2、会辨认从两个方向观察到的单一物体的形状。

桌子有多长
（厘米的认识）

1、经历用不同测量工具测量同一物体长度的过程，体会统一长度单位的
必要性。
2、认识厘米，找一找自己身边哪些物体的长度是1厘米，体会1厘米的
实际意义。
3、能估计较小物体的长度，会正确使用刻度尺测量物体的长度。
4、会通过刻度尺观察物体的长度。（起点不是0刻度）
5、能根据物体的长度，选择合适的刻度尺测量。

去游乐园
（认识米）

1、初步建立米的长度概念，根据1厘米和1米的实际 长度，知道1米=100
厘米，初步学会估测物体的长度。
2、掌握米和厘米间的关系，能恰当的选择单位表示物的长度。
3、认识米尺，会用米尺测量物体的长度。

估一估、量一量
（简单的估测和测量）

1、
能选用适当的单位表示长度。
能估计身边物体的长度，会使用测量工具进行测量。
2、会辨认从两个方向观察到的单一物体的形状。

16

三 加减法（一）
【知识框架】


加减法（一）


【知识点】
小兔请客（整十数加减法计算）
1、结合解决实际问题的过程，理解整十数加减整十数的算理，能正确地
进行整十数的加减法运 算。整十数加减整十数 就是几个十加减几个十，
得几个十。
2、能正确熟练地口算整十数的加减法，并了解加减法算式中各部分的名
称。

采松果（两位数加一位数不进位加法和两位数减一位数不退位减法。）
1、在解决实际问题的过程中，进一步体会加减法的意义。
2、使学生掌握100以内两位数 加一位数不进位加法和两位数减一位数不
退位减法的计算方法，就是先把个位上的数相加减，记住得数， 然后再与
整十数合并起来才是计算的结果。
３、应用方法熟练的进行口算。

青蛙吃害虫（两位数加整十数。）
1、在具体的问题情境中使学生进一步理解加法的意义，并且探索和掌握
17

1、小兔请客---（整十数加减法计算）
2、采松果---（两位数加一位数不进位加法和两位数减
一位数不退位减法。）
3、青蛙吃害虫---（两位数加整十数。）
4、拔萝卜---（两位数加两位数不进位加法和两位数减
两位数不退位减法。）
5、回收废品---（理解比多比少的实际问题。）

两位数加整十数的计算方法。
2、在具体的问题情境中使学生进一步理解减法 的意义，并且探索和掌握
两位数减整十数的计算方法。

拔萝卜（两位数加两位数不进位加法和两位数减两位数不退位减法。）
１、在具体的情境下，进一步体会加减法的意义。
２、探索两位数加两位数不进位加法和两位数减两位数不退
位减法的计算方法。
３、会用竖式计算，明白列竖式的方法，知道相同数位要对齐从个位加起。

回收废品（理解比多比少的实际问题。）
1、结合实际问题情境，进一步体会加法的意义，知 道求比一个数多几的
数是多少要用加法计算．
2、在解决实际问题的过程中，进一步体会减 法的意义，知道求比一个数
少几的数是多少要用减法计算．
3、使学生能够在正确列出算式后进行准确的计算．
我和小树一起长
【知识点】
1、通过问题情境的创设，培养学生提出问题和解决问题的能力。
2、巩固复习100以内数的认识，进一步明确100以内数的组成。
3、通过解决问题，使学生熟练掌握求“比多、比少”问题的计算方法，
并且能正确列式计算。
4、进一步体会米和厘米的长度关系，培养学生的估算意识。
5、复习观察物体的知识，体会从不同的角度观察物体所看到的形状是不
18

同的，发展学生的空间观念。

四 有趣的图形
【知识框架】

有趣的图形

【知识点】
认识图形
（长方形、正方形、三角形和圆）

1、对长方形、正方形、三角形和圆的认识，能分辨出四种基本的图形。
2、学会观察，能在生活中找出基本的形状，会举例。
3、能区分出面和体的关系，体会“面在体上”。
4、能找出一组图形的规律。
5、能在复杂的图案中找出基本的图形。

动手做（一）
1、
学生能自己动手折一折、剪一剪，剪拼出喜欢的图案。
2、
通过折纸、剪拼等活动进一步认识平面图形。
3、
通过折纸对简单的图形进行分解和拼补。
1、认识图形---（长方形、正方形、三角形和圆）
2、动手做（一）
3、动手做（二）
4、动手做（三）

动手做（二）
1、
了解七巧板的组成。通过用七巧板拼图的活动，进一步熟悉学过的平
19

面图形。
2、
初步认识平行四边形，只让学生直观认识，知道形状和名称即可。

动手做（三）
通过欣赏和设计图案的活动，进一步认识正方形、长方形、三角形和圆。

小小运动会
1、应用100以内的进位加法与退位减法的计算方法进行正确的计算。
2、经历与他人交流各自算法的过程，体会算法多样化。
3、体会长方形、正方形、三角形和圆在生活中的普遍存在。
4、能利用图形设计美丽的图案。
五 加减法（二）
【知识框架】


加与减（二）

【知识点】
1、图书馆---（两位数加一位数进位加法）
2、发新书---（两位数加两位数进位加法）
3、小小图书馆---（两位数减一位数退位减法）
4、跳绳---（两位数减两位数退位减法）
5、小小运动会---（用100以内加减法解决实际问题）
图书馆
（两位数加一位数进位加法）

1、学会计算两位数加一位数的进位加 法，探索、掌握两位数加一位数进
位加法的计算方法：从个位加起，满十向前进一，再加整十数就是结果 。
能正确地计算，初步体会计算方法多样化。
2、学会列竖式计算进位加法，知道“满十进一”的运算规律。
20

发新书
（两位数加两位数进位加法）

1、使学生 在实际情境中，探索并掌握两位数加两位数进位加的算法：强
调从个位加起，个位满十向十位进一。能正 确进行计算。
2、学会列竖式计算进位加法，知道“满十进一”的计算规律。

小小图书馆
（两位数减一位数退位减法）

1、 探索并掌握两位数减一位数 退位减法的计算方法：从个位减起，个位
不够向十位借一当十，能正确地进行计算。
2、学会列竖式计算两位数减一位数退位减法，理解个位不够减从十位退
一当十。

跳绳
（两位数减两位数退位减法）

1、探索两位数减两位数退位减法的计算 方法：从个位减起，个位不够减
从十位退一在个位上加十再减，能正确地进行计算。
2、重点指导竖式的计算，并理解“借一作十”的含义。
3．根据主题图会进行比较合理的估算。
小小运动会
【知识点】
1、借 助生动有趣的故事情景小小运动会，综合复习100以内的数及加减
法的计算和图形的认识。
2、能利用100以内的数及加减法的计算解决生活中的实际问题。
3、加强对图形的认识，能利用图形设计出美丽的图案。


21

六 购物
【知识框架】

1、买文具---（小面额的人民币）
购物

2、买衣服---（大面额的人民币）
3、小小商店---（进行有关钱款的简单计算）

【知识点】
买文具（小面额的人民币）

1、认识各种小面额的人民币。
2、体会小面额人民币之间的换算关系。
3、从实际问题中理解“付出的钱、应付的钱、应找回的钱”三者之间的
关系。
4、在购物情景中进行有关钱款的简单计算。

买衣服（大面额的人民币）

1、让学生在活动中认识大面额的人民币，能从相同点和不同点上辨认。
2、会计算大面额人民币之间的换算。
3、在购物活动中体会大面额人民币的作用，运用人民币的兑换知识,初步
掌握付钱的方法.

小小商店（进行有关钱款的简单计算）

1．在购物情景中会进行有关钱款的简单计算。
2．通过购物中的活动，了解付费的方式是多样化的。
3．通过购物的活动，巩固复习100以内的加减法计算。
4．购物中能解决一些简单的实际问题。
22

七 加减法（三）
【知识框架】

加与减（三）

【知识点】
套圈游戏
（连加运算）

1、结合实际问题情境，探索并掌握100以内数连加的计算方法，体会计
算方法的多样化。
2、在解决问题中，引导学生开展估算活动，交流估算方法，体会估算的
必要性。

乘船
（连减运算）

1、结合情境，探索并初步掌握100以内数连减的计算方法，学习连减法
的竖式。
2、发展学生初步的估算意识和提出问题、解决简单实际问题的意识和能
力。
3、探索解决数学问题的多种方法。

乘车
（加减混合运算）
< br>1、结合生活情境，学习100以内数的加减混合运算，掌握加减混合运算
的运算顺序，从左往右 依次计算。
23

1、套圈游戏---（连加运算）
2、乘船---（连减运算）
3、乘车---（加减混合运算）

2、使学生感受到数学与日常生活的密切联系。
3、引导学生开展估算活动，鼓励学生用不同的方法进行估算，从而培养
学生的估算意识。
今天我当家
【知识点】
1、应用100以内的进位加法与退位减法的计算方法进行正确的计算。
2、经历与他人交流各自算法的过程，体会算法多样化。
3、体会长方形、正方形、三角形和圆在生活中的普遍存在。
4、能利用图形设计美丽的图案。
八 统计

【知识框架】
统计
1、组织比赛---（认识简单的纵向条形统计图）
2、买气球---（认识简单的横向条形统计图）

【知识点】
组织比赛
（认识简单的纵向条形统计图）

1、结合身边的实例，经历数据的收集及整理过程，体会统计的必要性，
形成初步的统计意识。
2、认识一格表示一个单位的简单纵向条形统计图，能根据统计图回答一
些简单的问题。

买气球
（认识简单的横向条形统计图）

1、认识简单的横向条形统计图，能根据统计图回答一些简单的问题，进
24

一步体会分类统计的必要性。
2、培养学生掌握收集和整理数据的方法。收集 数据的方法如：（1）小组
统计，全班汇总（2）个人进行全班的调查（3）举手或起立进行集体统计。
整理数据的方法：一条表示同一类事物，一格表示一个单位，用自己喜欢
的符号将数据进行分类 整理。
3、尝试利用数据做出简单的决定。

3、最新北师大版小学数学二年级上册知识点整理与归纳

第一部分：全册知识点
一、数与代数（1、2、4、6、7、8单元）
1．掌握至少两种相同加数连续相加的方法，体会乘法的意义，掌握乘法的书写、认读、运用的方
法。
2．编制和识记2~9的乘法口诀，知道每一句乘法口诀的含义。能用一句口诀写两道有关乘法的算式。熟练运用口诀及乘法口诀的变形计算乘法或解决实际问题。会归纳整理乘法口诀表。
3．了解估算的意义，培养估算意识，会简单的估算。
4．体会平均分和等分的过程，了解平 均分和等分的含义，会用除法表示。掌握除法算式的读法写
法及各部分名称。会用口诀准确计算除法解决 实际问题。
5．理解乘除法之间互逆的关系 。了解倍数关系，“倍”的含义及“倍”与等分之间的联系。
6．体会四则运算的意义，掌握运算顺序并准确计算。
25

7．正确掌握时间的基本单位：时、分、秒。正确读写时钟表面上所表示的时间，理解分与秒之间
的 关系，会计算时间差。

二、空间与图形（3、5单元）
1．初步建立空间观念 ，知道站在不同位置观察物体最多能看到三个面。从不同角度观察同一物体，
看到的形状是不同的。 < br>2．了解物体正面、侧面和上面的正确含义。会观察简单的组合图形并根据图形想象正面、侧面和
上面观察到的物体的形状。
3．确立“东”的方位，正确辨别东南西北四个方向，在给定一个方向的情 况下会别人其它方向。
会看简单的路线图，能够运用简单的方位词描述行走路线。

三、统计与概率（9单元）
1．进一步体验数据的调查、收集和整理过程，了解统计的意义， 能根据图表中的数据回答简单的
问题。
2．能根据简单问题采用不同的方法收集数据并将数据记录在统计图表中。
3．初步体验猜测活动中事情的确定性和不确定性。
四、实践活动（具体知识点在各节中）
第二部分：单元与课时知识点

第一单元 数一数与乘法
26

单元知识点：
1. 掌握至少两种多个相同加数相加的方法；体会与乘法关系，根据加法列出乘法算式。
2. 乘法的意义、书写、读法。
3. 运用乘法解决生活中的实际问题。

课时知识点：
第一节：数一数
会用两种不同的方法（一排一排或一列一列地）数方 阵排列的物体个数，相应列出两个不同的连
加算式。知道用乘法算式表示相同数连加比较简便，体会学习 乘法的必要性。
第二节：儿童乐园
1．结合解决问题，经历把相同加数的连加算式抽象为乘法算式的过程。
2．能把相同加数的 连加算式改写成乘法算式并理解意义、掌握各部分名称及读法，并应用加法计
算简单的乘法算式的结果。
第三节：有几块积木
会用两种不同的方法数排列的物体个数，列出同一个乘法算式。
第四节：动物聚会
会运用乘法解决生活中简单的实际问题，体会乘法运算意义。

第二单元 乘法口诀（一）
27

单元知识点：
1. 编制和识记2—5的乘法口诀，知道每一句乘法口诀的含义。
2. 运用2—5的乘法口诀，能用一句乘法口诀，正确计算两到有关的乘法算式。
3. 综合运用2—5的乘法口诀。

课时知识点：
第一节：五环旗
编制、掌握5的乘法口诀，，会用5的乘法口诀进行计算和解决实际问题。
第二节 ：摘桃子
巩固5的乘法口诀，熟练进行乘法口算。
第三节：做家务
编制、掌握2的乘法口诀，会用已学过的乘法口诀进行计算。
第四节：需要几个轮子
编制、掌握3的乘法口诀，会用乘法口诀进行表内乘法的口算。
第五节：可爱的小青蛙
巩固2、3、5的乘法口诀，能正确熟练地用口诀进行表内乘法的口算。
第六节：小熊请客
编制、掌握4的乘法口诀，会用已学过的乘法口诀进行计算。
28

第七节：回家路上
在解决问题的过程中，巩固2至5的乘法口诀，能较熟练地口算。
第八节：练习一
巩固、应用2至5的乘法口诀进行口算和解决实际问题。

第三单元 观察物体
单元知识点：
1. 体会站在不同位置观察物体所看到的形状是不同的，最多能看到物体的三个面。
2. 观察并识别几个正方体搭成的简单物体。
3. 用乘法解决简单实际的问题。

课时知识点：
第一节 看一看 (一)
体验站在不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的，最多能看到物体的三个面(正面 、侧
面和上面)。
第二节 看一看 (二)
用正方体搭建简单的物体，并在从正面、 侧面、上面观察的活动中，辨认简单物体的正面、 侧
面和上面的形状。
第三节 节日广场
29

这一节实践活动,是对本册前三个单元知识的综合应用。

第四单元 分一分与除法
单元知识点：
1. 体会“平均分”的过程。
2. 通过几个步骤完成数量较多的“分一分”活动。
3. 用除法表示等分的过程。
4. 了解乘、除法之间互逆的关系。
5. 运用除法算式解决实际问题。
6. 了解“倍”与等分之间的联系。
7. 掌握表内乘、除法的计算。

课时知识点：
第一节 分桃子
经历小数目实物平均分的过程,体会意义,能用图示 方法解决平均分问题,感知平均分的两种可能：
全部分完和有剩余。
第二节 分苹果
能用具体操作或图示的方法进一步解决一些与平均分有关的简单问题。
第三节 分糖果
30

体验大数目的平均分的过程与策略的多样性和合理性。
第四节 分香蕉
认识除法的意义，掌握除法算式的读法、写法和各部分名称。会用除法算式表 示并解释平均分的
过程。
第五节 飞行表演
用除法算式表示平均分的操作过程及结果。
第六节 练习二
能用除法算式表示实际生活中平均分问题。
第七节 小熊开店
用2~5的乘法口诀求商,体会乘除法的区别与联系。
第八节 运动会
用乘除法解决简单的实际问题。
第九节 快乐的动物
体会“倍”的意义，会用图示或除法求两个数量之间的倍数关系。
第十节 文具店
结合具体问题，进一步理解“倍”的意义以及它与乘除法意义的联系。
第十一节 花园
结合具体情境，提出并解决与“倍”有关的数学问题。

31

第十二节 练习三
表内乘除法的综合练习

第十三节 整理与复习（一）

第五单元 方向与位置
单元知识点：
1．会在实景中辨认东、南、西、北，并能运用这些词语来描绘物体所在的方向。
2．在具体情境中，给定一个方向，会辨认其余的方向。
3．知道地图上的方向，会看简单的路线图。

课时知识点：
第一节 东南西北
1．借助已有的生活经验来辨认方向。
2．知道地图上的方向：地图是按上北、下南、左西、右东绘制的。
3．相反的方向：在指出一个方向（东、南、西或北）的条件下，会辨认另一个方向。

第二节 练习四
32

1．练习辨认图中的方向，发展空间观念。
2．引导学生综合利用学过的有关方向的知识解决问题，培养学生的应用意识，提高生活能力。

第三节 看望老人
1．能根据方向与距离确定两地的相对位置。
2．会描述从一地到另一地的具体路线，学会看简单的路线图。

第六单元 时、分、秒
单元知识点：
1．结合生活实际认识钟面。
2．掌握时、分、秒之间的关系，会进行单位换算。
3．准确读出钟面上的时间，会用两种方式表示时间。
4．结合自己的生活经验，体验时间的长短。

课时知识点：
第一节 我们赢了
结合情境认识钟面；初步了解时、分以及它们之间的关系。

33

第二节 一分能干什么
通过具体活动，初步感受1分的长短。

第三节 作息时间表
1．引导学生自己制作作息时间表。
2．会根据钟面说出经过的时间。

第四节 月球旅行
让学生通过看图运用所学的知识解决书中提出的数学问题，并提出问题。


第七单元 乘法口诀（二）
单元知识点：
1．编制和熟记6~9的乘法口诀。
2．能运用口诀正确计算表内乘法。
3．解决有关的实际问题。
4．在具体情境中简单估算。

34

课时知识点：
第一节 方格有多少
1．独立探究、编制6的乘法口诀，重点在后4句。
2．体验估计的策略，培养估计意识。
3．掌握6的乘法口诀，理解相邻两句口诀之间的联系，解决一些简单的实际问题。

第二节 一个星期有几天
1．独立探索、编制7的乘法口诀，重点在后3句。
2．会用乘法口诀计算表内乘法，解决一些简单的实际问题。

第三节 买球
1．探索、编制并掌握 8、9的乘法口诀。
2．理解、掌握口诀间的联系，会计算表内乘法，解决一些简单的实际问题。

第四节 整理与复习（二）
让学生对自己在本阶段所学的知识技能、数学思想和方法及情感等方面进行归纳总结与反思。

第八单元 除法
35

单元知识点：
1．进一步体会乘、除法的关系。
2．较熟练地应用6~9的乘法口诀求商。
3．解决生活中简单的除法问题。

课时知识点：
第一节 长颈鹿和小鸟
1．结合提出并解决除法问题的过程，进一步体会除法的意义，并掌握用6~9的乘法口 诀求商的方
法。
2．熟练用乘法口诀进行表内乘除法的口算。

第二节 小兔安家
1．结合具体情境，提出问题和解决问题，复习除法的两类问题。
2．体会除法的意义，感受数量关系中蕴含的数学规律。
3．熟练用乘法口诀进行表内乘除法的口算。

第三节 游乐场
1．结合具体情境，提出问题和解决问题。
2．熟练用乘法口诀进行表内乘除法的口算。
36

第四节 练习五
1．利用乘法口诀求商时，要想除数和几相乘得被除数，商是几。
2．已知要分的总数和要平均分成的份数，求每份是多少，用除法计算。
3．已知要分的总数和平均每份的数，求能分几份，用除法计算。
4．求一个数是另一个数的几倍，就是求一个数里有几个另一个数，用除法计算。

第九单元 统计与猜测
单元知识点：
1．在具体情境中，用适当方法收集、整理有用信息。
2．能根据统图表中的数据提出并回答简单问题，并能与同伴交流
3．知道有些事件的发生是确定的，有些事件的发生是不确定的，并能进行一些简单的猜测活动。

课时知识点：
第一节 生日
1．统计数据时，先要调查、收集数据。
2．再把收集到的数据加以整理，用不同的颜色涂成 直条或填入统计表的相应栏目里，便于对统计
结果进行分析，作出决策。
3．根据统计图回答简单问题，并进行简单推测。
37

第二节 买书
进行统计，能根据统计图表中的数据回答简单问题，进行简单推断。

第三节 抛硬币
1．在具体情境中，有些事情的发生是确定的，有些则是不 确定的。也就是说，有些事情一定发生，
有些事情不可能发生，有些事情可能发生可能不发生。
2．会用“一定”“可能”或“不可能”的词汇描述生活中一些事件发生的可能性。

第四节 人类的好朋友
根据信息提出有关乘、除法的问题。













38

4、最新北师大版小学数学二年级下册知识点整理与归纳

数 一 除法

二 混合运算
与
四 生活中的大数

代

数
空 三 方向与路线
五 测量

间

与

七 认识图形
图

形
统计
与概九 统计
率
实践走进乡村
与综
美丽的植物园
合应
用

六 加与减（一）
八 加与减（二）
竖式计算及有余数除法（商是一位数）
掌握“先乘除，后加减，有括号先算括号里面”的
运算顺序
认识计数单位“千”“万”，了解万以内的数位顺
序，会认、读、写、比较万以内的数的大小。
三位数加减法的口算与笔算
三位数连加、连减及加减混合运算
会根据给定的一个方向辨认其它七个方向
认识长度单位“千米”“分米”“毫米”，了解长
度单位间的关系
初步认识角，能辨认直角、钝角、锐角，知道长方
形、正方形的特征，直观认识平行四边形 < br>会读统计图表，会在方格纸上画条形统计图，能根
据统计图表的数据回答简单的问题，作简单的预 测
获得数学活动经验，了解数学在生活中的简单应用
39

第一单元：除法

竖式除法
1、能正确掌握除法竖式的书写格式，掌握除法竖式的写法
和每一步所表示的含义。
2、进一步体会除法的意义。
1、体会有余数除法的意义。
除法
2、积累正确的试商方法。
有余数的除
4、能用竖式正确计算有余数除法，了解余数一定要比除数
法
小。
5、能运用有余数除法的知识解决一些简单的实际问题。


分苹果（竖式除法）
知识点：
1、掌握表内除法竖式的书写格式。
2、掌握除法竖式的写法和每一步所表示的含义。
分橘子（有余数的除法（一））
知识点：
1、体会有余数除法的意义。
2、会用竖式表示有余数的除法，了解余数一定要比除数小。
分草莓（有余数的除法（二））
40

知识点：
1、掌握正确的试商方法。利用乘法口诀，两数相乘的积最接近被除数，而又比被除数小。
2、能运用有余数除法的知识解决一些简单的实际问题。
租船（有余数除法的应用（一））
知识点：
灵活运用有余数的除法的有关知识解决生活中的简单实际问题。
派车（有余数除法的应用（二））
知识点：
灵活运用有余数除法及相关知识解决生活中的简单实际问题。

第二单元：混合运算

乘加、乘减、除加、除减的混
先算乘除，后算加减
混合运算
合运算
带有小括号的混合运算 有小括号时要先算小括号里面的。


小熊购物（混合运算（一））
知识点：
41

1、正确掌握“算式里既有加减法又有乘法，先算乘法，后算加减法”的运算顺序。
2、能正确计算有关的两步式题。
买鲜花（混合运算（二））
知识点：
正确掌握“算式里既有加减法又有除法，先算除法，后算加减法”的运算顺序，并能熟练计算。
过河（混合运算（三））
知识点：
1、体会小括号在混合运算中的作用是改变运算顺序。
2、掌握带小括号的混合运算的运算顺序：先算小括号里面的，后算小括号外面的。
3、能正确计算带有小括号的运算。

第三单元：方向与路线

1、给定一个方向，辨认其余的七个方向
辨认方向
方向与
路线
认识路线
2、用八个方向的词语描述物体所在的位置
1、 会使用八个方向认识简单的路线图。
2、 路线图说出从出发地到目的地行走方向、
距离和经过的地方。

辨认方向
42

知识点：
1、结合具体情境给定一个方向（东、南 、西或北），能辨认其余的七个方向，并能用这些词语描
述物体所在的位置。
2、能根据给定的一个方向，辨认地图中的其他七个方向。
认识路线
知识点：
1、学会使用八个方向认识简单的路线图。
2、能根据路线图说出从出发地到目的地行走的方向、距离和经过的地方。


第四单元：生活中的大数

生
活
中
的
大
认识新的
计数单位
万以内数
的读写
万以内数
认识计数单位“千”“万”
万以内计数单位间的关系
万以内数位顺序表
会读万以内的数
会写万以内的数
感受“满十进一”的十进制计数法
会比较万以内数的大小
会用符号表示万以内数的大小
比较大小
数
结合实际进行万以内数的估计。


43

数一数（认识新的计数单位）
知识点：
1、认识计数单位“千”“万”。
2、了解万以内计数单位间的关系：10个一是十；10 个十是一百；10个一百是一千；
10个一千是一万。
3、掌握万以内数的数位顺序。从右起第一位开始依次为个位，十位，百位，千位，万
位。
4、结合具体情景，对“一千”和“一万”有具体的感受。
5、初步感受“满十进一”的十进制计数法。
拨一拨（万以内数的读写）
知识点：
1、会数数：一个一个地数；十个十个地数；一百一百地数等。
2、会 读万以内的数：从高位起，依次读出每个数位上的数，末尾有零都不读，中间有
一个或两个零只读一个零 。
3、会写万以内的数：从高位起，依次写出每个数位上的数，哪位上一个单位也没有，
就在那位上写零。
4、初步感受“满十进一”的十进制计数法。
比一比（万以内数比较大小）
知识点：
44

1、会比较万以内数的大小。方法：先比 较数位的多少，数位多的数比较大，如果数位相同，先比
最高位，最高位上的数相同，就比较下一位……
2、能够用符号表示万以内数的大小。
3、能结合实际进行万以内数的估计。
第五单元： 测量
分米用字母dm表示，1分米写成1dm
认识分米、毫米、千米 毫米用字母mm表示，1毫米写成1mm
千米用字母km表示，1千米写成1km
1厘米=10毫米或1cm=10mm
测
1分米=10厘米或1dm=10cm
米、分米、厘米、毫米、千米之间的
1米=100厘米或1m=100cm

换算
1米=10分米或1m=10dm
1千米=1000米或1km=1000m
量
一张IC卡的厚度大约是1毫米
感受1分米、1毫米、1千米间的实
1扎的长度大约是1分米
际长度
公共汽车两站地间的距离大约是1千米
根据具体情境选择合适的长度单位

铅笔有多长(分米、毫米的认识)
知识点：
1． 通过实际测量，了解米、分米、厘米、毫米之间的关系。
1分米=10厘米 或1dm=10cm;
1米=10分米 或 1m=10dm;
1厘米=10毫米 或1cm=10mm;
2．知道1分米或1毫米的实际长度。
45

3．能利用长度单位之间关系进行单位换算
1千米有多长（千米的认识）
知识点：
1．体验1千米有多长。
2．了解千米和米之间的关系; 1千米=1000米或1km=1000m。
3、能正确使用长度单位。

第六单元：加减法（一）



加
减
整百整十数的口算加减法
三位数笔算加法
三位数笔算减法
法
解决生活中的实际问题
（一）


不进位加法
进位加法
连续进位加法
不退位
退位
连续退位

相同数位上的数相
加，满十进一
相同数位上的数相
减，退一当十

买电器（口算加减法）
知识点：
46

1、掌握整百、整十数的加减法的口算方法，能正确口算。
2、能运用所学知识解决实际问题。
回收废电池（三位数笔算加法）
知识点：
1 、掌握三位数加法（不进位、进位、连续进位）的计算方法，能正确笔算。计算过程中相同数位
要对齐。
2、能运用估算的方法初步检验计算结果的对错。
3、能运用所学知识解决实际问题。
小小图书馆（三位数笔算减法）
知识点：
1 、掌握三位数减法（不退位、退位、连续退位）的计算方法，能正确笔算。计算过程中相同的计
数单位相 减，哪一位不够减，要向前一位退1，和本位上的数相加再减。
2、能运用估算的方法初步检验计算结果的对错。
3、能运用所学知识解决实际问题。






47

5、最新北师大版小学数学三年级上册知识点整理与归纳
第一单元 混合运算
知识点一
1．加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2．在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左
往右按顺序计算。
3．在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加
减法。
4 ．算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计
算顺序遵循以上的计算顺序。
知识点二
关于“0”的运算
1．0”不能做除数；
字母表示：a÷0错误
2．一个数加上0还得原数；
字母表示：a＋0= a
3．一个数减去0还得原数；
字母表示：a－0= a
4．被减数等于减数，差是0；
字母表示：a－a =0
5．一个数和0相乘，仍得0；
48

字母表示：a×0=0
6．0除以任何非0的数，还得0；
字母表示：0÷a（a≠0）=0
7．0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商.
第二单元 观察物体
知识点一
四边形 特
边
正方形
长方形
平行四边形
梯形
四条边都相等，两组对边分别平行
对边相等，两组对边分别平行
对边相等，两组对边分别平行
只有一组对边平行
征
角
四个角都是直角
四个角都是直角
两组对角分别相等
等腰梯形同底上的两个角相等
知识点二
1．生活中的简单物体观察总结：同一个物体从不同的角度看会有不同的形
状。
2．总结：同一立体图形从不同角度观察会有不同的形状。
49

知识点
连加
举例说明
256+274+361=891
786-284-249=253
金点子
计算连加式题时，要按从左往右的顺序依次计算
计算连减式题时，可以按从左往右的顺序依次 计算，也
可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去两个减数
的和。
不带小括号的 加减混合式题的运算顺序，：按从左往右
的顺序依次计算。带小括号的加减混合式题的运算顺
序 ：先算小括号里面的，再算小括号外面的。
里程数=终点数-起点数
连减
786-（284+249）=253
加减混
合
里程表
中的问
题
259+148-342=65
求两地间的路程，要找准起
点，用较远的路程减去较近的
路程就得到两地间的路程
第三单元 加与减
第四单元 乘与除
具体内容
小树有多
少棵
需要多少
钱
丰收了
知识盘点
整十、整百、整千数乘一
位数的口算方法
两位数乘一位数的口算
方法
整十、整百、整千、几百
几十数除以一位数的口
算方法。
金点子
先用整十、整百、整千数中的“0”前面的数与一位数相
乘，再看乘数的末尾有几个“0”，就在积的末 尾添几个
“0”
先把两位数看作是几个十和几个一，再用它们分别与一位
数相乘，最后把两个积相加
先不看被除数末尾的0，按照表内除法算出商，再将被除
数末尾的0添在商的末尾。
方法有三种：（1）想乘法，算除法；（2）先把两位数拆
分成一个整十数和一个一位数，再用它们分别 除以一位
数，最后把两次除得的商相加；；（3）用被除数十位数
和个位上的数分别除以一位数 ，把两次的商分别写在商的
十位和个位上。
植树
两位数除以一位数的口
算方法
第五单元 周长公式
1．周长概念：封闭图形一周的长度，就是它的周长。
2．周长公式：
50

长方形的周长 = （长+宽）×2 长方形的长 = 周长÷2－宽 长方形的宽 = 周
长÷2－长
正方形的周长 = 边长×4 正方形的边长 = 周长÷4
第六单元 除法
1．余数和除数之间的关系：进行有余数的除法计算时，结果中的余数一定
要比除数小。
2．公式：
被除数 = 除数×商＋余数
除数 =（被除数－余数）÷商
商 = （被除数－余数）÷除数
3．方法：
（1）相同数位对齐，从最高位除起 ，除到哪一位就把商写在那一位的上面。
如果被除数最高位比除数小就要看被除数的前两位，除到哪一位 就把商写在
那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。
（2）0除以任何不是0的数都得零。
（3）除到哪一位不够除就添0占位。
（4 ）看清运算顺序，算式里只有乘除法，按从左到右的顺序进行计算，要
是有括号要先算括号里的。
第七单元 年 月 日
知识要点：
1．年： 平年：全年365天，闰年：全年366天
51

2．月： 大月：1、3、5、7、8、10、12月；
小月：4、6、9、11月
平月（二月）：平年28天 闰年29天
3．日历：学会看日历，知道某年某月是星期几
4．钟表：24时记时法 12时记时法
5．公式：
1时= 60分 1分= 60秒 半时= 30 分
60分=1时 60秒=1分 30 分=半时
第八单元 可能性
1．‘不可能和一定’，都表示确定的现象。‘可能’，表示不确定的现象。
2．请用“一定、可能、不可能”来说一说。
一定：太阳一定从东边升起；月亮一定绕着 地球转；地球一定每天都在
转动；每天一定都有人出生；人一定要喝水……
可能：三天后可能下雨；花可能是香的；明天可能有风；下周可能会考
试。……
不可能 ：太阳不可能从西边升起；地球不可能绕着月亮转；我不可能
从出生到现在没吃过一点东西；鲤鱼不可能 在陆地上生活；空中不可能盖楼
房；我不可能比姐姐大……




52

6、最新北师大版小学数学三年级下册知识点整理与归纳
个0。（如：30÷5 = 6）
4、笔算除法：
（1）余数一定要比除数小。在 有余数的除法中：最小的余数是1；最大的余数是除数
减去1；最小的除数是余数加1；
最大的被除数=商×除数+最大的余数； 最小的被除数=商×除数+1；
（2）除法验算：→ 用乘法
没有余数的除法 有余数的除法
被除数÷除数＝商 被除数÷除数＝商……余数
商×除数＝被除数 商×除数＋余数＝被除数
被除数÷商＝除数 （被除数－余数）÷商＝除数
0除以任何不是0的数（0不能为除数）都等于0；0乘以任何数都得0；
0加任何数都得任何数本身，任何数减0都得任何数本身。
5、笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
6、笔算除法时，哪一位上不够商1，就添0占位。（最高位不够除，就向后退一位再商。）
7、多位数除以一位数（判断商是几位数）：
用被除数最高位上的数跟除数进行比较，当被除 数最高位上的数大于或等于除数时，
被除数是几位数商就是几位数；当被除数最高位上的数小于除数时， 商的位数就是被
除数的位数减去1。

第二单元 图形的运动
1、轴对称图形：对折后两边能完全重合的图形是轴对称图形。
2、对称轴：对折后能使两边重合的线叫做对称轴。
3、轴对称图形特点：对称轴是一条直线 ，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离
相等，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。
4、轴对称图形的有：角、五角星、正方形、长方形、圆和正多边形等都是轴对
对称图形。
5、有的轴对称图形有不止一条对称轴.圆有无数条对称轴,每条圆的直径所在的直线都
53

是圆的对称轴.
6、既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．
7、平移：是 指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，
这样的图形运动叫做图形的平移 运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图
形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所 连的线段相等。
8、平移的特征：图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。

第三单元 两位数乘两位数
1、两位数乘两位数，积可能是（三）位数，也可能是（四）位数。
2、口算乘法：整十、整 百的数相乘，只需把0前面数字相乘，再看两个乘数一共有几
个0，就在结果后面添上几个0。
3、估算：18×22，可以先把因数看成整十、整百的数，再去计算。
→（可以把一个乘数看成近似数，也可以把两个乘数都同时看成近似数。）
4、有大约字样的一般要估算。
5、凡是问够不够，能不能等的题目，都要三大步：
①计算、②比较、③答题。→ 别忘了比较这一步。
6、笔算乘法：先把第一个乘数同第二个 乘数个位上的数相乘，再与第二个乘数十位
上的数相乘。
7、相关公式：乘数×乘数＝积 积÷乘数＝另一个乘数
运算顺序：先乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果 有括
号，要先算括号内的运算。

第四单元 克、千克、吨
质量单位 ：吨、千克、克，每相邻两个单位之间的进率都是1000。
1吨=1000千克 1千克＝1000克
千克：称一般物品的质量或称比较重的物品的质量用千克作单位。用kg表示
克：称比较轻的物品的质量用克作单位。用g表示
它们的进率是1000，即1千克=1000克 1kg=1000g
克和千克之间的换算方法：把千克换算成克，就是在克数末尾添上3个0；把克换算成
54

千克，就是在克数末尾去掉3个0。
称很重的或大宗的物品表示大 型物体的质量或载质量通常用吨作单位。吨可以用字母
“t”表示。
吨和千克之间的进率是1000，即1吨=1000千克 1t=1000 kg
把吨换算成千克，就在数字的末尾加上3个0；把千克换算成吨，就在数字的末尾去掉
3个0。

第五单元 面 积
1、物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。
封闭图形一周的长度叫周长。长度单位和面积单位的单位不同，无法比较。
2、比较两个图形面积的大小，要用统一的面积单位来测量。
3、①边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米；
②边长1分米的正方形，面积是1平方分米；
③边长1米的正方形，面积是1平方米；
4、长方形：
长方形的面积＝长×宽 长方形的周长＝（长＋宽）×2
求长：长＝长方形面积÷宽 已知周长求长：长＝长方形周长÷2－宽
求宽：宽＝长方形面积÷长 已知周长求宽：宽＝长方形周长÷2－长
正方形：
正方形的面积＝边长×边长 正方形的周长＝边长×4
求边长：已知周长求边长：边长＝正方形周长÷4
5、长度单位之间的进率：
1厘米＝10毫米 1分米＝10厘米 1米＝10分米 1千米＝1000米
6、周长相等的两个长方形，面积不一定相等。面积相等的两个长方形，周长也不一
定相等。
7、在生活中找出接近于1平方厘米、1平方分米、1平方米的例子。例如1平方厘米（指
甲盖 ）、1平方分米（电线插座）、1平方米（可以站12个小学生的地方）。
8、区分长度单位和面积单位的不同：长度单位测量线段的长短，面积单位测量面的
大小。
55

（二）长方形、正方形的面积计算
1、归类： < br>什么样的问题是求周长？（缝花边、围栅栏、围栏杆、篱笆或花坛周围小路长度、围
操场跑步的长 度等等）
什么样的问题是求面积？或与面积有关？（课本等封面大小、刷墙、花坛周围小路面
积、给餐桌配玻璃、给课桌配桌布、洒水车洒到的地面、某物品占地面积、买玻璃、
买镜子、买布、买地 毯、铺地砖、裁手帕等等）
2、长方形或正方形纸的剪或拼。
有两个或两个以上长方形或正 方形拼成新的图形后的面积与周长。从一个图形中（通
常是长方形）剪掉一个图形（最大的正方形等）求 剪掉部分的面积或周长、求剩下部
分的面积或周长。要求先画图，再标上所用数据，最后列式计算。
3、刷墙的（有的中间有黑板、窗户等）：求要用到的面积等于大面积减去小面积。
4、常用的面积单位有：平方厘米、平方分米、平方米。
相邻两个常用的面积单位之间的进率是 100 。
测量房间、菜园、教室、操场的面积通常用平方米为单位 。
6、面积单位换算：
1平方米 = 100平方分米 1m
2
= 100dm
2

把平方米换算成平方分米，就在数字的末尾加上2个0; (大单位换算成小单位)
把平方分米换算成平方米，就在数字的末尾去掉2个0。(小单位换算成大单位)
1平方分米 = 100平方厘米 1dm
2
= 100cm
2

把平方分米换算成平方厘米，就在数字的末尾加上2个0; (大单位换算成小单位)
把平方厘米换算成平方分米，就在数字的末尾去掉2个0。(小单位换算成大单位)
1平方米 = 10000平方厘米 1m
2
= 10000cm
2
把平方米换算成平方厘米，就在数字的末尾加上4个0; (大单位换算成小单位)
把平方厘米换算成平方米，就在数字的末尾去掉4个0。(小单位换算成大单位)

第六单元 分数的初步认识
1、分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的几份 就是这个整体的几分
之几，所分的份数作分母，所占的份数作分子。
56

认识几分之一：把一个整体平均分成几份，每一份就是它的几分之一。
认识几分之几：把一个整体平均分成几份，取其中的几份，就是这个整体的几分之
几。
把一个整体平均分得的份数越多，它的每一份所表示的数就越小。
2、比较大小的方法：新课 标 第 一 网
分子相同比分母，分母小的分数反而大，分母大的分数反而小。
分母相同比分子，分子大的分数就大，分子小的分数就小。
3、分数加、减法：
、同分母分数相加、减法的计算方法：分母不变，分子相加、减；
、1减几分之几的计算 方法：计算1减几分之几时，先把1写成与减数分母相同的分
数（1可以看作是分子分母相同的分数）， 再计算。

新课 标第 一 网














57

7、最新北师大版小学数学四年级上册知识点整理与归纳
第一单元《认识更大的数》
数一数 、认识更大的数
1、认识数级、数位、计数单位，并了解它们之间的对应关系。
数
……
级
千
数
……
亿
位
位
计
一
数
……
单
位
亿 亿 亿
千百十
亿
万 万 万
个）

亿级
百
亿
位
十
亿
亿
位
位 位
万
千
万级
百
万
十
万
万
位
位 位
千
个级
百十个
位 位 位 位
千百十
万 千 百 十
（
2、十进制计数法。相邻两个计数单位之间的进率是十，也就是十进制关系。
3、数一数：能一万一万地数，十万十万地数，一百万一百万地数……
人口普查、国土面积
1、亿以内数的读数方法。
含有个级、万级和亿级的数，必须先读亿级，再读万级，最后读个 级。（即从
高位读起）亿级或万级的数都按个级读数的方法，在后面要加上亿或万。每级末
尾的 零不读，在各级中间的零必须读。中间不管有几个零，只读一个零。
2、亿以内数的写数方法。
从高位写起，按照数位的顺序写，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在那
一位上写0。
3、 比较数大小的方法：
多位数比较大小，如果位数不同，那么位数多的这个数就大，位 数少的这个
数就小。如果位数相同，从左起第一位开始比起，哪个数字大，哪个数就大。如
果左 起第一位上的数相同，就开始比第二位……直到比出大小为止。
58

4、 改写以“万”或“亿”为单位的数的方法。
以“万 ”为单位，就要把末尾的四个0去掉，再添上万字；以“亿”为单位，
就要把末尾八个0去掉，再添上亿 字。
5、改写的意义：为了读数、写数方便。
近似数
1、 精确数与近似数的特点。
精确数一般都以“一”为单位，近似数都是省略尾数，以“万”或“亿”为单位。
2、用四舍五入法保留近似数的方法。
首先确定要精确到哪一位（即四舍五入到哪一位）， 先找到这一位数，并在其
下方点一点做上标记，要舍还是入，要看这一位数的后一位数，如果后一位数是 0、
1、2、3、4则是四舍，如果是5、6、7、8、9则是五入的情况，则必须把做标记
的 数+1，不管是舍还是入，做记号的数的后面有几位数就都用0去代替他们。
如精确到万位，只看千位，精确到亿位，只看到千万位。
第二单元《线与角》
线的认识
1、认识直线、线段与射线，会用字母正确读出直线、线段和射线。
直线：可以向两端无限延伸；没有端点。读作 ：直线AB或直线BA。
线段:不能向两端无限延伸；有两个端点。读作：线段AB或线段BA。
射线：可以向一端无限延伸；有一个端点。读作：射线AB（只有一种读法，
从端点读起。）
2、 画直线。
过一点可画无数条直线；过两个能画一条直线；过三点，如果三点在一条线
上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画
出直线。
3、明确两点之间的距离，线段比曲线、折线要短。
线段的长度即是线段的两个端点之间的距离。
两点之间所有连线中点段最短。
4、直线、射线可以无限延长。因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以
测量，没有具体的 长度。如：直线长4厘米。是错误的。只有线段才能有具体的
59

长度。
相交与垂直
1、相交与垂直的概念。
两条直线经过同一个点时，我们说这两条直线相交。判断方法：判断两条直
线是否相交不能只看图中的直 线有没有相交于一点，将两条直线延长后，如果两
条直线会相交于一点，那么我们就说这两条直线相交。
当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA
垂直于直线 OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直
说明了这两条直 线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。）
2、 画垂线：
（1）过直线上一点画垂线的方法。
把三角尺的一条直角边与这条直线重合，直角顶点是垂 足，沿着另一条
直角边画直线，这条直线是前一条直线的垂线。注意，要让三角尺的直角顶
点与 给定的点重合。
（2）过直线外一点画垂线的方法。
把三角尺的一条直角边与这条直线 重合，让三角尺的另一条直角边通过
这个已知点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是前一 条直线
的垂线。注意，画图时一般左手持三角尺，右手画线。过直线外一点画一条
直线的垂线， 三角尺的另一条直角边必须通过给定的这个点。
3、用数学符号表示两条直线互相垂直的关系。如：OA⊥OB。
4、点到直线之间垂线段最短。
平移与平行
1、平行线的定义：在同一平面内 ，永不相交的两条直线叫做平行线。判断平行线要
注意两点：①两条直线必须在同一平面内。②两条直线 延长后不
会相交。
2、平行线的画法。
（1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。
（2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。
（3）沿一条直角边在画出另一条直线。
60

3、用数学符号表示两条直线的平行关系。如：AB∥CD。
旋转与角
1、角的概念。
由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。
2、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，（像一条直线），平角等于180°，等于两个直
角。
周角：角的两边重合，(像一条射线），周角等于360°，等于两个平角，四个
直角。
3、角的分类：
小于90度的角叫做锐角；
等于90度的角叫做直角；
大于90度小于180度的角叫做钝角；
等于180度的角叫做平角；
等于360度的角叫做周角。
角的度量
1、 认识度。
将圆平均分 成360份，把其中的1份所对的角叫做1度，记作1°，通常用
1°作为度量角的单位。
2、 认识量角器。
量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心点、 0刻
度线、内刻度线、外刻度线。
3、 量角器的使用方法。
“两合一看”：“ 两合”是指中心点与角的顶点重合；零刻度线与角的一边重
合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角 器的刻度。
4、 看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开
口向右看内刻度线。
5、 角的大小与边的长短无关，与角叉开的大小有关。
6、用量角器画指定度数的角的方法。
61

画一条射 线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两合），对准量角
器相应的刻度点一个点(一看)，把 点和射线端点连接，然后标出角的度数。
7、30度、60度、90度、45度、75度、105度 、135度、120度和150度用三角板比
较方便。
第三单元《乘法》
卫星运行 （三位数乘两位数）
1、 估算方法。
用四舍五入法进行估算。
2、 利用竖式计算三位数乘两位数。
先用两位数个位上的数去乘三位数 ，得数的末尾数和两位数的个位对齐，
在用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对 齐，哪一位
满几十就向前一位进几，最后再把两次乘得的积加起来。
3、时、分、日之间的单位互化。
1时=60分 1日=24时
4、因数中间或末尾有0的三位数乘两位数。
中间有0也要和因数分别相乘；
末 尾有0的，要将两个因数0前面数的末位对齐，用0前面的数相乘，乘完
之后在落0，有几个0落几个0 。
有多少名观众（实际生活中的估算）
估算的方法及注意事项：要将因数估成整十、整 百或整千的数。估算时注意，要
符合实际，接近精确值。
第四单元《运算定律》
买文具
四则混合运算的运算顺序。
1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按
顺序计算。
2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减。
3、算式里面有括号的要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算
括号外面的。
62

加法交换律和乘法交换律
1、 加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
用字母表示为：
2、 乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。
用字母表示为：
加法结合律
加法结合律：三个数相加，先算前两个加数相加，或先算后两个数 相加和不变，这叫
做加法结合律。
用字母表示为：
简便运算：连加时，先观察哪两个数或哪几个数相加能凑成整十、整百、整千……的
数，然后运用加 法交换律和结合律改变加数的位置或运算顺序，可以让一
些加法计算变得简便。
乘法结合律
1、 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后
两个数相乘，
再和第一个数相乘，它们的积不变。
用字母表示是：（a×b）×c=a×(b×c).
2、使用时机：当几个数相乘时，如果其中两个数相乘得整十、整百、整千的数就可
以应用乘法交换律和 乘法结合律。乘法结合律可以改变乘法运算中的
顺序。数字如：25和4、50和2、125和8、50 和4、500和2……
乘法分配律
1、 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、
减数）分别与
这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。
用字母表示数：（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c－b×c
2、 式子的特点：式子的原算符号一般是×、+（—）的形式；在两个乘法式子中，
有一个相同的因数；另为 两个不同的因数之和(或之差)基本上是能
凑成整十、整百、整千的数。
63

3、 102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十 、整百、
整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和
（或差），再应用乘法分配律可以使运 算简便。
第五单元《方向与位置》
去图书馆
叙述路线时要明确起 始的位置和要到达的终点，判断方向时，走到哪个位置，
那个位置就是观测点，再根据“上北下南，左西 右东”的规则来确定方向，然后说出
距离，确定线路。
画路线，首先要确定方向， 再确定起始的位置和要到达的终点，然后确定用多
长线段表示实际的长度，按叙述的顺序，找准方向画出 合适长度的线段，逐次完成每
一段路线。
确定位置
1、数对的表示方法：先表示 横的方向，后表示纵的方向，即根据直角坐标系，确定
某一点的坐标
2、数对的写法：先横 向观察，在第几位就在小括号里先写几，再点上逗号；然后再
纵向观察，在第几位，就在小括号里面写上 几。如小青的位置在第三组，第二个
座位，用数对表示为（3，2）。
3、能根据数对说出 相应的实际位置。如某个同学在（5，6）这个位置。他的实际位
置是，班级中（从左往右数）第五组第 六个座位。

第六单元《除法》
买文具
1、用竖式求除数是两位数（整十数）除法。注意：三位数除以两位数，商要写在个
位上。
2、用乘法进行验算。
除数是整十数，商也是整十数的竖式计算方法。注意在商的末尾必须补0，它
起到占位的作用。
参观苗圃（把除数看作整十数试商）
知识点：
64

1、笔算三位数除以两位数的方法，试商时把除数看作整十数试商。
2、了 解被除数、除数和商之间的关系。被除数÷除数=商。。。。。。余数；被除数=除数×
商+余数，为验 算做好准备。
秋游（三位数除以两位数）
知识点：
1、体验改商的过程， 掌握改商的方法。在试商的时候，如果在估商的时候，把除数
变大了，商就可能变小；如果把除数变小了 ，商就可能变大。（或者当所得的余数大
于等于除数时，商小了需要调大；当试的商与除数的乘积大于被 除数的时候，则商要
调小。）
2、能够对三位数除以两位数的除法进行估算。
补充知识点：
1、单价×数量=总价 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价
2、确定商是几位数的方法：三位数除以两位数，如果前两位够商1，商则是两位数；
如果前两位不够 商1，商则是一位数。
商不变的规律
知识点：
1、商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
2、根据商不变的性质计算150÷25 800÷25 2000÷125因为25乘4能得 到100，
125乘8能得到1000，所以将被除数和除数同时扩大4倍、8倍。
路程、时间和速度
1、路程、时间和速度之间的关系。
路程=速度×时间
时间=路程÷速度
速度=路程÷时间
2、利用上面三个关系式解决生活中的实际问题。
第七单元《生活中的负数》
温度
1、零下温度的表示方法及写法，在温度前面写上“—”号，如“—2℃”“—12℃ ”
通常读作零下2摄氏度、零下12摄氏度。
65

2、能够正确地比较两个零下的温度的高低：
0℃和零上的温度高于零下的温度；
零下温度的数字越大表示温度越低。
正负数
1、正数：比0大的数字都是正数，有的时候我们在正数前面添上“+”号，如+5、+20
等 等，读作：正5、正20。
2、负数：比0小的数字都是负数，我们在负数前面提案上“—”号，如 —2、—10
等等，读作：负2、负10。
3、明确：“0”既不是正数也不是负数。
4、能用正数、负数表示实际问题，要确定以什么作为标准（即以什么作0点）
5、负整数、0和正整数都是整数。
6、“+”和“—”表示意义相反的两个数量。
数学好玩
滴水试验
节约用水，减少浪费，对我们整个地球至关重要。水是人类 赖以生存和发展的重
要资源之一，是不可缺少、不可代替的特殊资源。没有水就没有生命，就没有文明的
进步、经济的发展和社会的稳定。
编码
1、身份证是由18个数字组成的，前6 位为行政区域代码，第7至14位为出生日期
码，第15到17位为顺序码，第18位为校验码。 < br>2、根据银行卡的前6位，就能确定发卡的银行，银行卡的最后一位是校验码，其他
位数所表示的 是发卡银行的自定义代码，发卡银行的自定义代码一般由6~12位数
字组成，最多可以使用12位数字 。
3、在设计学号时，学号中应体现入学年份、年级、班级、性别等内容。
4、生活中有很 多关于编码的例子，如宾馆的房间号、电话号码、条形码、邮政编码
等，了解一些编码的含义对我们的生 活是有帮助的。
数图形的学问
1、 数线段的方法有三种：一是从某一点数起；
二是按照线段的种类数；
66

三是通过数点来列算式计算。
2、解答有关数点的简单实际问题时，可以通过从某一个点数起和数基本 线段的方法
解答，还可以通过数点列算式计算的方法来解答。
3、若一条线段上有n个点，则有1+2+3+……+（n-1）条线段。

8、最新北师大版小学数学四年级下册知识点整理与归纳
一、小数的认识意义和加减法 1、小数的计数单位为十分之一、百分之一、千分之一……分别写作
0.1、0.01、0.001 ……
2、每相邻的两个计数单位之间进率是10。
3、小数的数位是十分位、百分位、千分 位……最高位是十分位，整
数部分最低位是个位，个位与十分位是进率是10。
4、小数的数位顺序表
整数部分
小
数
点
小数部分
数
位
…
万
位
万
千
位
千
百
位
百
十
位
十
个
位
位十

位百位千位万

分
·
分
一百
分
之

分

分
…
计单
数位
…








一
（
个
）

一十
分
之

一千一万
分分
…
之之



5、低级单位转化为高级单位时，先将这个低级单位的 数写成分数的
形式，再写成小数的形式。例如1分米=
=0.01米,1克=
1
1000
1
米=0.1
10
千克=0.001千克。
6、小数的大小比较：（1） 先比较整数部分；（2）如果整数部分相
同，就比较小数部分十 分位；（3）十分位相同，就比较百分位；（4）
67

米，1厘米=
1< br>米
100

以此类推，直到比较出大小。
7、小数的基本性质：小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小
不变。 理解0.1与0 .10的区别联系：区别：0.1表示1个0.1、
0.10表示10个0.01、意义不同。联系：0 .1=0.10两个数大小相等。
运用小数的基本性质可以不改变数的大小，改写小数或化简小数。 < br>8、小数加减计算法则：小数点对齐；按照整数加减法的法则计算。
从末位算起；哪一位上的数相 加满十，要向前一位进一。如果被减
数的小数末尾位数不够，可以添“0”再减；哪一位上的数不够减，
要从前一位退一，在本位上加十再减；得数的小数点要对齐横线上
的小数点。
9、 小数加减混合运算的顺序和整数加减混合运算的顺序相同。只有
加减运算，从左往右；有括号的，先里后 外。 整数加、减法的运
算定律同样适用于小数加减法。例如加法的结合律，交换律。
小数的 加减法要注意：小数点要对齐，也就是将数位要对齐，得数
的末尾有“0”，一定要把“0”去掉。
易错题；
1、名数改写
360平方米=（ ）公顷 23400万吨是（ ）亿吨
40.7分米=（ ）米 1.32千克=（ ）克
4平方米=（ ）平方分米 0.56吨=（ ）千克
40.7分米=（ ）米 （ ）克=2.05千克
68

1.4平方米=（ ）平方分米 4.02平方千米=（ ）公顷
0.3千克=（ ）克 0.86平方分米=（ ）平方米
5.06吨=（ ）吨（ ）千克 2.80吨=（ ）千克 2.08
吨=（ ）千克 40公顷=（ ）平方分米
4米5分米2厘米=（ ）米 3吨80千克=（ ）吨 =（ ）千克 79
千克=（ ）吨 2.6吨Ｏ260千克 70千克Ｏ0.7克
3小时15分Ｏ3.15小时 5.25千克Ｏ5025克

二、认识三角形和四边形
1、按照不同的标准给已知图形进行分类；
① 按平面图形和立体图形分；
② 按平面图形是否由线段围成来分的；
③ 按图形的边数来分。
2、把三角形按照不同的标准分类，并说明分类依据；
① 按角分 ，分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，并了
解其本质特征：三个角都是锐角的三角形是锐角三 角形，有一个角
是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三
角形。
② 按边分，分为：等腰三角形、等边三角形、任意三角形。有两
条边相等的三角形是等腰三角 形，三条边都相等的三角形是等边三
角形。（等边三角形是特殊的等腰三角形）
69

3、三角形的性质：三角形具有稳定性，不易变形。
4、每个三角 形都至少有两个锐角；每个三角形都最多有1个直角；
每个三角形都最多有1个钝角。
5、任意一个三角形内角和等于180度。
6、三角形任意两边之和大于第三边。
7、由四条线段围成的图形是四边形，四边形中有两组对边分别平行且相
等的四边形是平行四边形，只 由一组对边平行的四边形是梯形。
考点：

一个等腰三角形的顶角是70°,它的一个底角是( )，按角分它是
( ) 三角形。
一个等腰三角形的两边长分别是8厘米、7厘米，它的周长是（ ）
厘米。
一个等腰三角形的一个角为80度，则它的另外两个角分别是
（ ）。

三、小数乘法
1、小数乘法的意义：就是求几个相同加数的和的简便运算， 也可以
说是求这个小数的几倍是多少。
2、小数点位置移动引起小数大小变化的规律
① 小数点位置移动引起小数大小变化的规律：小数点向右移动一
位、两位、三位„„这个数就 扩大到原来的10倍、100倍、1000倍......
70

小数点向左移动一位、两位、三位„„这个数就缩小到原来
的
111
、 、
101001000
......
② 小数点右移， 位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，
整数最高位前边的“0”要去掉；小数点左移，位数不 够时，也用“0”
补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示，若小数末尾
有0，根 据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。
③ 积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个
乘数一共有几位小数，积就有几位小数。
3、乘数与积的大小关系： 当一个乘数大于“1”时，积就大于另
一个乘数； 当一个乘数小于“1”时，积就小于另一个乘数； 当
一个乘数等于“1”时，积就等于另一个乘数。
4、小数乘法的法则
① 计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的末位起向左数出几位，点上小数点。小
数末尾有“0”，必须删掉。
② 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相
同：只有加减或乘除运算，从左 往右；既有加减又有乘除运算，先
乘除后加减；有括号的，先里后外。
③ 整数的运算定律在小数运算中仍然适用。例如乘法的结合律，
交换律，分配律。
易错点：
71

3、小数点的移动
0.5扩大10倍等于500缩小（ ）倍。
0.45扩大100倍是( )。
( )缩小100倍是2.6。
500缩小100倍等于0.25扩大( )倍。
646000千米是（ ）万千米。
去掉1.32的小数点,原数扩大( ) 倍,结果比原数大( )。
把0.302扩大10倍是 ( )。
把小数的小数点向右移动两位, 这个小数就( )。
先把0.36扩大1000倍,再缩小100倍,结果是( )。
一个数的小数点右移两位，增加了198，这个数是（ ）。
一个数的小数点左移一位，减少了88.2，这个数是（ ）。
一个数扩大100倍后比原来的数多782.1，原来的数是( )。
4、小数的计数单位
35个百分之一是（ ），35个十分之一是（ ）。
3.07里有（ ）个一和（ ）个千分之一组成。
1.25里有( )百分之一,至少再添上 ( )百分之一就是整数。
百位和百分位上都是6,其余是0,这个数写作( )。
4.68的计数单位是( ),它有 ( )个这样的计数单位。
1.2里面有( )个0.01。
0.365是由3个( )， 6个( )和( )个0.001组成。
72

4.9628精确到十分位是( )，精确到百分位是( )。
在2.5的末尾添上两个0,它的计数单位由( )变为( )。
整数部分最小的计数单位比小数部分最大的计算单位多（ ）。
5个0.1和5个1100组成的数是( ),这个数读作( )。
4.505左边的5是右边5的( )倍。
小数点的左边第二位是( )位,它的计数单位是( )，小数点右边第二
位是( )位,它的计数单位是( ) 。
一个数写错了,丢掉了小数点,读四万五千零一,原来的小数只读一个零,这个小
数是( )。
小数点左边第二位上的2要比小数点右边第二位上的2多（ ）。
一个数由8个1,9个0.1和6个11000组成,这个数是( ),保留两位小数
是( )。
比0.6大比0.7小的小数只有9个。 ( )
一个小数它的位数越多,数就越大。 ( )
20.560化简后是2.56。 ( )
大于0.3小于0.5的一位数只有0.4。( )
把10.060化简得1.6 。 ( )
5、计算
13.03-0.93= 1.05-0.75= 0.56+0.54= 3.14÷10=
5.35+0.5= 1.6×1000= 0.03+0.7= 3.28÷0.02=
8.19÷0.9= 0.0025-0.00035=
73

6.脱式计算
5.89-0.16-3.84 0.8×75×12.5×4 9-0.9÷9+1


46×2.02-0.02×46 3.96+5.04÷9×5 8×(1.25+0.7)

25×3.2×125 34.89-(14.89+12.7) 3.8×99+3.8

6.18-(2.47+1.18) 8.7+1.3-8.7+1.3 34.85×3.2+3.2×65.15
7.19-5.3+0.81 30-(3.5-2.75) 56×3.6+45×3.7-3.7
四、观察物体
1、从不同方向观察由小正方体搭成的物体，要明确观察到的形状，
即 有几个小正方体组成以及每一个正方体的位置，才能画的准确。
2、用一定数量的正方体按指令搭立体 图形或还原立体图形，要根据
正方体的个数和从三个方向看到的形状综合考虑，不能遗漏。

五、认识方程
1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关
系。
2、用字母表示有关图形的计算公式： ① 长方形周长
公式：C=2（a＋b）。 ②长方形面积公式：S=ab。 ③
74

正方形周长公式：C=4a。 ④正方形面积公式：S=
a
2
。
4、在含有字母的式子中，字母和字母之 间、字母和数字之间的乘号
可以用“•”表示或省略不写，数字一般都写在字母前面。数字1与
字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。如：a×b=ab、5×a=5a、
1×a=a、a×a=< br>a
2

5、区别a的平方和2乘a的区别：
6、方程的意义与等式性质
① 方程的含义：含有未知数的等式叫方程。
② 方程与等式的联系区别：方程是等式，但等式却不都是方程。
③ 等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然
成立。
④ 等式性质二：等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），
等式仍然成立。
⑤ 解方程 的书写格式：解方程前要先写一个“解”字和冒号；一
步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐；表示 未知数的字母一
般都要放在等号的左侧。
⑥ 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。求方程的解
的过程叫作解方程。
⑦ 能运用减法、除法各部分间的关系，求未知数是减数、除数的
方程。
⑧ 看图列方程的关键 是看懂图意，从中找出等量关系，然后再
a
2
=a×a，2a=a+a=2×a。
75

根据等量关系列出方程。在列方程时，把未知数尽量放在等式左
边。
⑨ 用方程解决实际问题（解应用题），首先要用字母表示未知数，
然后根据题目中数量之间的 相等关系，列出一个含有未知数的等式
（也就是方程）再解出来，最后检验，写出答语。
7、图形中的规律
① 摆n个三角形需要2n＋1根小棒。 ② 摆n个正方形需要3n
＋1根小棒。
易错点：
7、方程
一本练习本的价格是0.6元，买x本应付（ ）元。
一本练习本的价格是a元，买b本应付（ ）元。
仓库里有大米2400袋，运走了a袋，又运来b袋，现在仓库里有大米（ ）
袋。
1千克苹果的价钱是每千克b元，那么10元钱可买（ ）千克苹果。
四一班有男生a人，女生比男生少b 人，四一班共有（ ）人。
妈妈今年a 岁，小华的年龄比妈妈小26岁，小华今年（ ）岁。
笑笑5天共读书x页，平均每天读（ ）页。
用字母表示公式：长方形的周长（ ），正方形面积
（ ）
加法交换律（ ），乘法分配律（ ），乘法
结合律（ ）
76

18减去c的6倍用字母表示是（ ）
4.2加上a，再除以0.8用字母表示是（ ）
连续的3个自然数，如果第二个数用x表示，那么第一个数应表示为
（ ），第三个数应表示为（ ）。
列方程并解答：
1.一个数减8.6与4的积，差是15.7，求这个数。
2.x除以3.1与1.8的和，商是2.1。求这个数
3.13.9除69.5的商再加上x，和是5.6。求 x。 30比一个数的5倍少
20，这个数是几？
4.有一个两位数，各数位上的数字之和是9，个 位上的数字比十位上的数
字大5。这个两位数是多少？
8、解决问题
一副三角板1.35元,比一支圆珠笔便宜0.08元,小红付5元,应找回多少元钱?

一条长5米的绳子,剪下1米70厘米做跳绳,其余做长绳,长绳比跳绳长多少米?

大小两个数的差是621,大数去掉末尾的一个0正好等于小数,这两个数的和是
多少?


一箱苹果连箱质量是51.5千克，倒出一半的苹果后，连箱的质量是26.5
77

千克，苹果的质量是多少千克？箱子的质量是多少千克？


一桶油连桶的质量是31.6千克，卖出一半的油后，连桶的质量是16.2
千克。油的质量是多少千 克？桶的质量是多少千克？m

专业队用三个月挖了一条9.5千米的水渠，第一个月挖了2 .75千米，第
二个月比第一个月多挖了0.65千米，第三个月挖了多少千米？

妈妈用一根长16.02米的钢丝做晾衣架，第一次用去5.8米，第二次比第
一次少用去1.29米， 还剩下多少米？

王华语文、数学英语三科的平均成绩是93.5分，其中语文、数学平均成
绩是94.5 分，他的英语成绩是多少分？

莉莉与爸爸、妈妈去公园，往返车费多少元？（单程票价：成人5.8元 儿
童半价）

9、列方程解应用题
今天是奶奶的70岁生日，她的年龄比我的年龄的6倍还大4岁，我几岁？

78

小影和王阿姨的年龄和是45岁，王阿姨比小影大25岁。小影和王阿姨各
几岁？

爷爷的鱼塘里有草鱼102条，比鲤鱼条数的4倍还多2条。鲤鱼有多少条？
长方形的周长是124厘米，宽比长短22厘米。求长方形的长和宽各是几
厘米？

1千克苹果的价钱相当于2千克的橘子的价钱。妈妈买了2千克苹果和3
千克橘子，共付14元 。苹果和橘子的单价各是多少元？


妈妈买了2千克苹果和3千克梨，共用去30 .5元。已知每千克梨5.2元，
苹果每千克多少元？


兄弟两人同时从 家和学校相对出发，16分钟后相遇。家和学校相距9600
米。哥哥每分钟行350米，弟弟每分行多 少米？

世界上最轻的鸟是蜂鸟。一只麻雀的体重是81克，比蜂鸟的50倍还多1
克。一只蜂鸟重多少克？
79

等腰三角形的周长是1 4.5厘米，其中底边长4.5厘米。求这个等腰三角
形的腰是多少厘米？

竹子在 生长旺盛期每时约增高4厘米，钟状菌生长更快，生长旺盛期每时
约增高25厘米。如果它们都在生长旺 盛期，开始时竹子高32厘米，钟状
菌高0.5厘米，几时后，钟状菌的高度可赶上竹子？


六、数据的表示和分析
1、条形统计图优点：直观地反映数量的多少。
2、 折线统计图优点：既可以反映数量的多少，又能反映数量的增
减变化。
3、 折线统计图中，变化趋势指：上升或者下降。









80

9、最新北师大版小学数学五年级上册知识点整理与归纳
一、 小数除法
小数除法的计算方法：
计算除数是小数的除法，先去掉除数的小数点，看原来除数是几位小数 ，被除数的小
数点也向右移动几位，然后按除数是整数的小数除法计算。
（1）小数除以整数 ，按照整数除法计算法则，商的小数点要和被除数的小数点对齐，
有余数时在余数的后面添0继续除。
（2）整数除以整数，个位上的数除完还有余数，要先在商的个位的右下角点上小数
点，再在余 数的后面添0继续除。当整数部分不够商1时，要商0占位，并在0的右
下角点上小数点，同时要在被除 数个位的右下角点上小数点，添0继续除。
例题
竖式计算。（带△的算式要验算）
（1）0.63÷0.6=
（4）0.56÷14=

二、倍数与因数
(一）自然数、整数
1、自然数的概念：像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。
2、整数的概念：像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。
3、最小的自然数是（ ），（ )最大的自然数。
4、我们只在自然数的范围内研究因数和倍数
（二）如果a×b＝c（a、b、c是非零自然 数），那么a、b是c的因数，c是a、b的
倍数。因数和倍数是相互依存的。不能单独说谁是因数，谁 是倍数。要说明谁是谁的
因数，谁是谁的倍数。
例题：
1、3×9=27，27是 ______和______倍数，______和______是27的因数
2、如果a、b、c是三个不等于零的自然数，那么在a÷b=c中，（ ）和（ ）是（ ）
的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。
（2）12.24÷0.34=
（5）17.85÷0.7=
△（3）12.24÷0.34=

81

（三）1、一个数的倍数的个数是无限的。一个数最小的倍数是它本身，没有 最大的
倍数。
2、一个数的因数的个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它
本身。
（四）找因数的方法（注意有序思考）
列乘法算式：例120=1×120=2×60=3× 40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12（有序
思考，以防遗漏）
列除法算式：用这个数除以非零自然数，商是整数而没有余数，除数和商都是这个数
的因数。
★一个数的因数的应用
例题：
把４８块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有 几种装法？每种装法各需要几个
盒子？如果有４７块月饼呢？
规范解答：４８＝１×４８＝２×２４＝３×１６＝4×12=6×8 47=1×
47
答；48块月饼有10种装法。
每盒1块需要48个盒子，每盒2 块需要24个盒子，每盒3块需要16个盒子，每盒4
块需要12个盒子，每盒6块需要8个盒子， < br>每盒8块需要6个盒子，每盒12块需要4个盒子，每盒16块需要3个盒子，每盒24
块需要2 个盒子，每盒48块需要1个盒子。
47块月饼有2种装法：每盒1块需要47个盒子，每盒47块需要1个盒子。
1、100以内16的倍数有（ ），其中最小的倍数是（ ）。
16的全部因数有（ ），其中最小的因数是（ ），最
大的因数是（ ）。
2、一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（ ）。
16=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
3、一个数最小的一个因数是_ _____，最大的因数是______．最小的倍数是______，
这个数的倍数的个数是无限的．
4、48名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种排法？（每行最少
82

2人）
（五）2.3.5倍数的特征
2的倍数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8。
5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。
3的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除。
9的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被9整除。
补充知识点：
既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
同时是2和3的倍数的特征：
个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和 是3的倍数的数，既是2
的倍数，又是3的倍数。
同时是3和5的倍数的特征：
个 位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，
又是5的倍数。
同时是2，3和5的倍数的特征：
个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的 数，既是2和5的倍数，
又是3的倍数。
例题
1、在下面的横线里填上一个适当的数字．
（1）既是2的倍数，又是3的倍数． 47______2
（2）既有因数3，又有因数5． 4______1______
（3）既是2的倍数，又是5的倍数． 529______
（4）同时是2、3、5的倍数． 7______
（5）同时是3、5的倍数 12______5
（6）有因数2，同时又是3的倍数． 3______8．
2、判断对错
（1）一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位一定是0．______．
（2）在小于20的自然数中，既是2的倍数又是3的倍数的数有3个．______
（3）一个三位数各个数位上的数字都相同，这个数一定是3的倍数．______．
83

（4）15的倍数一定也是3的倍数______
（5）3的倍数一定是奇数______
3、用0、5、8、4组成三位数：
（1）这个三位数有因数2：______
（2）这个三位数有因数5：______
（3）这个三位数有因数3：______
（4）这个三位数既有因数2，又有因数5：______
（5）这个三位数既有因数2，又有因数3：______
（6）这个三位数既有因数2和5，又有因数3：______．
4、既有因数2，又有因数3的最小数是（ ）；既有因数2，又有因数5的最小的
数是（ ），既有因数3，又有因数5的最小数是（ ）。
5、商店运来45个柚子，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能
正 好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
（六）偶数：在自然数中，能被2整除的数，叫做偶数；
奇数: 不能被2整除的数是奇数。
奇数偶数性质：
偶数±偶数=偶数 奇数±奇数=偶数
偶数±奇数=奇数 奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数
例题
1、选出两张数字卡片，按要求组成一个数．
3 0 4 5
（1）奇数：______ （2）偶数：______
（3）5的倍数：______ （4）3的倍数：______
（5）既是2的倍数，又是3的倍数：______ （6）同时是2、3、5的倍数：______．
2、判断对错
（1）圆圆说：“所有的自然数不是奇数就是偶数．”______．
（2）一个自然数不是 奇数就是偶数，所以所有的偶数都是合数，所有的奇数都是质
数．______．
84

（3）两个奇数的积可能是奇数，也可能是偶数．______．
（4）1既是奇数也是质数．______
3、写出相邻的三个奇数
4、写出相邻的三个偶数
5、（1）有5个连续自然数之和是135，这5个连续自然数是______．
6、（2）有5个连续奇数之和是135，这5个连续奇数是______．
7、晚上，小明 正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了15下开关，这时灯是______着的，
如果再按50下，这时灯 是______着的．（填“开”或“关”）
8、把一张卡片正面朝上放在桌上，翻动20次仍正面朝上．______．
(七)质数、合数
1、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
2、一个数除了1和它本身外还有别的因数，这个数叫作合数。
3、判断一个数是质数还是合 数，主要看这个数的因数的个数。只有两个因数的数是
质数；有两个以上因数的数是合数。
4、1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。
例题：
1、20以内的全部质数有（ ）
2、最小的自然数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），既
是偶数又是质数的数是（ ），最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），（ ）
既不是质数也不是合数。
3、在括号里填上合适的质数
8=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ） 20=（ ）+（ ） 28=（ ）+（ ）
4、分一分
在17、22、29、7、37、87、93、96、41、58、61、14、57、19中
奇数：______ 偶数：______ 质数：______ 合数：______．
5、王老师的QQ号码是一个六位数．
第一位数：既是偶数又是质数．
第二位数：是最小的自然数．
第三位数：是4的倍数，又是4的因数．
85

第四位数：既是2的倍数又是3的倍数．
第五位数：是奇数又是合数．
第六位数：既是质数，又是奇数，并且是12的因数．你知道王老师的QQ号码是多少
吗？
三、 轴对称图形、平移
（一）轴对称图形
1、轴对称图形的意义：如果一个图形 沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，
这个图形就是轴对称图形。折痕所在的直线就是图形的对 称轴。
2、轴对称图形的特点：轴对称图形沿对称轴对折后，两侧能够完全重合。
3、画轴对称图形的另一半，要找准关键点。
（二）平移
1、物体或图形沿着直线 移动的运动现象叫作平移。决定平移后图形的位置的因素有
两个：一是平移的方向，二是平行移的距离。
2、平移不改变图形的大小和方向。
例题
1、画出图形的另一半，使它成为一个
轴对称图形。
2、
3、




86

四、多边形面积以及组合图形面积
（一）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
[1]
。
判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行
判定）；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
性质：（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形
的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”
[2]
） < br>（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简
述为“平行四边 形的两组对角分别相等”
[2]
）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这 个四边形的邻角互补。（简述为“平
行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相
等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简
述为“平行四边形 的对角线互相平分”
[2]
）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴 对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形
是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一 种特殊的平行四边形，三者具有平
行四边形的性质。
三角形的性质：
1 在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）；
2 在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
87

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 三角形两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边。（三角形两边之和大于第三边
中的两边是指两条较小的边，两边之差小于 第三边的两边是指两条较大的边。）
7等底同高的三角形面积相等。
（二）多边形面积
1、比较图形的面积
知识点：
借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。
平面图形面积大小的比较有多种方法：
根据图形面积的大小，可以直接进行比较；
可 以借助参照物进行比较；可以运用重叠
的方法进行比较；借助方格，利用数方格
的的方法进行比 较；直接计算面积后再进
行比较等。
图形面积相同，其形状可以是不同的。
补充知识点：
确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格 子的
多少来确定。
2、地毯上的图形面积
知识点：
根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。
直接通过数方格的方法，得出答案的面积。
将图案进行“化整为零”式的计算，即根据图案的 特点，将整体的图案分割为若干个
相同面积的小图案，通过求小图案的面积，得出整个图案的面积。
采用“大面积减小面积”的方法，即通过计算相关图形的面积，得到所求的面积。
补充知识点：
在解决问题时，策略和方法是多种多样的。
88

3、知识点：

从梯形的两条平行线中的一条上
的某一点 到对边画垂直线段，这条
垂直线段就是梯形的高，这条对边
就是梯形的底。





高和底的关系是对应的。
用三角板画出平行四边形的高的方法：
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条
直角边过对边的某一点。
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从
点到垂足）就是平行四边 形一条边上的高。
注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从
另一条边上的 任意一点向它的对边画高。
用三角板画出三角形的高的方法：
89