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1.数与代数
【标志1】因数和倍数
新课标中不再出现整除的概念，因数和 倍数放在乘法算式中来理解。关于约数，我专门查了辞典，在
《现代汉语小辞典》中有“约数”这个词条 ，它的注释是大概这样的：1.大约的数目。2.能整除某一个数的数
（我想“某一个数”应该指不为0 的自然数），由此看出“约数”多多少少和“除法”和“整除”有关系，并且在
过去的教材中这一单元叫 做“数的整除”，整个单元的知识体系是建立在“整除”这个概念基础之上的，从这
个角度讲过去的教材 中使用的是“约数”这样的称谓。而《课程标准”中没有提到让学生认识或理解“整除”，
教材在编排的 时候也是从整数乘法出发，来研究“因数和倍数”及其相关概念与方法的，因此使用“因数”这
一概念。 同时我在查辞典（辞典是1980年版）时，发现这本辞典中对“约”有这样的解释：算术上指用分子
和 分母的最大公因数去除分子和分母，使分数简化。在1980年小学数学教材中使用的都是“约数、公约数
和最大公约数”，而辞典上使用的是“最大公因数”，那么我猜想这次数学概念的名称的变化，应该是“正名” ，
而不是“改名”。因此，与新课标相对应的名词就有：因数和倍数、公因数和公倍数、最大公因数和最 小公
倍数。如果出现整除，就可以判断是大纲版的教材或过渡时期的产物。
【标志2】方程的解法
新课标教材都是采用等式的性质（即天平平衡原理）来解答方程。不再 利用加减法或乘除法的互逆解
决。这也是区分课标和大纲的重要的标志。
1、在小学阶段学习一些方程，主要初步建立方程思想，即含有未知数的等式，未 知数可以参加运算，为中学学习打下基础。在小学学习一些方程，这是建国以来，小学数学改革的新成果，多年来，老师们发现小学光学算术，到了中学接受代数思想很困难，因此要在小学内接触一些。既然中学还要系统学习方程，在小学肯定学习是不全面的，《课标》中对小学阶段学习的方程做了明确的举例表述，即
3X +2=5,2X-X=3；另外学习方程可以使一些“反叙”的题目，列方程解比较简便。
2、《课标 》中规定“理解等式性质，会用等式性质解简单的方程。”我对这段话的体会是：用等式性质
解方程是基 本要求，为了和中学一致，不用传统的加减关系、乘、除关系来解。《课标》中并对简单的方
程做了举例 说明，也就是化简后不含有－X的方程，在教材中注意避免了此类方程。老师在补充题目或出
考题时要注 意这些（在教师用书中说明了这一点）；如果学生在列方程解应用题时出现了此类方程，解决
的办法：可 以说明这类方程目前还不会解，能不能列出其他目前会解的方程；也可以介绍用加减关系、乘
除关系来解 。
3、在小学内学习加减关系、乘除关系有利于学生进一步理解四则意义，通过相互关系进行验算，后
面学习因数和倍数时也能用到。
【标志3】删去带分数的四则运算
凡是出现带分数 四则运算的（特别是带分数乘除法）就可以断定是超纲题，即使是执行修订版的教学
大纲，也提到删除带 分数的四则运算。由此引出分数四则运算的结果，在小学阶段可以用带分数表示，也
可以用假分数表示， 都是正确的。（学了约分后，必须是最简分数）
【标志4】将珠算作为一种计算工具介绍，不要求用珠算运算
新课标教材对珠算不做具体要求 ，只作为一种计算工具介绍，让学生了解祖国数学的发展史，计算工
具的进步。
【标志5】计算的难度有所降低
1.笔算加减法由原来“以三四位数为主，一般不超过五位数 ”改为“以三位数为主，一般不超过四位数”
2.笔算乘除法由原来“以乘数，除数是二位数为主，一 般不超过三位数乘三位数和相应的除法”改为“一
个乘数或者除数不超过二位数”
3.用算术方法的反叙应用题改为思考题。
【标志6】一些素语的更新
1

乘法算式中都统一叫因数（或乘数），要视版本而定。不再出现乘数、被乘数的说法，乘号的 读法也
统一读作乘，没有乘以的读法。注意：除法还是两种读法，除和除以，大家要加以区分。
【标志7】几个削弱的方面
1.降低运算的复杂性、技巧性和熟练程度的要求；控制整数四则 混合运算的步骤（不超过三步），不
要求学习小数与分数的四则混合运算。
2.不独立设置“应用题”单元，取消对应用题的人为分类。数学应用与数学知识的学习同步进行。
3.减少公式的数量，降低对记忆的要求；
4.降低了对一些概念过分“形式化”（非本质）的要求。如竖式等“算理”的叙述。
【标志8】增加了使用计算器计算
课程标准教材都增加了使用计算器计算和运用计算器探索规 律的内容。这也是课程标准内容时代特征
的体现。
【标志9】增加了负数的内容
这也是一个重要标志，以前负数都是在七、八、九年级才能学到，小学只是接触一些负数的认识和用
负数 表示一些日常生活中的简单问题。
难点疑点
【问题1】0.36×0.45的积有（）位小数。该怎么填写？
【解答综述】正确的答案应 该是3。①大家的答案有两种：一种是四位，因为根据积的定位法则，应
该是两个因数的小数位数的和。 另一种是三位，因为根据小数的性质，小数点后末尾的零要去掉，写成简
化后的小数后，是三位。这里不 是近似数，可以划去末位的零的。但是部分老师认为很难接受，因为我们
刚讲过积的定位法则，怎么自己 又给推翻了呢？②我们认为第二种方法（即三位）是对的。因为我们在实
际计算中结果确实写成了0.1 62，你不可能写成0.1620。前者的小数位数确实是三位。③误区解释：这里
与积的定位法则并不 矛盾，相反是先用了积的定位法点则，因为情况特殊，又用了小数的性质将结果进行
简化。积的定位确定 了小数点的位置，但是并没有简化这个小数。就象我们用分数加减法法则得到的结果
最后要约分是一样的 ，约分后的分数并没有与原来的法则相矛盾。④一点想法：该题的命题目的是什么，
考查什么知识点？如 果是考查积的定位法则，就不要出积的末位有0的，以免加大难度；如果是考察小数
的性质，这道题是不 是有点杂了。从这里看这题倒是综合考查了两个方面的知识，把老师们也给考晕了。
建议命题时注明不考 虑积的末尾是0的情况，以保证考查的知识点单一，老师和学生们好操作。
【问题2】比值带不带单位？
分两种情况：1、可以是同类量的比，这时表示两个量的比率关系，比值是不带单位的。
2、 不同类量的比，是借用了比的形式，其结果（比值）是要带单位的，小学里因为没有学习复合单
位，这种 情况下比值是一个复合单位。如一辆卡车2时里行驶100千米，这时路程和时间的比值产生了一
个新的 量，即速度。单位是千米时。
【问题3】什么时候需要估算？
一列火车，2小时行驶196 千米，这列火车从北京到上海行驶了14小时。北京与上海大约相距多远？
在解答这个题目的时候，我们 好多孩子看到“大约”这个词，就想到应该用“估算”的方法来取值。
就“北京到上海大约有多远”这 道题来说，只要求估算，算出1400千米就可以了。我想研究“估算”，主
要培养学生估算意识。在要 求精确计算的题中，学生自觉先估算大致数值范围，计算后用估算验证。碰到
很大数目的东西，想到用估 计的方法判断大约有多少，或者借助参照物估计其它物品的数量等，这是日常
生活中非常需要的。 “一条蚕一年大约吐丝1500米，6条蚕一年大约吐丝多少米？”我们知道最合理的答案就是不估算，1500x6=9000（米），可是如果学生在答卷的时候用了估算，如把1500看成2000来计算， 结果是12000
米，我们还给他得分吗?
※如何判断一个实际问题是否需要估算
2

首先，这道题是不用估算的，其主要原因不是因为1500本身就是近似 的，而是由于实际问题本身。
1500实际上是一个统计数据，是平均值，我们就可以利用1500去推 断蚕6个月吐丝的情况。再举一个例
子，人们想要了解一个品牌粮食一年的产量，我可以用平均每月大约 的产量作为推断的前提，用它乘12
去推断一年的产量，这就为人们制定政策等提供了依据。
因此，判断一个实际问题是否需要估算，绝不是*一些“大约”等词汇，也不是依据已知条件本身是否为
近似数。比如，一个人大约每分钟打65个字，打4000个字，5分钟够吗？65个字是近似的，但解决这个< br>问题完全可以用估算，70×5=3500，5分钟肯定不够。
同样的已知条件是近似数，一个 不需要估算，一个可以估算。老师可能会感觉到有点无所适从。就是
这样，估算与计算技能是不完全相同 的，它需要人们的判断、选择，估算与直觉密切相关，它也是提高人
解决问题、创造能力的有效途径。这 也就是估算受到重视的一个原因。
总之，在解决一个问题时是否需要估算，还是要根据问题的情境来 选择，是否采用估算，用什么样的
估算策略，对结果的要求是什么？所以，估算的目的性是很强的，我们 希望通过估算所达到的目的决定估
算的策略及精准度。
※如何引导学生学会判断呢 有的老师可能会进一步追问，如何帮助学生判断什么时候需要估算呢？我觉得一个有效的方法是引导
学生去判断。因此，有一个建议，当一个问题提出后，不要忙着让学生列式说结果，先鼓励学生思考一下
要解决的问题是什么，解决这个问题需要估算还是精确计算。我想学生会有不同想法，然后就是交流，教
师引导。逐渐地，学生就有选择的意识了，而不只是见到“大约”就估算了。另外，就是帮助学生积累经验。估算与直觉密不可分，而直觉来源于经验，包括数学的经验，也包括生活经验。
※这道题学生估算了是否给分
新课程评价学生的一个转变是从原来关注学生“不会些什么” ，到现在关注学生“会了些什么”。因此，
我们做评价时，不应该只看学生选择的方法和最终的答案，更 要考察学生选择这种方法的理由。
这道题学生估算了是否给分，或者全扣还是扣一些，取决于教师对评 价的认识，很难有唯一答案。下
面是个人的一些做法：
对于这道题使用估算解决的学生，我 会询问他的想法。如果他的想法就是因为看见了大约就估算，我
会给他扣分。如果他的想法是1500本 身是平均数，如果大于1500呢，所以把它估成2000，我会追问他如
果少于1500呢，帮助他理 解平均数的意义和价值，也会给他扣很少的分。如果他的想法1500本身是平均
数，实际情况可能大于 或小于1500，所以估计成1000—2000的范围，我会为他的统计直觉而激动，不给
他扣分，再 与他交流1500平均数的意义。
当然，是否给分还跟学生年龄和孩子的个性有关。年龄小的必然给分 上要宽松一些。总之，评价不是
为了扣分，而是关注学生会了些什么，然后帮助他们找到不足。
【问题4】最小的一位数是几？
最小的一位数是1，不是0。原因就是研究“位数”时，最高 位不能是0，如两位数不能是“01”（编码时
例外）。三位数不能是012等。
【问题5】x=1是方程吗？
是方程。因为它符合方程的定义中“未知数”和“等式”这两个 条件。这样的问题对学生的发展没有意义，
所以只要教师明确答案就可以了，没有必要过多地纠缠。
【问题6】0做分子的分数是分数吗？
“算术基础理论”里对分数的定义：形如mn（n为大 于1的自然数，m为非0自然数）的数叫做分数。
它可以理解为：把单位“1”平均分成n份，表示m个 这样一份的数叫分数。
但是，根据需要，补充定义如下：
当n＝1时，mn=m1=m；
当m=0时，mn=0n=0
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这样，m1和0n都是特殊的分数。
任何整数m都可以用分数m1的形式表示，看成是特殊分数。
有人把0n叫做零分数，也是特殊分数，它是存在的。
【问题7】用0、1、2和小数点组成最大的小数是几？
是21.0。要解决此问题的关键在 判断21.0是不是小数.我个人认为:21.0有两种表示的意义,第一,是整数
改写成的小数,第二 是一个精确到十分位的小数.从这两种意义上去判断它,我觉得既然是改写成小数了,它
就是小数;精确 到十分位也应是小数,故最大的小数是21.0
【问题8】20以内是否包括20？
如果说从20起，那么就包括20；要是说20以内，就不能包括20。
【问题9】1时=1小时吗？
1时不等于1小时，1时可以表示时间，也可以表示时刻，1小 时只能表示时间。1时的应用范围要比
1小时范围广。关于什么时候用时，什么用小时，要视具体情况而 定，为了和国际接轨，[小]时的小字通
常加中括号，是在不致发生混淆的情况下可以通用。
【问题10】10%可以带单位吗？
百分数表示一个数(量)是另一个数（量）的百分之几的 数。不能带计量单位。百分数和分母是100的
分数是有区别的。
【问题11】这个0到底读还是不读?
500004000是读五亿四千还是五亿零四千?
读法法则是：（1）从高位起一级一级的往下读；（2）读万级和亿级的数时要按照个级的数的读法来< br>读，再在后面加上“万”字或“亿”字；（3）每级末尾的0都不读，其他数位上有1个0或连续几个0，
都只读1个0。所以，万级的0不能丢掉。


空间与图形
新点(重要标志)
【标志1】增加平移、旋转、对称现象的认识
【标志2】增加认识物体的相对位置
【标志3】增加认识方向和路线图
【标志4】增加测量不规则的图形
【标志5】削弱了单纯的图形面积、体积、周长等计算内容
难点疑点
【问题1】圆的直径是对称轴吗？
直径所在的直线是这个圆的对称轴。
【问题2】线段是轴对称图形吗？
是。
【问题3】判断左右究竟应该以图中人、物为参照还是以看图人本身为参照？
图中是人的话， 人有左手右手，是可以分出左右来的，这时候要以图中人为参照物；图
中是物的话，物本身没有左右，这 时候以看图人本身为参照物。
【问题4】把长方形剪去一个角，剩下几个角?
还剩3、4、5个角。
【问题5】汽车行驶，属于哪种现象？是看汽车车身，还是看车轮？
车轮是旋转，汽车本身是平移。


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统计与概率
新点(重要标志)
【标志1】增加了概率的知识
【标志2】强化统计学习的过程性
【标志3】强化实际意义的理解
【标志4】淡化单纯的统计量的计算
【标志5】淡化统计概念的严格定义
难点疑点
【问题1】什么是等可能性？
设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件， 每次试验有且只有其中的一个结果出
现，而且每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是 等可能的，也称这个试验的结果具有
等可能性。
【问题2】投硬币中“5正5反”情况概率是50％吗？
实际上5正5反的出现概率确实只有 24.61％左右，但是这样的情况不能否定硬币正面朝上的可能性
等于50％的结论。硬币扔10次， 正面朝上的概率等于50％，并不是说5正5反出现的频率就是总频率的
50％，而是说集中在50％左 右。之所以用等号不用约等号，是因为概率是将无穷的事件用数学的方法表示
出来。用极限的思想来表达 生活现象。
为了加深对接近50％与稳定在50％的理解，我取了四组数，分别是扔5次，扔10次， 扔15次，扔
20次。各自取相同区间：2正3反－3正2反，4正6反－6正4反，6正9反－9正6 反，8正12反－12
正8反。计算出此区间出现的频数占总频数出现的百分比。以此分析如果投的次数 越多，正反的几率就越
接近50%这句话。 现将计算如下：
1、扔5次。频率出现的情况分别是：
（1）“0正5反”的事件有C50=1(个)；
（2）“1正4反” 的事件有C51=5(个)；
（3）“2正3反”的事件有C52=10(个)；
（4）“3正2反”的事件有C53=10(个)；
（5）“4正1反”的事件有C54=5(个)；
（6）“5正0反”的事件有C55=(个)；
在2正3反与3 正2反之间出现的事件个数是： 5＋10＋10＋5＝20个。总个数是32个。所以，此区
间个数占总事件个数的2032＝62.5 0％。
2、扔10次。频率出现的情况分别是：
（1）“0正10反”的事件有C100=1(个)；
（2）“1正9反” 的事件有C101=10(个)；
（3）“2正8反”的事件有C102=45(个)；
（4）“3正7反”的事件有C103=120(个)；
（5）“4正6反”的事件有C104=210(个)；




（6）“5正5反”的事件有C105=252(个)；
（7）“6正4反”的事件有C106=210(个)；
（8）“7正3反”的事件有C107=120(个)；
（9）“8正2反”的事件有C108=45(个)；
（10）“9正1反”的事件有C109=10(个)；
（11）“10正0反” 的事件有C100=1(个)。
在4正6反与6 正4反之区间出现的事件个数是：210＋252 ＋210＝672个。总个数是1024个。所以，
此区间个数占总事件个数的6721024＝65. 63％。而5正5反的频数为252，占总频数的2521024＝24.61％。
3、扔15次。频率出现的情况分别是：
（1）“0正15反”的事件有C150=1(个)；
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（2）“1正14反” 的事件有C151=15(个)；
（3）“2正13反”的事件有C152=105(个)；
（4）“3正12反”的事件有C153=455(个)；
（5）“4正11反”的事件有C154=1365(个)；




（6）“5正10反”的事件有C155=3003(个)；
（7）“6正9反”的事件有C156=5005(个)；
（8）“7正8反”的事件有C157=6435(个)；
（9）“8正7反”的事件有C158=6435 (个)；
（10）“9正6反”的事件有C159=5005 (个)；
（11）“10正5反” 的事件有C1510=3003个)；
（12）“11正4反”的事件有C1511=1365 (个)；
（13）“12正3反”的事件有C1512=455 (个)；
（14）“13正2反”的事件有C1513=105 (个)；
（15）“14正1反”的事件有C1514=15 (个)；
（16）“15正0反”的事件有C1515=1 (个)。
在6正9反与9 正6反之区 间出现的事件个数是：5005＋6435＋6435＋5005＝22880个。总个数是32760
个。所以，此区间个数占总事件个数的2288032760＝69.82％。
4、扔20次。频率出现的情况分别是：
（1）“0正20反”的事件有C200=1(个)；
（8）“7正13反”的事件有C207=77520(个)；
（9）“8正12反”的事件有C208=125970(个)；
（10）“9正11反”的事件有C209=167960(个)；
（11）“10正10反” 的事件有C2010=184756（个)；
（12）“11正9反”的事件有C2011=167960 (个)；
（13）“12正8反”的事件有C2012=125970 (个)；
（14）“13正7反”的事件有C2013=77520 (个)；
（21）“20正0反”的事件有C2020=1 (个)；
在8正12反与8 反12正之 区间出现的事件个数是：125970＋167960＋184756＋167960＋125970
＝ 772616个。总个数是个。所以，此区间个数占总事件个数的7726161048576＝73.68％。 而10正10反
的频数占总频数的76＝17.6％。
从中可以发现，在取扔5次，扔10 次，扔15次，扔20次时，各自取相同区间：2正3反－3正2反，
4正6反－6正4反，6正9反－ 9正6反，8正12反－12正8反出现的频数占总频数的62.50％、65.63％、
69.82％ 、73.68％，越来越趋向集中。
也就是说，虽然如5正5反（24.61％）、10正10反1 7.6％这些概率等于12的事件现象出现的频率不
足50％，甚至有下降的趋势，但是，次数越多，频 数就越集中，出现的概率也就越集中。一直到无穷大的
时候，就可以看成集中到一个数字12上。当然， 对于具体的数字是不可以的，但是到极限的时候，可以
认为其等于12。
因此，说如果验证的次数足够多的话，它的结果就会稳定在12附近这种说法是正确的。
【问题3】有两枚硬币,同时抛出.会出现几个可能.正正反反正反反正四种。还是正正、反反、正反
或反正三种。其中正反和反正算一种不是两种。如果朝上的面一样，甲去。如果不一样，丙去。公平吗？
为什么？
应该可以从２个方面来理解：１、如果２个硬币在没任何标识的情况下同时抛的话，应该是 出现３种
可能，那就是正正、反反、一正一反３种可能，其中正正、反反的出现概率都是１／４，一正一 反出现的
概率是１／２。因此，游戏公平。２、如果２个硬币在有标识或分开来抛的情况下，应该是四种 可能，即
正正、反反、正反、反正，且每种情况的出现概率都是１／４。
实践与综合运用
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新点(重要标志)
【标志1】增加综合运用数与运算、空间与 图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的活
动经验和方法。
【标志2】感受数学知识间的相互联系。
难点疑点
【问题1】如何区分实践与综合运用是新课还是综合运用？
就是是否是新内容？如果是新内容 的，就按课时来对待。如果是实践活动或综合运用的就按实践活动
的体例来处理。
北师三年下实践活动：森林旅游、旅行中的数学、体育中的数学就是属于综合运用。
北师五年 下实践活动数学与购物中的估计费用、购物策略、包装中的学问就是属于新课，带试一试、
练一练的。按 新课处理。
【问题2】实践与综合运用的标题如何标注？
就是随正常的实践活动标注，即使是新课的也这样处理。




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