴对称图形：如果 一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图
形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线 叫做对称轴。
28． 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形

有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。
第二单元 百分数应用题
（一）百分数的基本概念
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百 分数。百分数也叫做
百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而 在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小
数、整数，可以大于100，小于100或等于10 0。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数
化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（二）百分数应用题
百分数应用题（一）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体
积增加百分之 几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道
是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的
45就等于 增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘 米，冰的体积比原来水的体积增加百
分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分 ÷单位1，先确定单位1是水，已经知道
是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位 1水的45就等于增加百分
之几。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为 50立方厘米，冰的体积比原来水
的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几= 增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但
可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米 ”知道水是少的，冰是多的，所以
可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最 后用增加的部分5÷单
位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例 如1、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名
学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：80×（1+25%）
2、矣得小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、矣得小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）
百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第 二天看了全书的20%，第一天比第二天多
看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看2 0页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去
第二天等于多出的20页。
等量关系式：第一天—第二天=20页
方法1：解：设这本书一共有X页。
由“第 一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，
由“第二天看 了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.
依据等量关系式“第 一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X—20%X=20
方法2：“第一天比第二天多看2 0页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位
1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%—20%)

2、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，
这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。
方程法：解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第 一天和第二天的和，要求单位1只
要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天 看了全书的20%，还剩20页，这本书
一共有多少页？
等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
列方程为：X—25%X—20%X=20
算术法：20÷（1- 25%X- 20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这
本 书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）利息的计算
1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3．200 8年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳
税。2008年10 月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算利息税。
4．利率：利息与本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7．本息：本金与利息的总和叫做本息。
8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行， 整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李
老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李
老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）

解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=233.2元。
第三章 图形的变换
1、 图形变换的三种方法：
第一种平移：要说明向什么方向（上、下、左、右）平移几个。
第二 种旋转：要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度、180度、270
度）
第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。
2、比赛场次、握手次数的计算
第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。有多少个人进行握手。
第二步： 计算比赛场次、握手次数。如果是5人，从1加到4，如果是6人，从1加到5，
如果是8人，从1加到 7，如果是100人，从1加到99.
2、 计算起跑线。
假如：第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米
那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2
第四道 的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度1.2米+跑道宽度
=36+1.2+1.2+1 .2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度
=3 6+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：第一步：先算出要跑 几圈。第二步：计算出
两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步：有两个道的圆周长相减，就得出了在 两个
道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数×要跑的圈数.
第四单元 比的认识
（一）比的基本概念
1．两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2．比值通常用分数、小数和整数表示。
3．比的后项不能为0。
4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
5．根据分数与 除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分
数的值。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不
变。
（二）求比值
1、求比值：用比的前项除以比的后项
（三）化简比

1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。
（四）比的应用
1、比的第一种应用： 已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这
几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？
题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是
多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女
生 各有多少人？全班共有多少人？
7、要求量=已知量×
要求量份数

已知量份数
7、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。
长=周长÷2×
a
b
宽=周长÷2× 面积＝长×宽
a b
ab
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体 积
ab
宽=周长÷４×
abcabc
c
高=周长÷４× 体积＝长×宽×高
abc
长=周长÷４×
（３）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
１８０×
abc
１８０× １８０×
abcabcabc

（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ： ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×
-
abc
周长× 周长×
abcabcabc

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